Logaritmul: definiție (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Într-un laborator de biologie moleculară, o secvență de ADN este copiată prin reacția PCR: la fiecare ciclu, numărul de copii se dublează. Câte copii sunt după opt cicluri se află ridicând la putere. Mult mai des însă, cercetătorul are nevoie de întrebarea inversă: de câte cicluri e nevoie ca să ajungă la un număr dat de copii? Răspunsul este un exponent, iar în clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), îl numim logaritm și îl citim și pe graficul exponențialei. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”, iar programa probei numește logaritmii la funcția logaritmică. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține noțiunea de logaritm și calculele cu logaritmi, la materia clasei a X-a; în modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I are o ecuație logaritmică, rezolvată cu proprietăți care se învață în clasa a X-a.

Lecția se sprijină pe graficul funcției exponențiale la M2 și pe numărul e și exponențiala naturală, unde ai încadrat soluții de forma $e^{x} = m$ . Regulile puterilor cu exponent întreg le găsești în lecția despre înmulțirea și împărțirea puterilor din clasa a VIII-a. Ce afli aici devine funcție în lecția despre funcția logaritmică.

Ce vei învăța

Vei ști să spui ce este logaritmul unui număr și să verifici un rezultat prin ridicare la putere.
Vei ști să treci de la o egalitate cu putere la forma ei logaritmică și invers, fără să încurci baza.
Vei ști să citești un logaritm ca abscisă pe graficul unei funcții exponențiale.
Vei ști să explici fiecare dintre condițiile de existență și să recunoști expresiile care nu au sens.
Vei ști să stabilești semnul unui logaritm fără să-l calculezi, inclusiv când baza este subunitară.
Vei ști să încadrezi între doi întregi consecutivi un logaritm care nu este număr întreg.

Hai să descoperim împreună

1. Ce întrebare pune logaritmul?

În reacția PCR pornim de la o singură copie a secvenței. După un ciclu sunt două copii, după două cicluri patru, după $n$ cicluri sunt $2^{n}$ copii. Dacă știi numărul de cicluri, calculezi o putere. Dacă știi însă că în eprubetă sunt $256$ de copii și vrei să afli câte cicluri au trecut, cauți exponentul $n$ pentru care $2^{n} = 256$ . Încerci puterile lui doi și găsești $2^{8} = 256$ , deci au trecut opt cicluri.

Logaritmul în baza $a$ al numărului $b$ , unde $a > 0$ , $a \neq = 1$ și $b > 0$ , este exponentul $c$ pentru care $a^{c} = b$ . Scriem $lo g_{a} b$ și citim „logaritmul lui $b$ în baza $a$ ”; $a$ poartă numele de bază, iar $b$ pe cel de argument.

Cu această notație, răspunsul pentru eprubetă se scrie $lo g_{2} 256 = 8$ . Definiția spune că cele două scrieri, $a^{c} = b$ și $lo g_{a} b = c$ , sunt aceeași informație: un rezultat de logaritm se verifică întotdeauna ridicând baza la acel rezultat.

Observă ce anume rămâne neschimbat și ce se schimbă între cele trei întrebări posibile despre aceeași putere. Dacă știi baza și exponentul, calculezi puterea. Dacă știi exponentul și rezultatul, cauți baza, cum ai făcut cu radicalii. Dacă știi baza și rezultatul, cauți exponentul, iar aceasta este singura întrebare nouă a lecției. În fizică, în chimie și în biologie ea apare de fiecare dată când un proces se desfășoară în pași egali și vrei să afli câți pași au trecut.

2. Cum traducem între forma cu putere și forma cu logaritm?

Traducerea are o singură regulă: baza puterii devine baza logaritmului, rezultatul puterii devine argumentul, iar exponentul devine valoarea logaritmului. Tabelul de mai jos o aplică în ambele sensuri.

Forma cu putere	Forma cu logaritm
$2^{7} = 128$	$lo g_{2} 128 = 7$
$1 0^{- 4} = \frac{1}{10 000}$	$lo g_{10} \frac{1}{10 000} = - 4$
$(\frac{1}{4})^{- 3} = 64$	$lo g_{\frac{1}{4}} 64 = - 3$
$8^{- 2} = \frac{1}{64}$	$lo g_{8} \frac{1}{64} = - 2$

Exponenții negativi nu au nimic special: un exponent negativ înseamnă inversul puterii, regulă pe care o știi din gimnaziu. De aceea valoarea unui logaritm poate fi negativă, chiar dacă argumentul este pozitiv. Rândul al treilea arată și că baza poate fi o fracție, cu condiția să fie pozitivă și diferită de unu.

