Reprezentarea grafică: schema în șapte pași (M2, științe ale naturii)

Ai adunat, până acum, toate piesele: domeniul, limitele, asimptotele, semnul derivatei întâi, semnul derivatei a doua și tabelul care le strânge pe toate. Mai rămâne desenul. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), pasul acesta închide studiul unei funcții, iar la bacalaureatul M2 el apare la Subiectul al III-lea, unde cerințele despre asimptote, monotonie și valori extreme sunt exact citirile care se fac pe un grafic. Lecția de astăzi nu reia niciun calcul învățat; ea așază calculele într-o ordine și le transformă într-o imagine.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: reprezentarea grafică a funcțiilor este cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși programa nouă a clasei a XI-a se oprește la tabelul de variație și nu mai cere trasarea propriu-zisă. Tot ce ai nevoie este însă în programa nouă — asimptotele, monotonia, extremele, convexitatea, tabelul —, așa că lecția adaugă un singur lucru: creionul.

Ce vei învăța

• Vei ști să parcurgi, în ordine, cei șapte pași ai reprezentării grafice, fără să sari peste vreunul și fără să reiei calcule deja făcute.
• Vei ști să determini punctele de reper ale unei curbe: intersecțiile cu axele, extremele, inflexiunile, și să le scrii ca perechi de coordonate.
• Vei ști să desenezi asimptotele înaintea curbei și să le scrii ecuațiile pe desen.
• Vei ști să traduci fiecare celulă a tabelului de variație în una dintre cele patru forme de arc și să nu le încurci între ele.
• Vei ști să alegi o scară potrivită pe cele două axe atunci când valorile funcției sunt mult mai mari decât abscisele.
• Vei ști să treci graficul terminat prin trei controale care prind aproape toate greșelile de desen.

Hai să descoperim împreună

1. Ce arată un desen și nu arată un tabel?

Reprezentarea grafică a unei funcții este desenul mulțimii punctelor de coordonate $(x,f(x))$, cu $x$ parcurgând domeniul, făcut astfel încât să respecte toate informațiile din tabelul de variație: poziția punctelor marcate, sensul de creștere pe fiecare interval, curbura și apropierea de asimptote.

Un tabel îți spune adevărul pe bucăți: aici crește, dincolo scade, în punctul acesta are un maxim. Desenul le pune pe toate deodată și răspunde în două secunde la întrebări care, pe tabel, cer citire atentă: de câte ori taie curba o orizontală? pe ce interval stă funcția deasupra axei? Pentru un elev de la științe ale naturii câștigul se simte imediat, fiindcă așa arată graficele din laborator — curbe de calibrare, de creștere, de răcire.

Desenul are și un al doilea rol: este o probă. Dacă arcul cerut de tabel nu se poate trasa, atunci tabelul e greșit — multe erori de semn ies la iveală abia la creion.

2. Care sunt cei șapte pași?

Schema de mai jos se numește, în tot restul unității, schema în șapte pași și se citează prin numărul pasului:

1. Domeniul și punctele de reper: scrii $D$ ca reuniune de intervale, apoi afli intersecțiile cu axele — rezolvi $f(x)=0$ pentru axa $Ox$ și calculezi $f(0)$ pentru axa $Oy$, dacă $0\in D$.
2. Capetele domeniului: calculezi limitele la fiecare capăt și scrii asimptotele care rezultă, cu ecuațiile lor, folosind schema din lecția despre asimptotele verticale și orizontale și pe cea despre asimptota oblică.
3. Semnul lui $f^{\prime }$: aduci, din lecția despre monotonia citită din semnul derivatei și din cea despre punctele critice și punctele de extrem, intervalele de monotonie și extremele.
4. Semnul lui $f^{\prime \prime }$: aduci, la fel, curbura și inflexiunile din lecțiile despre convexitate și concavitate și despre punctele de inflexiune.
5. Tabelul de variație, scris în formatul fixat de lecția despre tabelul de variație, cap-coadă: rândurile $x$, $f^{\prime }$, $f^{\prime \prime }$, $f$, cu bară la punctele excluse.
6. Harta punctelor: scrii lista perechilor de coordonate care vor fi marcate cu creionul — intersecțiile cu axele, extremele, inflexiunile, plus un punct de control dacă desenul e sărac.
7. Trasarea: desenezi reperul și asimptotele punctat, marchezi punctele din listă, unești prin arce care respectă săgețile și simbolurile de curbură, apoi treci graficul prin cele trei controale de la §7.

