Compararea puterilor cu aceeași bază

Cumperi un stick de memorie de $1$ gigabyte și, când îl bagi în calculator, sistemul îți arată doar $0,93$ GB. Nu te-a înșelat nimeni: producătorul a numărat $10^9$ octeți, iar sistemul de operare împarte la $2^{30}=1073741824$. Diferența dintre cele două convenții e, în fond, o comparare de puteri: $2^{30}$ este mai mare decât $10^9$, cu aproape $7\%$. Iar rădăcina lucrului stă într-o comparație pe care o știe orice informatician: $2^{10}=1024$ este puțin mai mare decât $10^3=1000$.

Cum decizi însă care dintre $2^{300}$ și $3^{200}$ e mai mare? Calculatorul de buzunar afișează „eroare", iar numerele au peste $90$ de cifre. Răspunsul nu vine din calcul, ci din monotonia funcției exponențiale, demonstrată în lecția despre proprietățile funcției exponențiale. Lecția de față transformă acea teoremă într-o tehnică de lucru: trei reguli și un algoritm de decizie care rezolvă orice comparare care apare la Bacalaureatul M1.

Ce vei învăța

• Vei ști să compari două puteri cu aceeași bază supraunitară, comparând doar exponenții.
• Vei ști de ce, la bază subunitară, sensul inegalității se schimbă — și vei putea demonstra asta.
• Vei ști să compari o putere cu numărul 1, cel mai frecvent caz din subiectul I.
• Vei ști să aduci la aceeași bază puteri scrise cu baze diferite, dar înrudite ($4$, $8$, $16$ sunt toate puteri ale lui $2$).
• Vei ști să alegi între cele două strategii — același exponent sau aceeași bază — după cum arată numerele.
• Vei ști să ordonezi liste de trei sau mai multe numere scrise ca puteri sau radicali.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu ajunge calculatorul

$2^{300}$ are $91$ de cifre. Nici măcar nu are rost să încerci: orice calculator de buzunar afișează o aproximare sau o eroare, iar la examen nu ai voie cu el. Matematica oferă însă o cale mai scurtă decât calculul — o cale care nu depinde de mărimea numerelor, ci doar de monotonie.

Reamintim teorema pe care se sprijină totul. Funcția $f(x)=a^x$ este:

• strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, dacă $a>1$;
• strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$, dacă $0<a<1$.

O funcție strict monotonă păstrează sau răstoarnă ordinea — și nimic altceva. Din asta ies toate regulile de mai jos.

2. Bază supraunitară: ordinea se păstrează

Regulă. Fie $a>1$ și $m,n$ numere reale. Atunci

$$a^m<a^n⟺m<n.$$

Demonstrație. Implicația „$\Leftarrow$" e chiar definiția creșterii stricte. Implicația „$\Rightarrow$" se obține prin reducere la absurd: dacă am avea $m\ge n$, atunci creșterea (sau egalitatea, la $m=n$) ar da $a^m\ge a^n$, contrazicând ipoteza. $■$

Cu alte cuvinte: la bază supraunitară, compari doar exponenții și copiezi rezultatul.

Exemplu. Compară $2^{\sqrt{2}}$ și $2^{1,5}$. Baza $2$ e supraunitară, deci comparăm exponenții: $\sqrt{2}\approx 1,414<1,5$, prin urmare $2^{\sqrt{2}}<2^{1,5}$. (Numeric: $2,665\dots <2,828\dots$ ✓, dar rețineți că răspunsul s-a obținut fără niciun calcul de putere.)

Regula nu cere ca exponenții să fie numere „frumoase": ei pot fi iraționali, negativi sau chiar expresii întregi. Din $2^x=2^5$ rezultă $x=5$ (injectivitate), iar din compararea exponenților $x$ și $5$ vei putea deduce, în lecția despre inecuațiile exponențiale, și inegalitățile corespunzătoare. Deocamdată reține că singurul lucru care contează este poziția bazei față de $1$ — mărimea ei nu schimbă nimic: aceeași regulă se aplică la baza $1000$ și la baza $1,0001$.