Când traduci, citește egalitatea cu voce tare. „Zece la puterea minus patru dă o zecime de miime” devine „exponentul la care ridici zece ca să obții o zecime de miime este minus patru”. Propoziția lungă te obligă să spui cine este baza, iar greșelile de traducere apar aproape mereu atunci când baza este mutată pe alt loc. După traducere, fă controlul invers: ridică baza la valoarea găsită și verifică dacă obții argumentul.

3. Unde vedem logaritmul pe graficul exponențialei?

Pe graficul funcției $g (x) = 2^{x}$ , fiecare punct are forma $(x; 2^{x})$ . Dacă tragi dreapta orizontală $y = b$ și găsești punctul în care ea taie graficul, abscisa acelui punct este exponentul care produce $b$ . Prin urmare, $lo g_{2} b$ este abscisa punctului de intersecție dintre graficul lui $2^{x}$ și dreapta $y = b$ .

Figura A arată două asemenea drepte. Dreapta $y = 6$ taie graficul într-un singur punct, aflat între abscisele $2$ și $3$ , pentru că $2^{2} = 4$ și $2^{3} = 8$ . Așadar $lo g_{2} 6$ există și este un număr între doi și trei, fără să fie întreg. Dreapta $y = - 2$ trece pe sub grafic și nu îl întâlnește niciodată, pentru că toate puterile lui doi sunt pozitive: nu există niciun exponent care să dea $- 2$ , deci expresia $lo g_{2} (- 2)$ nu are sens.

Aceeași lectură funcționează pentru orice bază permisă. Pentru o bază supraunitară graficul urcă, pentru una subunitară coboară, dar în ambele cazuri fiecare dreaptă orizontală de deasupra axei $O x$ îl taie exact o dată. Această unicitate face ca logaritmul să fie bine definit.

Lectura grafică are și o limită. Un desen arată cu precizie doar punctele cu coordonate întregi sau marcate; pentru celelalte obții o încadrare sau o estimare. De aceea citirea de pe grafic și calculul prin puteri se completează: graficul îți spune dacă logaritmul există și unde se află, iar puterile îți dau valoarea exactă atunci când argumentul este o putere a bazei.

4. De ce cerem a > 0, a ≠ 1 și b > 0?

Condiția pe argument se vede direct pe grafic: orice putere a unei baze pozitive este strict pozitivă, deci argumentul unui logaritm nu poate fi decât un număr strict pozitiv. Zero și numerele negative nu sunt niciodată rezultatul unei asemenea puteri.

Condițiile pe bază le-ai întâlnit în lecția despre funcția exponențială: o bază negativă nu dă o curbă neîntreruptă, iar baza unu dă dreapta orizontală $y = 1$ . Pentru logaritm, a doua condiție are o consecință precisă. Dreapta $y = 1$ nu întâlnește nicio dreaptă $y = b$ cu $b \neq = 1$ și se suprapune cu dreapta $y = 1$ : în primul caz nu există exponent potrivit, în al doilea caz orice exponent se potrivește. Niciunul dintre cazuri nu dă o valoare unică, așa că „logaritmul în baza unu” nu are sens.

La un exercițiu, verificarea condițiilor vine înaintea oricărui calcul. Te uiți întâi la bază: este pozitivă și diferită de unu? Apoi la argument: este strict pozitiv? Abia după aceea cauți exponentul. Dacă una dintre condiții nu este îndeplinită, răspunsul corect este că expresia nu are sens, nu o valoare inventată.

5. Ce valori se citesc imediat din definiție?

Patru egalități decurg direct din definiție, pentru orice bază permisă $a$ . Le urmărim pe un obiect ales anume, baza $17$ . Pentru că $1 7^{0} = 1$ , avem $lo g_{17} 1 = 0$ . Pentru că $1 7^{1} = 17$ , avem $lo g_{17} 17 = 1$ . Pentru că exponentul care produce $1 7^{5}$ este chiar cinci, $lo g_{17} 1 7^{5} = 5$ . În fine, dacă ridici baza la exponentul care produce șase, obții șase: $1 7^{l o g_{17} 6} = 6$ .

Scrise general, egalitățile sunt $lo g_{a} 1 = 0$ , $lo g_{a} a = 1$ , $lo g_{a} a^{n} = n$ pentru $n$ întreg și $a^{l o g_{a} b} = b$ pentru $b > 0$ . Ultimele două arată că ridicarea la putere și logaritmarea în aceeași bază se desfac una pe cealaltă. Nu ai nevoie de calcul, ci doar de recunoașterea formei.

