Graficul funcției putere: forme și monotonie citită (M2, științe ale naturii)

Inima unui șoarece bate de câteva sute de ori pe minut, a unui om de vreo optzeci de ori, iar a unui elefant de circa treizeci de ori. Biologii au găsit că, la mamiferele în repaus, frecvența cardiacă scade cu masa corpului aproximativ după legea $f(M)=241\cdot M^{-0,25}$ bătăi pe minut, cu masa $M$ în kilograme. Exponentul negativ face ca graficul să coboare: un animal mai greu are o inimă mai lentă. Asemenea concluzii se citesc direct din forma graficului unei funcții putere, dacă știi ce formă corespunde fiecărui exponent. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), lecția arată graficele funcției putere pe numerele strict pozitive pentru câțiva exponenți reali, pe același reper, și citește din ele monotonia, confirmată apoi prin calcul pe numere. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: programa de examen (OMEN 4430/2014) cere lectura grafică a monotoniei pentru funcțiile studiate și calculul cu puteri cu exponent real, deși programa nu numește funcția putere cu exponent real: dintre funcțiile putere, ea o numește doar pe cea cu exponent natural, iar programa nouă a clasei a X-a (Anexa 28) nu mai conține graficul puterii cu exponent real; acolo, graficul puterii se studiază doar cu exponent întreg, în clasa a IX-a. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, programa probei MAT_P2 din 2030 cuprinde funcția putere cu exponent întreg, în domeniul „Algebră”, nu și exponenții reali din această lecție. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține lectura grafică a monotoniei și calculul cu puteri cu exponent real; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință cu graficul funcției putere.

Valorile, semnul și poziția lor față de $1$ au fost stabilite în lecția despre funcția putere cu exponent real, iar regula care compară puteri cu același exponent vine din lecția despre regulile puterilor reale. Pentru exponenți întregi, graficele au fost citite în lecția de clasa a IX-a despre funcția putere cu exponent întreg; aici le extindem la exponenți reali.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști pe un desen dacă exponentul unei funcții putere este mai mare decât $1$, între $0$ și $1$ sau negativ, după forma curbei.
• Vei ști să citești monotonia pe grafic și să o verifici pe două numere prin raportul valorilor, fără demonstrația generală.
• Vei ști să spui care dintre două curbe de tip putere este deasupra, separat pe intervalul $(0;1)$ și pe intervalul $(1;+\infty )$.
• Vei ști ce desenezi lângă axe: unde curba pornește, unde nu are puncte și cum se apropie de axe.
• Vei ști să schițezi fără calculator, în poziția relativă corectă, trei curbe pentru trei exponenți dați.
• Vei ști să citești un model biologic cu exponent negativ, atent la unități și la intervalul de mase al datelor.

Hai să descoperim împreună

1. Trei exponenți pe același reper

Graficul funcției putere $x\mapsto x^{\alpha }$ este mulțimea punctelor $(x;x^{\alpha })$ cu $x>0$; oricare ar fi exponentul real $\alpha$, graficul conține punctul $(1;1)$ și nu are niciun punct pe axe, fiindcă argumentul și valoarea sunt strict pozitive. Figura A arată, pe același reper, graficele pentru exponenții $1,85$; $0,45$ și $-0,6$, într-o fereastră cu abscise până la $2,2$.

Cele trei curbe se întâlnesc numai în $(1;1)$. În afara acestui punct fiecare are un comportament propriu: una urcă tot mai abrupt, una urcă tot mai domol, una coboară. Secțiunile următoare iau pe rând fiecare formă și spun ce exponent o produce.

2. Cum arată curba pentru α > 1?

Pentru exponentul $1,85$ curba pornește de lângă origine foarte aplatizată: la $x=0,5$ valoarea este doar $0,5^{1,85}\approx 0,277$. După ce trece prin $(1;1)$ urcă tot mai repede: la $x=2$ ajunge la $2^{1,85}\approx 3,605$. Originea însăși nu e punct al graficului, pentru că $0$ nu e în domeniu, așa că în desen ea apare ca un cerc gol.

Forma aceasta, în care curba se îndoaie în sus, este cea pe care lecția M2 despre mărginire și convexitate o numește convexă; aici doar o recunoaștem pe desen. Toți exponenții mai mari decât $1$ dau aceeași formă, cu o curbură cu atât mai pronunțată cu cât exponentul e mai mare.

3. Și când exponentul e între 0 și 1?