3. Bază subunitară: ordinea se răstoarnă

Regulă. Fie $0<a<1$ și $m,n$ numere reale. Atunci

$$a^m<a^n⟺m>n.$$

Demonstrație. Scriem $a=\frac{1}{b}$ cu $b=\frac{1}{a}>1$. Atunci $a^m=b^{-m}$ și $a^n=b^{-n}$, iar regula de la baza supraunitară dă

$$b^{-m}<b^{-n}⟺-m<-n⟺m>n.■$$

Acesta este punctul în care se pierd cele mai multe puncte la examen. Un exponent mai mare, la o bază subunitară, înseamnă un număr mai mic — pentru că înmulțești cu un factor subunitar de mai multe ori.

Exemplu. Compară $(0,4{)}^{1,1}$ și $(0,4{)}^{1,2}$. Baza e subunitară, deci sensul se schimbă: din $1,1<1,2$ rezultă $(0,4{)}^{1,1}>(0,4{)}^{1,2}$. (Control: $0,36498>0,33302$ ✓.)

Exemplu cu exponenți negativi. Compară ${\left(\frac{3}{5}\right)}^{-2}$ și ${\left(\frac{3}{5}\right)}^{-1}$. Baza e subunitară, iar $-2<-1$, deci prima putere e mai mare. Verificăm exact: ${\left(\frac{3}{5}\right)}^{-2}=\frac{25}{9}\approx 2,78$ și ${\left(\frac{3}{5}\right)}^{-1}=\frac{5}{3}\approx 1,67$. ✓

4. Compararea cu 1 — cazul-vedetă

Punând $n=0$ în regulile de mai sus și folosind $a^0=1$, obținem sinteza pe care merită să o știi pe de rost:

Exemple. $5^{0,5}>1$, pentru că baza e supraunitară și exponentul pozitiv. $(0,9{)}^{100}<1$, pentru că baza e subunitară și exponentul pozitiv — de altfel valoarea este aproximativ $0,000027$, adică practic zero. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=8>1$, bază subunitară cu exponent negativ.

5. Baze diferite, dar înrudite: aducerea la aceeași bază

Regulile de până acum cer baze identice. Foarte des ele nu sunt identice, dar sunt puteri ale aceluiași număr: $4=2^2$, $8=2^3$, $16=2^4$, $9=3^2$, $27=3^3$. Atunci se aduce totul la baza comună, folosind ${\left(a^p\right)}^q=a^{pq}$.

Exemplu. Compară $8^{0,4}$ și $4^{0,7}$.

$$8^{0,4}={\left(2^3\right)}^{0,4}=2^{1,2},4^{0,7}={\left(2^2\right)}^{0,7}=2^{1,4}.$$

Baza comună $2$ e supraunitară, iar $1,2<1,4$, deci $8^{0,4}<4^{0,7}$. (Numeric: $2,2974<2,6390$ ✓.)

Exemplu în care iese egalitate. Compară $9^{0,3}$ și $27^{0,2}$:

$$9^{0,3}=3^{0,6},27^{0,2}=3^{0,6}.$$

Numerele sunt egale. E o capcană clasică: nu orice comparare se încheie cu „mai mare" sau „mai mic".

Aceeași tehnică rezolvă și radicalii, scriindu-i ca puteri: $\sqrt[3]{4}=4^{1/3}=2^{2/3}$, $\sqrt[5]{8}=8^{1/5}=2^{3/5}$, $\sqrt{2}=2^{1/2}$. Bază comună $2$, exponenți $\frac{2}{3}\approx 0,667$, $\frac{3}{5}=0,6$ și $\frac{1}{2}=0,5$, deci

$$\sqrt{2}<\sqrt[5]{8}<\sqrt[3]{4}.$$

6. Când bazele nu se pot uni: aducerea la același exponent

Dacă bazele nu sunt puteri ale aceluiași număr, schimbi strategia și egalezi exponenții, apoi compari bazele — tehnica demonstrată la graficul funcției putere.

Exemplu-vedetă. Compară $2^{300}$ și $3^{200}$. Cel mai mare divizor comun al exponenților este $100$, deci grupăm:

$$2^{300}={\left(2^3\right)}^{100}=8^{100},3^{200}={\left(3^2\right)}^{100}=9^{100}.$$

Exponentul e acum același și pozitiv, deci ordinea bazelor se păstrează: din $8<9$ rezultă

$$2^{300}<3^{200}.$$

Fără niciun calcul, deși ambele numere au peste $90$ de cifre.