6. Ce semn are un logaritm?

Semnul se citește din poziția punctului pe graficul exponențialei. Pentru o bază supraunitară, graficul lui $a^{x}$ este deasupra dreptei $y = 1$ în dreapta axei $O y$ și sub ea în stânga axei. Așadar, dacă $b > 1$ , abscisa punctului de ordonată $b$ este pozitivă, iar dacă $0 < b < 1$ , abscisa este negativă. Pentru $b = 1$ abscisa este zero.

Pentru o bază subunitară graficul coboară, iar regula se inversează: argumentele mai mari decât unu dau logaritmi negativi, iar cele dintre zero și unu dau logaritmi pozitivi. Pe scurt, logaritmul este pozitiv atunci când baza și argumentul sunt de aceeași parte a lui unu și negativ atunci când sunt de părți diferite.

Regula scurtă este utilă ca verificare. Dacă ai calculat un logaritm și semnul lui nu se potrivește cu poziția bazei și a argumentului față de unu, ai greșit o putere sau ai inversat baza cu argumentul. Controlul costă câteva secunde și prinde cele mai multe greșeli de traducere.

7. Cum încadrăm un logaritm care nu este întreg?

Cele mai multe argumente nu sunt puteri exacte ale bazei. Luăm ca exemplu $lo g_{3} 15$ . Căutăm două puteri consecutive ale lui trei între care se află cincisprezece: $3^{2} = 9$ și $3^{3} = 27$ . Funcția $3^{x}$ este strict crescătoare, deci exponentul care produce cincisprezece se află între exponenții care produc nouă și douăzeci și șapte: $2 < lo g_{3} 15 < 3$ .

Pe grafic, dreapta $y = 15$ taie curba lui $3^{x}$ între abscisele doi și trei. Atenție la ce încadrezi: între doi exponenți se află logaritmul, iar între două puteri se află argumentul. Dacă baza este subunitară, exponențiala este descrescătoare și ordinea capetelor se schimbă; vei întâlni cazul în exerciții.

Încadrarea spune mai mult decât pare. Într-un proces în trepte, ea îți dă numărul minim de pași necesari: dacă ținta este între a doua și a treia putere a factorului, doi pași nu ajung, iar trei sunt suficienți. Pentru o zecimală în plus ai nevoie de calculator, cu tasta de logaritm, pe care o vei folosi în lecțiile următoare.

8. Ce lăsăm pentru clasa a X-a?

Unii logaritmi au valori fracționare, de exemplu logaritmul în baza nouă din trei. Pentru a-i calcula ai nevoie de puteri cu exponent rațional, care se studiază în clasa a X-a, așa că în această lecție valorile exacte sunt numere întregi, iar celelalte se încadrează. Tot în clasa a X-a se învață proprietățile de calcul ale logaritmilor, schimbarea bazei și ecuațiile logaritmice. Aici rămânem la definiție, la citirea pe grafic, la semn și la încadrare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trei logaritmi din definiție

Calculați $lo g_{6} 1296$ , $lo g_{12} \frac{1}{144}$ și $lo g_{15} 3375$ .

Rezolvare. Căutăm, pentru fiecare argument, puterea bazei egală cu el. Din $6^{4} = 1296$ rezultă $lo g_{6} 1296 = 4$ . Din $1 2^{2} = 144$ obținem $1 2^{- 2} = \frac{1}{144}$ , deci $lo g_{12} \frac{1}{144} = - 2$ . Din $1 5^{3} = 3375$ rezultă $lo g_{15} 3375 = 3$ .

Verificarea se face ridicând baza la rezultat: $6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 1296$ , iar $15 \cdot 15 \cdot 15 = 3375$ . Valoarea negativă nu este o problemă: argumentul este subunitar, iar baza este supraunitară.

Când argumentul este mare, merită să urci pe rând prin puterile bazei, fără să ghicești exponentul. Pentru baza șase: $36$ , apoi $216$ , apoi $1296$ . Numărul de pași este chiar logaritmul. Dacă ai trecut de argument fără să-l atingi, argumentul nu este o putere a bazei, iar valoarea se încadrează.

Exemplul 2 — Citește logaritmii pe graficul lui 4 la x

Figura B arată graficul funcției $g (x) = 4^{x}$ , punctul $P (- 2; \frac{1}{16})$ de pe grafic și dreptele $y = 10$ și $y = - 3$ . Ce spune figura despre $lo g_{4} \frac{1}{16}$ , $lo g_{4} 10$ și $lo g_{4} (- 3)$ ?