Pentru exponentul $0,45$ curba pornește tot de lângă origine, dar urcă foarte repede la început: deja la $x=0,01$ valoarea este aproximativ $0,126$, iar la $x=0,5$ aproximativ $0,732$. După $(1;1)$ creșterea încetinește: la $x=2$ valoarea e doar $1,366$. Curba se îndoaie în jos, ca aceea a radicalului din pagina M2 a clasei a IX-a dedicată rădăcinii pătrate, care este chiar cazul exponentului $\frac{1}{2}$.

Încetinirea nu înseamnă scădere. Valorile continuă să crească oricât de mare ar fi argumentul; doar că fiecare pas la dreapta aduce o creștere mai mică decât cel dinainte.

4. Ce se schimbă pentru α < 0?

Pentru exponentul $-0,6$ imaginea se inversează. Lângă axa verticală valorile sunt mari: $0,1^{-0,6}\approx 3,98$, iar cu cât argumentul se apropie de zero, cu atât valoarea crește peste orice prag. Departe spre dreapta valorile devin mici, $10^{-0,6}\approx 0,251$, dar rămân pozitive. Curba se apropie de ambele axe fără să le atingă, așa cum a fost descris în lecția M2 despre comportamentul asimptotic.

Pentru exponenți negativi graficul nu pornește din origine și nu are un punct de plecare: el vine de sus, de lângă axa verticală, și coboară. Aceasta e forma legii frecvenței cardiace din deschidere.

5. Cazurile de graniță: α = 0 și α = 1

Pentru $\alpha =1$ graficul este semidreapta $y=x$ fără originea ei, adică prima bisectoare pe $(0;+\infty )$. Ea desparte curbele care se îndoaie în sus de cele care se îndoaie în jos. Pentru $\alpha =0$ fiecare valoare este $1$, iar graficul este orizontala $y=1$ pe $(0;+\infty )$: nici nu urcă, nici nu coboară. Între exponenții pozitivi și cei negativi, exponentul $0$ este singurul pentru care funcția e constantă.

6. Monotonia: citită pe grafic, confirmată pe numere

Pe grafic citești: pentru $\alpha >0$ curba urcă de la stânga la dreapta, deci funcția este strict crescătoare pe $(0;+\infty )$; pentru $\alpha <0$ curba coboară, deci funcția este strict descrescătoare; pentru $\alpha =0$ este constantă.

Citirea se confirmă pe două numere prin raportul valorilor. Dacă $0<x_1<x_2$, atunci $\frac{x_2^{\alpha }}{x_1^{\alpha }}={\left(\frac{x_2}{x_1}\right)}^{\alpha }$, iar $\frac{x_2}{x_1}>1$. Pentru $\alpha >0$ raportul e mai mare decât $1$, pentru $\alpha <0$ e mai mic: e regula poziției față de $1$ din lecția precedentă. Pe exemplu, cu $\alpha =0,45$, $x_1=2$ și $x_2=5$, raportul este $2,5^{0,45}\approx 1,510$, deci valoarea în $5$ e mai mare decât cea în $2$.

O asemenea verificare confirmă desenul în punctele alese, nu demonstrează monotonia pe tot intervalul. Lecția rămâne la lectura grafică, confirmată pe numere; demonstrația generală, pentru orice exponent real, apare în lecția M1 a site-ului.

7. Cine e deasupra la stânga lui 1 și cine la dreapta?

În lecția de clasa a IX-a ai văzut, pentru exponenți întregi, că ordinea curbelor se schimbă în punctul $(1;1)$. Regula rămâne valabilă pentru exponenți reali oarecare, inclusiv negativi, iar justificarea vine tot dintr-un raport. Dacă $\alpha <\beta$, atunci $\frac{x^{\beta }}{x^{\alpha }}=x^{\beta -\alpha }$, cu exponentul $\beta -\alpha$ pozitiv. Pentru $x>1$ raportul e peste $1$, deci curba cu exponentul mai mare este deasupra; pentru $0<x<1$ raportul e sub $1$, deci aceeași curbă este dedesubt.

Figura B verifică regula pe doi exponenți negativi, $-0,3$ și $-1,6$. În dreptul lui $x=2$, curba cu exponentul $-0,3$ e deasupra: $2^{-0,3}\approx 0,812$, față de $2^{-1,6}\approx 0,330$. În dreptul lui $x=0,5$ ordinea e inversă: $0,5^{-0,3}\approx 1,231$, față de $0,5^{-1,6}\approx 3,031$. Semnul exponenților nu schimbă regula: contează doar care exponent e mai mare.

La o abscisă fixată, compararea valorilor este compararea a două puteri cu aceeași bază, din lecția despre compararea puterilor cu aceeași bază; graficul arată în plus că ordinea se păstrează pe tot intervalul, de o parte a lui $1$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește graficul: care exponent, care curbă?

