Funcția inversă: când se poate întoarce o funcție (M2, științe ale naturii)

Într-un laborator de chimie, tabelul de solubilitate spune câte grame de sare se dizolvă în $100$ de grame de apă la o temperatură dată. Când vrei să dizolvi o cantitate anume, întrebarea se întoarce: la ce temperatură trebuie adusă apa? Funcția care face acest drum înapoi se numește funcția inversă și este tema acestei lecții de clasa a X-a, la științe ale naturii (M2). Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține funcțiile inversabile, cu proprietățile lor grafice, la materia clasei a X-a.

Definiția folosește compunerea din lecția M2 despre compunerea funcțiilor și funcția identică de acolo. Perechi de funcții care se întorc una pe alta ai întâlnit deja în clasa a IX-a: radicalul de ordin 2 la M2 desface ridicarea la pătrat pe numerele nenegative, iar funcția logaritmică la M2 desface exponențiala cu aceeași bază. Lecția următoare, radicalii la M2, lucrează apoi cu numerele pe care le produc aceste inverse.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă că o funcție este inversabilă și cum se scrie condiția cu ajutorul compunerii.
• Vei ști să decizi, citind un tabel, o diagramă cu săgeți sau un grafic, dacă drumul înapoi este o funcție.
• Vei ști să calculezi inversa unei funcții de gradul întâi și a unor funcții simple, cum este $x^3$ cu o constantă adăugată.
• Vei ști să citești pe grafic puncte ale inversei, prin simetria față de dreapta $y=x$.
• Vei ști să inversezi o formulă din fizică sau chimie, cu unitățile și intervalul potrivite.
• Vei ști să verifici o inversă compunând în ambele sensuri.

Hai să descoperim împreună

1. Cum refacem drumul de la rezultat înapoi la intrare?

Pe un rezistor, primele benzi colorate codifică cifre: negrul înseamnă $0$, maroul $1$, roșul $2$, portocaliul $3$. Funcția care duce cifra în culoare este un tabel cu patru perechi. Tehnicianul care citește rezistorul face drumul invers: vede culoarea și află cifra. Drumul acesta este tot o funcție, fiindcă fiecare culoare corespunde exact unei cifre. Drumul înapoi se numește funcție inversă atunci când este, la rândul lui, o funcție.

Dacă două cifre ar avea aceeași culoare, la întoarcere n-ai ști ce cifră să alegi. Dacă o culoare folosită pe rezistor n-ar corespunde niciunei cifre, drumul înapoi n-ar avea ce da. Acestea sunt cele două lucruri care pot strica întoarcerea.

Observă că întrebarea nu este dacă tabelul direct este corect, ci dacă tabelul citit în sens invers mai este o funcție. O funcție trebuie să dea fiecărui element al domeniului o valoare și numai una. Când întorci tabelul, domeniul drumului înapoi este mulțimea culorilor, iar fiecare culoare trebuie să primească exact o cifră. De aici vin cele două cerințe: nicio culoare fără cifră și nicio culoare cu două cifre.

2. Cum se scrie precis „a întoarce o funcție”?

Fie $f:A\to B$. Funcția $g:B\to A$ face drumul înapoi exact când, pornind din orice $x\in A$ și aplicând întâi $f$, apoi $g$, te întorci în $x$, iar pornind din orice $y\in B$ și aplicând întâi $g$, apoi $f$, te întorci în $y$.

Definiție. Spunem că $f:A\to B$ este inversabilă atunci când poate fi găsită o funcție $g:B\to A$ cu proprietățile $g\circ f=1_A$ și $f\circ g=1_B$. O asemenea funcție $g$ este unică; ea se numește inversa lui $f$ și se notează $f^{-1}$.

Din definiție rezultă legătura de lucru: $f^{-1}(y)=x$ exact când $f(x)=y$. Orice întrebare despre inversă se traduce astfel într-o întrebare despre $f$. Atenție la notație: exponentul $-1$ de aici este o etichetă, nu o putere a valorii.

Definiția cere două egalități, nu una. Prima, $g\circ f=1_A$, spune că $g$ desface ce a făcut $f$, pornind din domeniul lui $f$. A doua, $f\circ g=1_B$, spune că $f$ desface ce a făcut $g$, pornind din codomeniul lui $f$. Împreună, ele fac ca drumul dus și drumul întors să se potrivească perfect, în ambele direcții. Domeniul inversei este deci codomeniul lui $f$, iar codomeniul inversei este domeniul lui $f$.