Rezolvare. Punctul $P$ arată că exponentul $- 2$ produce $\frac{1}{16}$ , deci $lo g_{4} \frac{1}{16} = - 2$ ; verificare: $4^{- 2} = \frac{1}{16}$ . Dreapta $y = 10$ taie graficul între abscisele $1$ și $2$ , pentru că $4^{1} = 4 < 10 < 16 = 4^{2}$ ; prin urmare $1 < lo g_{4} 10 < 2$ .

Dreapta $y = - 3$ nu întâlnește graficul, care este în întregime deasupra axei $O x$ . Nu există exponent care să producă un număr negativ, deci $lo g_{4} (- 3)$ nu are sens.

Observă că punctul $P$ este foarte aproape de axa $O x$ : pe desen, ordonata lui abia se deosebește de zero. De aceea valoarea exactă se ia din coordonatele scrise lângă punct, nu din măsurarea cu rigla. Graficul spune unde se află logaritmul; coordonatele exacte spun cât este.

Exemplul 3 — Semnul fără calcul

Stabiliți semnul numerelor $lo g_{13} 0, 4$ , $lo g_{\frac{1}{5}} 7$ , $lo g_{\frac{1}{6}} \frac{1}{20}$ și $lo g_{9} 2$ , fără să le calculați.

Rezolvare. Comparăm cu unu baza și argumentul. La $lo g_{13} 0, 4$ baza este peste unu, argumentul sub unu: sunt de părți diferite, deci logaritmul este negativ. La $lo g_{\frac{1}{5}} 7$ baza este sub unu, argumentul peste unu: tot de părți diferite, deci negativ.

La $lo g_{\frac{1}{6}} \frac{1}{20}$ ambele sunt sub unu, deci logaritmul este pozitiv. La $lo g_{9} 2$ ambele sunt peste unu, deci și el este pozitiv. Niciunul nu este zero, pentru că niciun argument nu este egal cu unu.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev scrie două afirmații. Prima: logaritmul în baza trei din minus douăzeci și șapte este minus trei, pentru că $(- 3)^{3} = - 27$ . A doua: logaritmul în baza $\frac{1}{6}$ din $216$ este trei, pentru că $6^{3} = 216$ . Găsiți greșelile și corectați.

Rezolvare. Prima scriere are argumentul negativ, așa că expresia $lo g_{3} (- 27)$ nu are sens. În plus, elevul a schimbat baza din trei în minus trei, iar bazele negative nu sunt permise. Egalitatea $(- 3)^{3} = - 27$ este adevărată, dar nu spune nimic despre un logaritm.

A doua scriere schimbă baza $\frac{1}{6}$ cu baza $6$ . Corect căutăm exponentul pentru care $(\frac{1}{6})^{c} = 216$ . Cum $(\frac{1}{6})^{- 3} = 6^{3} = 216$ , valoarea este $lo g_{\frac{1}{6}} 216 = - 3$ . Argumentul este peste unu, iar baza sub unu, deci semnul negativ era de așteptat.

Ambele greșeli au aceeași rădăcină: elevul a găsit o putere adevărată și a presupus că ea răspunde întrebării. Controlul corect se face în trei pași: verifici condițiile, scrii puterea cu baza exactă din logaritm și abia apoi citești exponentul.

Exemplul 5 — Treptele unui fotomultiplicator

Un fotomultiplicator transformă lumina foarte slabă, până la un singur foton, într-un semnal electric care se poate măsura. Fotonul smulge un electron, iar electronul este accelerat spre o serie de electrozi numiți dinode. La fiecare dinodă, fiecare electron care o lovește eliberează în medie patru electroni noi. a) După câte dinode un singur electron devine $65536$ de electroni? b) Aparatul are nevoie de cel puțin un milion de electroni pentru fiecare foton. Care este cel mai mic număr de dinode care asigură acest lucru?

Rezolvare. a) După $n$ dinode sunt $4^{n}$ electroni. Căutăm $n$ cu $4^{n} = 65536$ , adică $n = lo g_{4} 65536$ . Urcăm prin puterile lui patru: $4^{4} = 256$ , $4^{6} = 4096$ , $4^{8} = 65536$ , deci $lo g_{4} 65536 = 8$ : sunt necesare opt dinode.

b) Un milion nu este o putere a lui patru, așa că încadrăm: $4^{9} = 262144 < 1000000 < 1048576 = 4^{10}$ . Prin urmare $9 < lo g_{4} 1 0^{6} < 10$ . Nouă dinode nu ajung, iar zece dau puțin peste un milion de electroni: răspunsul este zece dinode.