Figura C arată trei curbe, notate I, II și III, graficele funcțiilor $x\mapsto x^{2,8}$, $x\mapsto x^{0,35}$ și $x\mapsto x^{-1,4}$, într-o ordine necunoscută. Potriviți fiecare curbă cu exponentul ei și verificați potrivirea printr-o valoare în $x=2$.

Rezolvare. Curba I coboară, deci are exponentul negativ, $-1,4$. Curbele II și III urcă; dintre ele, cea care la dreapta lui $1$ urcă abrupt și se îndoaie în sus are exponentul mai mare decât $1$. Pe desen aceasta este curba II, deci ei îi corespunde $2,8$, iar curbei III, care se îndoaie în jos, exponentul $0,35$.

Controlul în $x=2$: $2^{2,8}\approx 6,964$, $2^{0,35}\approx 1,275$ și $2^{-1,4}\approx 0,379$. Pe desen, în dreptul lui $2$, curba II iese din fereastră pe sus, curba III e puțin peste nivelul $1$, iar curba I e sub jumătate. Citirea și calculul se potrivesc.

Exemplul 2 — Monotonia verificată pe două numere

Fie $g(x)=x^{-2,5}$, pe $(0;+\infty )$. Precizați monotonia citită din semnul exponentului, calculați $g\left(\frac{1}{4}\right)$ și $g(9)$ și verificați că ordinea valorilor e cea prevăzută.

Rezolvare. Exponentul $-2,5$ este negativ, deci graficul coboară: funcția e strict descrescătoare. Calculăm: $g\left(\frac{1}{4}\right)=4^{2,5}={\left(\sqrt{4}\right)}^5=32$ și $g(9)={\left(\sqrt{9}\right)}^{-5}=3^{-5}=\frac{1}{243}$.

Argumentele sunt în ordinea $\frac{1}{4}<9$, iar valorile în ordinea inversă, $32>\frac{1}{243}$, cum trebuie pentru o funcție descrescătoare. Raportul confirmă: $\frac{g(9)}{g(1/4)}=36^{-2,5}=\frac{1}{7776}$, un număr sub $1$. Două valori verifică desenul; ele nu înlocuiesc citirea întregului grafic.

Exemplul 3 — Radicalul de ordinul șase și parabola, pe cele două intervale

Comparați graficele funcțiilor $x\mapsto x^{1/6}$ și $x\mapsto x^2$ pe intervalele $(0;1)$ și $(1;+\infty )$ și confirmați prin valorile în $x=\frac{1}{64}$ și în $x=64$.

Rezolvare. Exponenții sunt $\frac{1}{6}<2$. Pe $(1;+\infty )$ curba cu exponentul mai mare este deasupra, deci parabola; pe $(0;1)$ ordinea se inversează și deasupra este curba lui $x^{1/6}$. Singurul punct comun pe $(0;+\infty )$ este $(1;1)$.

Valorile: în $\frac{1}{64}$ avem ${\left(\frac{1}{64}\right)}^{1/6}=\frac{1}{2}$, iar ${\left(\frac{1}{64}\right)}^2=\frac{1}{4096}$; în $64$ avem $64^{1/6}=2$, iar $64^2=4096$. Distanța dintre curbe e mare la ambele capete, dar ordinea e opusă.

Exemplul 4 — Găsește greșeala: ordinea la exponenți negativi

Un elev afirmă: „Pentru $x>1$, curba lui $x^{-1,75}$ este deasupra curbei lui $x^{-0,5}$, pentru că $1,75>0,5$.” Găsiți greșeala și verificați în $x=16$.

Rezolvare. Elevul a comparat exponenții fără semn. Exponenții reali sunt $-1,75$ și $-0,5$, iar $-1,75<-0,5$. Pentru $x>1$ curba cu exponentul mai mare, adică $-0,5$, este deasupra. Afirmația elevului e deci inversată.

Verificarea în $16$: $16^{-1,75}=2^{-7}=\frac{1}{128}$, iar $16^{-0,5}=\frac{1}{4}$. Cum $\frac{1}{128}<\frac{1}{4}$, curba lui $x^{-1,75}$ e dedesubt. Afirmația elevului ar fi fost corectă pe $(0;1)$, unde ordinea se inversează.