7. Algoritmul de decizie

Pune-l pe caiet și urmează-l mecanic:

1. Bazele sunt identice? Dacă da, compară exponenții. Baza supraunitară păstrează sensul; baza subunitară îl răstoarnă. Gata.
2. Bazele sunt puteri ale aceluiași număr? Adu-le la baza comună (secțiunea 5) și treci la pasul 1.
3. Exponenții au un divizor comun util? Grupează și adu la același exponent (secțiunea 6), apoi compară bazele: exponent pozitiv păstrează ordinea, exponent negativ o răstoarnă.
4. Niciuna dintre variante? Compară fiecare număr cu un reper ales inteligent — de obicei $1$, uneori o putere „rotundă" — și trage concluzia din poziția celor două numere față de reper.

Pasul 4 e mai puternic decât pare. De exemplu, ${\left(\frac{1}{3}\right)}^5$ și $7^{-2}$: primul e subunitar, al doilea la fel — deci comparăm exact: $\frac{1}{243}<\frac{1}{49}$, pentru că $243>49$.

Exemplu de reper $1$. Compară ${\left(\frac{4}{3}\right)}^{-5}$ cu ${\left(\frac{5}{4}\right)}^7$. Primul are baza supraunitară și exponent negativ, deci este sub $1$; al doilea are baza supraunitară și exponent pozitiv, deci este peste $1$. Concluzia vine fără niciun calcul: ${\left(\frac{4}{3}\right)}^{-5}<1<{\left(\frac{5}{4}\right)}^7$.

Exemplu în care reperul nu ajunge. Compară $(0,9{)}^5$ și $(1,1{)}^{-5}$. Ambele sunt subunitare, deci reperul $1$ nu decide. Rescriem al doilea număr ca putere cu exponent pozitiv:

$$(1,1{)}^{-5}={\left(\frac{1}{1,1}\right)}^5={\left(\frac{10}{11}\right)}^5.$$

Acum exponenții sunt egali și pozitivi, deci decid bazele: $\frac{9}{10}=0,9$ față de $\frac{10}{11}\approx 0,909$. Cum $0,9<0,909$, rezultă $(0,9{)}^5<(1,1{)}^{-5}$. (Control: $0,59049<0,62092$ ✓.)

Încadrarea între puteri întregi e varianta practică a aceleiași idei și răspunde la întrebări de tipul „între ce puteri consecutive ale lui $2$ se află $100$?". Cum $2^6=64$ și $2^7=128$, avem

$$2^6<100<2^7.$$

Monotonia strictă garantează că nu există alte puteri întregi ale lui $2$ între ele. Tot așa, $3^4=81<100<243=3^5$ și $2^9=512<1000<1024=2^{10}$. Astfel de încadrări apar constant în probleme cu numărul de cifre, cu capacități de memorie sau cu numărul de pași ai unui algoritm de înjumătățire.

8. Trei capcane de reținut

• Exponentul negativ răstoarnă sensul la compararea bazelor (nu la compararea exponenților). Din $2<3$ rezultă $2^{-5}>3^{-5}$, dar tot din baza $2>1$ rezultă $2^{-5}<2^{-3}$. Sunt două reguli diferite; verifică mereu ce anume compari.
• Baza $1$ nu se compară. $1^{100}=1^{-4}=1$: funcția e constantă, deci nicio inegalitate strictă nu are loc.
• „Mai mulți factori" nu înseamnă „mai mare". ${\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{1}{32}$ este mai mic decât ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$, deși are mai mulți factori — pentru că fiecare factor micșorează produsul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Bază supraunitară

Comparați $7^{2,3}$ și $7^{2,03}$.

Rezolvare. Baza $7>1$, deci funcția $x\mapsto 7^x$ e strict crescătoare și ordinea exponenților se păstrează. Cum $2,03<2,3$, rezultă

$$7^{2,03}<7^{2,3}.$$

Atenție la citirea zecimalelor: $2,03$ este mai mic decât $2,3$, nu invers — este cea mai frecventă eroare de neatenție la acest tip de exercițiu. $■$

Exemplul 2 — Bază subunitară

Comparați ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{\sqrt{2}}$ și ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{1,5}$.

Rezolvare. Baza $\frac{1}{3}$ este subunitară, deci funcția e strict descrescătoare și sensul se răstoarnă. Cum $\sqrt{2}\approx 1,414<1,5$, obținem

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^{\sqrt{2}}>{\left(\frac{1}{3}\right)}^{1,5}.$$

Justificarea completă, așa cum se cere în barem: „baza fiind subunitară, funcția exponențială este strict descrescătoare; din $\sqrt{2}<1,5$ rezultă inegalitatea inversă între valori". $■$

Exemplul 3 — Aducerea la aceeași bază

Comparați $\sqrt[3]{2}$ și $\sqrt[4]{8}$.

