Care este inversa funcției f(x)=x³-1?

Din y=x³-1 obții x³=y+1, deci x= ∛(y+1). Inversa este f⁻¹(x)= ∛(x+1), definită pe tot ℝ, fiindcă radicalul de ordinul trei acceptă orice număr. Verificare: f(3)=26 și f⁻¹(26)= ∛27=3.

Cum calculez f⁻¹(a) fără să aflu formula inversei?

Folosești legătura f⁻¹(a)=x exact când f(x)=a și rezolvi o ecuație. Pentru f(x)=5x+2, valoarea f⁻¹(17) vine din 5x+2=17, adică x=3. Proba: f(3)=15+2=17; formula inversei, (x-2)/5, dă același rezultat pentru x=17.

Cum inversez o formulă din fizică?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Funcția inversă

Scrii legea ca $y = f (x)$ , izolezi $x$ și obții funcția care răspunde la întrebarea pusă invers. Exemplu: temperatura în grade Fahrenheit este $F (C) = 1, 8 C + 32$ . Din $y = 1, 8 C + 32$ rezultă $C = \frac{y - 32}{1 , 8}$ , deci $F^{- 1} (y) = \frac{y - 32}{1 , 8}$ . Pentru $98, 6$ grade Fahrenheit obții $\frac{66 , 6}{1 , 8} = 37$ de grade Celsius. Inversa primește ce ieșea din lege și dă înapoi ce intra, cu unitățile schimbate între ele.

O funcție $f : A \to B$ se poate întoarce când există $g : B \to A$ pentru care $g \circ f$ lasă neschimbat orice element din $A$ , iar $f \circ g$ lasă neschimbat orice element din $B$ . Funcția $g$ , unică, se notează $f^{- 1}$ . Legătura de lucru este simplă: $f^{- 1} (y) = x$ exact atunci când $f (x) = y$ .

Tabelul valorilor, diagrama cu săgeți ori graficul arată repede dacă întoarcerea e posibilă. Fiecare element al codomeniului trebuie să fie valoarea unui singur argument: fără repetări și fără elemente rămase neatinse. Pe grafic, orizontalele duse la nivelurile din codomeniu întâlnesc curba exact o dată.

Pentru o funcție de gradul întâi cu panta nenulă, pornești de la $y = f (x)$ , izolezi $x$ și redenumești variabila; controlul se face compunând în ambele sensuri. Graficul inversei se obține schimbând între ele coordonatele fiecărui punct, adică prin simetria față de prima bisectoare.

Perechi cunoscute: ridicarea la cub și radicalul de ordinul trei, pătratul restrâns la numere nenegative și radicalul de ordinul doi, exponențiala și logaritmul cu aceeași bază. În științe, inversa unei legi răspunde la aceeași întrebare pusă invers, iar unitățile și intervalele își schimbă locul.

De reținut

$f^{- 1} (y) = x$ exact când $f (x) = y$
inversa se află izolând $x$ din $y = f (x)$ și se verifică prin compunere
graficul inversei este oglinda graficului în dreapta $y = x$

Greșeala tipică

Se confundă inversa cu inversul numeric și se scrie $f^{- 1} (x) = \frac{1}{f ( x )}$ ; pentru $f (x) = 2 x + 1$ inversa corectă este $\frac{x - 1}{2}$ , nu $\frac{1}{2 x + 1}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Funcția $f : A \to B$ este inversabilă. Care este domeniul funcției $f^{- 1}$ ?
- a) $B$
- b) $A$
- c) $A \cap B$
- d) $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $B$

Inversa primește valorile lui $f$ , deci pornește din codomeniul $B$ și se întoarce în $A$ : $f^{- 1} : B \to A$ . De aceea $f^{- 1} \circ f$ acționează pe $A$ , iar $f \circ f^{- 1}$ pe $B$ .
Graficele unei funcții inversabile și ale inversei ei sunt simetrice față de:
- a) dreapta $y = x$
- b) axa $O x$
- c) axa $O y$
- d) originea reperului
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) dreapta $y = x$

Punctul $(a; b)$ al graficului lui $f$ devine $(b; a)$ pe graficul inversei, iar asemenea puncte sunt simetrice față de prima bisectoare.
Care dintre funcțiile următoare, definite pe $R$ cu valori în $R$ , NU este inversabilă?
- a) $f (x) = 2 x - 7$
- b) $f (x) = x^{3}$
- c) $f (x) = x^{2} + 2$
- d) $f (x) = - \frac{x}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $f (x) = x^{2} + 2$

$x^{2} + 2$ ia aceeași valoare în $1$ și în $- 1$ , iar numerele mai mici decât $2$ nu sunt valori ale ei, deci drumul înapoi nu este o funcție. Celelalte trei sunt strict monotone și iau orice valoare reală.

Întrebări conexe

Cum recunosc pe grafic dacă o funcție are inversă?

Duci drepte orizontale la nivelul fiecărei valori din codomeniu: fiecare trebuie să taie graficul exact o dată. Pentru $f (x) = x^{2}$ pe $R$ , dreapta $y = 4$ taie parabola în $x = - 2$ și $x = 2$ , iar $y = - 1$ nu o taie deloc. Deci funcția nu are inversă pe $R$ .

Cum desenez graficul inversei pornind de la graficul funcției?

Schimbi între ele coordonatele fiecărui punct, adică oglindești graficul în dreapta $y = x$ . Pentru $f (x) = 2 x + 1$ , punctele $(0, 1)$ și $(1, 3)$ devin $(1, 0)$ și $(3, 1)$ . Dreapta prin ele este graficul inversei, $f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{2}$ .

Care este inversa funcției $f (x) = x^{3} - 1$ ?

Din $y = x^{3} - 1$ obții $x^{3} = y + 1$ , deci $x = 3 y + 1$ . Inversa este $f^{- 1} (x) = 3 x + 1$ , definită pe tot $R$ , fiindcă radicalul de ordinul trei acceptă orice număr. Verificare: $f (3) = 26$ și $f^{- 1} (26) = 327 = 3$ .

Cum verific prin compunere că o funcție este inversa alteia?

Compui în ambele sensuri și trebuie să obții $x$ de fiecare dată. Pentru $f (x) = 3 x - 6$ și $g (x) = \frac{x}{3} + 2$ : $f (g (x)) = x + 6 - 6 = x$ și $g (f (x)) = x - 2 + 2 = x$ . Ambele compuneri dau identitatea, deci $g = f^{- 1}$ .

Cum calculez $f^{- 1} (a)$ fără să aflu formula inversei?

Folosești legătura $f^{- 1} (a) = x$ exact când $f (x) = a$ și rezolvi o ecuație. Pentru $f (x) = 5 x + 2$ , valoarea $f^{- 1} (17)$ vine din $5 x + 2 = 17$ , adică $x = 3$ . Proba: $f (3) = 15 + 2 = 17$ ; formula inversei, $\frac{x - 2}{5}$ , dă același rezultat pentru $x = 17$ .

Oamenii mai întreabă și: inversa unei legi din fizică · cum scot variabila dintr-o formulă ca funcție inversă · funcția inversă a unei formule cu unități · inversarea unei formule de conversie