3. Ce verificăm pe un tabel, pe săgeți sau pe un grafic înainte de întoarcere?

Citind, verifici două lucruri: fiecare element din $B$ este valoare a lui $f$, și anume a unui singur argument. Într-un tabel, fiecare element al codomeniului apare o dată și numai o dată pe rândul valorilor. Într-o diagramă cu săgeți, în fiecare element al lui $B$ intră exact o săgeată. Figura A arată o funcție care nu trece testul: elementul $b$ primește două săgeți, iar elementul $d$ niciuna.

Pe un grafic, echivalentul este o dreaptă orizontală dusă la fiecare nivel din $B$: ea trebuie să întâlnească graficul exact o dată. Cele două condiții au nume proprii, injectivitate și surjectivitate, iar demonstrarea lor prin calcul face obiectul lecției de supliment despre funcții injective, surjective și bijective la M2. Aici le citim, fără demonstrații.

Citirea pe grafic cere atenție la mulțimea $B$. Dacă o orizontală de la un nivel din $B$ nu întâlnește graficul, acel nivel nu are din ce veni. Dacă o orizontală întâlnește graficul de două ori, nivelul vine din două argumente. Un grafic care urcă mereu sau coboară mereu trece de a doua încercare, dar pentru prima trebuie verificat că atinge toate nivelurile din $B$. Același grafic poate fi deci inversabil pentru un codomeniu și neinversabil pentru altul, mai mare.

4. Cum izolăm argumentul când funcția este de gradul întâi?

Pentru $f(x)=ax+b$, cu $a\ne 0$, pornim de la $y=f(x)$ și exprimăm $x$ din $y$. Luăm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{5x-2}{4}$. Din $y=\frac{5x-2}{4}$ obținem $4y=5x-2$, apoi $x=\frac{4y+2}{5}$. Prin urmare $f^{-1}(x)=\frac{4x+2}{5}$, după ce redenumim variabila.

Redenumirea nu schimbă funcția: $f^{-1}(y)=\frac{4y+2}{5}$ și $f^{-1}(x)=\frac{4x+2}{5}$ descriu aceeași regulă. Se folosește litera $x$ doar ca să putem desena $f$ și $f^{-1}$ în același reper.

Pentru orice funcție de gradul întâi cu panta nenulă, calculul merge la fel și dă tot o funcție de gradul întâi, cu panta egală cu inversul pantei inițiale. Dacă panta ar fi zero, funcția ar fi constantă: toate argumentele ar avea aceeași valoare, iar drumul înapoi n-ar putea alege. Pașii de lucru sunt mereu aceiași: scrii $y=f(x)$, izolezi $x$, redenumești variabila și controlezi prin compunere.

5. Ce se întâmplă cu un punct al graficului când coordonatele își schimbă rolul?

Dacă punctul $(a;b)$ este pe graficul lui $f$, atunci $f(a)=b$, deci $f^{-1}(b)=a$, iar punctul $(b;a)$ este pe graficul inversei. Coordonatele își schimbă locul. Două puncte de forma $(a;b)$ și $(b;a)$ stau simetric unul față de celălalt în raport cu prima bisectoare, adică dreapta $y=x$.

Figura B arată $f(x)=\frac{x}{3}+2$ și inversa ei, $f^{-1}(x)=3x-6$. Punctul $(0;2)$ al lui $f$ devine $(2;0)$ pe inversă, iar $(6;4)$ devine $(4;6)$. Cele două drepte se întâlnesc în $(3;3)$, un punct care stă chiar pe bisectoare: acolo $f(3)=3$.

Figura este o fereastră: dreptele continuă în ambele sensuri. Aceeași simetrie leagă graficul exponențialei de cel al logaritmului, lucru observat pe grafic în lecția M2 despre funcția logaritmică. Practic, dacă ai graficul lui $f$ desenat pe hârtie cu unități egale pe axe, poți obține graficul inversei îndoind foaia de-a lungul bisectoarei: fiecare punct cade peste perechea lui. Cu unități diferite pe axe, oglinda nu mai funcționează vizual, deși schimbul coordonatelor rămâne valabil.

6. Ce perechi de funcții inverse cunoști deja?

Ridicarea la pătrat nu este inversabilă pe tot $\mathbb{R}$, fiindcă numere opuse au același pătrat. Restrânsă la $[0,+\infty )$, cu valori în $[0,+\infty )$, devine inversabilă, iar inversa ei este radicalul de ordin 2. Ridicarea la cub nu are nevoie de restricție: numere diferite au cuburi diferite și orice număr real este cubul unui număr real, deci $x\mapsto x^3$ este inversabilă pe $\mathbb{R}$, cu inversa $x\mapsto \sqrt[3]{x}$, funcția studiată în lecția M2 despre radicalul de ordin 3.