Numărul de dinode este natural, ca în orice proces în trepte, de aceea din încadrare se păstrează capătul de sus. Tuburile reale au, de obicei, între opt și douăsprezece dinode, iar factorul fiecărei trepte depinde de tensiunea aplicată; modelul presupune un factor constant, egal cu patru.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Arătați că $lo g_{5} 625 + lo g_{\frac{1}{2}} 32 = - 1$ .

Rezolvare. Din $5^{4} = 625$ rezultă $lo g_{5} 625 = 4$ . Pentru al doilea termen căutăm $c$ cu $(\frac{1}{2})^{c} = 32$ ; cum $(\frac{1}{2})^{- 5} = 2^{5} = 32$ , avem $lo g_{\frac{1}{2}} 32 = - 5$ .

Suma este $4 + (- 5) = - 1$ . Enunțul este un antrenament propriu, în stilul cerințelor scurte de calcul, nu un subiect oficial.

Să exersăm

La fiecare valoare, scrie puterea din care o deduci. Dacă o expresie nu are sens, spune care condiție nu este îndeplinită.

1. Calculează $lo g_{9} 729$ , $lo g_{14} 196$ și $lo g_{20} 8000$ .

2. Completează tabelul, pe fiecare rând, cu scrierea care lipsește.

Putere	Logaritm
$(\frac{3}{2})^{4} = \frac{81}{16}$	?
$1 2^{3} = 1728$	?
?	$lo g_{\frac{1}{3}} 27 = - 3$
?	$lo g_{0, 9} 0, 81 = 2$

3. Se știe că $1, 5^{2} = 2, 25$ , $1, 5^{3} = 3, 375$ , $1, 5^{4} = 5, 0625$ și $1, 5^{5} = 7, 59375$ . Calculează exact $lo g_{1, 5} 3, 375$ , apoi încadrează $lo g_{1, 5} 5$ și $lo g_{1, 5} 7$ între doi întregi consecutivi.

4. Graficul funcției $g (x) = a^{x}$ , cu $a > 0$ și $a \neq = 1$ , trece prin punctul $P (2; 169)$ . Află baza $a$ , apoi calculează $lo g_{a} 2197$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Numărul $lo g_{0, 5} 64$ este mai mic decât $- 5$ .

6. Care dintre expresiile $lo g_{8} \frac{1}{512}$ , $lo g_{- 3} 9$ , $lo g_{20} (- 400)$ și $lo g_{\frac{1}{9}} 81$ au sens? Calculează-le pe acestea.

7. Compară $lo g_{7} 2401$ cu $lo g_{49} 2401$ și explică de ce același argument dă valori diferite.

8. Încadrează între doi întregi consecutivi: $lo g_{5} 70$ , $lo g_{2} 70$ și $lo g_{\frac{1}{2}} 10$ .

9. Figura C arată graficul funcției $h (x) = (\frac{4}{3})^{x}$ și punctele de abscise $- 2$ , $2$ și $3$ . Citește $lo g_{\frac{4}{3}} \frac{16}{9}$ și $lo g_{\frac{4}{3}} \frac{9}{16}$ , apoi încadrează $lo g_{\frac{4}{3}} 2$ între doi întregi consecutivi.

10. (Problemă aplicată.) Zoomul digital al unui microscop triplează imaginea la fiecare apăsare. De câte apăsări este nevoie pentru o mărire de $729$ de ori? Care este cel mai mic număr de apăsări pentru o mărire de peste $2000$ de ori?

11. Calculează $lo g_{16} 256 + lo g_{\frac{1}{10}} 1000 - lo g_{9} \frac{1}{81}$ .

12. Pentru egalitatea $1 2^{4} = 20736$ formulează cele trei întrebări posibile, cu necunoscuta pe rând în locul exponentului, al bazei și al rezultatului. Spune care dintre ele se rezolvă cu un logaritm și scrie acel logaritm cu valoarea lui.

13. Determină baza $m$ în fiecare caz: a) $lo g_{m} \frac{1}{1000} = - 3$ ; b) $lo g_{m} \frac{9}{25} = 2$ .

14. Încadrează $lo g_{0, 2} 0, 01$ între doi întregi consecutivi.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați numărul real pozitiv $x$ pentru care $lo g_{7} x = 3$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculați $lo g_{\frac{1}{18}} 324$ .

