Funcția tangentă pe [0, 2π] și domeniul ei (M2, științe ale naturii)

Pe un plan înclinat reglabil, un corp împins ușor se oprește repede cât timp planul e aproape orizontal; la o anumită înclinare, același impuls mic îl face să coboare cu viteză constantă. Fizicianul citește din acel unghi o mărime a materialelor, coeficientul de frecare la alunecare, calculând un singur număr: tangenta unghiului. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), studiem funcția tangentă pe intervalul $[0,2\pi ]$, exact cum o cere programa. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține tangenta în capitolul de trigonometrie; în modelul oficial 2026, cerința de trigonometrie stă la Subiectul I și nu privește tangenta.

Lecția se sprijină pe valorile lui sin și cos pentru unghiurile de bază și pe panta unei drepte din geometria analitică. Vom vedea că tangenta nu este o noțiune nouă, ci o pantă citită pe cercul trigonometric. Tot aici stabilim unde nu există, desenăm graficul pe $[0,2\pi ]$ cu un instrument digital și o folosim într-un model din fizică.

Ce vei învăța

• Vei defini tangenta ca raport între sinus și cosinus și vei spune de ce raportul nu are sens în două puncte ale intervalului $[0,2\pi ]$.
• Vei recunoaște tangenta ca pantă a dreptei care unește originea cu punctul de pe cerc.
• Vei calcula tangenta în $0$, $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{3}$, $\pi$ și $2\pi$, fără calculator.
• Vei citi graficul tangentei pe $[0,2\pi ]$, construit digital: bucățile lui, zerourile și comportarea lângă valorile interzise.
• Vei folosi tangenta într-un model de fizică, coeficientul de frecare la alunecarea uniformă, cu intervalul de valabilitate.
• Vei explica de ce un calculator poate afișa un număr uriaș acolo unde tangenta nu există.

Hai să descoperim împreună

1. Ce raport numim tangentă?

În gimnaziu, tangenta unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic era raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată. Pe cercul trigonometric, cateta opusă unghiului de la centru este ordonata punctului, iar cea alăturată este abscisa. Rămâne un raport de coordonate, care se poate scrie pentru orice punct al cercului care nu stă pe axa verticală.

Tangenta este raportul $\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}$, definit pentru acele numere $t\in [0,2\pi ]$ la care $\cos t\ne 0$. Funcția tangentă asociază fiecărui astfel de număr valoarea raportului. Notația românească este $\mathrm{tg}$; pe calculatoare și în manualele străine apare scrierea tan.

Ordinea contează: sinusul stă la numărător. Raportul inversat ar fi altă funcție, care nu face parte din programa clasei a IX-a de științe. Dacă ai o îndoială, amintește-ți triunghiul: cateta opusă, adică înălțimea punctului, se împarte la cateta alăturată, adică distanța pe orizontală.

De ce avem nevoie de o nouă funcție, dacă ea se obține din două pe care le știm? Pentru că multe mărimi din științe sunt rapoarte, nu coordonate: panta unei pante, raportul dintre două forțe perpendiculare, înclinarea unei raze de lumină față de o suprafață. Tangenta le măsoară direct, dintr-un singur număr, fără să mai treci prin ipotenuză.

Pentru un unghi ascuțit, definiția nouă dă același număr ca definiția din gimnaziu, pe care o găsești în lecția despre tangenta unui unghi ascuțit. Diferența este că acum putem vorbi și despre unghiuri mai mari decât unghiul drept.

2. De ce tangenta este o pantă?

Punctul $M(t)$ are coordonatele $(\cos t,\sin t)$, iar originea are coordonatele $(0,0)$. Panta dreptei $OM$, calculată ca în geometria analitică, este diferența ordonatelor împărțită la diferența absciselor: exact $\frac{\sin t}{\cos t}$. Așadar tangenta lui $t$ este panta dreptei care trece prin origine și prin punctul de pe cerc asociat lui $t$.

Legătura explică ambele cazuri. Dacă $\cos t\ne 0$, dreapta $OM$ este oblică sau orizontală și are o pantă reală; ecuația ei este $y=\mathrm{tg}t\cdot x$, după regula ecuației dreptei printr-un punct, cu panta dată. Dacă $\cos t=0$, punctul stă pe axa verticală, dreapta $OM$ este chiar axa $Oy$, iar o dreaptă verticală nu are pantă. Tangenta lipsește în exact aceleași situații în care lipsește panta.