Pentru o bază $a>0$, $a\ne 1$, exponențiala $x\mapsto a^x$, de la $\mathbb{R}$ la $(0,+\infty )$, are inversa $x\mapsto {\log }_{a}x$. De exemplu, $2^5=32$, iar ${\log }_{2}32=5$. Proprietățile de calcul ale acestor perechi se lucrează în lecțiile următoare ale unității. Ce contează acum este ideea comună: fiecare dintre aceste funcții noi a apărut ca răspuns la întrebarea „din ce număr am plecat?”, pusă unei operații cunoscute.

7. Cum se inversează o formulă din științe?

Conversia unei viteze din metri pe secundă în kilometri pe oră este $k(v)=3,6v$. Drumul invers, din kilometri pe oră în metri pe secundă, este $k^{-1}(u)=\frac{u}{3,6}$. La inversare, rolurile și unitățile se schimbă: ce era rezultat devine intrare, iar unitatea rezultatului devine unitatea intrării.

Același lucru se întâmplă cu intervalul pe care e valabil modelul. Dacă formula directă este folosită pentru intrări dintr-un interval, inversa este folosită pentru valorile obținute pe acel interval. Coeficienții se păstrează ca fracții exacte până la final; o rotunjire făcută în formula inversei strică toate rezultatele calculate cu ea. Un control simplu al unei inverse dintr-o formulă fizică este să iei o valoare cunoscută, de pildă $10$ metri pe secundă, s-o transformi cu formula directă în $36$ de kilometri pe oră și s-o aduci înapoi cu inversa: trebuie să regăsești exact $10$.

8. De ce nu ajunge un singur sens al compunerii?

Definiția dă și metoda de control: calculezi $g\circ f$ și $f\circ g$. Dacă amândouă dau variabila, $g$ este inversa. Un singur sens nu ajunge: cele două egalități ale definiției spun lucruri diferite, iar funcția găsită poate îndeplini doar una dintre ele. Controlul numeric, într-un punct, prinde repede greșelile de calcul; controlul cu formule dovedește rezultatul. De aceea, în rezolvările din această lecție, fiecare inversă calculată este urmată de cel puțin un control.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aceeași formulă, două tabele

Funcțiile $f:\{0,1,2,3\}\to \{1,2,5,10\}$ și $g:\{-1,0,1,2\}\to \{1,2,5\}$ sunt date de aceeași regulă, $x^2+1$. Scrie tabelele lor și decide care este inversabilă. Pentru aceea, scrie tabelul inversei.

Rezolvare. Pentru $f$: $f(0)=1$, $f(1)=2$, $f(2)=5$, $f(3)=10$. Fiecare element al codomeniului $\{1,2,5,10\}$ apare o singură dată, deci $f$ este inversabilă. Tabelul inversei se obține schimbând rândurile: $f^{-1}(1)=0$, $f^{-1}(2)=1$, $f^{-1}(5)=2$, $f^{-1}(10)=3$.

Pentru $g$: $g(-1)=2$, $g(0)=1$, $g(1)=2$, $g(2)=5$. Valoarea $2$ vine din două argumente, $-1$ și $1$, deci la întoarcere nu știm ce să alegem: $g$ nu este inversabilă. Aceeași regulă de calcul dă o funcție inversabilă sau nu, după mulțimea pe care o folosim. Contează funcția întreagă, cu domeniu și codomeniu, nu doar formula. Pentru $g$ am obține o funcție inversabilă eliminând din domeniu pe $-1$ sau pe $1$; fiecare alegere dă o altă funcție, cu altă inversă.

Exemplul 2 — Inversa unei funcții de gradul întâi, cu control

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x+9}{3}$. Determină inversa și verifică rezultatul prin compunere.

Rezolvare. Din $y=\frac{2x+9}{3}$ rezultă $3y=2x+9$, deci $x=\frac{3y-9}{2}$. Inversa este $f^{-1}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f^{-1}(x)=\frac{3x-9}{2}$.

Control prin compunere, în ambele sensuri: $f^{-1}(f(x))=\frac{3\cdot \frac{2x+9}{3}-9}{2}=\frac{2x}{2}=x$ și $f(f^{-1}(x))=\frac{2\cdot \frac{3x-9}{2}+9}{3}=\frac{3x}{3}=x$. Control numeric: $f(0)=3$ și $f^{-1}(3)=0$. Panta lui $f$ este $\frac{2}{3}$, iar panta inversei este $\frac{3}{2}$, inversul ei. Observă că, la pasul de izolare a lui $x$, operațiile s-au făcut în ordine inversă: întâi am anulat împărțirea la $3$, apoi adunarea lui $9$, apoi înmulțirea cu $2$.