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $2^{l o g_{2} 11} - lo g_{3} \frac{1}{27} = 14$ .

18. (Provocare.) Găsește toate numerele naturale $a \geq 2$ pentru care $lo g_{a} 4096$ este număr natural. Pentru fiecare, scrie valoarea logaritmului.

Răspunsuri și explicații

1. $lo g_{9} 729 = 3$ , pentru că $9^{3} = 729$ ; $lo g_{14} 196 = 2$ , pentru că $1 4^{2} = 196$ ; $lo g_{20} 8000 = 3$ , pentru că $2 0^{3} = 8000$ .

2. Rândurile completate: $lo g_{\frac{3}{2}} \frac{81}{16} = 4$ ; $lo g_{12} 1728 = 3$ ; $(\frac{1}{3})^{- 3} = 27$ ; $0, 9^{2} = 0, 81$ . Controlul pe rândul al treilea: $(\frac{1}{3})^{- 3} = 3^{3} = 27$ , iar semnul minus se potrivește cu o bază subunitară și un argument peste unu.

3. Din $1, 5^{3} = 3, 375$ rezultă $lo g_{1, 5} 3, 375 = 3$ . Cum $1, 5^{3} = 3, 375 < 5 < 5, 0625 = 1, 5^{4}$ , avem $3 < lo g_{1, 5} 5 < 4$ ; cum $1, 5^{4} = 5, 0625 < 7 < 7, 59375 = 1, 5^{5}$ , avem $4 < lo g_{1, 5} 7 < 5$ . Observă că $lo g_{1, 5} 5$ este foarte aproape de $4$ , pentru că $5$ este foarte aproape de $5, 0625$ .

4. Din $a^{2} = 169$ și $a > 0$ rezultă $a = 13$ . Apoi $lo g_{13} 2197 = 3$ , pentru că $1 3^{3} = 2197$ .

5. Adevărat. Semnul singur spune doar că numărul este negativ; pentru comparația cu $- 5$ trebuie calculat. Avem $0, 5^{- 6} = 2^{6} = 64$ , deci $lo g_{0, 5} 64 = - 6$ , iar $- 6 < - 5$ .

6. $lo g_{8} \frac{1}{512} = - 3$ , pentru că $8^{- 3} = \frac{1}{512}$ . Expresia $lo g_{- 3} 9$ nu are sens, baza fiind negativă. Expresia $lo g_{20} (- 400)$ nu are sens, argumentul fiind negativ. $lo g_{\frac{1}{9}} 81 = - 2$ , pentru că $(\frac{1}{9})^{- 2} = 81$ .

7. $lo g_{7} 2401 = 4$ , pentru că $7^{4} = 2401$ , iar $lo g_{49} 2401 = 2$ , pentru că $4 9^{2} = 2401$ . Baza mai mare ajunge la același argument cu un exponent mai mic, deci primul logaritm este mai mare.

8. $2 < lo g_{5} 70 < 3$ , din $5^{2} = 25 < 70 < 125 = 5^{3}$ . $6 < lo g_{2} 70 < 7$ , din $2^{6} = 64 < 70 < 128 = 2^{7}$ . $- 4 < lo g_{\frac{1}{2}} 10 < - 3$ , din $(\frac{1}{2})^{- 3} = 8 < 10 < 16 = (\frac{1}{2})^{- 4}$ .

9. Punctul de abscisă $2$ are ordonata $\frac{16}{9}$ , deci $lo g_{\frac{4}{3}} \frac{16}{9} = 2$ ; punctul de abscisă $- 2$ are ordonata $\frac{9}{16}$ , deci $lo g_{\frac{4}{3}} \frac{9}{16} = - 2$ . Cum $\frac{16}{9} < 2 < \frac{64}{27}$ , adică ordonatele punctelor de abscise doi și trei, avem $2 < lo g_{\frac{4}{3}} 2 < 3$ .

10. După $n$ apăsări mărirea este $3^{n}$ . Pentru $729$ : $lo g_{3} 729 = 6$ , deci șase apăsări. Pentru peste două mii: $3^{6} = 729 < 2000 < 2187 = 3^{7}$ , deci $6 < lo g_{3} 2000 < 7$ și sunt necesare cel puțin șapte apăsări.

11. $lo g_{16} 256 = 2$ , $lo g_{\frac{1}{10}} 1000 = - 3$ și $lo g_{9} \frac{1}{81} = - 2$ . Expresia este $2 + (- 3) - (- 2) = 1$ .