În aplicații, legătura aceasta este cea mai folosită: o înclinare exprimată în procente, ca pe indicatoarele rutiere, este tangenta unghiului înmulțită cu o sută. Un unghi de $\frac{\pi }{4}$ corespunde unei pante de $100\%$, iar unghiurile mici au tangente mici, apropiate de măsura lor în radiani.

3. Unde se anulează cosinusul pe [0, 2π]?

Cosinusul este abscisa punctului de pe cerc, iar abscisa este zero numai pentru punctele de pe axa $Oy$. Cercul taie această axă în două puncte, $(0,1)$ și $(0,-1)$. Pe intervalul $[0,2\pi ]$, primul corespunde unui sfert de tură, $t=\frac{\pi }{2}$, iar al doilea corespunde la trei sferturi de tură, $t=\frac{3\pi }{2}$.

Domeniul funcției tangentă, în studiul din clasa a IX-a, este deci $D=[0,2\pi ]\setminus \{\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\}$. Toate celelalte numere din interval, inclusiv capetele $0$ și $2\pi$, au tangentă. Pentru a verifica dacă un număr aparține domeniului nu este nevoie să-i calculezi tangenta: ajunge să arăți că punctul lui nu stă pe axa verticală.

Un exemplu de raționament: numărul $\frac{11\pi }{8}$ aparține domeniului, fiindcă este cuprins strict între $\pi$ și $\frac{3\pi }{2}$, adică între $\frac{8\pi }{8}$ și $\frac{12\pi }{8}$, deci punctul lui se află în cadranul al treilea, departe de axa verticală. N-am calculat nicio valoare; am comparat numai numărul cu cele două valori interzise. Același test merge pentru orice număr dat ca fracție de $\pi$: aduci fracțiile la același numitor și vezi dacă numărul coincide cu una dintre ele.

Programa clasei a IX-a de științe cere studiul pe acest interval și nu mai departe. Numerele negative sau mai mari decât $2\pi$ au și ele puncte pe cerc, dar descrierea tangentei pentru toate numerele reale aparține unei clase următoare, când funcțiile trigonometrice se studiază pe toată axa. Aici ne limităm, conștient, la o singură tură.

4. Ce valori ia tangenta în punctele de bază?

Împărțim coordonatele din tabelul lecției precedente. Drumul pe un exemplu: pentru $\frac{\pi }{6}$, ordonata este $\frac{1}{2}$ și abscisa $\frac{\sqrt{3}}{2}$; numitorii egali se simplifică și rămâne $\frac{1}{\sqrt{3}}$, pe care îl scriem fără radical la numitor. Pentru $\frac{\pi }{4}$, coordonatele egale dau raportul $1$. Pentru $\frac{\pi }{3}$, raportul coordonatelor se inversează față de $\frac{\pi }{6}$.

În $0$, $\pi$ și $2\pi$, punctul stă pe axa orizontală, ordonata este zero, deci și raportul este zero; în $\pi$ numitorul este $-1$, iar $\frac{0}{-1}=0$. Pentru a scrie în ordine de mărime: $\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,577$ și $\sqrt{3}\approx 1,732$. Între $0$ și $\frac{\pi }{2}$ tangenta crește, iar valoarea $\sqrt{3}$ depășește deja $1$: tangenta nu este prinsă între $-1$ și $1$, ca sinusul și cosinusul.

Alte valori exacte, de pildă cele pentru unghiuri din cadranul al doilea, se obțin cu formulele pentru tangentă, într-o lecție ulterioară a unității. Aici calculăm numai ce se poate scoate direct din tabelul de bază.

5. Ce arată axa tangentelor?

Ducem dreapta verticală $x=1$, care atinge cercul în punctul $A(1,0)$. O numim axa tangentelor. Prelungim dreapta $OM$ până o intersectează: punctul de intersecție $T$ are ordonata egală cu $\mathrm{tg}t$. Pentru un unghi din primul cadran, triunghiul format de $O$, de proiecția lui $M$ pe axa orizontală și de $M$ este asemenea cu triunghiul $OAT$, iar raportul catetelor este același în ambele; latura $OA$ are lungimea $1$, deci $AT$ este chiar tangenta.