Pașii 3, 4 și 5 sunt împrumutați: ei aparțin lecțiilor de studiu al funcțiilor cu derivate, iar aici doar se folosesc. Pașii care aparțin lecției de față sunt 1 (partea cu intersecțiile), 6 și 7. Numerotarea de aici e a reprezentării grafice; lecția despre tabelul de variație își numără separat cei șase pași ai completării, strânși aici în pasul 5.

3. Cum se găsesc punctele de reper?

Intersecțiile cu axele ancorează curba în plan. Fără ele, un desen poate avea forma corectă și poziția greșită.

Pentru axa $Ox$ rezolvi ecuația $f(x)=0$ pe domeniul funcției. La o funcție rațională, ea se reduce la anularea numărătorului, cu numitorul nenul. Dacă ecuația nu are soluții reale, scrii explicit „graficul nu taie axa $Ox$" — și asta este o informație, nu o lipsă. Când soluțiile nu sunt numere frumoase, le localizezi între întregi cu proprietatea lui Darboux și marchezi pe desen intervalul, nu un punct fals precis.

Pentru axa $Oy$ calculezi $f(0)$, dacă $0$ aparține domeniului; există cel mult un asemenea punct. Extremele și inflexiunile vin din pașii 3 și 4, dar atenție: în tabel se marchează abscisa, pe desen se marchează perechea. Punctul de maxim este $x_0$; punctul desenat este $(x_0,f(x_0))$.

4. Cum se așază asimptotele pe desen?

Regula de lucru nu se schimbă niciodată: asimptotele se trasează primele, punctat, cu ecuația scrisă lângă ele. Ele sunt schela desenului; curba vine după.

O verticală $x=a$ ține despărțite două ramuri, fiindcă în $a$ funcția nici nu există. O orizontală sau o oblică descrie doar comportarea la capete, așa că, la distanță finită, curba are voie să o traverseze de oricâte ori. Deosebirea aceasta este cea mai des greșită la desen.

O eroare de scriere merită semnalată din start: asimptota este o dreaptă, deci se scrie ca ecuație, niciodată ca număr.

5. Cum se traduce tabelul în arce de creion?

Fiecare interval din tabel poartă două informații: o săgeată și, în tabelul complet, un simbol de curbură. Combinate, ele dau exact patru forme de arc, și numai patru:

Săgeata spune încotro merge curba, simbolul spune cum se curbează. Amândouă sunt obligatorii: două funcții pot crește pe același interval și pot arăta complet diferit. Cine trasează doar după săgeți obține grafice cu forma generală corectă și cu arcele curbate invers.

O precizare: săgeata nu este o pantă, ci doar semnul creșterii.

6. Un studiu complet, pas cu pas

Reprezentăm grafic funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-4x+5}{x-2}$.

Pasul 1. Domeniul este $D=(-\infty ,2)\cup (2,+\infty )$, deci graficul are două ramuri. Pentru axa $Ox$: $x^2-4x+5=0$ are discriminantul $16-20=-4<0$, deci graficul nu taie axa $Ox$. Pentru axa $Oy$: $f(0)=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$, deci curba trece prin $\left(0,-\frac{5}{2}\right)$.

Pasul 2. Împărțirea cu rest dă forma comodă $f(x)=x-2+\frac{1}{x-2}$, pe care o vom folosi peste tot. Limitele:

$$\underset{x\to 2,x<2}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to 2,x>2}{\lim }f(x)=+\infty ,\underset{x\to \pm \infty }{\lim }(f(x)-(x-2))=0.$$

Asimptotele sunt deci dreapta verticală $x=2$, bilaterală, și dreapta oblică $y=x-2$, spre amândouă capetele.

Pasul 3. $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x-2{)}^2}$, care se anulează pentru $(x-2{)}^2=1$, adică $x=1$ și $x=3$. Semnul: pozitiv pe $(-\infty ,1)$ și pe $(3,+\infty )$, negativ pe $(1,2)$ și pe $(2,3)$. Rezultă un maxim local $f(1)=-2$ și un minim local $f(3)=2$.

Pasul 4. $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{(x-2{)}^3}$, negativă pe $(-\infty ,2)$ și pozitivă pe $(2,+\infty )$. Curbura se schimbă, dar nu există punct de inflexiune: schimbarea are loc peste asimptota verticală, într-un punct care nu aparține domeniului.

Pasul 5. Tabelul de variație:

Pasul 6. Harta punctelor: $A(1,-2)$ maxim local, $B(3,2)$ minim local, $C\left(0,-\frac{5}{2}\right)$ intersecția cu $Oy$. Niciun punct pe axa $Ox$ și nicio inflexiune.