Exemplul 5 — Frecvența cardiacă a mamiferelor

Legea $f(M)=241\cdot M^{-0,25}$ dă frecvența cardiacă de repaus, în bătăi pe minut, pentru o masă $M$, în kilograme; a fost măsurată pe mamifere între $0,02$ și $5000$ kg. a) Calculați frecvența pentru un șobolan de $0,0625$ kg și pentru un animal de $256$ kg. b) Ce monotonie are funcția și ce înseamnă ea pentru animale? c) Folosiți figura D ca să estimați masa pentru care frecvența este $100$ de bătăi pe minut.

Rezolvare. a) $0,0625=\frac{1}{16}={\left(\frac{1}{2}\right)}^4$, deci $0,0625^{-0,25}=2$ și $f(0,0625)=241\cdot 2=482$ bătăi pe minut; $256=4^4$, deci $f(256)=241\cdot 4^{-1}=60,25$ bătăi pe minut.

b) Cu exponentul negativ $-0,25$, funcția scade strict pe intervalul de mase: un mamifer mai greu are, în repaus, o inimă mai lentă. Verificarea pe numere: $0,0625<256$ și $482>60,25$.

c) Pe figura D, orizontala de nivel $100$ taie curba aproape de axa verticală, la stânga abscisei $50$, în dreptul unei mase de aproximativ $34$ kg. Controlul: $f(34)=241\cdot 34^{-0,25}\approx 99,8$, foarte aproape de $100$, deci citirea e bună. Graficul dă o estimare; formula o confirmă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

a) Arătați că numărul $0,4^{-\sqrt{13}}$ este mai mare decât $1$. b) Comparați numerele $0,4^{-\sqrt{13}}$ și $6^{-\sqrt{13}}$, justificând cu graficul funcției $x\mapsto x^{-\sqrt{13}}$.

Rezolvare. a) Baza $0,4$ e sub $1$, iar exponentul $-\sqrt{13}$ e negativ: sunt de aceeași parte, deci $0,4^{-\sqrt{13}}>1$.

b) Exponentul $-\sqrt{13}$ este negativ, deci graficul funcției $x\mapsto x^{-\sqrt{13}}$ coboară: funcția este strict descrescătoare pe $(0,+\infty )$. Din $0,4<6$ rezultă $0,4^{-\sqrt{13}}>6^{-\sqrt{13}}$. Se vede și din poziția față de $1$: primul număr e peste $1$, iar al doilea, cu baza $6$ peste $1$ și exponent negativ, e sub $1$. Cerințele sunt compuse pentru antrenament, după forma celor scurte despre funcții, fără să reproducă un subiect oficial.

Să exersăm

Unde apare un desen, uită-te mai întâi la fereastră și la gradațiile axelor. Când vorbești despre monotonie, numește ce o hotărăște.

1. Figura E arată graficele a trei funcții putere, notate (a), (b) și (c). Pentru fiecare, spuneți dacă exponentul este mai mare decât $1$, între $0$ și $1$ sau negativ și ce detaliu al desenului v-a convins.

2. Precizați monotonia pe $(0;+\infty )$ a funcțiilor $x\mapsto x^{\sqrt{5}-2}$, $x\mapsto x^{-0,01}$, $x\mapsto x^{\pi -3}$ și $x\mapsto x^{1-\sqrt{2}}$.

3. Pentru $f(x)=x^{1/7}$ calculați $f\left(\frac{1}{128}\right)$, $f(128)$ și $f(2187)$ și verificați că ordinea valorilor corespunde monotoniei citite din exponent.

4. Pentru $g(x)=x^{-5/6}$ calculați $g\left(\frac{1}{64}\right)$, $g(64)$ și $g(729)$ și verificați că ordinea valorilor corespunde monotoniei.

5. Care dintre graficele funcțiilor $x\mapsto x^{0,62}$ și $x\mapsto x^{2,1}$ este deasupra pe $(0;1)$ și care pe $(1;+\infty )$? Confirmați cu valorile în $0,5$ și în $3$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) În punctul de abscisă $\frac{9}{4}$ graficul lui $x^{0,5}$ este sub graficul lui $x^{1,5}$, iar în punctul de abscisă $\frac{4}{9}$ este deasupra lui.

7. Ordonați crescător valorile în $x=0,5$ ale funcțiilor $x\mapsto x^{2,4}$, $x\mapsto x^{0,55}$ și $x\mapsto x^{-1,3}$, fără calculator, apoi verificați.

8. (Problemă aplicată.) Într-un canal de irigație, viteza apei depinde de raza hidraulică $R$, în metri, aproximativ prin $v(R)=2\cdot R^{2/3}$ metri pe secundă (legea lui Manning, pentru panta și rugozitatea acestui canal), pentru $R$ între $0,1$ și $2$ m. a) Calculați $v(0,343)$, $v(1)$ și $v(1,331)$. b) Ce monotonie are funcția și ce formă are graficul? c) Stabiliți, fără calculator, în care dintre două canale de același tip, cu razele hidraulice $0,45$ m și $0,62$ m, apa curge mai repede.

