Proprietățile unei legi de compoziție (M2, științe ale naturii)

Într-o lucrare de laborator faci trei măsurători și le combini două câte două. Dacă rezultatul final nu depinde de ordinea în care le-ai luat, ai o metodă; dacă depinde, ai o rețetă care trebuie urmată la virgulă. Deosebirea aceasta, care în laborator e o chestiune de procedură, în algebra clasei a XII-a de la științe ale naturii (M2) devine un set de patru întrebări puse oricărei legi de compoziție: pot muta parantezele? contează ordinea? există un element care nu schimbă nimic? se poate „da înapoi" fiecare element? Lecția de față răspunde la toate patru într-o singură trecere, pe o lege de tipul celor din partea de algebră a bacalaureatului M2, care se rezolvă la Subiectul al II-lea.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: proprietățile legii de compoziție intră în rândul „Lege de compoziție internă, tabla operației" al programei de examen (OMEN 4430/2014) și nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a (OMEC 6930/2025, anexa 28), din care structurile algebrice au fost scoase. Pornim de acolo unde am rămas, de la legea de compoziție internă și tabla operației; din gimnaziu ne va trebui doar scrierea unui pătrat perfect, de la descompunerea cu formula pătratului.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți cele patru proprietăți — asociativitatea, comutativitatea, elementul neutru și elementele simetrizabile — și să spui ce îți permite fiecare.
• Vei ști să demonstrezi asociativitatea cu litere și să o infirmi cu un singur triplet, scris complet.
• Vei ști să găsești forma factorizată $(x-a)(y-a)+a$ a unei legi de tip produs și să o folosești ca scurtătură.
• Vei ști să determini elementul neutru rezolvând o ecuație și să verifici că răspunsul nu depinde de $x$.
• Vei ști să afli simetricul unui element și să spui exact care elemente nu au simetric.
• Vei ști să citești trei dintre cele patru proprietăți direct din tabla operației și de ce a patra nu se vede acolo.

Hai să descoperim împreună

1. Ce întrebăm despre o lege de compoziție?

Ai o lege internă $\ast$ pe o mulțime $M$. Patru întrebări o descriu aproape complet, iar ele se pun mereu în aceeași ordine.

Asociativitatea. Legea $\ast$ este asociativă dacă $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ pentru orice elemente $x$, $y$, $z$ din $M$. Câștigul ei practic: scrierea $x\ast y\ast z$ devine lipsită de ambiguitate, deci parantezele pot lipsi.

Comutativitatea. Legea este comutativă dacă $x\ast y=y\ast x$ pentru orice $x$, $y$ din $M$. Ea îți dă dreptul să schimbi ordinea.

Elementul neutru. Elementul $e\in M$ se numește element neutru al legii $\ast$ dacă $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x$ din $M$. Ambele egalități fac parte din definiție.

Elementele simetrizabile. Elementul $x\in M$ este simetrizabil dacă există $x^{\prime }\in M$ cu $x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=e$; elementul $x^{\prime }$ se numește simetricul lui $x$. Vorbim despre simetrici numai după ce am găsit elementul neutru — fără $e$, definiția nici nu se poate scrie.

Observă că prima întrebare mută parantezele și păstrează ordinea, iar a doua schimbă ordinea și păstrează parantezele: sunt întrebări diferite, iar răspunsul la una nu spune nimic despre cealaltă.

2. De ce nu se verifică asociativitatea pe numere?

Pentru că expresia „pentru orice" din definiție nu se poate verifica din exemple. Pe o mulțime cu $n$ elemente, egalitatea trebuie să fie adevărată pentru $n^3$ triplete — $27$ la trei elemente, $64$ la patru —, iar pe o mulțime de numere reale, pentru o infinitate. Trei triplete care ies bine nu dovedesc nimic.

Drumul sigur trece prin trei etape, mereu aceleași: dezvolți membrul din stânga pe litere, dezvolți la fel membrul din dreapta, apoi pui față în față expresiile obținute. Pentru infirmare ajunge, dimpotrivă, un singur triplet de numere, cu ambele socoteli scrise.

Iată o lege pe care asociativitatea o refuză. Pe $\mathbb{R}$ definim $x\ast y=x^{2}y$. Cu litere: $(x\ast y)\ast z=(x^{2}y{)}^{2}z=x^4{y}^{2}z$, iar $x\ast (y\ast z)=x^2(y^{2}z)=x^2{y}^{2}z$. Cele două expresii diferă prin puterea lui $x$, așa că luăm valori care scot deosebirea la iveală: pentru $x=2$, $y=1$, $z=1$ obținem $(2\ast 1)\ast 1=4\ast 1=16$, în timp ce $2\ast (1\ast 1)=2\ast 1=4$. Cum $16\ne 4$, legea nu este asociativă.