Pasul 7. Desenăm întâi $x=2$ și $y=x-2$, punctat. Ramura din stânga vine de jos, de-a lungul oblicei, urcă până la $A$ cu arcul $\nearrow \cap$, apoi coboară spre $-\infty$ cu arcul $\searrow \cap$, lipindu-se de asimptota verticală. Ramura din dreapta coboară de la $+\infty$ până la $B$ cu arcul $\searrow \cup$, apoi urcă spre $+\infty$ cu arcul $\nearrow \cup$, apropiindu-se de aceeași oblică.

7. Care sunt cele trei controale de la final?

Controlul ramurilor. Numără intervalele din domeniu și numără ramurile desenate: trebuie să fie la fel de multe. O curbă trasată dintr-o singură linie peste o asimptotă verticală este cea mai vizibilă greșeală cu putință.

Controlul punctelor și al săgeților. Fiecare punct din harta de la pasul 6 trebuie să fie pe curbă, iar fiecărei coloane-interval din tabel trebuie să-i corespundă un arc, cu săgeata și curbura ei. Patru intervale în tabel și trei arce pe desen înseamnă că lipsește ceva.

Controlul asimptotelor. Pe fiecare capăt, curba trebuie să se apropie de asimptota lui și să nu se mai depărteze. Verificarea se face cu ochiul, comparând distanța la două abscise îndepărtate.

Un cuvânt despre scară: când valorile funcției sunt mult mai mari decât abscisele — extreme la $16$ și $-16$ pentru abscise între $-3$ și $5$ —, unități egale pe cele două axe dau un desen înalt și ilizibil. Alege unități diferite, de pildă $1$ cm pe $Ox$ și $0,25$ cm pe $Oy$, și scrie-le pe axe.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Din tabel în desen, fără formulă

Despre o funcție $f$ se știe doar tabelul de mai jos. Precizați numărul ramurilor, ecuațiile asimptotelor și numărul intersecțiilor cu axa $Ox$, apoi descrieți desenul.

Rezolvare. Bara de pe rândul derivatei arată că $-1$ nu aparține domeniului, deci $D=(-\infty ,-1)\cup (-1,+\infty )$ și graficul are două ramuri.

Asimptotele: dreapta $x=-1$ este asimptotă verticală bilaterală, iar dreapta $y=3$ este asimptotă orizontală spre amândouă capetele, pentru că valorile $3$ apar în colțurile rândului $f$.

Intersecțiile cu $Ox$: pe prima ramură funcția coboară de la $3$ la $-\infty$, deci trece exact o dată prin $0$. Pe a doua ramură ea coboară de la $+\infty$ la $1$ și apoi urcă spre $3$, deci rămâne mereu cel puțin egală cu $1$ și nu se anulează niciodată. Graficul taie axa $Ox$ o singură dată.

Desenul: ramura stângă coboară de la înălțimea $3$ spre $-\infty$, lipindu-se de verticală; ramura dreaptă coboară de la $+\infty$ până la $(2,1)$ și apoi urcă spre orizontala $y=3$.

Exemplul 2 — O funcție de gradul al treilea

Reprezentați grafic funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2-9x+11$.

Rezolvare. Pasul 1. $D=\mathbb{R}$, o singură ramură. $f(0)=11$. Pentru $Ox$: $f(1)=1-3-9+11=0$, deci $x=1$ este rădăcină, iar $f(x)=(x-1)(x^2-2x-11)$; celelalte două rădăcini nu sunt numere întregi, dar $f(-3)=-16<0$, $f(-2)=9>0$, $f(4)=-9<0$ și $f(5)=16>0$ le localizează în $(-3,-2)$ și în $(4,5)$.

Pasul 2. Limitele sunt $-\infty$ spre $-\infty$ și $+\infty$ spre $+\infty$; o funcție polinomială de gradul al treilea nu are asimptote.

Pasul 3. $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$, cu maximul local $f(-1)=16$ și minimul local $f(3)=-16$.

Pasul 4. $f^{\prime \prime }(x)=6x-6$, negativă pe $(-\infty ,1)$ și pozitivă pe $(1,+\infty )$, deci $(1,0)$ este punct de inflexiune — și, întâmplător, chiar intersecția cu $Ox$.

Pasul 5.

Pașii 6 și 7. Se marchează $(-1,16)$, $(1,0)$, $(3,-16)$, $(0,11)$ și cele două intervale în care stau rădăcinile rămase. Fiindcă ordonatele merg de la $-16$ la $16$, iar abscisele doar de la $-3$ la $5$, se alege o scară mai mică pe $Oy$.

Exemplul 3 — O funcție cu radical, cu capete închise

Reprezentați grafic funcția $f:[-2,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{4-x^2}$.