9. Un elev desenează graficul lui $x\mapsto x^{0,4}$ și îl face să treacă prin punctul „$(1;0,4)$”. Găsiți greșeala și precizați punctul corect de abscisă $1$.

10. Pentru $f(x)=x^{1,4}$ calculați $f(32)$ și $f\left(\frac{1}{32}\right)$ și comparați fiecare valoare cu argumentul ei. Ce spun rezultatele despre poziția graficului lui $f$ față de dreapta $y=x$, la stânga și la dreapta abscisei $1$?

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Comparați numerele $0,6^{2-\sqrt{7}}$ și $0,9^{2-\sqrt{7}}$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Comparați numerele $1,5^{\sqrt{10}}$ și ${\left(\sqrt{2}\right)}^{\sqrt{10}}$.

13. Determinați cea mai mică și cea mai mare valoare a funcției $x\mapsto x^{3,5}$ pe intervalul $\left[\frac{1}{4};4\right]$.

14. O curbă de forma $y=3\cdot x^{\alpha }$ trece prin punctele $(1;3)$ și $(4;6)$. Stabiliți semnul exponentului din monotonie și arătați că $\alpha =0,5$ se potrivește.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$. Arătați că $f\left(2^{1/3}\right)+f\left(3^{2/3}\right)=11$.

16. Fără desen, precizați forma graficului pe $(0;+\infty )$ pentru exponenții $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\pi }{3}$ și $e-3$: urcă îndoindu-se în sus, urcă îndoindu-se în jos sau coboară.

17. Figura F arată graficul unei funcții $x\mapsto x^{\alpha }$ care trece prin punctul $\left(8;\frac{1}{2}\right)$. Stabiliți semnul lui $\alpha$ citind graficul și verificați că $\alpha =-\frac{1}{3}$ se potrivește.

18. (Provocare.) O funcție de forma $f(x)=k\cdot x^{\alpha }$, cu $k>0$, verifică $f(1)=5$ și $f(4)=10$. Fără să aflați exponentul, arătați că $f(16)=20$ și precizați dacă funcția crește sau scade.

Răspunsuri și explicații

1. Curba (a) urcă și se îndoaie în sus: exponent mai mare decât $1$. Curba (b) urcă și se îndoaie în jos, repede la început și apoi domol: exponent între $0$ și $1$. Curba (c) coboară dinspre axa verticală: exponent negativ. Toate trec prin $(1;1)$, deci niciun detaliu de acolo nu le deosebește; decid direcția și curbura.

2. Monotonia depinde de semnul exponentului. $\sqrt{5}-2>0$, deci prima funcție e strict crescătoare; $-0,01<0$, deci a doua e strict descrescătoare; $\pi -3>0$, deci a treia e strict crescătoare; $1-\sqrt{2}<0$, deci a patra e strict descrescătoare.

3. $f\left(\frac{1}{128}\right)=\frac{1}{2}$, $f(128)=2$ și $f(2187)=3$, pentru că $2^7=128$ și $3^7=2187$. Exponentul $\frac{1}{7}$ e pozitiv, deci funcția e crescătoare, iar argumentele și valorile sunt în aceeași ordine: $\frac{1}{2}<2<3$.

4. $g\left(\frac{1}{64}\right)=2^5=32$, $g(64)=2^{-5}=\frac{1}{32}$ și $g(729)=3^{-5}=\frac{1}{243}$. Exponentul e negativ, funcția e descrescătoare, iar valorile sunt în ordinea inversă argumentelor: $32>\frac{1}{32}>\frac{1}{243}$.

5. Exponenții sunt $0,62<2,1$. Pe $(0;1)$ deasupra este $x^{0,62}$, pe $(1;+\infty )$ deasupra este $x^{2,1}$. Valorile: $0,5^{0,62}\approx 0,651$ și $0,5^{2,1}\approx 0,233$; $3^{0,62}\approx 1,976$ și $3^{2,1}\approx 10,045$.

6. Adevărat. În $\frac{9}{4}$: ${\left(\frac{9}{4}\right)}^{0,5}=\frac{3}{2}$ și ${\left(\frac{9}{4}\right)}^{1,5}=\frac{27}{8}$, iar $\frac{3}{2}<\frac{27}{8}$. În $\frac{4}{9}$: ${\left(\frac{4}{9}\right)}^{0,5}=\frac{2}{3}$ și ${\left(\frac{4}{9}\right)}^{1,5}=\frac{8}{27}$, iar $\frac{2}{3}>\frac{8}{27}$. Rezultatul se potrivește cu regula ordinii: prima abscisă e peste $1$, a doua sub $1$.