Exemplul 3 — Citește pe grafic și scrie inversa

Figura C arată graficul funcției $f:[0,+\infty )\to [3,+\infty )$, $f(x)=\sqrt{x}+3$, și dreapta $y=x$. Citește pe figură patru puncte cu coordonate întregi ale graficului, scrie punctele corespunzătoare ale inversei și formula ei. Cât este $f^{-1}(5)$?

Rezolvare. Pe figură, graficul trece prin $(0;3)$, $(1;4)$, $(4;5)$ și $(9;6)$. Pe graficul inversei stau punctele cu coordonatele schimbate: $(3;0)$, $(4;1)$, $(5;4)$ și $(6;9)$. În particular, $f^{-1}(5)=4$, fiindcă $f(4)=2+3=5$.

Pentru formulă, din $y=\sqrt{x}+3$ rezultă $\sqrt{x}=y-3$, cu $y\ge 3$, deci $x=(y-3{)}^2$. Așadar $f^{-1}:[3,+\infty )\to [0,+\infty )$, $f^{-1}(x)=(x-3{)}^2$. Toate punctele citite verifică formula: de exemplu, $(6-3{)}^2=9$. Domeniul inversei este mulțimea valorilor lui $f$, citită pe axa verticală a figurii: graficul pornește de la nivelul $3$ și urcă nelimitat. Condiția $y\ge 3$ din calcul este aceeași informație, obținută algebric: fără ea, formula $(x-3{)}^2$ ar fi definită pe tot $\mathbb{R}$, dar n-ar mai fi inversa lui $f$.

Exemplul 4 — Temperatura de dizolvare a unei sări

Masa de clorură de potasiu care se dizolvă în $100$ de grame de apă, până la saturație, crește cu temperatura aproximativ după legea $S(t)=28+0,3t$ grame, unde $t$ este temperatura apei în grade Celsius, cu $t\in [0;100]$. Scrie temperatura în funcție de masa dizolvată, cu intervalul potrivit, și află la ce temperatură se dizolvă $40$ de grame, respectiv $49$ de grame de sare.

Rezolvare. Pe intervalul dat masa dizolvată crește de la $S(0)=28$ de grame la $S(100)=28+30=58$ de grame. Din $S=28+0,3t$ rezultă $t=\frac{S-28}{0,3}$. Inversa este $t(S)=\frac{S-28}{0,3}$ grade Celsius, pentru $S\in [28;58]$ grame.

Pentru $40$ de grame: $\frac{12}{0,3}=40$ de grade Celsius. Pentru $49$ de grame: $\frac{21}{0,3}=70$ de grade Celsius. Legea de gradul întâi aproximează valorile din tabelul de solubilitate doar între $0$ și $100$ de grade, cât apa rămâne lichidă. Coeficientul inversei are unitatea inversată: $\frac{1}{0,3}=\frac{10}{3}$ grade Celsius pe gram, adică fiecare gram în plus cere încălzirea apei cu aproximativ trei grade și o treime.

Exemplul 5 — Găsește greșeala: un grafic care acoperă tot codomeniul

Figura D arată graficul funcției $f:[-2,2]\to [-2,2]$, $f(x)=x^3-3x$. Un elev observă că $f(-2)=-2$, $f(2)=2$ și că graficul trece prin toate nivelurile dintre $-2$ și $2$, apoi scrie: „Fiecare element al codomeniului este valoare a lui $f$, deci $f$ este inversabilă.” Unde greșește?

Rezolvare. Prima parte a observației este corectă: orice nivel din $[-2,2]$ este atins. Inversabilitatea cere însă și ca fiecare nivel să fie atins de un singur argument. Orizontala $y=0$ întâlnește graficul de trei ori: $f(x)=x\left(x^2-3\right)=0$ pentru $x=-\sqrt{3}$, $x=0$ și $x=\sqrt{3}$, toate în $[-2,2]$. La întoarcere, valoarea $0$ n-ar ști în care dintre cele trei argumente să ducă, deci $f$ nu este inversabilă.

Și nivelul $2$ este atins de două ori, în $x=2$ și în $x=-1$: $f(-1)=-1+3=2$. Elevul a verificat doar jumătate din condiție. Pe grafic se urmărește, pentru fiecare orizontală de la un nivel din codomeniu, câte puncte comune are cu graficul, nu doar dacă are măcar unul.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+5$ și $g(x)=\frac{x-5}{3}$. Arătați că $(g\circ f)(x)=x$ și $(f\circ g)(x)=x$, pentru orice număr real $x$. Determinați numărul real $a$ pentru care $g(a)=a+1$.