Reține ordinea: mai întâi litere, ca să vezi din ce cauză se rupe egalitatea, apoi numere alese tocmai ca deosebirea să iasă la iveală.

3. Cum găsești forma factorizată a unei legi de tip produs?

Lucrăm de acum pe legea

$$x\ast y=xy-2x-2y+6,x,y\in \mathbb{R}.$$

Este lege internă pe $\mathbb{R}$, fiindcă expresia din dreapta e un polinom în două litere. Înainte de orice calcul, o observație care schimbă tot. Calculează $2\ast y$: obții $2y-4-2y+6=2$, oricare ar fi $y$. Numărul $2$ înghite orice element cu care e compus. Un astfel de element se numește absorbant, iar prezența lui trădează structura formulei: dacă $2\ast y=2$ mereu, atunci expresia $x\ast y-2$ trebuie să aibă factorul $x-2$.

Verificăm bănuiala: $x\ast y-2=xy-2x-2y+4=(x-2)(y-2)$. Prin urmare

$$x\ast y=(x-2)(y-2)+2.$$

Forma aceasta nu înlocuiește formula, ci stă alături de ea, după ce ai desfăcut parantezele o dată. Cu ea, asociativitatea se demonstrează în două rânduri. Notând $u=x\ast y$, avem $u-2=(x-2)(y-2)$, deci

$$(x\ast y)\ast z-2=(u-2)(z-2)=(x-2)(y-2)(z-2),$$

iar același calcul, pornit din dreapta, dă $x\ast (y\ast z)-2=(x-2)(y-2)(z-2)$. Ambii membri sunt egali cu $(x-2)(y-2)(z-2)+2$, deci legea este asociativă pe $\mathbb{R}$.

4. Este legea comutativă?

Aici răspunsul se citește din formă, fără calcul. O formulă în care $x$ și $y$ joacă exact același rol — adică rămâne aceeași după ce le schimbi între ele — dă o lege comutativă. În $xy-2x-2y+6$ schimbă literele: obții $yx-2y-2x+6$, adică aceeași expresie. Legea este comutativă.

Atenție la sensul invers: o formulă care pare asimetrică nu dovedește nimic singură, fiindcă poate fi rescrisă. Ca să infirmi comutativitatea ai nevoie tot de un contraexemplu, adică de o pereche concretă cu $x\ast y\ne y\ast x$. Pentru legea din subsecțiunea 2, $x\ast y=x^{2}y$, perechea $(2,1)$ ajunge: $2\ast 1=4$, iar $1\ast 2=2$.

Și încă o precizare, pe care o vei folosi tot capitolul: comutativitatea și asociativitatea sunt independente. Legea $x^{2}y$ nu are niciuna dintre ele; există legi care le au pe amândouă, ca aceea a lecției; și există legi care o au pe una fără cealaltă.

5. Cum determini elementul neutru?

Scrii condiția din definiție și o rezolvi ca ecuație în $e$, cerând ca soluția să nu depindă de $x$. Pentru legea noastră, condiția $x\ast e=x$ devine, în forma factorizată,

$$(x-2)(e-2)+2=x,\text{adica˘}(x-2)(e-2)=x-2.$$

Egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice $x$ real. Luând un $x$ diferit de $2$, putem împărți la $x-2$ și obținem $e-2=1$, deci $e=3$. Verificăm și cealaltă egalitate: $3\ast x=(3-2)(x-2)+2=x-2+2=x$. Așadar $e=3$ este elementul neutru al legii.

Rețeta are trei controale, toate obligatorii: soluția găsită nu depinde de $x$, ea aparține mulțimii pe care lucrezi, iar egalitatea se verifică și în cealaltă ordine. Dacă valoarea găsită depinde de $x$, legea nu are element neutru — nu ai voie să alegi „un $e$ pentru fiecare $x$".

Pentru legile din familia $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ același calcul dă, de fiecare dată, $e=a+1$. Merită reținut ca formulă de control, nu ca înlocuitor al calculului.