Rezolvare. Scriem ambele numere ca puteri ale lui $2$:

$$\sqrt[3]{2}=2^{1/3},\sqrt[4]{8}={\left(2^3\right)}^{1/4}=2^{3/4}.$$

Baza $2$ e supraunitară, deci comparăm exponenții: $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$ și $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$, deci $\frac{1}{3}<\frac{3}{4}$ și atunci $\sqrt[3]{2}<\sqrt[4]{8}$.

Control numeric: $1,2599<1,6818$. ✓ $■$

Exemplul 4 — Capcana egalității

Comparați $16^{0,25}$, $8^{1/3}$ și $4^{0,5}$.

Rezolvare. Aducem totul la baza $2$:

$$16^{0,25}={\left(2^4\right)}^{1/4}=2^1=2,8^{1/3}={\left(2^3\right)}^{1/3}=2,4^{0,5}={\left(2^2\right)}^{1/2}=2.$$

Toate trei sunt egale cu $2$. Morala: înainte de a declara o inegalitate, adu numerele la aceeași bază — s-ar putea să nu existe nicio inegalitate de declarat. $■$

Exemplul 5 — Numere uriașe

Comparați $2^{40}$ și $3^{30}$.

Rezolvare. Exponenții $40$ și $30$ au divizorul comun $10$, deci grupăm ca să obținem același exponent:

$$2^{40}={\left(2^4\right)}^{10}=16^{10},3^{30}={\left(3^3\right)}^{10}=27^{10}.$$

Exponentul $10$ e pozitiv, deci ordinea bazelor se păstrează: din $16<27$ rezultă $2^{40}<3^{30}$. $■$

(Pentru cine vrea confirmarea: $2^{40}=1099511627776$, iar $3^{30}=205891132094649$ — de aproape $200$ de ori mai mare.)

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră numerele $A={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1,2}$, $B={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1,5}$ și $C={\left(\frac{2}{3}\right)}^0$. a) Comparați $A$ cu $C$. b) Ordonați crescător cele trei numere.

Rezolvare. Baza $\frac{2}{3}$ este subunitară, deci funcția $x\mapsto {\left(\frac{2}{3}\right)}^x$ este strict descrescătoare.

a) $C=1$. Cum exponentul lui $A$ este $-1,2<0$, iar baza e subunitară, tabelul din secțiunea 4 dă $A>1=C$.

b) Comparăm exponenții: $-1,5<-1,2<0$. Descreșterea răstoarnă ordinea, deci valorile se ordonează invers:

$$C<A<B.$$

Control numeric: $C=1$, $A\approx 1,6267$, $B\approx 1,8371$. ✓ $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare comparare scrie explicit: care e baza, dacă e supraunitară sau subunitară, ce comparăm (exponenți sau baze) și ce regulă aplicăm.

1. Compară $5^3$ și $5^4$.

2. Compară ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2$ și ${\left(\frac{1}{4}\right)}^5$.

3. Compară $3^{-2}$ și $3^{-5}$.

4. Compară $(0,8{)}^{-1}$ și $(0,8{)}^2$.

5. Compară fiecare număr cu $1$: $2^{-0,5}$; $(0,3{)}^{-4}$; ${\left(\frac{7}{2}\right)}^0$; $(1,2{)}^{10}$.

6. Compară $2^{\pi }$ și $2^{3,14}$. (Folosește $\pi =3,14159\dots$)

7. Compară $9^{1,5}$ și $27^1$, aducând la aceeași bază.

8. Compară $\sqrt[4]{9}$ și $\sqrt[3]{3}$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $m<n$, atunci $a^m<a^n$, oricare ar fi $a>0$."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „${\left(\frac{1}{2}\right)}^{100}$ este un număr negativ, pentru că exponentul e mare și baza e mică."

11. Ordonează crescător: $2^{-3}$, $2^0$, $2^{1/2}$, $2^{-1/2}$.

12. Ordonează descrescător: ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-1}$, ${\left(\frac{1}{5}\right)}^2$, ${\left(\frac{1}{5}\right)}^0$.

