Probleme practice de numărare: coduri, echipe, drumuri

Când îți activezi un card bancar, ți se cere un cod PIN de patru cifre. Banca îți spune că nu ai voie să greșești de mai mult de trei ori, iar tu te întrebi, pe bună dreptate: cât de sigur e, de fapt, codul ăsta? Câte variante ar trebui să încerce cineva ca să-l nimerească? Răspunsul se calculează în cinci secunde, cu regula produsului: pentru fiecare dintre cele patru poziții avem $10$ posibilități, deci $10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10000$ de coduri. Cu trei încercări permise, șansa de a nimeri din întâmplare este de $3$ din $10000$ — mică, dar nu chiar neglijabilă.

Acesta e felul de întrebare pe care îl rezolvăm în lecția de azi. Nu mai învățăm formule noi: pe toate le ai deja, din lecțiile despre regula produsului, aranjamente și combinări. Greutatea reală a problemelor de numărare nu stă în calcul, ci în traducere: să citești un enunț scris în limba română obișnuită — despre parole, echipe, meniuri, drumuri prin oraș — și să decizi ce instrument matematic i se potrivește. Programa cere explicit ca aceste conținuturi să fie abordate prin contexte practice, iar la examen exact acest tip de problemă apare. Hai să exersăm traducerea.

Ce vei învăța

• Vei ști să decizi rapid, prin trei întrebări, dacă o problemă se rezolvă cu regula produsului, cu aranjamente sau cu combinări.
• Vei ști să numeri coduri și parole, cu sau fără repetarea simbolurilor, și să estimezi cât de sigur este un cod.
• Vei ști să numeri echipe, comisii și delegații, inclusiv atunci când apar restricții („cel puțin un băiat", „exact două fete", „obligatoriu cu un căpitan").
• Vei ști să numeri drumurile minime într-o rețea de străzi, recunoscând în ele o problemă de combinări deghizată.
• Vei ști să folosești numărarea prin complement: în loc să numeri cazurile favorabile, numeri tot și scazi ce nu convine.
• Vei ști să îți verifici rezultatul, testând raționamentul pe un caz mic pe care îl poți enumera cu mâna.

Hai să descoperim împreună

1. Cele trei întrebări, pe scurt

Înainte de orice calcul, pune-ți întrebările din lecția Contează ordinea sau nu? Alegerea metodei de numărare:

1. Se pot repeta elementele? Dacă da, ai aproape sigur regula produsului: înmulțești numărul de posibilități de la fiecare pas.
2. Contează ordinea? Dacă nu se repetă nimic și ordinea contează, sunt aranjamente $A_n^k$ (sau permutări $P_n=n!$, dacă le iei pe toate). Dacă ordinea nu contează, sunt combinări $C_n^k$.
3. Iau toate elementele sau doar o parte? Toate și în ordine — permutări; o parte și în ordine — aranjamente; o parte fără ordine — combinări.

Sintetizat într-un tabel pe care merită să-l ai în minte:

Testul cel mai sigur, când ezitezi: schimbă ordinea a două elemente alese și întreabă-te dacă ai obținut altceva. Codul $1234$ e diferit de $4321$ — deci ordinea contează. Echipa formată din Ana, Bogdan și Carmen e aceeași cu echipa Carmen, Bogdan, Ana — deci ordinea nu contează.

2. Coduri și parole

Aici domnește regula produsului. Numărăm poziție cu poziție, înmulțind posibilitățile.

Cod PIN de patru cifre, cifrele se pot repeta. Fiecare poziție are $10$ variante, deci $10^4=10000$ de coduri.

Cod PIN de patru cifre distincte. Prima poziție are $10$ variante, a doua $9$ (nu o mai putem folosi pe prima), a treia $8$, a patra $7$:

$$A_{10}^4=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040.$$

Observă că impunerea „cifre distincte" micșorează numărul de coduri aproape la jumătate — motiv pentru care regula asta e o idee proastă la securitate, deși pare o precauție.

Parolă din două litere mari distincte urmate de trei cifre oarecare. Combinăm cele două reguli: literele se aleg în $A_{26}^2=26\cdot 25=650$ de moduri, cifrele în $10^3=1000$ de moduri, deci în total $650\cdot 1000=650000$ de parole.

Numere de patru cifre cu cifre distincte. Aici apare o subtilitate: prima cifră nu poate fi $0$. Deci prima poziție are $9$ variante ($1,2,\dots ,9$), a doua are tot $9$ (cele zece cifre minus cea deja folosită, dar $0$ redevine disponibil), a treia $8$, a patra $7$:

$$9\cdot 9\cdot 8\cdot 7=4536.$$

Regula de aur în astfel de probleme: începe cu poziția cea mai restricționată. Dacă ai fi început de la dreapta, te-ai fi încurcat.

3. Meniuri și steaguri: produsul cu restricții

Meniul. La cantină ai $3$ supe, $5$ feluri principale și $4$ deserturi. Un meniu complet înseamnă o alegere din fiecare categorie, deci $3\cdot 5\cdot 4=60$ de meniuri.

Dacă desertul devine opțional („poți să nu iei desert"), atunci categoria desert are $5$ variante, nu $4$: cele patru deserturi plus varianta „niciunul". Rezultatul devine $3\cdot 5\cdot 5=75$. Trucul „adaug varianta niciunul" este foarte des folosit și merită reținut.