Rezolvare. Pasul 1. Domeniul dat este chiar mulțimea pe care $4-x^2\ge 0$. Intersecțiile cu $Ox$: $x=-2$ și $x=2$; cu $Oy$: $f(0)=2$.

Pasul 2. Domeniul fiind mărginit și închis, nu există capete la infinit, deci nicio asimptotă. Valorile la capete sunt $f(\pm 2)=0$.

Pasul 3. $f^{\prime }(x)=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}$ pe $(-2,2)$, pozitivă pe $(-2,0)$ și negativă pe $(0,2)$, cu maximul $f(0)=2$. În capetele $-2$ și $2$ funcția are valoarea $0$, dar nu este derivabilă; graficul are semitangentă verticală.

Pasul 4. $f^{\prime \prime }(x)=\frac{-4}{\left(4-x^2\right)\sqrt{4-x^2}}<0$ pe tot intervalul deschis: funcția este concavă peste tot, fără inflexiuni.

Pasul 5.

Pașii 6 și 7. Punctele $(-2,0)$, $(0,2)$ și $(2,0)$, unite printr-un arc concav cu semitangente verticale la capete: graficul este semicercul superior de centru $O$ și rază $2$, cum se vede ridicând la pătrat, $x^2+y^2=4$ cu $y\ge 0$. Cel mai bun control al unui desen este o formă pe care o recunoști.

Exemplul 4 — Un model de saturație din științe

Concentrația unei substanțe într-un vas, în miligrame pe litru, crește după legea $c(t)=\frac{15t}{t+3}$, unde $t$ este timpul în ore, $t\ge 0$. Reprezentați grafic funcția și citiți de pe desen valoarea maximă către care tinde concentrația.

Rezolvare. Pasul 1. $D=[0,+\infty )$, o singură ramură; $c(0)=0$, deci curba pornește din origine, care este și singura intersecție cu axele.

Pasul 2. $\underset{t\to +\infty }{\lim }c(t)=15$, deci dreapta $y=15$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$. Nu există asimptotă verticală, pentru că $-3$ nu aparține domeniului.

Pasul 3. $c^{\prime }(t)=\frac{45}{(t+3{)}^2}>0$: concentrația crește pe tot intervalul, fără extreme.

Pasul 4. $c^{\prime \prime }(t)=\frac{-90}{(t+3{)}^3}<0$: curba este concavă peste tot, fără inflexiuni. Tabelul are deci un singur interval, cu celula $\nearrow \cap$.

Pașii 6 și 7. Se marchează originea și câteva puncte de control: $c(3)=7,5$, $c(6)=10$, $c(12)=12$ mg/L. Curba urcă repede la început și se domolește, apropiindu-se de orizontala $y=15$ fără să o atingă.

Citirea fizică: concentrația nu poate depăși $15$ mg/L, oricât ar dura procesul; jumătate din ea se atinge după $3$ ore, iar $12$ mg/L abia după $12$. Asimptota orizontală este limita de saturație a vasului.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev reprezintă grafic funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-5\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2}{x+5}$, și desenează o curbă continuă care coboară de la stânga la dreapta, trecând prin punctul $(-5,0)$. Găsiți greșelile.

Rezolvare. Sunt două, iar a doua o produce pe prima.

Prima: curba nu are voie să treacă prin $x=-5$, pentru că funcția nu este definită acolo. Limitele laterale sunt $-\infty$ la stânga și $+\infty$ la dreapta, deci $x=-5$ este asimptotă verticală, iar graficul are două ramuri despărțite de ea. Numărul ramurilor trebuie să fie egal cu numărul intervalelor din domeniu — controlul de la §7 prinde imediat greșeala.

A doua: punctul $(-5,0)$ nu există pe grafic. Ecuația $\frac{2}{x+5}=0$ cere $2=0$, deci graficul nu taie axa $Ox$; asimptota orizontală $y=0$ este apropiată, dar niciodată atinsă.

Desenul corect are două ramuri: cea din stânga coboară spre $-\infty$ lângă verticală, cea din dreapta vine dinspre $+\infty$ și se apropie de $y=0$ pe deasupra.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x}{x^2+9}$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{3\left(9-x^2\right)}{{\left(x^2+9\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$. b) Determinați ecuația asimptotei spre $+\infty$ la graficul funcției $f$. c) Arătați că $f(x)\le \frac{1}{2}$, pentru orice număr real $x$.