13. Compară $2^{100}$ și $10^{30}$. (Indicație: folosește $2^{10}=1024>1000=10^3$.)

14. Determină cel mai mare număr natural $n$ pentru care $3^n<1000$.

15. (Problemă aplicată.) Un producător vinde un stick „de $1$ GB", adică $10^9$ octeți, iar sistemul de operare împarte la $2^{30}$. Arată prin comparare că $2^{30}>10^9$ și explică de ce utilizatorul vede mai puțin de $1$ GB.

16. Compară $\sqrt[3]{5}$ și $\sqrt{2}$, aducându-le la același exponent.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=4^{0,75}$, $B=8^{0,5}$ și $C=2^{1,4}$. a) Scrie cele trei numere ca puteri ale lui $2$. b) Ordonează-le crescător, justificând cu monotonia funcției exponențiale.

18. (Provocare.) Fie $a>0$, $a\ne 1$, și numerele $x=a^2$, $y=a^3$. Discută, după valorile lui $a$, care dintre $x$ și $y$ este mai mare. Ce se întâmplă când $a=1$?

Răspunsuri și explicații

1. Baza $5>1$, funcția e crescătoare; din $3<4$ rezultă $5^3<5^4$, adică $125<625$ ✓.

2. Baza $\frac{1}{4}<1$, funcția e descrescătoare; din $2<5$ rezultă ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2>{\left(\frac{1}{4}\right)}^5$, adică $\frac{1}{16}>\frac{1}{1024}$ ✓.

3. Baza $3>1$; din $-5<-2$ rezultă $3^{-5}<3^{-2}$, adică $\frac{1}{243}<\frac{1}{9}$ ✓.

4. Baza $0,8<1$, deci funcția e descrescătoare; din $-1<2$ rezultă $(0,8{)}^{-1}>(0,8{)}^2$, adică $1,25>0,64$ ✓.

5. $2^{-0,5}<1$ (bază supraunitară, exponent negativ); $(0,3{)}^{-4}>1$ (bază subunitară, exponent negativ — de altfel $(0,3{)}^{-4}={\left(\frac{10}{3}\right)}^4$, evident supraunitar); ${\left(\frac{7}{2}\right)}^0=1$ (orice bază admisă ridicată la puterea zero); $(1,2{)}^{10}>1$ (bază supraunitară, exponent pozitiv). Observă că, în toate cele patru cazuri, decizia s-a luat privind doar două lucruri: poziția bazei față de $1$ și semnul exponentului.

6. Baza $2>1$; cum $\pi =3,14159\dots >3,14$, rezultă $2^{\pi }>2^{3,14}$.

7. $9^{1,5}={\left(3^2\right)}^{1,5}=3^3$ și $27^1=3^3$. Numerele sunt egale (ambele $=27$).

8. $\sqrt[4]{9}={\left(3^2\right)}^{1/4}=3^{1/2}$ și $\sqrt[3]{3}=3^{1/3}$. Baza $3>1$ și $\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$, deci $\sqrt[3]{3}<\sqrt[4]{9}$. Observă că simplificarea exponentului $\frac{2}{4}$ la $\frac{1}{2}$ a fost pasul decisiv: fără ea, exponenții $\frac{2}{4}$ și $\frac{1}{3}$ par greu de comparat. (Numeric: $1,4422<1,7321$ ✓.)

9. Fals. Enunțul e adevărat doar pentru $a>1$. Pentru $0<a<1$ sensul se răstoarnă: din $2<3$ avem ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}>\frac{1}{8}={\left(\frac{1}{2}\right)}^3$. Pentru $a=1$ valorile sunt egale.

10. Fals. O putere cu bază strict pozitivă este întotdeauna strict pozitivă. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{100}=\frac{1}{2^{100}}$ este un număr pozitiv extrem de mic, dar niciodată negativ. „Foarte mic" și „negativ" sunt lucruri diferite.

11. Baza $2$ e supraunitară, deci ordinea valorilor urmează ordinea exponenților: $-3<-\frac{1}{2}<0<\frac{1}{2}$, deci $2^{-3}<2^{-1/2}<2^0<2^{1/2}$.

12. Baza e subunitară, deci ordinea se răstoarnă. Exponenții cresc: $-1<0<2$, deci valorile scad: ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-1}>{\left(\frac{1}{5}\right)}^0>{\left(\frac{1}{5}\right)}^2$, adică $5>1>\frac{1}{25}$ ✓.