6. Care elemente au simetric?

Fixăm $x$ real și căutăm $x^{\prime }$ real cu $x\ast x^{\prime }=3$. În forma factorizată:

$$(x-2)(x^{\prime }-2)+2=3,\text{adica˘}(x-2)(x^{\prime }-2)=1.$$

Dacă $x\ne 2$, putem împărți la $x-2$ și obținem $x^{\prime }-2=\frac{1}{x-2}$, deci

$$x^{\prime }=2+\frac{1}{x-2}.$$

Numărul acesta este real, deci aparține mulțimii, iar legea fiind comutativă cealaltă egalitate e automat îndeplinită. Dacă însă $x=2$, egalitatea devine $0\cdot (x^{\prime }-2)=1$, iar un produs cu un factor nul nu poate fi $1$: elementul $2$ nu are simetric. Era de așteptat — $2$ este absorbant, deci $2\ast y=2$ pentru orice $y$, iar $2$ nu ajunge niciodată la $3$.

Mulțimea elementelor simetrizabile este, prin urmare, $\mathbb{R}\setminus \{2\}$: toate numerele reale în afară de unul singur. Un exemplu de control: pentru $x=6$ obținem $x^{\prime }=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$, iar $6\ast \frac{9}{4}=4\cdot \frac{1}{4}+2=3$. Structura care apare atunci când toate elementele unei mulțimi sunt simetrizabile primește un nume în lecția următoare — iar din cele de mai sus se vede deja ce trebuie făcut ca să ajungem acolo.

7. Ce se citește direct din tabla operației?

Revenim la tabla adunării claselor de resturi modulo $3$, scrisă în lecția anterioară, și o privim acum cu cele patru întrebări în minte.

Comutativitatea se vede ca simetrie față de diagonala principală, adică față de șirul căsuțelor $x\ast x$: căsuța de pe linia lui $\hat{1}$ și coloana lui $\hat{2}$ conține $\hat{0}$, la fel ca cea oglindită, de pe linia lui $\hat{2}$ și coloana lui $\hat{1}$. Verificarea reușește peste tot, deci adunarea claselor e comutativă.

Elementul neutru se recunoaște după linia și coloana care reproduc antetele: linia lui $\hat{0}$ este $\hat{0},\hat{1},\hat{2}$, exact antetul de sus, iar coloana lui $\hat{0}$ este la fel. Deci $e=\hat{0}$. Ambele condiții se verifică, nu doar una.

Elementele simetrizabile se găsesc căutând $e$ în interiorul tablei: pe linia lui $\hat{1}$, clasa $\hat{0}$ apare în coloana lui $\hat{2}$, deci simetricul lui $\hat{1}$ este $\hat{2}$; simetric, simetricul lui $\hat{2}$ este $\hat{1}$, iar $\hat{0}$ este propriul său simetric.

Asociativitatea nu se vede. O căsuță strânge două elemente, pe când asociativitatea cere trei deodată, iar al treilea nu are unde să încapă într-un desen cu două intrări. Numărul lor crește și mult mai repede — $n^3$ față de $n^2$ căsuțe —, așa că rămân numai raționamentul general sau, pentru a dărâma proprietatea, un triplet nepotrivit.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Toate patru, pentru o lege aditivă

Pe $\mathbb{R}$ se consideră $x\ast y=x+y-6$. Studiază cele patru proprietăți.

Rezolvare. Asociativitatea, cu litere: $(x\ast y)\ast z=(x+y-6)+z-6=x+y+z-12$, iar $x\ast (y\ast z)=x+(y+z-6)-6=x+y+z-12$. Expresiile coincid, deci legea e asociativă. Comutativitatea se citește din formă: $x+y-6$ nu se schimbă dacă interschimbăm literele.

Elementul neutru: din $x+e-6=x$ obținem $e=6$, valoare care nu depinde de $x$ și e în $\mathbb{R}$. Simetricul lui $x$: din $x+x^{\prime }-6=6$ obținem $x^{\prime }=12-x$, număr real pentru orice $x$. Așadar toate elementele sunt simetrizabile.

Exemplul 2 — O tablă fără element neutru

Pe $M=\{t,u,v\}$ se dă legea din tabla de mai jos. Este comutativă? Are element neutru?

Rezolvare. Comparăm căsuțele oglindite față de diagonala principală. Pe linia lui $t$ și coloana lui $u$ stă $u$, iar pe linia lui $u$ și coloana lui $t$ stă $v$. Cum $u\ne v$, tabla nu e simetrică, deci legea nu este comutativă.

Pentru elementul neutru, linia lui $t$ reproduce antetul de sus, ceea ce pare promițător; verificăm însă și coloana lui $t$: ea este $t$, $v$, $u$, iar antetul din stânga este $t$, $u$, $v$ — nu coincid. Liniile lui $u$ și $v$ nu reproduc antetul, deci nici ele nu dau candidați. Legea nu are element neutru, iar despre simetrici nici nu se pune problema.