Pe această dreaptă se vede ce nu se vede în formulă. Punctul $T$ se poate afla oricât de sus sau oricât de jos pe dreaptă, așa că mulțimea valorilor tangentei nu are margini: oricât de mare sau de mic ar fi numărul ales, există pe cerc un punct a cărui tangentă este chiar acel număr. Când $t$ se apropie de $\frac{\pi }{2}$, dreapta $OM$ devine aproape verticală și o intersectează pe cea de ecuație $x=1$ tot mai sus. Pentru $t=\frac{\pi }{2}$ cele două drepte sunt paralele: nu există intersecție, deci nu există valoare.

Axa tangentelor mai lămurește un lucru: tangenta nu depinde de lungimea razei. Dacă pe raza $OM$ alegi orice alt punct în afara originii, raportul dintre ordonata și abscisa lui rămâne același, fiindcă toate punctele unei drepte prin origine au coordonatele proporționale. De aceea tangenta se poate citi pe cercul de rază $1$, pe o rază oarecare sau direct pe dreapta $x=1$.

Dacă $M$ trece de axa verticală și intră în cadranul al doilea, prelungirea dreptei $OM$ dincolo de origine lovește axa tangentelor sub axa orizontală, iar ordonata lui $T$ devine negativă. Semnul tangentei în fiecare cadran îl stabilim sistematic în lecția următoare, despre semnele funcțiilor trigonometrice.

6. Cum arată graficul pe [0, 2π]?

Programa cere ca graficul să fie construit cu un instrument digital. În GeoGebra sau Desmos scrii funcția $\mathrm{tg}x$ (acolo, tan(x)) și restrângi desenul la intervalul de la $0$ la $2\pi$. Pe ecran apar trei bucăți: una pe $[0,\frac{\pi }{2})$, una pe $(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})$ și una pe $(\frac{3\pi }{2},2\pi ]$. Pe fiecare bucată graficul urcă de la stânga la dreapta.

Bucata din mijloc trece prin punctul $(\pi ,0)$, iar celelalte două pornesc din $(0,0)$ și se termină în $(2\pi ,0)$. Lângă $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$, graficul se apropie de dreptele verticale corespunzătoare fără să le atingă. Un calcul digital arată cât de repede: $\mathrm{tg}1,45\approx 8,24$, $\mathrm{tg}1,52\approx 19,67$ și $\mathrm{tg}1,56\approx 92,62$, pe când imediat după $\frac{\pi }{2}\approx 1,571$ valorile sunt negative și mari în modul: $\mathrm{tg}1,58\approx -108,65$ și $\mathrm{tg}1,65\approx -12,60$.

Cum se citește un asemenea tabel de valori? Distanța dintre $1,56$ și $\frac{\pi }{2}$ este de circa o sutime, iar tangenta a ajuns deja la aproape o sută. Cu cât ne apropiem mai mult, cu atât valorile cresc mai repede, dar niciuna nu este „ultima”. Tocmai de aceea graficul nu se termină într-un punct, ci urcă de-a lungul dreptei verticale.

Consecința pentru citirea graficului: funcția crește pe fiecare bucată, dar nu crește pe tot domeniul, fiindcă după $\frac{\pi }{2}$ valorile sar de la numere foarte mari la numere foarte mici. O afirmație despre monotonie se face pe o bucată, niciodată peste o valoare interzisă. La fel, ecuația $\mathrm{tg}x=m$ are, pe $[0,2\pi ]$, câte o soluție pe fiecare bucată în care dreapta orizontală $y=m$ taie graficul.

7. La ce folosește tangenta în științe?

Pe un plan înclinat cu unghiul $\alpha$, greutatea unui corp are o componentă de-a lungul planului, proporțională cu $\sin \alpha$, și o componentă care apasă pe plan, proporțională cu $\cos \alpha$. Frecarea la alunecare este coeficientul de frecare $\mu$ înmulțit cu forța de apăsare. Corpul alunecă uniform, cu viteză constantă, când cele două forțe de-a lungul planului se echilibrează: $\sin \alpha =\mu \cos \alpha$.

Împărțind la $\cos \alpha$, care este pozitiv pentru unghiuri între $0$ și $\frac{\pi }{2}$, obținem $\mu =\mathrm{tg}\alpha$. Unghiul la care un corp pus în mișcare cu un impuls mic coboară uniform măsoară deci direct coeficientul de frecare la alunecare, un număr fără unitate. Un corp lăsat din repaus pornește singur abia la o înclinare puțin mai mare, fiindcă frecarea care îl ține pe loc, numită statică, poate depăși frecarea din timpul alunecării; acel unghi dă un alt coeficient, cel static. Modelul e valabil pentru unghiuri ascuțite, pentru un corp care alunecă fără să se rostogolească și pentru un coeficient constant pe suprafață.