Rezolvare. $(g\circ f)(x)=\frac{3x+5-5}{3}=x$ și $(f\circ g)(x)=3\cdot \frac{x-5}{3}+5=x$, deci $g$ este inversa lui $f$. Ecuația $\frac{a-5}{3}=a+1$ devine $a-5=3a+3$, adică $a=-4$. Control: $g(-4)=-3=a+1$; echivalent, $f(-3)=-4$. Enunțul este un antrenament propriu, construit în stilul cerinței a doua de la Subiectul I, nu un subiect oficial. Partea a doua se putea rezolva și fără formula lui $g$, scriind că punctul căutat verifică $f(a+1)=a$.

Să exersăm

La fiecare inversă calculată, fă controlul prin compunere sau cel puțin controlul numeric într-un punct. La contexte, scrie unitățile.

1. Funcția $f:\{1,2,3\}\to \{2,4,6,8\}$ are valorile $f(1)=2$, $f(2)=4$, $f(3)=8$. Este inversabilă? Ce schimbare a codomeniului o face inversabilă?

2. Funcția inversabilă $h:\{-2,0,2,4\}\to \{-7,-1,5,11\}$ are valorile $h(-2)=-7$, $h(0)=-1$, $h(2)=5$, $h(4)=11$. Calculează $h^{-1}(11)-h^{-1}(-1)$ și verifică dacă regula $x\mapsto \frac{x+1}{3}$ dă tabelul inversei.

3. O funcție de gradul întâi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ verifică $f(0)=-3$ și $f(4)=5$. Determină $f$ și inversa ei.

4. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=9-3x$. Fără să scrii formula inversei, calculează $f^{-1}(0)$ și $f^{-1}(12)$.

5. Determină numărul real $k$ pentru care $g(x)=2x+k$ este inversa funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+7}{2}$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Funcția $g(x)=\frac{x}{4}-2$ este inversa funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x+2$.

7. Figura E arată graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^3}{8}$, cu patru puncte marcate. Citește $f^{-1}(1)$ și $f^{-1}(8)$, apoi scrie formula inversei și calculează $f^{-1}(-27)$.

8. Determină inversa funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-2$, și calculează $f^{-1}(25)$ și $f^{-1}(-6)$.

9. Iluminarea produsă de o lampă pe o suprafață aflată la distanța $d$ metri de ea este $E(d)=\frac{900}{d^2}$ lucși, pentru $d\in [1;6]$. Scrie distanța în funcție de iluminare, cu intervalul potrivit, și află la ce distanță iluminarea este de $100$ de lucși.

10. (Problemă aplicată.) Lungimea părului unei persoane care nu se tunde crește aproximativ după legea $L(t)=12+1,2t$ centimetri, unde $t\in [0;24]$ este timpul, în luni. Scrie timpul în funcție de lungime, cu intervalul de lungimi, și află după câte luni părul are $30$ de centimetri.

11. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x-7$. Determină numărul real $a$ pentru care punctul $A(a;3)$ aparține graficului inversei lui $f$.

12. Fie $f:[0,4]\to [1,9]$, $f(x)=2x+1$. Scrie inversa, cu domeniul și codomeniul ei, și precizează între ce abscise se află graficul inversei.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția inversabilă $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x-1$. Arătați că $f^{-1}(5)+f^{-1}(-7)=0$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția inversabilă $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=7-2x$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f^{-1}(a)=4$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția inversabilă $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{5}+2$. Determinați coordonatele punctului în care graficul funcției $f^{-1}$ intersectează axa $Oy$.

16. Pentru $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=3^x$, calculează $f^{-1}(81)$ și $f^{-1}\left(\frac{1}{9}\right)$ și precizează domeniul inversei.

17. Despre o funcție inversabilă $f$ știm că $f^{-1}(5)=2$ și $f^{-1}(8)=7$. Calculează $f(2)+f(7)$, apoi rezolvă ecuația $f(x)=8$ și explică de ce soluția ei este unică.

18. (Provocare.) Fie $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}\setminus \{3\}$, $f(x)=\frac{3x-2}{x+1}$. Știind că $f$ este inversabilă, determină formula inversei și verifică-o în $x=0$.

Răspunsuri și explicații

1. Nu. Valorile nu se repetă, dar elementul $6$ al codomeniului nu este valoarea niciunui argument, deci la întoarcere n-ar avea ce primi. Dacă restrângem codomeniul la $\{2,4,8\}$, funcția devine inversabilă, cu $f^{-1}(2)=1$, $f^{-1}(4)=2$, $f^{-1}(8)=3$.