Exemplul 3 — Aceeași formulă, două mulțimi

Se consideră $x\ast y=5xy$. Determină elementul neutru pe $\mathbb{Q}$, apoi arată că pe $\mathbb{Z}$ legea nu are element neutru. Care sunt elementele simetrizabile pe $\mathbb{Q}$?

Rezolvare. Condiția $5xe=x$ pentru orice $x$ dă $x(5e-1)=0$, deci $5e-1=0$ și $e=\frac{1}{5}$. Valoarea nu depinde de $x$ și este un număr rațional, iar legea fiind comutativă cealaltă egalitate e îndeplinită: pe $\mathbb{Q}$ elementul neutru este $\frac{1}{5}$.

Pe $\mathbb{Z}$ același calcul dă tot $e=\frac{1}{5}$, care nu este număr întreg. Cum elementul neutru trebuie să aparțină mulțimii, pe $\mathbb{Z}$ legea nu are element neutru.

Simetricele pe $\mathbb{Q}$: din $5x{x}^{\prime }=\frac{1}{5}$ obținem $x^{\prime }=\frac{1}{25x}$, definit pentru $x\ne 0$. Elementul $0$ nu are simetric, fiindcă $5\cdot 0\cdot x^{\prime }=0\ne \frac{1}{5}$; toate celelalte au.

Exemplul 4 — Citirea celor trei proprietăți din tablă

Pe $M=\{d,g,h,k\}$ se dă legea din tabla de mai jos. Este comutativă? Care este elementul neutru? Care elemente sunt simetrizabile?

Rezolvare. Tabla este simetrică față de diagonala principală: perechile oglindite $(g,h)$ și $(h,g)$ dau amândouă $k$, perechile $(g,k)$ și $(k,g)$ dau amândouă $h$, iar $(h,k)$ și $(k,h)$ dau amândouă $k$. Legea este comutativă.

Linia lui $d$ este $d,g,h,k$, adică antetul de sus, iar coloana lui $d$ este tot $d,g,h,k$. Deci $e=d$.

Căutăm acum $d$ în interiorul tablei, linie cu linie. Pe linia lui $d$ apare în coloana lui $d$, deci $d$ este propriul său simetric. Pe linia lui $g$, valorile sunt $g,d,k,h$, iar $d$ stă în coloana lui $g$: prin urmare $g$ este tot propriul său simetric. Pe linia lui $h$ apar doar $h$ și $k$, iar pe linia lui $k$ doar $k$, $h$ și $g$ — în niciuna nu apare $d$. Sunt simetrizabile, așadar, numai $d$ și $g$.

Exemplul 5 — Un model din științe

Un semnal trece printr-un lanț de amplificatoare; fiecare amplificator are un factor de amplificare cel puțin egal cu $1$, iar doi amplificatori așezați unul după altul dau factorul $x\ast y=xy$. Studiază proprietățile legii pe mulțimea $M=[1,+\infty )$.

Rezolvare. Legea este internă: produsul a două numere mai mari sau egale cu $1$ este mai mare sau egal cu $1$. Este asociativă și comutativă, fiindcă înmulțirea numerelor reale are aceste proprietăți, iar ele se păstrează când te restrângi la o parte a lui $\mathbb{R}$ pe care legea rămâne internă.

Elementul neutru este $e=1$: un amplificator cu factorul $1$ lasă semnalul neschimbat, iar $1\in M$. Pentru simetric, condiția $x{x}^{\prime }=1$ dă $x^{\prime }=\frac{1}{x}$; acest număr este în $M$ numai dacă $\frac{1}{x}\ge 1$, adică numai pentru $x=1$. Singurul element simetrizabil este $1$.

Concluzia are un sens fizic direct: în interiorul acestei mulțimi nu poți „anula" o amplificare, pentru că un atenuator ar avea factorul subunitar și ar ieși din mulțimea aleasă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție $x\ast y=xy-2x-2y+6$.

a) Calculează $5\ast (-1)$ și $0\ast 0$.

b) Determină numerele reale $x$ pentru care $x\ast x=11$.

c) Rezolvă ecuația $5\ast x=8$.