Rezolvare.

a) Aplicăm regula de derivare a câtului:

$$f^{\prime }(x)=\frac{3\left(x^2+9\right)-3x\cdot 2x}{{\left(x^2+9\right)}^2}=\frac{3x^2+27-6x^2}{{\left(x^2+9\right)}^2}=\frac{3\left(9-x^2\right)}{{\left(x^2+9\right)}^2}.$$

b) Gradul numărătorului este mai mic decât al numitorului, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$ și asimptota este dreapta $y=0$, adică axa $Ox$. Graficul chiar o taie, în origine — lucru permis unei asimptote orizontale.

c) Inegalitatea $\frac{3x}{x^2+9}\le \frac{1}{2}$ este echivalentă, prin înmulțire cu numitorul pozitiv $2\left(x^2+9\right)$, cu $6x\le x^2+9$, adică $x^2-6x+9\ge 0$, adică $(x-3{)}^2\ge 0$ — adevărat pentru orice $x$ real. Egalitatea are loc doar pentru $x=3$, unde $f(3)=\frac{1}{2}$ este chiar maximul funcției, așa cum arată și semnul derivatei de la punctul a).

De la examen la lecție. Cerințele urmează forma din modelul oficial al probei M_șt-nat: o derivată de verificat, o asimptotă de determinat, o inegalitate de demonstrat. Desenul nu se cere, dar el este cel care leagă cele trei subpuncte: punctul c) spune că toată curba stă sub orizontala $y=\frac{1}{2}$, pe care o atinge o singură dată.

Să exersăm

Ordinea de redactare: domeniul, intersecțiile, limitele și asimptotele, semnele celor două derivate, tabelul, punctele, desenul.

1. Determină domeniul și intersecțiile cu axele pentru $f(x)=\frac{x-6}{x+3}$.

2. Scrie ecuațiile asimptotelor graficului funcției de la exercițiul 1.

3. Câte ramuri are graficul unei funcții al cărei domeniu este $\mathbb{R}\setminus \{-2,3\}$?

4. Determină punctele de inflexiune ale graficului funcției $f(x)=x^4+6x^3$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Graficul unei funcții nu poate tăia niciodată o asimptotă."

6. Arată că în tabelul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+6x^2-36x+5$, apar toate cele patru forme de arc, desenează-le și scrie sub fiecare citirea ei în cuvinte.

7. Se dă tabelul de variație de mai jos. Precizează domeniul, numărul ramurilor și ecuațiile asimptotelor.

8. (Problemă aplicată.) Temperatura unui corp scos din cuptor, în grade Celsius, scade după legea $T(t)=20+\frac{60}{t+1}$, unde $t$ este timpul în ore, $t\ge 0$. Determină temperatura inițială, monotonia și asimptota orizontală, apoi spune ce înseamnă asimptota pentru corpul care se răcește.

9. Determină asimptotele graficului funcției $f(x)=\frac{x^2+3x}{x-1}$, folosind împărțirea cu rest.

10. Ce puncte se marchează pe desen din tabelul de la exercițiul 7, dacă se știe în plus că graficul taie axa $Ox$ în $(-1,0)$ și în $(6,0)$?

11. Verifică dacă graficul funcției $f(x)=\frac{x-5}{x^2+4}$ își taie asimptota orizontală și, dacă da, în ce punct.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x}{x-2}$. Determină ecuațiile asimptotelor graficului funcției $f$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-9x^2+15x+2$. Arată că $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x-5)$ și determină punctele de extrem ale graficului.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=3\ln x-x$. Arată că $f^{\prime }(x)=\frac{3-x}{x}$ și determină punctul de maxim al graficului.

15. Explică, în două propoziții, de ce graficul unei funcții polinomiale de gradul al treilea nu are nicio asimptotă, deși funcția nu este mărginită.

16. Scrie lista punctelor care se marchează pe desen pentru funcția de la exercițiul 13, apoi arată, cu proprietatea lui Darboux, între ce numere întregi se află cele trei intersecții ale graficului cu axa $Ox$.

17. O funcție are domeniul $(-\infty ,1)\cup (1,4)\cup (4,+\infty )$, iar în $1$ ambele limite laterale sunt finite. Câte asimptote verticale are graficul ei, cel mult?

18. (Provocare.) Se consideră $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+9}{x}$. Arată că dreapta $y=x$ este asimptotă oblică spre amândouă capetele, determină cele două puncte de extrem și calculează distanța dintre ele.

Răspunsuri și explicații

1. $D=\mathbb{R}\setminus \{-3\}$. Axa $Ox$: $x-6=0$, deci punctul $(6,0)$. Axa $Oy$: $f(0)=\frac{-6}{3}=-2$, deci punctul $(0,-2)$.

2. Verticala $x=-3$, pentru că numitorul se anulează acolo, iar numărătorul nu. Gradele fiind egale, asimptota spre $\pm \infty$ este orizontala $y=1$, raportul coeficienților dominanți.