2. $h^{-1}(11)=4$ și $h^{-1}(-1)=0$, deci diferența este $4$. Regula $\frac{x+1}{3}$ dă $\frac{-7+1}{3}=-2$, $\frac{0}{3}=0$, $\frac{6}{3}=2$ și $\frac{12}{3}=4$, adică exact tabelul inversei.

3. Scriem $f(x)=ax+b$: din $f(0)=-3$ rezultă $b=-3$, iar din $f(4)=5$ rezultă $4a-3=5$, adică $a=2$. Deci $f(x)=2x-3$, iar din $y=2x-3$ obținem $f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}$. Control: $f^{-1}(5)=4$.

4. $f^{-1}(0)$ este argumentul pentru care $f$ dă $0$: ecuația $9-3x=0$ dă $x=3$, deci $f^{-1}(0)=3$. La fel, $9-3x=12$ dă $x=-1$, deci $f^{-1}(12)=-1$. Formula inversei nu a fost necesară: am rezolvat de două ori ecuația $f(x)=y$.

5. $g(f(x))=2\cdot \frac{x+7}{2}+k=x+7+k$, care este $x$ pentru orice $x$ exact când $k=-7$. Control în celălalt sens: $f(2x-7)=\frac{2x-7+7}{2}=x$.

6. Fals. $g(f(x))=\frac{4x+2}{4}-2=x-\frac{3}{2}$, care nu este $x$; de exemplu, în $x=0$ obținem $-\frac{3}{2}$. Inversa corectă este $f^{-1}(x)=\frac{x-2}{4}$. Greșeala din $g$ este ordinea operațiilor: s-a împărțit întâi și s-a scăzut apoi, în loc de invers.

7. Pe figură, graficul trece prin $(-2;-1)$, $(0;0)$, $(2;1)$ și $(4;8)$, deci $f^{-1}(1)=2$ și $f^{-1}(8)=4$. Din $y=\frac{x^3}{8}$ rezultă $x^3=8y$, deci $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{8x}=2\sqrt[3]{x}$ și $f^{-1}(-27)=2\cdot (-3)=-6$. Control: $\frac{(-6{)}^3}{8}=-27$. Inversa există pe tot $\mathbb{R}$, fiindcă și funcția cub este inversabilă pe $\mathbb{R}$.

8. Din $y=x^3-2$ rezultă $x^3=y+2$, deci $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+2}$, pe tot $\mathbb{R}$. Atunci $f^{-1}(25)=\sqrt[3]{27}=3$ și $f^{-1}(-6)=\sqrt[3]{-4}=-\sqrt[3]{4}$. Control: $3^3-2=25$.

9. Pe $[1;6]$ funcția scade de la $E(1)=900$ la $E(6)=\frac{900}{36}=25$ de lucși, deci ia valori în $[25;900]$. Din $E=\frac{900}{d^2}$ rezultă $d^2=\frac{900}{E}$, iar cum distanța este pozitivă, $d=\frac{30}{\sqrt{E}}$. Inversa este $d(E)=\frac{30}{\sqrt{E}}$ metri, pentru $E\in [25;900]$ lucși. Pentru $100$ de lucși: $d=\frac{30}{10}=3$ metri. Control: $E(3)=\frac{900}{9}=100$.

10. Din $L=12+1,2t$ rezultă $t=\frac{L-12}{1,2}$ luni, pentru $L\in [12;40,8]$ centimetri, fiindcă $L(0)=12$ și $L(24)=12+28,8=40,8$. Pentru $30$ de centimetri: $\frac{18}{1,2}=15$, deci după $15$ luni. Inversa se folosește doar pentru lungimi între $12$ și $40,8$ centimetri; o lungime din afara acestui interval iese din perioada pentru care a fost scrisă legea.

11. Punctul $(a;3)$ este pe graficul inversei exact când $f^{-1}(a)=3$, adică $f(3)=a$. Deci $a=15-7=8$. Formula inversei nu a fost necesară.

12. Din $y=2x+1$ rezultă $x=\frac{y-1}{2}$, deci $f^{-1}:[1,9]\to [0,4]$, $f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$. Graficul inversei este un segment cu abscisele între $1$ și $9$, cu capetele $(1;0)$ și $(9;4)$.

13. $f(1)=5$, deci $f^{-1}(5)=1$; $f(-1)=-7$, deci $f^{-1}(-7)=-1$. Suma este $1+(-1)=0$.

14. $f^{-1}(a)=4$ înseamnă $f(4)=a$, deci $a=7-8=-1$. Control: din $7-2x=-1$ rezultă $x=4$.