13. Grupăm ca să folosim indicația: $2^{100}={\left(2^{10}\right)}^{10}=1024^{10}$ și $10^{30}={\left(10^3\right)}^{10}=1000^{10}$. Exponent comun pozitiv, deci ordinea bazelor se păstrează: din $1024>1000$ rezultă $2^{100}>10^{30}$.

14. $3^6=729<1000$, iar $3^7=2187>1000$. Funcția $n\mapsto 3^n$ fiind strict crescătoare, toate puterile de exponent $\ge 7$ depășesc $1000$. Deci $n=6$.

15. $2^{30}={\left(2^{10}\right)}^3=1024^3$, iar $10^9={\left(10^3\right)}^3=1000^3$. Exponent comun $3$, pozitiv, deci $1024^3>1000^3$, adică $2^{30}>10^9$. Împărțind un număr fix de octeți la un divizor mai mare, obții un rezultat mai mic: $\frac{10^9}{2^{30}}\approx 0,9313$, adică afișajul arată circa $0,93$ GB.

16. $\sqrt[3]{5}=5^{1/3}$ și $\sqrt{2}=2^{1/2}$. Exponent comun $\frac{1}{6}$: $5^{1/3}={\left(5^2\right)}^{1/6}=25^{1/6}$ și $2^{1/2}={\left(2^3\right)}^{1/6}=8^{1/6}$. Din $25>8$ și exponent pozitiv rezultă $\sqrt[3]{5}>\sqrt{2}$. (Numeric: $1,7100>1,4142$ ✓.)

17. a) $A={\left(2^2\right)}^{0,75}=2^{1,5}$; $B={\left(2^3\right)}^{0,5}=2^{1,5}$; $C=2^{1,4}$. b) Baza $2$ e supraunitară, deci ordinea valorilor urmează ordinea exponenților: $1,4<1,5$, iar $A$ și $B$ au același exponent. Prin urmare $C<A=B$.

18. Comparăm prin raport: $\frac{y}{x}=\frac{a^3}{a^2}=a$. Dacă $a>1$, raportul e supraunitar, deci $y>x$. Dacă $0<a<1$, raportul e subunitar, deci $y<x$. Pentru $a=1$ (caz exclus din definiția funcției exponențiale, dar posibil ca simplu calcul cu puteri) avem $x=y=1$: numerele sunt egale, iar comparația strictă nu mai are sens. Exact acesta e motivul pentru care baza $1$ e eliminată din definiție.

De reținut

• Bază supraunitară ($a>1$): $a^m<a^n⟺m<n$ — ordinea exponenților se copiază în ordinea valorilor.
• Bază subunitară ($0<a<1$): $a^m<a^n⟺m>n$ — sensul se răstoarnă. Aici se pierd cele mai multe puncte.
• Compararea cu $1$: pentru $a>1$, $a^m>1⟺m>0$; pentru $0<a<1$, $a^m>1⟺m<0$. Punctul de basculare e mereu exponentul $0$.
• Când bazele diferă, ai două strategii: le aduci la aceeași bază (dacă sunt puteri ale aceluiași număr) sau aduci puterile la același exponent (grupând după un divizor comun al exponenților).
• Compararea nu se încheie obligatoriu cu o inegalitate: $9^{0,3}$ și $27^{0,2}$ sunt egale. Adu-le mereu la aceeași formă înainte de a te pronunța.

Greșeli frecvente

• Uiți să răstorni sensul la bază subunitară. Din $2<3$ nu rezultă ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2<{\left(\frac{1}{2}\right)}^3$; adevărul e invers. Verifică întotdeauna poziția bazei față de $1$ înainte de a scrie concluzia.
• Confunzi regula exponenților cu regula bazelor. Compararea $2^5$ cu $2^7$ se face pe exponenți; compararea $2^5$ cu $3^5$ se face pe baze. Sunt reguli diferite, cu condiții diferite.
• Crezi că un exponent negativ face numărul negativ. $3^{-4}=\frac{1}{81}$ este pozitiv. Exponentul negativ inversează, nu schimbă semnul.
• Compari zecimalele greșit. $2,03<2,3$, deși „are mai multe cifre". La exponenți zecimali, aliniază mental zecimalele înainte de a compara.
• Renunți când numerele sunt uriașe. $2^{300}$ și $3^{200}$ se compară în două rânduri, grupând exponenții. Dacă ai ajuns să vrei calculatorul, ai ratat strategia potrivită.