Ce se întâmplă în afara acestui caz? Dacă unghiul este mai mic decât cel găsit, frecarea la alunecare învinge componenta greutății, iar corpul împins încetinește și se oprește; dacă este mai mare, corpul alunecă tot mai repede. Pentru unghiuri apropiate de $\frac{\pi }{2}$, tangenta devine foarte mare, iar modelul ar cere un coeficient de frecare pe care niciun material obișnuit nu îl are: planul e aproape vertical și corpul cade liber.

Aceeași funcție măsoară înclinarea unei rampe, a unui acoperiș sau a unui versant: raportul dintre urcarea pe verticală și înaintarea pe orizontală. Pentru comparații nu ai nevoie întotdeauna de unghi: pe $[0,\frac{\pi }{2})$ tangenta crește, deci o tangentă mai mare înseamnă un unghi mai mare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un produs care se simplifică

Calculează $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{3}$ și compară rezultatul cu $\sin \frac{\pi }{3}$.

Rezolvare. Avem $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$ și $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, deci produsul este $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Rezultatul coincide cu $\sin \frac{\pi }{3}$.

Verificarea pe cerc este imediată: punctul $M(\frac{\pi }{3})$ are abscisa $\frac{1}{2}$ și panta dreptei $OM$ egală cu $\sqrt{3}$, iar produsul lor dă înălțimea punctului.

Nu este o coincidență: pentru orice $t$ din domeniu, înmulțind raportul $\frac{\sin t}{\cos t}$ cu numitorul lui, rămâne numărătorul. Relația $\mathrm{tg}t\cdot \cos t=\sin t$ este utilă când se cunosc tangenta și cosinusul și se cere sinusul.

Exemplul 2 — Citește graficul

Privește graficul tangentei pe $[0,2\pi ]$ din secțiunea 6. Precizează numerele din interval în care funcția nu este definită, punctele în care graficul intersectează axa $Ox$ și spune dacă funcția este crescătoare pe tot domeniul.

Rezolvare. Graficul lipsește deasupra lui $\frac{\pi }{2}$ și a lui $\frac{3\pi }{2}$, unde apar dreptele verticale punctate; acolo funcția nu este definită. Axa $Ox$ este intersectată în trei puncte, de abscise $0$, $\pi$ și $2\pi$, fiindcă acolo sinusul se anulează.

Funcția nu este crescătoare pe tot domeniul: de exemplu $\frac{\pi }{3}<\pi$, dar $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}>0=\mathrm{tg}\pi$. Ea crește pe fiecare dintre cele trei bucăți, separat. Lectura grafică trebuie confirmată, ca aici, cu două valori exacte.

Exemplul 3 — Model: coeficientul de frecare

O cutie alunecă uniform pe o scândură înclinată cu $\frac{\pi }{6}$ față de orizontală. Folosind modelul $\mu =\mathrm{tg}\alpha$, calculează coeficientul de frecare, exact și cu două zecimale.

Rezolvare. $\mu =\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,58$. Coeficientul nu are unitate de măsură, fiind un raport de forțe.

O valoare de acest ordin arată o frecare mare între cele două suprafețe. Dacă scândura ar fi fost unsă, alunecarea uniformă ar fi apărut la un unghi mai mic, deci la o tangentă mai mică. Modelul presupune cutia rigidă și coeficientul constant.

Exemplul 4 — Tangenta ca pantă

Scrie ecuația dreptei care trece prin origine și prin punctul $M(\frac{\pi }{6})$ al cercului trigonometric, apoi verifică faptul că $M$ se află pe ea.

Rezolvare. Panta dreptei este $\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, iar dreapta trece prin origine, deci ecuația ei este $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$.

Ecuația nu are termen liber, pentru că dreapta trece prin origine; în ecuația generală a dreptei printr-un punct, punctul ales este chiar originea.

Punctul $M$ are coordonatele $(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$. Înlocuim abscisa: $\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, adică exact ordonata. Punctul verifică ecuația.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev pune calculatorul în modul radiani, tastează $3\cdot \pi ÷2$, apoi tangenta, și obține un număr cu șaptesprezece cifre. El scrie în caiet că tangenta lui $\frac{3\pi }{2}$ este un număr foarte mare. Unde greșește?