7. Argumentul $0,5$ e sub $1$, deci exponentul mai mare dă valoarea mai mică: $0,5^{2,4}<0,5^{0,55}<0,5^{-1,3}$. Verificare: $0,5^{2,4}\approx 0,189$, $0,5^{0,55}\approx 0,683$ și $0,5^{-1,3}\approx 2,462$.

8. a) $0,343=0,7^3$ și $1,331=1,1^3$, deci $v(0,343)=2\cdot 0,7^2=0,98$ m/s, $v(1)=2$ m/s și $v(1,331)=2\cdot 1,1^2=2,42$ m/s. b) Exponentul $\frac{2}{3}$ e între $0$ și $1$: funcția e strict crescătoare, iar graficul urcă îndoindu-se în jos; creșterea încetinește pentru raze mari. c) Exponentul $\frac{2}{3}$ este pozitiv, deci funcția crește: din $0,45<0,62$ rezultă $v(0,45)<v(0,62)$, adică apa curge mai repede în canalul cu raza $0,62$ m. Ambele raze sunt în intervalul modelului.

9. În abscisa $1$ orice funcție putere ia valoarea $1^{0,4}=1$, deci punctul corect este $(1;1)$. Elevul a confundat valoarea funcției cu exponentul.

10. $f(32)={\left(2^5\right)}^{1,4}=2^7=128$, mai mare decât $32$, iar $f\left(\frac{1}{32}\right)=2^{-7}=\frac{1}{128}$, mai mic decât $\frac{1}{32}$. Dreapta $y=x$ este graficul puterii cu exponentul $1$, iar $1,4>1$: la dreapta lui $1$ graficul lui $f$ e deasupra dreptei, la stânga lui $1$ e dedesubt, iar în $(1;1)$ se întâlnesc. Cele două valori confirmă regula ordinii curbelor.

11. Exponentul comun $2-\sqrt{7}$ e negativ, fiindcă $\sqrt{7}>2$, deci funcția $x\mapsto x^{2-\sqrt{7}}$ e strict descrescătoare. Din $0,6<0,9$ rezultă $0,6^{2-\sqrt{7}}>0,9^{2-\sqrt{7}}$.

12. Cu exponentul comun pozitiv $\sqrt{10}$, funcția $x\mapsto x^{\sqrt{10}}$ crește strict. Comparăm bazele: $1,5^2=2,25>2={\left(\sqrt{2}\right)}^2$, iar ambele numere sunt pozitive, deci $1,5>\sqrt{2}$. Rezultă $1,5^{\sqrt{10}}>{\left(\sqrt{2}\right)}^{\sqrt{10}}$.

13. Exponentul $3,5$ e pozitiv, funcția e crescătoare, deci cea mai mică valoare e în capătul stâng și cea mai mare în capătul drept: ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{3,5}={\left(\frac{1}{2}\right)}^7=\frac{1}{128}$ și $4^{3,5}=2^7=128$.

14. Între argumentele $1$ și $4$ valoarea a crescut, de la $3$ la $6$, deci curba urcă: exponentul e pozitiv. Pentru $\alpha =0,5$: $3\cdot 1^{0,5}=3$ și $3\cdot 4^{0,5}=3\cdot 2=6$, deci exponentul se potrivește.

15. $f\left(2^{1/3}\right)={\left(2^{1/3}\right)}^3=2$ și $f\left(3^{2/3}\right)={\left(3^{2/3}\right)}^3=3^2=9$, iar $2+9=11$.

16. $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707$ e între $0$ și $1$: urcă îndoindu-se în jos. $\frac{\pi }{3}\approx 1,047$ e mai mare decât $1$: urcă îndoindu-se în sus, foarte puțin, fiind aproape de $1$. $e-3\approx -0,282$ e negativ: coboară.

17. Curba trece prin $(1;1)$ și, la dreapta, coboară până la $\frac{1}{2}$ în dreptul lui $8$: funcția e descrescătoare, deci $\alpha <0$. Pentru $\alpha =-\frac{1}{3}$: $8^{-1/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{8}}=\frac{1}{2}$, deci exponentul se potrivește.