15. Punctul de pe axa $Oy$ are abscisa $0$, deci ordonata lui este $f^{-1}(0)$, adică soluția ecuației $\frac{x}{5}+2=0$: $x=-10$. Punctul este $(0;-10)$. Control cu formula inversei, $f^{-1}(x)=5x-10$: $f^{-1}(0)=-10$.

16. Inversa este $f^{-1}(x)={\log }_{3}x$, definită pe $(0,+\infty )$. Avem $f^{-1}(81)=4$, fiindcă $3^4=81$, și $f^{-1}\left(\frac{1}{9}\right)=-2$, fiindcă $3^{-2}=\frac{1}{9}$. Domeniul inversei este mulțimea valorilor exponențialei, adică numerele strict pozitive.

17. Din $f^{-1}(5)=2$ rezultă $f(2)=5$, iar din $f^{-1}(8)=7$ rezultă $f(7)=8$, deci suma este $13$. Ecuația $f(x)=8$ are soluția $x=7$. Este singura: dacă și un alt argument ar da valoarea $8$, această valoare ar veni din două argumente, iar $f$ n-ar mai fi inversabilă.

18. Din $y=\frac{3x-2}{x+1}$ rezultă $y(x+1)=3x-2$, adică $x(y-3)=-2-y$, deci $x=\frac{y+2}{3-y}$. Inversa este $f^{-1}:\mathbb{R}\setminus \{3\}\to \mathbb{R}\setminus \{-1\}$, $f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3-x}$. Control: $f(0)=-2$, iar $f^{-1}(-2)=\frac{0}{5}=0$.

De reținut

• $f:A\to B$ este inversabilă dacă există $g:B\to A$ cu $g\circ f=1_A$ și $f\circ g=1_B$; atunci $g=f^{-1}$, iar $f^{-1}(y)=x$ exact când $f(x)=y$.
• Pe un tabel, o diagramă sau un grafic, drumul înapoi există când fiecare element al codomeniului este valoarea unui singur argument.
• Inversa se află rezolvând $y=f(x)$ în raport cu $x$; se verifică prin compunere în ambele sensuri.
• Graficul inversei este oglinda graficului lui $f$ în prima bisectoare, $y=x$: punctul $(a;b)$ devine $(b;a)$.
• La o formulă din științe, inversarea schimbă rolurile, unitățile și intervalul: intervalul inversei este mulțimea valorilor formulei directe.

Greșeli frecvente

• Citești inversa pe verticală. Pentru $f^{-1}(3)$ nu cauți abscisa $3$ pe grafic, ci nivelul $3$ pe axa verticală, apoi abscisa punctului de pe grafic aflat la acel nivel. Răspunsul se citește pe axa orizontală.
• Verifici compunerea într-un singur sens. Pentru $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, radicalul aplicat după ridicarea la pătrat întoarce fiecare număr nenegativ în el însuși, dar $f\left(\sqrt{y}\right)$ nu există pentru $y$ negativ. Fără al doilea sens, declari inversabilă o funcție care nu este.
• Rotunjești coeficientul inversat. Pentru legea de solubilitate, $\frac{1}{0,3}\approx 3,3$ pare nevinovat, dar la $40$ de grame dă $12\cdot 3,3=39,6$ grade în loc de $40$. Împarte la coeficientul exact și rotunjește numai rezultatul final.
• Construiești tabelul inversei deși o valoare se repetă. Dacă două argumente au aceeași valoare, alegerea uneia dintre ele nu repară nimic: drumul înapoi rămâne nedeterminat. Soluția corectă este să restrângi domeniul, nu să alegi arbitrar.
• Restrângi radicalul de ordin 3 la numere pozitive. Prin analogie cu radicalul de ordin 2, unii elevi scriu inversa lui $x^3$ doar pe $[0,+\infty )$. Cubul unui număr negativ este negativ, deci $\sqrt[3]{x}$ există pentru orice număr real.

Aplică acasă

1. Alege o funcție de gradul întâi cu coeficienți întregi, de pildă $3x+7$, și codifică cu ea vârstele a cinci membri ai familiei. Dă-i unui coleg doar numerele codificate și formula inversei, calculată de tine; el trebuie să afle vârstele. Verificați împreună fiecare decodare și încercați apoi o funcție cu panta fracționară, ca să vedeți cum apar numere zecimale la decodare.
2. Măsoară timp de zece zile înălțimea unei plante de fasole puse la germinat și notează-le într-un tabel. Folosește tabelul „invers”: în ce zi a trecut planta de cinci centimetri? De ce drumul înapoi funcționează doar cât timp planta crește? Ce se întâmplă cu tabelul invers dacă în două zile la rând măsori aceeași înălțime?
3. Pe un calculator științific, alege perechile de taste $x^2$ și  ​, $x^3$ și $\sqrt[3]{}$, $10^x$ și $\log$. Pentru fiecare pereche, pornește de la cinci numere, între care și numere negative, apasă întâi o tastă și apoi cealaltă, apoi în ordinea inversă. Notează când te întorci exact la numărul de pornire și când nu, și explică fiecare caz prin domeniul și codomeniul funcțiilor.