Rezolvare. Calculatorul nu lucrează cu numărul $\pi$, ci cu o aproximare a lui cu un număr finit de zecimale. Numărul introdus este deci foarte puțin diferit de $\frac{3\pi }{2}$, iar tangenta lui, calculată corect, este uriașă, pentru că punctul este foarte aproape de axa verticală.

Poți verifica singur fenomenul, apropiindu-te de $\frac{3\pi }{2}\approx 4,71239$ din stânga: $\mathrm{tg}4,71\approx 419$, $\mathrm{tg}4,712\approx 2571$ și $\mathrm{tg}4,7123\approx 11238$. Rezultatele cresc tot mai repede, iar calculatorul nu ajunge niciodată la „ultimul” număr. Dacă treci puțin de $\frac{3\pi }{2}$, semnul se schimbă: $\mathrm{tg}4,7124\approx -90747$.

Pentru $\frac{3\pi }{2}$ însuși, cosinusul este exact zero și raportul nu există. Răspunsul corect în caiet este „nu există”. Afișajul calculatorului arată ce se întâmplă lângă valoarea interzisă, nu în ea.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră $E(x)=\frac{\sin x}{\cos x}+\cos x$, pentru $x\in [0,2\pi ]\setminus \{\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\}$. a) Calculați $E(\frac{\pi }{3})$. b) Arătați că $E(\pi )=-1$. c) Explicați de ce expresia nu se poate calcula pentru $x=\frac{\pi }{2}$.

Rezolvare. a) Primul termen este $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$, iar al doilea $\frac{1}{2}$, deci $E(\frac{\pi }{3})=\sqrt{3}+\frac{1}{2}=\frac{2\sqrt{3}+1}{2}$.

b) $\frac{\sin \pi }{\cos \pi }+\cos \pi =\frac{0}{-1}+(-1)=-1$. c) Pentru $\frac{\pi }{2}$ cosinusul este zero, iar primul termen ar cere o împărțire la zero. Enunțul este un antrenament propriu, în stilul cerințelor scurte de la Subiectul I.

Să exersăm

Verifică întâi dacă numărul aparține domeniului. Scrie valorile exacte, apoi aproximarea, dacă este cerută. Toate unghiurile sunt în $[0,2\pi ]$.

1. Calculează $\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}+\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}$.

2. Care dintre numerele $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{7\pi }{6}$, $\frac{3\pi }{2}$, $\frac{5\pi }{3}$ aparțin domeniului $D$ al tangentei pe $[0,2\pi ]$?

3. Calculează $\mathrm{tg}2\pi \mathrm{tg}\frac{\pi }{4}+\mathrm{tg}0$.

4. Calculează $\frac{\mathrm{tg}\pi -\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}}{\cos \pi }$.

5. Dreapta $y=\sqrt{3}x$ trece prin origine și printr-un punct $M(t)$ al cercului trigonometric aflat în primul cadran. Află $t$ și verifică pe coordonatele lui $M$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}-\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}$.

7. Aparțin domeniului tangentei numerele $\frac{21\pi }{14}$ și $\frac{19\pi }{13}$? Justifică fără să calculezi tangenta.

8. (Problemă aplicată.) Pe o porțiune de drum, diferența de nivel este de $9$ m, iar deplasarea pe orizontală de $150$ m. Calculează tangenta unghiului de înclinare, exprimă panta în procente și spune dacă unghiul este mai mic decât $\frac{\pi }{6}$.

9. Calculează $2\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}-\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$, exact și cu trei zecimale.

10. Dreapta care trece prin origine și prin punctul $T(1,-1)$ al axei tangentelor intersectează cercul trigonometric în două puncte. În ce cadrane se află ele?

11. Folosind graficul tangentei pe $[0,2\pi ]$, stabilește câte soluții are ecuația $\mathrm{tg}x=2$ pe acest interval și pe ce bucăți ale graficului se află.

12. Numărul $1$, măsură în radiani, verifică $\frac{\pi }{4}<1<\frac{\pi }{3}$. Între ce valori exacte se află $\mathrm{tg}1$? Justifică.