3. Trei, pentru că domeniul este reuniunea a trei intervale: $(-\infty ,-2)$, $(-2,3)$ și $(3,+\infty )$.

4. $f^{\prime }(x)=4x^3+18x^2$ și $f^{\prime \prime }(x)=12x^2+36x=12x(x+3)$, care își schimbă semnul în $-3$ și în $0$. Cum $f(-3)=81-162=-81$ și $f(0)=0$, punctele de inflexiune sunt $(-3,-81)$ și $(0,0)$.

5. Fals. Afirmația e adevărată numai pentru asimptotele verticale, unde funcția nici nu e definită. O asimptotă orizontală sau oblică poate fi tăiată: graficul funcției $g(x)=\frac{x^2+2x}{x^2+8}$ are asimptota orizontală $y=1$ și o taie în punctul $(4,1)$.

6. $f^{\prime }(x)=3(x+6)(x-2)$, $f^{\prime \prime }(x)=6(x+2)$; zerourile sunt $-6$, $2$, respectiv $-2$. Celulele: pe $(-\infty ,-6)$, $\nearrow \cap$ — urcă aplatizându-se; pe $(-6,-2)$, $\searrow \cap$ — coboară tot mai abrupt; pe $(-2,2)$, $\searrow \cup$ — coboară aplatizându-se; pe $(2,+\infty )$, $\nearrow \cup$ — urcă tot mai abrupt.

7. Bara din coloana lui $0$ arată că $0$ nu aparține domeniului, deci $D=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ și graficul are două ramuri. Asimptote: verticala $x=0$, dar numai la stânga, pentru că numai limita din stânga este infinită, cea din dreapta fiind $1$; orizontala $y=-2$, spre amândouă capetele.

8. $T(0)=20+60=80{}^{\circ }\mathrm{C}$. Derivata $T^{\prime }(t)=\frac{-60}{(t+1{)}^2}<0$, deci temperatura scade tot timpul. Cum $\underset{t\to +\infty }{\lim }T(t)=20$, dreapta $y=20$ este asimptotă orizontală: corpul se răcește către temperatura mediului, de $20{}^{\circ }\mathrm{C}$, fără să o atingă vreodată.

9. Împărțirea dă $f(x)=x+4+\frac{4}{x-1}$. Fracția rămasă tinde la $0$ la $\pm \infty$, deci dreapta $y=x+4$ este asimptotă oblică spre amândouă capetele; verticala este $x=1$.

10. Trei puncte pline: maximul $(4,5)$ și cele două intersecții cu axa $Ox$, $(-1,0)$ și $(6,0)$. La ele se adaugă un semn aparte: în $(0,1)$ se pune un cerculeț gol, pentru că $0$ nu aparține domeniului, iar valoarea $1$ este doar limita din dreapta. Coordonatele se scriu lângă fiecare punct.

11. Asimptota orizontală este $y=0$, gradul numărătorului fiind mai mic. Ecuația $f(x)=0$ dă $x=5$, deci graficul își taie asimptota în punctul $(5,0)$.

12. Numitorul se anulează în $2$, iar numărătorul nu, deci $x=2$ este asimptotă verticală. Gradele sunt egale, deci asimptota spre $\pm \infty$ este $y=3$.

13. $f^{\prime }(x)=3x^2-18x+15=3(x-1)(x-5)$, care se anulează în $1$ și în $5$. Derivata este pozitivă pe $(-\infty ,1)$, negativă pe $(1,5)$ și pozitivă pe $(5,+\infty )$, deci $(1,9)$ este punct de maxim local și $(5,-23)$ punct de minim local.

14. $f^{\prime }(x)=\frac{3}{x}-1=\frac{3-x}{x}$. Pe domeniu numitorul este pozitiv, deci semnul derivatei este cel al lui $3-x$: pozitivă pentru $x<3$, negativă pentru $x>3$. Punctul de maxim este $(3,3\ln 3-3)$.

15. Asimptota orizontală ar cere o limită finită la capete, iar asimptota oblică ar cere ca raportul $\frac{f(x)}{x}$ să aibă limită finită și nenulă; la gradul al treilea acest raport are limita $\pm \infty$. Funcția este nemărginită, dar crește prea repede ca să se apropie de o dreaptă.

16. Se marchează $(1,9)$, $(5,-23)$, intersecția cu $Oy$ în $(0,2)$ și punctul de inflexiune $(3,-7)$, obținut din $f^{\prime \prime }(x)=6x-18$. Pentru rădăcini: $f(-1)=-23<0$ și $f(0)=2>0$ dau una în $(-1,0)$; $f(2)=4>0$ și $f(3)=-7<0$ dau una în $(2,3)$; $f(6)=-16<0$ și $f(7)=9>0$ dau a treia în $(6,7)$.