18. Din $f(1)=k=5$ și $f(4)=5\cdot 4^{\alpha }=10$ rezultă $4^{\alpha }=2$. Atunci $f(16)=5\cdot 16^{\alpha }=5\cdot {\left(4^{\alpha }\right)}^2=5\cdot 4=20$. Cum $4^{\alpha }=2>1$ cu argumentul $4>1$, exponentul e pozitiv, deci funcția crește.

De reținut

• Graficul oricărei funcții $x\mapsto x^{\alpha }$ pe $(0;+\infty )$ trece prin $(1;1)$ și nu are puncte pe axe; originea, când curba pornește de acolo, se desenează cu cerc gol.
• Forma se citește din exponent: pentru $\alpha >1$ curba urcă îndoindu-se în sus, pentru $0<\alpha <1$ urcă îndoindu-se în jos, pentru $\alpha <0$ coboară dinspre axa verticală spre axa orizontală, iar $\alpha =1$ și $\alpha =0$ dau bisectoarea și orizontala $y=1$.
• Monotonia depinde de semnul exponentului: crescătoare pentru $\alpha >0$, descrescătoare pentru $\alpha <0$; două valori o confirmă prin raportul ${\left(\frac{x_2}{x_1}\right)}^{\alpha }$, dar nu o demonstrează.
• Pe $(1;+\infty )$ curba cu exponentul mai mare e deasupra, iar pe $(0;1)$ dedesubt, oricare ar fi semnul exponenților.
• La un model citești unitățile și intervalul de valabilitate înainte de a trage o concluzie din forma curbei despre cât de repede crește sau scade mărimea.

Greșeli frecvente

• Crezi că o curbă mai abruptă are mereu exponentul mai mare. Lângă origine, curba lui $x^{0,45}$ urcă mai abrupt decât cea a lui $x^{1,85}$, deși exponentul ei e mai mic; panta depinde de zona în care te uiți, iar exponentul se judecă după formă și după ordinea față de $1$.
• Desenezi funcția cu exponentul zero ca pe axa orizontală. Pentru $\alpha =0$ fiecare valoare este $1$, deci graficul e orizontala $y=1$, nu dreapta $y=0$.
• Pornești din origine curba unui exponent negativ. Lângă zero valorile sunt foarte mari, deci curba vine de sus, de lângă axa verticală; originea nu are ce căuta pe desen.
• Consideri că două valori demonstrează monotonia. Două puncte în ordinea potrivită confirmă desenul, dar nu exclud o porțiune pe care funcția ar coborî; decisiv e semnul exponentului, citit împreună cu graficul.
• Crezi că o curbă care se îndoaie în jos începe să coboare. Curba lui $x^{0,45}$ se îndoaie în jos, dar urcă tot timpul: $2^{0,45}<3^{0,45}<4^{0,45}$. Îndoirea arată doar că fiecare pas la dreapta aduce o creștere mai mică; dacă funcția crește sau scade decide semnul exponentului, nu forma curbei.

Aplică acasă

1. Pulsul tău și al animalului tău. Măsoară-ți pulsul în repaus, un minut întreg, și calculează ce prezice legea $241\cdot M^{-0,25}$ pentru masa ta. Dacă ai un animal de companie, fă același lucru pentru el. Scrie cât de departe e fiecare valoare de previziune și de ce o lege măsurată pe multe specii nu se potrivește exact fiecărui individ.
2. Grafic pe hârtie milimetrică. Calculează cu calculatorul valorile lui $x^{0,6}$ și $x^{1,4}$ pentru $x$ egal cu $0,25$; $0,5$; $1$; $1,5$; $2$ și $3$, apoi desenează ambele curbe prin puncte pe aceeași foaie. Marchează punctul comun și colorează diferit porțiunile în care prima curbă e deasupra.
3. Curbe din sârmă. Îndoaie trei bucăți de sârmă moale (sau desenează cu trei culori pe o folie) după curbele exponenților $2$, $0,5$ și $-1$, trecându-le pe toate prin același punct, care joacă rolul lui $(1;1)$. Suprapune-le și verifică, ridicând folia spre lumină, că ordinea lor se inversează în acel punct. Explică apoi cuiva din familie de ce.

Pentru părinți și profesori

Lecția este una de lectură grafică. Elevul trebuie să lege exponentul de forma curbei, să citească monotonia și ordinea a două curbe și să confirme fiecare citire printr-un calcul scurt pe numere. Demonstrația generală a monotoniei, bijectivitatea și inversa funcției putere nu fac parte din lecție: primele nu sunt cerute de programa de examen, în care funcția putere cu exponent real lipsește, iar funcțiile bijective sunt tema lecției următoare a suplimentului, pe alte exemple.