13. Calculează ${\mathrm{tg}}^2\frac{\pi }{3}+{\mathrm{tg}}^2\frac{\pi }{4}$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculați $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}\cos 0-\sin \frac{\pi }{2}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=\sqrt{2}\sin \frac{\pi }{4}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați $x\in [0,\frac{\pi }{2})$ pentru care $\mathrm{tg}x\cdot \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

17. Ce pantă, exprimată în procente, corespunde unui unghi de înclinare de $\frac{\pi }{6}$? Dar unuia de $\frac{\pi }{3}$? Rotunjește la o zecimală și explică ce înseamnă o pantă mai mare de $100\%$.

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice $t\in (0,\frac{\pi }{2})$, are loc $\mathrm{tg}t>\sin t$.

Răspunsuri și explicații

1. $\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}+\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$. Am scris $\sqrt{3}$ ca $\frac{3\sqrt{3}}{3}$ înainte de adunare.

2. Aparțin domeniului $\frac{\pi }{6}$, $\pi$, $\frac{7\pi }{6}$ și $\frac{5\pi }{3}$. Numerele $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$ au punctele pe axa verticală: $\cos \frac{\pi }{2}=\cos \frac{3\pi }{2}=0$. Pentru $\frac{7\pi }{6}$ și $\frac{5\pi }{3}$ nu a fost nevoie de valoarea tangentei.

3. $\mathrm{tg}2\pi =0$ și $\mathrm{tg}0=0$, deci $\mathrm{tg}2\pi \mathrm{tg}\frac{\pi }{4}+\mathrm{tg}0=0\cdot 1+0=0$.

4. Numărătorul este $0-1=-1$, iar numitorul este $\cos \pi =-1$, deci $\frac{\mathrm{tg}\pi -\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}}{\cos \pi }=\frac{-1}{-1}=1$. Fără semnul numitorului ai fi obținut $-1$.

5. Panta dreptei este $\sqrt{3}$, deci $\mathrm{tg}t=\sqrt{3}$ cu $t$ în primul cadran: $t=\frac{\pi }{3}$. Punctul $M(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$ verifică ecuația: $\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

6. Fals. Membrul stâng este $\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1,155$, adică dublul lui $\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}\approx 0,577$. Argumentele diferă cu $\frac{\pi }{6}$, dar diferența tangentelor nu este tangenta acestei diferențe.

7. Simplificată cu $7$, fracția $\frac{21\pi }{14}$ este chiar $\frac{3\pi }{2}$: punctul ei este $(0,-1)$, pe axa verticală, deci numărul nu aparține domeniului. Pentru al doilea, $\frac{19}{13}=\frac{38}{26}$ este între $1$ și $\frac{3}{2}=\frac{39}{26}$, deci $\frac{19\pi }{13}$ este strict între $\pi$ și $\frac{3\pi }{2}$, în cadranul III, departe de axa verticală: aparține domeniului.

8. $\mathrm{tg}\alpha =\frac{9}{150}=0,06$, adică o pantă de $6\%$. Cum $0,06<\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,577$ și tangenta crește pe $[0,\frac{\pi }{2})$, unghiul este mai mic decât $\frac{\pi }{6}$.

9. $2\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}-\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=2\sqrt{3}-1\approx 2,464$. Rotunjirea se face la final: $2\cdot 1,7320\dots -1=2,4641\dots$

10. Dreapta are panta $-1$ și trece prin origine. Ea taie cercul într-un punct cu abscisa pozitivă și ordonata negativă, în cadranul IV, și în punctul diametral opus, cu abscisa negativă și ordonata pozitivă, în cadranul II.

11. Dreapta $y=2$ taie graficul de două ori: o dată pe bucata $[0,\frac{\pi }{2})$ și o dată pe bucata din mijloc, între $\pi$ și $\frac{3\pi }{2}$. Pe a treia bucată valorile sunt negative, deci nu există soluție acolo. Ecuația are două soluții.

12. Pe $[0,\frac{\pi }{2})$ tangenta crește, deci din $\frac{\pi }{4}<1<\frac{\pi }{3}$ rezultă $1<\mathrm{tg}1<\sqrt{3}$. Un calcul digital confirmă: $\mathrm{tg}1\approx 1,557$.

13. ${\mathrm{tg}}^2\frac{\pi }{3}+{\mathrm{tg}}^2\frac{\pi }{4}=3+1=4$.

14. $1\cdot 1-1=0$.