17. Cel mult una. În $4$ poate exista asimptotă verticală, dar în $1$ nu, pentru că ambele limite laterale sunt finite: acolo graficul are doar o „gaură", nu o asimptotă.

18. Scriem $f(x)=x+\frac{9}{x}$. Cum $\frac{9}{x}\to 0$ la $\pm \infty$, dreapta $y=x$ este asimptotă oblică spre amândouă capetele. Derivata $f^{\prime }(x)=1-\frac{9}{x^2}$ se anulează în $-3$ și $3$, cu $f(-3)=-6$ și $f(3)=6$. Punctele sunt $(-3,-6)$ și $(3,6)$, iar distanța dintre ele este $\sqrt{6^2+12^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$.

De reținut

• Schema în șapte pași este: domeniul și punctele de reper; capetele, cu limitele și asimptotele; semnul lui $f^{\prime }$; semnul lui $f^{\prime \prime }$; tabelul de variație; harta punctelor; trasarea cu controale.
• Pașii 3 și 4 nu se recalculează: ei sunt rezultatele lecțiilor de monotonie, extreme și convexitate, aduse ca atare; lecția de reprezentare grafică adaugă intersecțiile cu axele, lista punctelor și desenul.
• Asimptotele se desenează primele, punctat, cu ecuația scrisă alături; una verticală desparte două ramuri care nu se ating, iar una orizontală sau oblică poate fi tăiată la distanță finită.
• Fiecare celulă-interval din tabel devine unul dintre cele patru arce posibile: săgeata dă sensul, simbolul $\cup$ sau $\cap$ dă curbura, iar amândouă sunt obligatorii.
• Un desen terminat trece trei controale: tot atâtea ramuri câte intervale are domeniul, toate punctele și toate săgețile regăsite pe curbă, apropierea de fiecare asimptotă fără îndepărtare ulterioară.

Greșeli frecvente

• Începi desenul fără să fixezi scara. Când ordonatele sunt mult mai mari decât abscisele, unități egale pe cele două axe dau un desen înalt și ilizibil. Alege unități diferite, scrie-le pe axe și păstrează-le pentru tot graficul.
• Prelungești curba dincolo de domeniu. La o funcție cu radical, definită pe un interval cu capete închise, graficul începe și se termină acolo; nu se pun săgeți de continuare și nu se desenează nimic în afara intervalului.
• Citești săgeata ca pe o pantă. Simbolul $\nearrow$ spune doar că valorile cresc, nu că arcul urcă la $45^{\circ }$. Lângă un extrem, arcul este aproape orizontal, pentru că acolo derivata se apropie de zero.
• Confunzi „fără asimptote" cu „mărginită". O funcție polinomială de gradul al treilea nu are nicio asimptotă, dar ia valori oricât de mari și de mici. Lipsa asimptotelor înseamnă că nu există o dreaptă de care curba să se apropie, nu că graficul rămâne într-o bandă.
• Scrii asimptota ca număr. „Asimptota este $2$" nu se poate desena. O asimptotă este o dreaptă și se scrie ca ecuație: $x=2$ pentru una verticală, $y=2$ pentru una orizontală, $y=x-2$ pentru una oblică.

Aplică acasă

1. Graficul din presă. Caută într-un ziar sau pe un site de știri un grafic cu o singură curbă — evoluția unui preț, a unei temperaturi, a numărului de cazuri. Marchează pe el, cu culori diferite, intervalele de creștere și de scădere, punctele de extrem și locurile în care curba își schimbă curbura. Ai parcurs pașii $3$, $4$ și $6$ în sens invers, pornind de la desen.

2. Cele patru arce, cu exemple din viață. Desenează pe o foaie cele patru forme de arc și găsește, pentru fiecare, o mărime care se comportă așa: apa dintr-un pahar pus sub robinet, ceaiul care se răcește, viteza unui obiect care cade, numărul de bacterii dintr-un vas cu hrană limitată. Scrie sub fiecare arc mărimea potrivită și explică alegerea într-o propoziție.