Rezolvare. a) Direct din formulă: $5\ast (-1)=-5-10+2+6=-7$ și $0\ast 0=0-0-0+6=6$. Control cu forma factorizată: $5\ast (-1)=(5-2)(-1-2)+2=3\cdot (-3)+2=-7$, iar $0\ast 0=(0-2)(0-2)+2=4+2=6$.

b) În forma factorizată, condiția devine $(x-2{)}^2+2=11$, adică $(x-2{)}^2=9$, deci $x-2=3$ sau $x-2=-3$. Obținem $x=5$ sau $x=-1$. Verificare: $5\ast 5=25-10-10+6=11$.

c) Ecuația se scrie $(5-2)(x-2)+2=8$, adică $3(x-2)=6$, de unde $x-2=2$ și $x=4$. Verificare: $5\ast 4=20-10-8+6=8$.

Să exersăm

La fiecare cerință scrie întâi ce vrei să faci: „demonstrez, deci lucrez cu litere" sau „infirm, deci caut un caz concret".

1. Arată că $x\ast y=x+y-11$ este asociativă pe $\mathbb{R}$ și determină elementul neutru.

2. Este $x\ast y=4x-y$ comutativă pe $\mathbb{R}$? Dacă nu, dă un contraexemplu.

3. Arată că $x\ast y=\frac{xy}{6}$ este asociativă pe $\mathbb{Q}$ și determină elementul neutru.

4. Are legea $x\ast y=\frac{x+y}{5}$ element neutru pe $\mathbb{R}$?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă pentru un element $x$ avem $x\ast x=e$, atunci $x$ este propriul său simetric."

6. Pe $M=\{1,2,4,8\}$ se definește $x\ast y$ ca fiind cel mai mare divizor comun al lui $x$ și $y$. Scrie tabla, spune dacă legea e comutativă, găsește elementul neutru și elementele simetrizabile.

7. Determină simetricul lui $7$ față de legea de la exercițiul $1$.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru $x\ast y=xy-2x-2y+6$, calculează $6\ast (-2)$ și rezolvă ecuația $x\ast 0=4$.

9. (Problemă aplicată.) Un strat de ecranare lasă să treacă fracțiunea $f$ din radiația incidentă, cu $f\in (0,1]$, iar două straturi suprapuse lasă $f_1\ast f_2=f_1{f}_2$. Determină elementul neutru al legii pe $(0,1]$ și spune care straturi sunt simetrizabile.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă tabla unei legi are două linii identice, atunci legea nu are element neutru."

11. Determină elementul neutru și elementele simetrizabile pentru $x\ast y=x+y+2xy$ pe $\mathbb{R}$.

12. Are legea $x\ast y=\max (x,y)$ element neutru pe $[0,+\infty )$? Care elemente sunt simetrizabile?

13. Arată că $x\ast 3=x$ pentru orice $x$ real, unde $x\ast y=xy-2x-2y+6$.

14. Determină simetricul lui $-3$ față de legea $x\ast y=x+y+7$, definită pe $\mathbb{Z}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pe $\mathbb{R}$ se consideră $x\ast y=xy-2x-2y+6$. a) Calculează $4\ast 4$. b) Determină numerele reale $x$ pentru care $x\ast x=6$. c) Determină simetricul lui $-2$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că $x\ast y=2xy+4x+4y+6$ se scrie $2(x+2)(y+2)-2$ și determină elementul neutru pe $\mathbb{R}$.

17. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o lege are element neutru, atunci elementul neutru este simetrizabil."

18. (Provocare.) Pentru $x\ast y=xy-2x-2y+6$ pe $\mathbb{R}$, arată că ecuația $x\ast y=2$ are, pentru fiecare $x\ne 2$ fixat, exact o soluție $y$, iar pentru $x=2$ o verifică orice număr real $y$.

Răspunsuri și explicații

1. $(x\ast y)\ast z=(x+y-11)+z-11=x+y+z-22$, iar $x\ast (y\ast z)=x+(y+z-11)-11=x+y+z-22$: expresiile coincid, deci legea e asociativă. Din $x+e-11=x$ rezultă $e=11$.

2. Nu este. Pentru $x=1$, $y=0$: $1\ast 0=4$, iar $0\ast 1=-1$. Cum $4\ne -1$, legea nu e comutativă.

3. $(x\ast y)\ast z=\frac{xy}{6}\cdot \frac{z}{6}=\frac{xyz}{36}$, iar $x\ast (y\ast z)=x\cdot \frac{yz}{36}=\frac{xyz}{36}$: legea e asociativă. Din $\frac{xe}{6}=x$ pentru orice $x$ rezultă $e=6$.

4. Nu. Condiția $\frac{x+e}{5}=x$ dă $e=4x$, valoare care depinde de $x$; nu există un singur element care să meargă pentru toate. Reține criteriul: un candidat care depinde de $x$ nu e element neutru.