15. Membrul stâng este $1$, iar membrul drept este $\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{2}=1$, deci egalitatea are loc.

16. Pe $[0,\frac{\pi }{2})$ cosinusul nu se anulează, iar tangenta înmulțită cu cosinusul dă sinusul, deci ecuația devine $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Pe primul sfert de cerc, singurul număr cu această ordonată este $x=\frac{\pi }{4}$.

17. Panta în procente este tangenta înmulțită cu o sută: $100\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}\approx 57,7$, adică $57,7\%$, iar $100\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}\approx 173,2$, adică $173,2\%$. O pantă peste $100\%$ înseamnă o urcare mai mare decât înaintarea pe orizontală, deci un unghi mai mare decât $\frac{\pi }{4}$.

18. Pentru $t\in (0,\frac{\pi }{2})$ avem $\sin t>0$ și $0<\cos t<1$. Împărțind numărul pozitiv $\sin t$ la un număr pozitiv mai mic decât $1$, rezultatul crește: $\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}>\sin t$.

De reținut

• Tangenta este raportul $\frac{\sin t}{\cos t}$ și există pe $[0,2\pi ]$ peste tot, cu excepția lui $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$, unde cosinusul este zero.
• Tangenta lui $t$ este panta dreptei $OM$: dreapta verticală nu are pantă, iar punctele de pe axa $Oy$ nu au tangentă.
• Valorile exacte fără alte formule: $0$ în $0$, $\pi$ și $2\pi$; $\frac{\sqrt{3}}{3}$ în $\frac{\pi }{6}$; $1$ în $\frac{\pi }{4}$; $\sqrt{3}$ în $\frac{\pi }{3}$.
• Graficul pe $[0,2\pi ]$ are trei bucăți, fiecare crescătoare; lângă valorile interzise valorile cresc sau scad fără limită.
• La alunecarea uniformă pe un plan înclinat, coeficientul de frecare este tangenta unghiului, pentru unghiuri ascuțite.

Greșeli frecvente

• Monotonia afirmată peste o valoare interzisă. Funcția crește pe fiecare bucată, dar $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}>\mathrm{tg}\pi$; nu scrie „crescătoare pe $[0,2\pi ]$”.
• Capetele intervalului excluse din greșeală. $0$ și $2\pi$ aparțin domeniului; numai $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$ se scot.
• Domeniul verificat după sinus. În $0$, $\pi$ și $2\pi$ sinusul este zero, dar asta face tangenta zero, nu o interzice; din domeniu se scot numai punctele cu cosinusul zero.
• Semnul numitorului uitat în $\pi$. În $\frac{0}{-1}$ rezultatul este $0$, dar în alte calcule cu $\cos \pi =-1$ semnul minus schimbă totul; scrie numitorul explicit.
• Panta confundată cu unghiul. O pantă de $100\%$ înseamnă tangenta $1$, adică $\frac{\pi }{4}$, nu un unghi drept.

Aplică acasă

1. Măsoară frecarea cu o carte. Pune o gumă pe o carte cu coperta netedă, ridică puțin coperta și dă-i gumei un bobârnac ușor. Caută înclinarea la care guma, odată pornită, coboară cu viteză aproape constantă; măsoară atunci înălțimea capătului ridicat și lungimea bazei. Raportul lor estimează coeficientul de frecare la alunecare. Observă și că, fără bobârnac, guma pornește singură abia la o înclinare puțin mai mare.
2. Citește abscisa pe graficul digital. În GeoGebra, construiește $\mathrm{tg}x$ doar pe $[0,2\pi ]$ și trasează pe rând dreptele $y=1$, $y=3$, $y=10$ și $y=30$. Notează abscisa punctului de intersecție de pe prima bucată și compară-o cu $\frac{\pi }{2}\approx 1,571$. Explică de ce abscisele se înghesuie lângă $\frac{\pi }{2}$, fără să ajungă la el.
3. Unghiul unei grămezi. Toarnă încet pe o farfurie orez, apoi zahăr sau nisip uscat, până se formează câte un con care nu mai devine mai abrupt. Măsoară înălțimea conului și raza bazei; raportul lor este tangenta unghiului de înclinare a peretelui, numit unghi de taluz. Compară materialele între ele și cu valorile $\frac{\sqrt{3}}{3}$ și $1$.