De urmărit în caiet: elevul scrie semnul exponentului înainte de a vorbi despre monotonie; la compararea a două curbe precizează intervalul, $(0;1)$ sau $(1;+\infty )$; desenează cercul gol în origine și nu lipește curbele de axe. Întrebări bune de control: „Ce formă are curba dacă exponentul e $0,3$?”; „Care curbă e deasupra lângă zero?”; „Ce îți spun două valori și ce nu îți spun?”. Semnul că tema e stăpânită: elevul poate schița, fără calculator, trei curbe pentru trei exponenți dați, în poziția relativă corectă.

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029. Programa de examen (OMEN 4430/2014) cere la clasa a X-a proprietățile puterilor cu exponent real, iar în nota capitolului de funcții cere, pentru toate funcțiile studiate, reprezentarea grafică prin puncte și lectura grafică a monotoniei; dintre funcțiile putere numește explicit doar pe cea cu exponent natural. De aceea marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)” stă pe exercițiile care cer comparări sau calcule cu puteri, inclusiv cu funcția $x^3$, iar exercițiile de citire a formei nu îl poartă. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu conține o cerință cu graficul funcției putere; exercițiile marcate sunt create pentru exersare, nu copiate din subiecte. Programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) are graficul funcției putere numai pentru exponent întreg, la clasa a IX-a. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, programa probei MAT_P2 din 2030 conține funcția putere cu exponent întreg, în domeniul „Algebră”, dar nu și exponenții reali. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: graficul funcției putere și monotonia, mate-info (M1). Lecția următoare a suplimentului este funcțiile injective, surjective și bijective la M2, iar exercițiile de sinteză ale unității stau în testul suplimentului M2, cu puteri reale și bijectivitate.

Întrebări frecvente

Ce diferă la graficul funcției putere între M1 și M2? În lecția M1 a site-ului, monotonia funcției putere se demonstrează, iar lecția continuă cu bijectivitatea, inversa și aducerea radicalilor la exponent comun. Programa de examen 2014, aceeași la ambele profiluri pentru clasa a X-a, nu numește funcția putere cu exponent real, așa că lecția M2 citește forma și monotonia pe desen, le confirmă pe numere și compară curbele.

La ce subiect al bacalaureatului M2 se poate folosi această lecție? Programa de examen 2014 cere lectura grafică a monotoniei pentru funcțiile studiate și proprietățile puterilor cu exponent real, dar funcția $x\mapsto x^{\alpha }$ cu $\alpha$ real nu apare în ea. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință cu graficul funcției putere; la Subiectul I are o cerință cu valori ale unor funcții de gradul întâi. O comparare de valori ca în Exemplul 6 este un calcul cu puteri, adică partea cerută de programă.

Cum schițez de mână graficul unei funcții putere? Marchezi întâi punctul $(1;1)$, apoi calculezi două valori, una la stânga lui $1$, de exemplu în $\frac{1}{4}$, și una la dreapta, în $4$. Semnul exponentului îți spune dacă unești punctele urcând sau coborând, iar poziția lui față de $1$ îți spune dacă linia se îndoaie în sus sau în jos. Lângă zero lași originea goală.

De ce lecția M2 nu demonstrează monotonia pentru orice exponent? Programa de examen 2014 nu conține această funcție, la niciun profil. Lecția o folosește ca organizare a calculului cu puteri: citește monotonia pe grafic și o confirmă prin raportul ${\left(\frac{x_2}{x_1}\right)}^{\alpha }$, comparat cu $1$. Demonstrația generală se găsește în lecția M1 a site-ului.

Cum recunosc, din măsurători, dacă o lege are exponentul peste sau sub 1? Reprezinți punctele măsurate pe hârtie milimetrică, la pași egali ai argumentului, și urmărești creșterile valorii. Dacă ele se măresc de la un pas la altul, curba se îndoaie în sus și exponentul e peste $1$; dacă se micșorează, exponentul e între $0$ și $1$. Valorile care scad arată un exponent negativ. Exponentul exact se află abia din rapoarte, ca în lecția precedentă.

Cum arată curba când exponentul e foarte aproape de 1? Aproape ca bisectoarea $y=x$. Pentru $\alpha =1,05$ sau $\alpha =0,95$ diferența față de dreaptă abia se vede în jurul lui $(1;1)$ și devine vizibilă doar departe: în $x=100$, de exemplu, $100^{1,05}\approx 125,9$, iar $100^{0,95}\approx 79,4$. Forma, adică îndoirea în sus sau în jos, rămâne cea dată de poziția exponentului față de $1$.