Aplică acasă

1. Duelul dobânzilor. Două bănci oferă $4\%$, respectiv $4,5\%$ pe an. Scrie cele două funcții exponențiale și compară valorile după $10$ ani pentru aceeași sumă inițială, justificând mai întâi prin monotonie care e mai mare, apoi verificând cu calculatorul.

2. Kilo, mega, giga. Verifică pe calculatorul tău cât spațiu „real" are un stick sau un card de memorie și explică-i cuiva din familie, folosind comparația $2^{30}>10^9$, de ce cifra afișată e mai mică decât cea de pe ambalaj.

3. Turnirul puterilor. Scrie pe bilețele zece numere de forma $a^m$ cu baze din mulțimea $\left\{\frac{1}{2},\frac{2}{3},2,3\right\}$ și exponenți între $-3$ și $3$. Amestecă-le și ordonează-le crescător fără calculator, notând pentru fiecare pereche ce regulă ai folosit. Verifică la final cu calculatorul.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă monotonia funcției exponențiale într-o tehnică rapidă de comparare. Ea verifică trei automatisme: recunoașterea poziției bazei față de $1$, aplicarea corectă a regulii (păstrare sau răsturnare a sensului) și alegerea strategiei potrivite când bazele diferă. Cel mai important de urmărit e justificarea: la Bacalaureatul M1 nu se acordă punctaj pentru „se vede că e mai mare", ci pentru invocarea explicită a monotoniei.

Întrebări bune de control: „Ce se schimbă când baza devine subunitară?" (sensul inegalității); „Cum compari $2^{300}$ cu $3^{200}$ fără calculator?" (grupezi exponenții la $100$); „Poate o putere cu bază pozitivă să fie negativă?" (niciodată). Semne că a înțeles: nu confundă compararea exponenților cu compararea bazelor, verifică dacă numerele nu cumva sunt egale și scrie de fiecare dată propoziția justificativă cu monotonia.

La Bacalaureatul M1, aceste comparări apar în subiectul I (ordonarea unor numere scrise ca puteri sau radicali), ca pas intermediar în inecuații exponențiale și logaritmice și în probleme de tip „arătați că numărul … este mai mare decât …". Tehnica se transferă direct la inecuațiile exponențiale, unde aceeași discuție după bază decide sensul soluției.

Întrebări frecvente

Cum compar două puteri cu aceeași bază? Compari doar exponenții. Dacă baza e mai mare decât $1$, exponentul mai mare dă numărul mai mare. Dacă baza e între $0$ și $1$, se întâmplă invers: exponentul mai mare dă numărul mai mic.

De ce se schimbă sensul inegalității când baza este subunitară? Pentru că funcția exponențială cu bază subunitară este strict descrescătoare: fiecare înmulțire cu un factor mai mic decât $1$ micșorează rezultatul. Formal, se scrie $a=\frac{1}{b}$ cu $b>1$ și se folosește regula de la baza supraunitară pentru exponenții $-m$ și $-n$.

Cum compar o putere cu numărul 1? Te uiți la semnul exponentului. La bază supraunitară, exponent pozitiv înseamnă valoare peste $1$, exponent negativ înseamnă valoare sub $1$. La bază subunitară e exact invers. Exponentul $0$ dă întotdeauna $1$.

Cum compar puteri cu baze diferite? Ai două căi. Dacă bazele sunt puteri ale aceluiași număr (de exemplu $4$, $8$, $16$ față de $2$), le aduci la baza comună. Dacă nu, grupezi exponenții după un divizor comun și compari bazele obținute, la același exponent.

Care e mai mare, 2 la puterea 300 sau 3 la puterea 200? $3^{200}$. Se scrie $2^{300}=8^{100}$ și $3^{200}=9^{100}$; exponentul fiind același și pozitiv, decide baza, iar $8<9$.

Poate o putere cu bază pozitivă să fie negativă? Nu, niciodată. Oricât de negativ ar fi exponentul, valoarea rămâne strict pozitivă — exponentul negativ înseamnă „inversul", nu „opusul": $2^{-3}=\frac{1}{8}$, nu $-8$.

Cum ordonez mai multe radicali de ordine diferite? Îi scrii ca puteri și încerci întâi să-i aduci la aceeași bază; dacă nu se poate, îi aduci la același exponent, folosind numitorul comun al exponenților. Apoi aplici regula corespunzătoare, cea a exponenților sau cea a bazelor.