Pentru părinți și profesori

Lecția leagă tangenta de noțiunea de pantă din geometria analitică, deja studiată la clasă, și o limitează la intervalul $[0,2\pi ]$, conform programei de științe. Merită verificat că elevul scoate cele două valori interzise din poziția punctului pe cerc, nu dintr-o listă, și că distinge lectura grafică (trei bucăți crescătoare) de afirmația falsă „tangenta e crescătoare”. Exemplul 5, cu calculatorul lângă $\frac{3\pi }{2}$, arată de ce un afișaj nu ține loc de definiție: un număr uriaș pe ecran nu înseamnă că tangenta există. O întrebare utilă la sfârșitul orei: „Pentru ce valori din $[0,2\pi ]$ nu poți calcula tangenta și de ce?”; un răspuns complet menționează axa verticală, cosinusul nul și dreapta verticală fără pantă. Un răspuns incomplet se oprește la „așa e în tabel”.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027: la IX.7, programa cere studiul funcției tangentă pe intervalul $[0,2\pi ]$ fără $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$, iar graficul se reprezintă cu instrumente digitale. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 (programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a căror programă de examen (OMEN 4430/2014) conține definirea funcțiilor trigonometrice, inclusiv a tangentei pe toată axa reală, pe care lecția de bază a clasei a IX-a de științe nu o anticipează. Modelul oficial 2026 are trigonometrie la Subiectul I, cerința 6, fără tangentă. Numărul de trei ore pe săptămână vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: funcția tangentă și domeniul ei tratează și alte aspecte. În traseul de științe urmează semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane, iar pentru antrenament există testul M2 de trigonometrie și aplicații în geometrie.

Întrebări frecvente

Ce studiez la M2 despre tangentă, față de lecția de mate-info (M1)?

La științe ale naturii, programa clasei a IX-a cere tangenta pe un singur interval, de la $0$ la $2\pi$, cu cele două valori interzise, plus graficul realizat digital. Lecția de aici insistă pe legătura cu panta și pe un model de fizică. Pagina de mate-info e o lectură suplimentară, cu alt parcurs; nu trebuie să alegi din ea ce se cere.

La ce subiect apare tangenta la bacalaureatul M2?

În modelul oficial M_șt-nat 2026, trigonometria apare la Subiectul I, iar cerința 6 este un triunghi dreptunghic cu un unghi de $\frac{\pi }{6}$, fără tangentă. Programa de examen conține însă tangenta, iar calculul valorilor ei și verificarea domeniului sunt pregătirea firească pentru o asemenea cerință. Un singur model nu spune cât de des apare.

De ce $0$ și $2\pi$ aparțin domeniului, deși sunt capetele intervalului?

Pentru că la ambele punctul de pe cerc este $A(1,0)$, cu abscisa $1$, deci numitorul raportului este nenul. Tangenta există și este zero. Capetele unui interval nu se exclud automat; se exclud doar numerele la care o operație nu are sens. Pe grafic, prima bucată pornește cu un punct plin în origine, iar ultima se oprește cu un punct plin în $(2\pi ,0)$.

Pot spune că tangenta este crescătoare?

Doar pe fiecare bucată a domeniului, separat: pe $[0,\frac{\pi }{2})$, pe $(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})$ și pe $(\frac{3\pi }{2},2\pi ]$. Pe tot domeniul afirmația e falsă, fiindcă după $\frac{\pi }{2}$ valorile coboară brusc. Un contraexemplu cu două valori exacte, cum ar fi $\frac{\pi }{3}$ și $\pi$, este suficient ca să o respingi.

Cum desenez corect graficul tangentei în GeoGebra?

Scrii funcția cu restricția la interval, de exemplu Funcție(tan(x), 0, 2π), sau folosești comanda echivalentă a programului tău. Unele programe unesc greșit bucățile cu o linie verticală; aceea nu face parte din grafic. Verifică apoi trei puncte cunoscute: originea, punctul de abscisă $\pi$ și punctul de abscisă $\frac{\pi }{4}$, unde valoarea este $1$.

Cum aleg fereastra verticală când desenez graficul digital?

Alege un interval simetric, de exemplu de la $-5$ la $5$, suficient ca să se vadă cum urcă fiecare bucată, dar nu atât de mare încât valorile mici să se turtească pe axă. Programul nu poate desena valorile foarte mari de lângă $\frac{\pi }{2}$, deci fereastra arată doar o porțiune din fiecare bucată. Spune acest lucru când descrii graficul.