5. Adevărat. Egalitatea $x\ast x=e$ înseamnă exact cele două condiții din definiția simetricului, scrise pentru $x^{\prime }=x$: și $x\ast x^{\prime }=e$, și $x^{\prime }\ast x=e$ devin aceeași egalitate. Deci $x^{\prime }=x$.

6. Liniile sunt $1,1,1,1$; apoi $1,2,2,2$; apoi $1,2,4,4$; apoi $1,2,4,8$. Tabla e simetrică, deci legea e comutativă. Linia și coloana lui $8$ reproduc antetele, deci $e=8$: cel mai mare divizor comun al lui $8$ cu orice element al mulțimii este chiar acel element. În interiorul tablei, $8$ apare o singură dată, pe linia lui $8$ și coloana lui $8$, deci singurul element simetrizabil este $8$.

7. Din $7+x^{\prime }-11=11$ rezultă $x^{\prime }=15$. Verificare: $7\ast 15=7+15-11=11$.

8. $6\ast (-2)=-12-12+4+6=-14$. Ecuația $x\ast 0=4$ se scrie $(x-2)\cdot (-2)+2=4$, adică $-2(x-2)=2$, deci $x-2=-1$ și $x=1$. Verificare: $1\ast 0=0-2-0+6=4$.

9. Elementul neutru este $1$: un strat care lasă să treacă toată radiația nu schimbă nimic, iar $1\in (0,1]$. Pentru simetric, condiția $f{f}^{\prime }=1$ dă $f^{\prime }=\frac{1}{f}$, care e în $(0,1]$ numai pentru $f=1$. Singurul strat simetrizabil este cel care nu ecranează nimic — fizic, un ecran nu poate fi anulat printr-un alt ecran.

10. Adevărat. Dacă liniile lui $x$ și ale lui $y$ sunt identice, atunci $x\ast z=y\ast z$ pentru orice $z$. Dacă ar exista un element neutru $e$, am avea, luând $z=e$, egalitatea $x=y$, ceea ce contrazice faptul că liniile sunt ale unor elemente diferite.

11. Din $x+e+2xe=x$ obținem $e(1+2x)=0$ pentru orice $x$, deci $e=0$. Pentru simetric: $x+x^{\prime }+2x{x}^{\prime }=0$ dă $x^{\prime }(1+2x)=-x$, deci $x^{\prime }=\frac{-x}{1+2x}$, definit pentru $x\ne -\frac{1}{2}$. Elementul $-\frac{1}{2}$ nu are simetric, toate celelalte au.

12. Da: $e=0$, fiindcă $\max (x,0)=x$ pentru orice $x\ge 0$, iar $0$ aparține mulțimii. Simetric: condiția $\max (x,x^{\prime })=0$ cere $x=0$ și $x^{\prime }=0$, deci singurul element simetrizabil este $0$.

13. Direct din formulă, $x\ast 3=3x-2x-6+6=x$. Același lucru, cu forma factorizată: $x\ast 3=(x-2)(3-2)+2=(x-2)\cdot 1+2=x$. Așadar $3$ se poartă la fel cu orice element — este exact elementul neutru găsit în subsecțiunea 5.

14. Elementul neutru este $-7$, fiindcă $x+e+7=x$ dă $e=-7$. Din $-3+x^{\prime }+7=-7$ obținem $x^{\prime }=-11$. Verificare: $-3\ast (-11)=-3-11+7=-7$.

15. a) $4\ast 4=16-8-8+6=6$. b) $(x-2{)}^2+2=6$ dă $(x-2{)}^2=4$, deci $x=4$ sau $x=0$. Verificare: $0\ast 0=6$. c) Simetricul lui $-2$ se află din $(-2)\ast x^{\prime }=3$: $(-2-2)(x^{\prime }-2)=1$, deci $x^{\prime }-2=-\frac{1}{4}$ și $x^{\prime }=\frac{7}{4}$.

16. Desfacem: $2(x+2)(y+2)-2=2(xy+2x+2y+4)-2=2xy+4x+4y+6$, adică exact formula dată. Numărul absorbant este aici $-2$, fiindcă $(-2)\ast y=-4y-8+4y+6=-2$. Elementul neutru: din $2(x+2)(e+2)-2=x$ obținem $2(x+2)(e+2)=x+2$, deci, pentru $x\ne -2$, $e+2=\frac{1}{2}$ și $e=-\frac{3}{2}$. Verificare: $2\left(x+2\right)\cdot \frac{1}{2}-2=x$.