Pentru părinți și profesori

Lecția construiește inversa din compunere: definiția prin $g\circ f=1_A$ și $f\circ g=1_B$ este cea din programa de științe, iar recunoașterea inversabilității se face citind tabele, diagrame și grafice. Demonstrarea injectivității și a surjectivității, precum și condiția necesară și suficientă de inversabilitate, sunt lucrate în lecția de supliment dedicată, pentru elevii care susțin examenul după programa din 2014. Aici nu se inversează funcții definite pe ramuri și nu se lucrează cu inversa unei compuneri.

O întrebare de control utilă: „cum verifici că ai găsit inversa?”. Un elev care răspunde „compun în ambele sensuri” a înțeles definiția. Merită exersat și sensul fizic al inversei: aproape orice lege din științe poate fi citită în ambele sensuri, iar întrebarea practică este adesea cea inversă.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028: capitolul X.3 „Funcții” numește „Compunerea funcțiilor; funcție inversabilă: definiție”. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care conține la materia clasei a X-a funcțiile inversabile, cu definiția, proprietățile grafice și condiția de inversabilitate. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu conține nicio cerință despre funcția inversă.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: funcția inversă și inversabilitatea. Pentru radicalul ca inversă a ridicării la pătrat, revedeți funcția radical de ordin 2 la M2. Recapitularea unității se face cu testul M2 despre rata creșterii, compunere și inversare.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre funcția inversă?

Varianta M2 definește inversabilitatea prin compunere și o recunoaște citind tabele, diagrame și grafice, fără să demonstreze echivalența cu bijectivitatea. Nu inversează funcții pe ramuri și nu lucrează cu inversa unei compuneri. În schimb, inversează formule din științe, cu unități și intervale, și leagă perechea $x^3$ și radicalul de ordin 3.

La ce subiect al Bacalaureatului M2 poate apărea funcția inversă?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține funcțiile inversabile la materia clasei a X-a, fără să precizeze subiectul la care se evaluează. Modelul publicat pentru 2026 nu are nicio cerință despre inversă. Pentru proba MAT_P2 din 2030, programa cere definiția funcției inversabile, în domeniul „Algebră”, la capitolul de funcții al clasei a X-a.

De ce se spune că logaritmul și exponențiala sunt inverse una alteia?

Pentru o bază $a>0$, $a\ne 1$, exponențiala duce $x$ în $a^x$, iar logaritmul în baza $a$ întreabă la ce putere trebuie ridicat $a$ ca să obții numărul dat. Aplicate una după alta, se anulează: ${\log }_a\left(a^x\right)=x$ și $a^{{\log }_{a}y}=y$, pentru $y>0$. De aceea cele două grafice se oglindesc unul în celălalt în prima bisectoare.

Ce se întâmplă cu unitățile de măsură când inversez o formulă?

Își schimbă locul. Formula directă primește o mărime într-o unitate și dă alta, în altă unitate; inversa primește a doua mărime și o dă înapoi pe prima. Coeficienții inversei au unitatea inversată, de pildă grade Celsius pe gram în loc de grame pe grad Celsius. Intervalul inversei este mulțimea valorilor formulei directe.

Poate avea inversă o funcție dată doar printr-un tabel?

Da, dacă pe rândul valorilor apare fiecare element al codomeniului o singură dată. Tabelul inversei se obține atunci schimbând rândurile între ele. Dacă o valoare apare de două ori sau lipsește, drumul înapoi nu este o funcție. Uneori ajută să micșorezi tabelul, păstrând doar coloanele în care valorile nu se repetă.

De ce radicalul de ordin 3 nu cere restricții, iar cel de ordin 2 cere?

Ridicarea la cub dă rezultate diferite pentru numere diferite și atinge orice număr real, deci se poate întoarce pe tot $\mathbb{R}$. Ridicarea la pătrat dă același rezultat pentru numere opuse și nu dă niciodată numere negative. De aceea ea se întoarce numai după restrângere la numerele nenegative, iar inversa ei, radicalul de ordin 2, există doar pentru numere nenegative.