3. Termometrul de acasă, oră de oră. Notează temperatura din camera ta la fiecare oră, o zi întreagă, apoi desenează graficul pe hârtie milimetrică, alegând tu scara. Marchează cele două momente în care curba își schimbă sensul și cele în care își schimbă curbura, apoi compară desenul tău cu graficul de temperatură din orice aplicație de vreme.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: „Reprezentarea grafică a funcțiilor" este o temă distinctă în programa de examen (OMEN 4430/2014), la capitolul „Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor", în timp ce programa nouă a clasei a XI-a (OMEC 6930/2025, anexa 28) se oprește la „Tabelul de variație: sinteza proprietăților funcției" și cere doar ca informațiile din tabel să fie coroborate cu reprezentări grafice realizate prin mijloace digitale. Cu alte cuvinte, pe programa nouă elevul citește grafice generate de calculator, pe programa de examen le trasează el. Toate elementele necesare — asimptotele, monotonia, extremele, convexitatea — sunt însă în programa nouă, tot la clasa a XI-a. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde locul firesc al temei este Subiectul al III-lea, prima problemă; modelul oficial publicat pentru proba M_șt-nat nu cere acolo trasarea unui grafic, ci derivata, o limită și o inegalitate — toate, elemente ale schemei de față. Forma exactă a cerinței se citește în model, nu se presupune. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Lecția verifică patru lucruri: (1) parcurgerea celor șapte pași în ordine, fără să se sară peste intersecțiile cu axele; (2) scrierea asimptotelor ca ecuații de drepte, desenate punctat înaintea curbei; (3) traducerea fiecărei celule din tabel în arcul potrivit, cu săgeată și cu curbură; (4) alegerea și notarea scării pe axe. Întrebări de control, de pus oral: „De ce are desenul acesta două ramuri?"; „Ce arc desenezi pentru celula $\searrow \cup$?"; „Se poate apropia curba de o asimptotă și apoi să se depărteze?"; „Ce scrii pe axe înainte de a trasa ceva?". Semne că elevul a înțeles: începe orice desen cu asimptotele punctate și scrie coordonatele lângă fiecare punct marcat. Continuarea firească a unității este lecția despre graficele celor patru familii de funcții, care arată ce tipar de desen are fiecare familie din programa de examen.

Întrebări frecvente

Care sunt cei șapte pași ai reprezentării grafice la M2? Domeniul împreună cu intersecțiile cu axele; limitele la capete și asimptotele; semnul derivatei întâi, cu monotonia și extremele; semnul derivatei a doua, cu curbura și inflexiunile; tabelul de variație; lista punctelor care se marchează; trasarea propriu-zisă, urmată de trei controale. Pașii trei și patru sunt aduși din lecțiile de studiu al funcțiilor, nu se recalculează.

Ce desenez mai întâi: curba sau asimptotele? Asimptotele, întotdeauna, cu linie punctată și cu ecuația scrisă lângă fiecare. Ele sunt schela desenului: arată unde se rupe graficul în ramuri și încotro merge fiecare capăt. Abia apoi marchezi punctele, cu coordonatele lor, și abia la urmă tragi arcele. Curba desenată prima iese aproape sigur nepotrivită.

Care este diferența față de mate-info (M1) la această temă? La M1 tema se studiază în clasa a XII-a, cu o schemă în nouă pași care adaugă paritatea, periodicitatea și studiul pe jumătate de domeniu la funcțiile simetrice. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: schema reprezentării grafice tratează și rezolvarea grafică a ecuațiilor cu parametru. La M2 schema are șapte pași, fără simetrii, și se dă în clasa a XI-a, ca supliment pentru examen.

La ce subiect apare la bacalaureatul M2? La Subiectul al III-lea, prima problemă, cea de studiu al funcțiilor cu derivate. Desenul ca atare se cere rar, dar aproape toate cerințele de acolo sunt pași ai schemei: asimptote, monotonie, valori extreme, inegalități. Cine are graficul în minte răspunde mai repede.

De ce numărul ramurilor trebuie să fie egal cu numărul intervalelor din domeniu? Pentru că fiecare interval al domeniului dă o bucată de curbă neîntreruptă, iar între două intervale vecine funcția nici nu există. O linie continuă trasată peste o asimptotă verticală ar însemna că funcția are valori acolo unde nu e definită. Numărătoarea aceasta este primul control al oricărui desen terminat.

Ce verific la final, ca să știu că desenul respectă tabelul? Trei lucruri. Câte ramuri are graficul, comparat cu numărul intervalelor din domeniu. Dacă fiecare punct din listă se află pe curbă și dacă fiecare coloană-interval din tabel are un arc care îi corespunde, cu săgeata și curbura ei. Și dacă, spre fiecare capăt, curba se apropie de asimptota lui fără să se mai depărteze.

Cum aleg scara pe axe? Compari cea mai mare și cea mai mică ordonată de marcat cu intervalul de abscise care te interesează. Dacă raportul e mare, folosești unități diferite pe cele două axe și le scrii pe desen: forma se turtește, dar toate informațiile rămân vizibile.