17. Adevărat. Punând $x=e$ în definiția elementului neutru obținem $e\ast e=e$, iar $e$ este chiar elementul neutru, deci $e\ast e=e$ înseamnă că $e$ are simetric și că acesta este el însuși.

18. Din $xy-2x-2y+6=2$ obținem $xy-2x-2y+4=0$, adică $(x-2)(y-2)=0$. Dacă $x\ne 2$, primul factor e nenul, deci trebuie ca $y-2=0$, adică $y=2$: o singură soluție. Dacă $x=2$, primul factor e nul și produsul e $0$ pentru orice $y$, deci egalitatea e verificată de orice număr real. Este chiar proprietatea de element absorbant a lui $2$, privită ca ecuație.

De reținut

• Cele patru întrebări se pun în ordinea: asociativitate, comutativitate, element neutru, elemente simetrizabile; despre simetrici se vorbește numai după ce elementul neutru a fost găsit.
• Asociativitatea se dovedește pe litere, dezvoltând pe rând cele două grupări, și se dărâmă cu un singur triplet redactat integral; comutativitatea se citește din simetria formulei sau a tablei.
• Legile de forma $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ sunt asociative și comutative, au elementul neutru $e=a+1$, iar simetricul unui element este $x^{\prime }=a+\frac{1}{x-a}$, pentru $x\ne a$.
• Elementul $a$ este absorbant — $a\ast y=a$ pentru orice $y$ — și tocmai de aceea este singurul element fără simetric.
• Din tabla operației se citesc comutativitatea (simetria față de diagonala principală), elementul neutru (linia și coloana care reproduc antetele) și simetricii (căsuțele în care apare $e$); asociativitatea nu se citește, fiindcă privește triplete.

Greșeli frecvente

• „Mi-a ieșit la trei încercări, deci e adevărat." Încercările reușite nu construiesc o demonstrație; rolul lor e numai să dărâme. Ca să afirmi asociativitatea sau comutativitatea, socoteala se duce cu $x$, $y$, $z$ oarecare.
• Confundarea celor două proprietăți. Una umblă la paranteze și lasă ordinea neatinsă, cealaltă umblă la ordine și lasă parantezele pe loc. Între ele nu există nicio implicație, în niciun sens.
• Elementul neutru acceptat după o singură egalitate. Definiția cere și $x\ast e=x$, și $e\ast x=x$. La legile necomutative, un element poate îndeplini una dintre ele și nu pe cealaltă — și atunci nu e element neutru.
• Candidatul care depinde de $x$. Dacă din ecuație iese ceva de forma $e=4x$, răspunsul nu e „$e=4x$", ci „legea nu are element neutru": elementul neutru e un singur element, fixat, nu unul pentru fiecare $x$.
• Simetricul scris fără verificarea apartenenței. Formula poate da un număr care nu e în mulțime — ca $\frac{1}{x}$ pentru $x>1$ pe $[1,+\infty )$ — și atunci elementul nu e simetrizabil, deși formula „a ieșit".

Aplică acasă

1. Cele patru întrebări, pe cinci legi. Scrie cinci legi pe $\mathbb{R}$ inventate de tine, dintre care cel puțin două de tip produs, și completează pentru fiecare un tabel cu patru coloane: asociativă, comutativă, element neutru, elemente simetrizabile. Acolo unde răspunsul e „nu", notează contraexemplul complet.

2. Vânătoarea elementului absorbant. Pentru fiecare lege de tip produs din exercițiul anterior, caută un număr $a$ cu proprietatea $a\ast y=a$ pentru orice $y$. Când îl găsești, verifică prin desfacerea parantezelor că legea se scrie $(x-a)(y-a)+a$ și compară elementul neutru obținut cu formula $e=a+1$.

3. Două table de câte patru elemente. Construiește pe o mulțime cu patru litere o tablă simetrică, cu element neutru și cu toate elementele simetrizabile, apoi una simetrică în care exact două elemente nu au simetric. Notează, pentru fiecare, unde ai privit ca să dai verdictul.

Pentru părinți și profesori

Lecția strânge într-o singură oră ceea ce la matematică-informatică ocupă patru lecții separate, așa că ritmul e susținut și ordinea contează. Ce se poate măsura la ea: dacă elevul știe când are în față o dovadă și când doar o încercare; dacă redactează integral un contraexemplu, cu tripletul și cele două socoteli; dacă duce până la capăt ecuația elementului neutru, cu cele trei controale; dacă numește pe loc elementul fără simetric și motivul.