12. „ $1 2^{x} = 20736$ ” cere exponentul: $x = lo g_{12} 20736 = 4$ . „ $b^{4} = 20736$ , cu $b > 0$ ” cere baza: $b = 12$ , un radical de ordinul patru. „ $1 2^{4} = r$ ” cere rezultatul: $r = 20736$ , o simplă putere. Numai prima întrebare este un logaritm.

13. a) $m^{- 3} = \frac{1}{1000}$ înseamnă $m^{3} = 1000$ , deci $m = 10$ . b) $m^{2} = \frac{9}{25}$ dă $m = \frac{3}{5}$ sau $m = - \frac{3}{5}$ ; baza trebuie să fie pozitivă, deci $m = \frac{3}{5}$ , care este și diferită de unu.

14. $2 < lo g_{0, 2} 0, 01 < 3$ . Puterile bazei sunt $0, 2^{2} = 0, 04$ și $0, 2^{3} = 0, 008$ , iar $0, 008 < 0, 01 < 0, 04$ . Valoarea este pozitivă, pentru că baza și argumentul sunt amândouă sub unu.

15. Din definiție, $x = 7^{3} = 343$ .

16. $lo g_{\frac{1}{18}} 324 = - 2$ , pentru că $(\frac{1}{18})^{- 2} = 1 8^{2} = 324$ .

17. $2^{l o g_{2} 11} = 11$ , iar $lo g_{3} \frac{1}{27} = - 3$ . Diferența este $11 - (- 3) = 14$ .

18. Cum $4096 = 2^{12}$ , bazele naturale sunt puterile lui doi cu exponentul divizor al lui doisprezece: $lo g_{2} 4096 = 12$ , $lo g_{4} 4096 = 6$ , $lo g_{8} 4096 = 4$ , $lo g_{16} 4096 = 3$ , $lo g_{64} 4096 = 2$ și $lo g_{4096} 4096 = 1$ .

De reținut

Logaritmul este un exponent: $lo g_{a} b = c$ înseamnă exact $a^{c} = b$ , cu $a > 0$ , $a \neq = 1$ și $b > 0$ .
La traducere, baza rămâne bază, exponentul devine valoarea logaritmului, iar rezultatul puterii devine argument.
Pe graficul lui $a^{x}$ , $lo g_{a} b$ este abscisa punctului de ordonată $b$ ; pentru $b \leq 0$ punctul nu există.
Logaritmul este pozitiv când baza și argumentul sunt de aceeași parte a lui unu și negativ când sunt de părți diferite.
Un logaritm care nu este întreg se încadrează între exponenții a două puteri consecutive ale bazei.

Greșeli frecvente

Citești pe grafic ordonata în loc de abscisă. Pe graficul exponențialei argumentul stă pe axa verticală, iar logaritmul pe cea orizontală. Coboară din punct pe axa $O x$ .
Aplici regula semnului de la baza supraunitară și la baza subunitară. Pentru o bază între zero și unu semnele se inversează. Compară întâi baza cu unu.
Accepți o bază negativă pentru că dă un rezultat frumos. O egalitate ca $(- 2)^{5} = - 32$ nu produce un logaritm. Baza are voie să fie doar un număr pozitiv, altul decât unu.
Numeri puterile scrise în loc de pași. Pentru $lo g_{2} 256$ scrii șirul $1, 2, 4, \dots, 256$ , adică nouă numere, dar au trecut opt pași: primul număr, $2^{0} = 1$ , nu este un pas. Numără înmulțirile, nu termenii.
Încadrezi între puteri în loc de exponenți. A pune numerele nouă și douăzeci și șapte drept capete pentru $lo g_{3} 15$ este greșit. Între puteri stă argumentul, între exponenți stă logaritmul.

Aplică acasă

Într-o aplicație de grafice, trasează $y = 2^{x}$ și o dreaptă orizontală $y = b$ cu glisor. Mută glisorul la $b = 3$ , $b = 5$ , $b = 12$ și $b = 0, 3$ și notează abscisele punctelor de intersecție. Verifică fiecare citire încadrând logaritmul între doi întregi.
Deschide modul manual al camerei telefonului și notează valorile de sensibilitate ISO pe care le oferă, de la cea mai mică la cea mai mare. Fiecare treaptă întreagă dublează sensibilitatea. Scrie, ca logaritm în baza doi, câte trepte întregi despart valoarea minimă de cea maximă; calculează-l exact dacă raportul este o putere a lui doi, altfel încadrează-l între doi întregi consecutivi.
Caută în manualul de biologie sau de fizică o mărime care se dublează ori se înjumătățește în pași egali. Formulează o întrebare „după câți pași?” și scrie răspunsul ca logaritm, cu baza și argumentul potrivite.