De verificat în caiet: argumentele stau pe litere, nu pe valori alese convenabil; forma factorizată e trecută lângă formulă, după ce parantezele au fost desfăcute o dată, nu în locul ei; la elementul neutru sunt verificate ambele egalități; la simetric se verifică și apartenența rezultatului la mulțime. Întrebări de control: „Ce înseamnă că o lege e asociativă?"; „Câte exemple îți trebuie ca să infirmi o proprietate?"; „Ce cauți pe tablă ca să găsești elementul neutru?"; „De ce elementul absorbant nu are simetric?". Semn că a înțeles: la o lege nouă de tip produs caută întâi numărul absorbant și abia apoi începe calculul.

Programa și examenul. Suplimentul de examen al lecției este tot rândul „Lege de compoziție internă, tabla operației", din capitolul „Grupuri" al programei de bacalaureat M2 în vigoare pentru sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014, clasa a XII-a): proprietățile sunt ceea ce se cere efectiv despre o lege, o dată ce ea a fost scrisă. Rândul nu mai apare în programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a XII-a din 2029–2030, de unde structurile algebrice au fost scoase în întregime. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema se cere. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, Subiectul al II-lea are două probleme de câte trei cerințe a cinci puncte, prima despre matrice și a doua despre un polinom; structurile algebrice nu apar acolo, însă modelul este unul singur și nu spune ce se dă la fiecare sesiune, iar programa le cere. Planificarea se sprijină pe cele trei ore de matematică pe săptămână din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie, iar tema nu figurează nici în programa probei MAT_P2 din 2030.

Întrebări frecvente

Care sunt proprietățile unei legi de compoziție?

Sunt patru: asociativitatea ($(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$), comutativitatea ($x\ast y=y\ast x$), existența unui element neutru $e$ cu $x\ast e=e\ast x=x$ și existența simetricilor, adică a elementelor $x^{\prime }$ cu $x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=e$. Primele două privesc calculul, ultimele două privesc elemente anume din mulțime. Ordinea verificării contează: simetricul unui element se caută abia după ce ai găsit elementul neutru, fiindcă definiția lui îl folosește pe $e$.

Ce scriu în lucrare ca să dovedesc asociativitatea?

Două dezvoltări și o comparație. Întâi înlocuiești compusul din paranteza stângă și duci calculul până la o expresie în trei litere; apoi faci același lucru pornind din paranteza dreaptă; la urmă pui expresiile una sub alta și constați că sunt aceeași. La legile de tip produs, forma factorizată taie aproape tot calculul.

Cum aflu elementul neutru al unei legi date prin formulă?

Scrii ecuația $x\ast e=x$ și o rezolvi în raport cu $e$. Apoi faci trei controale: soluția nu depinde de $x$, ea aparține mulțimii pe care lucrezi, iar egalitatea se verifică și scrisă în cealaltă ordine. Dacă soluția depinde de $x$ sau iese din mulțime, legea nu are element neutru.

Cum aflu simetricul unui element?

Rezolvi ecuația $x\ast x^{\prime }=e$ în raport cu $x^{\prime }$, apoi verifici că valoarea găsită aparține mulțimii pe care lucrezi. Pentru legile de forma $(x-a)(y-a)+a$ rezultă $x^{\prime }=a+\frac{1}{x-a}$, formulă care are sens pentru orice $x$ diferit de $a$; elementul $a$ însuși nu are simetric, fiindcă el înghite tot ce compui cu el și nu ajunge niciodată la elementul neutru.

De ce nu se vede asociativitatea în tabla operației?

Pentru că o căsuță ține minte ce iese din două elemente, iar proprietatea cerută privește trei deodată; al treilea nu are unde să stea într-un desen cu două intrări. Numărul tripletelor e și mult mai mare, $n^3$ față de $n^2$ căsuțe. Oglindirea peste diagonală spune ceva despre ordine, nu despre paranteze.

Se studiază aceleași proprietăți și la mate-info (M1)?

Da, dar altfel împărțite: la matematică-informatică fiecare proprietate are lecția ei, iar exemplele se dau și pe mulțimi de matrice, de funcții și de submulțimi. La științe ale naturii cele patru se studiază împreună, pe legi date prin formule și pe table mici. Pentru comparație: asociativitatea legii de compoziție la mate-info (M1).

La ce subiect apar proprietățile legii la Bacalaureatul M2?

În programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 ele stau la capitolul „Grupuri", în partea de algebră, care se rezolvă la Subiectul al II-lea. O cerință pe această temă pornește de la o lege dată prin formulă sau printr-o tablă, iar subpunctele cer un calcul, apoi elementul neutru ori simetricul unui element.