Pentru părinți și profesori

Lecția definește logaritmul ca exponent și îl leagă imediat de graficul exponențialei: logaritmul este abscisa punctului de pe grafic cu o ordonată dată. Această lectură face vizibile condițiile de existență și semnul, fără reguli memorate. Valorile exacte sunt numere întregi, pentru că puterile cu exponent rațional aparțin clasei a X-a; celelalte valori se încadrează.

Merită insistat pe verificarea prin ridicare la putere și pe citirea în cuvinte a egalităților. Contextele alese, reacția PCR, fotomultiplicatorul, zoomul unui microscop, sunt procese în trepte, în care logaritmul numără pașii; ele pregătesc lecțiile despre funcția logaritmică și despre scările din științe.

Întrebări bune de control: „Ce înseamnă, în cuvinte, $lo g_{4} 65536$ pentru fotomultiplicator?”; „De ce nu există $lo g_{4} (- 3)$ ?”; „Fără calcul, ce semn are $lo g_{\frac{1}{6}} \frac{1}{20}$ ?”. Semnul că elevul a înțeles: verifică orice valoare prin ridicare la putere și încadrează corect un logaritm cu bază subunitară.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, care numește la unitatea de funcții „Funcția logaritmică (logaritmi, logaritm natural, logaritm zecimal)” și cere observarea proprietăților pe grafice; aceeași programă reia în clasa a X-a noțiunea de logaritm, proprietățile logaritmilor și ecuațiile logaritmice. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care conține „noțiunea de logaritm, proprietăți ale logaritmilor, calcule cu logaritmi” la materia clasei a X-a. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I conține ecuația $lo g_{4} (x^{2} + 4) = lo g_{4} x + lo g_{4} 5$ , care cere proprietăți din clasa a X-a; exercițiile marcate aici sunt antrenamente proprii, limitate la definiție.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: logaritmul ca răspuns la întrebarea „la ce putere?”. Lecția precedentă a traseului este numărul e și exponențiala naturală, iar recapitularea unității se face cu testul M2 de funcții și lecturi grafice.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre logaritm?

Aici logaritmul se citește și pe graficul exponențialei, ca abscisă a unui punct, iar exemplele vin din laborator: reacția PCR, fotomultiplicatorul, microscopul. Valorile exacte sunt doar întregi, pentru că exponenții raționali sunt la clasa a X-a. Varianta M1 calculează și logaritmi cu valori fracționare și anunță proprietățile de calcul, pe care lecția de față nu le folosește.

La ce subiect al Bacalaureatului M2 apar logaritmii?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține noțiunea de logaritm și calculele cu logaritmi, la materia clasei a X-a. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I are o ecuație logaritmică, rezolvată cu proprietățile logaritmilor. Pentru MAT_P2 din 2030, logaritmii apar în domeniul „Algebră”, la funcția logaritmică. Definiția de azi este primul pas.

De ce nu calculăm aici logaritmul în baza nouă din trei?

Pentru că răspunsul este o fracție: ar trebui să știi ce înseamnă nouă la puterea o doime. Puterile cu exponent rațional se studiază în clasa a X-a. Până atunci poți spune că valoarea este între zero și unu, pentru că trei este între nouă la puterea zero și nouă la puterea întâi.

Cum găsesc un logaritm pe un grafic?

Iei graficul exponențialei cu aceeași bază, tragi dreapta orizontală la înălțimea argumentului și cobori din punctul de intersecție pe axa orizontală. Abscisa citită este logaritmul. Dacă dreapta nu întâlnește graficul, argumentul nu este pozitiv și logaritmul nu are sens. Precizia depinde de gradațiile desenului.

Ce fac dacă necunoscuta este chiar baza?

Treci la forma cu putere și rezolvi ecuația obținută, apoi verifici condițiile bazei. Din $lo g_{m} 49 = 2$ obții $m^{2} = 49$ , cu soluțiile șapte și minus șapte. Rămâne numai șapte, pentru că baza are voie să fie doar un număr pozitiv, altul decât unu. Verificarea finală este esențială.

Pot încadra la fel un logaritm cu bază subunitară?

Da, cu o singură schimbare. Cauți tot două puteri consecutive ale bazei între care stă argumentul, dar exponențiala cu bază subunitară este descrescătoare. De aceea puterii mai mari îi corespunde exponentul mai mic, iar capetele încadrării se așază invers decât la o bază supraunitară.