Steagul. Vrem un steag cu trei benzi orizontale, colorate din $5$ culori disponibile, cu condiția ca benzile vecine să aibă culori diferite (altfel nu s-ar distinge). Numărăm de sus în jos: banda de sus are $5$ variante; banda din mijloc are $4$ (orice, în afară de culoarea de deasupra); banda de jos are tot $4$ (orice, în afară de culoarea din mijloc — dar are voie să repete culoarea de sus!). Deci

$$5\cdot 4\cdot 4=80\text{ steaguri}.$$

Dacă cerem în schimb ca toate trei culorile să fie diferite, avem aranjamente: $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$. Diferența de $20$ o dau exact steagurile în care banda de sus și cea de jos au aceeași culoare. Iată cât de mult schimbă rezultatul o singură cuvântare a enunțului — de aceea se citește de două ori.

4. Echipe, comisii, delegații

Aici ordinea nu contează, deci lucrăm cu combinări.

Echipa. Dintr-un lot de $12$ jucători, antrenorul alege $5$ pentru meci: $C_{12}^5=792$ de moduri.

Echipa cu căpitan. Dacă, pe lângă echipă, trebuie desemnat și un căpitan dintre cei cinci, atunci pentru fiecare echipă avem $5$ variante de căpitan: $792\cdot 5=3960$. Poți număra și invers: alegi întâi căpitanul ($12$ variante), apoi restul de $4$ coechipieri dintre cei $11$ rămași ($C_{11}^4=330$), deci $12\cdot 330=3960$. Două drumuri, același număr — cea mai bună verificare posibilă.

Comisie mixtă. Dintr-un grup cu $7$ fete și $5$ băieți se alege o comisie de $4$ persoane, cu exact $2$ băieți. Alegem separat băieții și fetele, apoi înmulțim (regula produsului aplicată peste combinări):

$$C_5^2\cdot C_7^2=10\cdot 21=210.$$

Comisie cu „cel puțin". Aceeași comisie de $4$, dar cu condiția „cel puțin un băiat". Aici numărarea directă ar cere patru cazuri (un băiat, doi, trei, patru). Mult mai simplu prin complement: numărăm toate comisiile posibile și scădem pe cele care nu convin, adică pe cele formate numai din fete:

$$C_{12}^4-C_7^4=495-35=460.$$

Reține tiparul: „cel puțin unu" = total − niciunul. Este cea mai rentabilă tehnică din tot capitolul.

5. Drumuri într-o rețea de străzi

O problemă care pare de geometrie și este, de fapt, de combinări curate.

Un oraș are străzile dispuse în caroiaj. Pleci din colțul din stânga-jos al unei rețele și vrei să ajungi în colțul din dreapta-sus, mergând doar spre dreapta și doar în sus (adică pe cel mai scurt drum). Rețeaua are $4$ blocuri pe orizontală și $3$ pe verticală. Câte drumuri diferite există?

Ideea care rezolvă totul: orice drum minim este o secvență de $7$ pași, dintre care exact $4$ sunt „dreapta" (D) și exact $3$ sunt „sus" (S). De exemplu, DDSDSDS este un drum, iar SSSDDDD este alt drum. Prin urmare, a alege un drum înseamnă a alege care dintre cele $7$ poziții sunt pașii „sus":

$$C_7^3=35\text{ drumuri}.$$

Sau, echivalent, care dintre poziții sunt pașii „dreapta": $C_7^4=35$ — același număr, prin combinări complementare.

Formula generală: într-o rețea cu $m$ pași la dreapta și $n$ pași în sus există $C_{m+n}^n$ drumuri minime. Pentru $5$ la dreapta și $4$ în sus: $C_9^4=126$.

6. Numărarea prin complement și regula sumei

Am folosit deja complementul la comisii. Îl mai folosim ori de câte ori enunțul conține „cel puțin", „măcar unul" sau „nu toate". Schema este:

$$\text{cazuri favorabile}=\text{total}-\text{cazuri nefavorabile}.$$

Când cazurile se împart în situații care nu se pot suprapune, folosim în schimb regula sumei, studiată la Regula sumei și combinarea regulilor: adunăm numărul de cazuri din fiecare situație. De exemplu, numărul comisiilor de $4$ persoane cu cel puțin $3$ băieți se calculează pe cazuri disjuncte: exact $3$ băieți ($C_5^3\cdot C_7^1=10\cdot 7=70$) plus exact $4$ băieți ($C_5^4=5$), în total $75$.

Cum alegi între cele două? Regulă practică: dacă situațiile nefavorabile sunt puține, folosește complementul; dacă cele favorabile sunt puține, numără-le direct și adună.

7. Cum îți verifici răspunsul

Problemele de numărare au un defect: rezultatul e un număr, și nu ai cu ce să-l compari. De aceea, trei obiceiuri de verificare:

Testul cazului mic. Reia raționamentul pe o versiune mică a problemei, pe care o poți enumera pe hârtie. Pentru drumurile din rețea, ia o rețea $2\times 1$: formula dă $C_3^1=3$, iar tu poți desena exact cele $3$ drumuri. Dacă raționamentul merge pe mic, merge și pe mare.

Testul celor două drumuri. Numără în două feluri diferite. Dacă obții același rezultat (ca la echipa cu căpitan: $792\cdot 5=12\cdot 330$), aproape sigur ai dreptate.

Testul ordinului de mărime. Întreabă-te dacă rezultatul are sens. Numărul de comisii cu restricție trebuie să fie mai mic decât numărul total de comisii. Dacă îți iese mai mare, ai numărat ceva de două ori.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cât de sigur e un PIN

Câte coduri PIN de patru cifre există? Câte dintre ele au toate cifrele distincte? Ce procent reprezintă acestea din total?

Rezolvare. Cu repetiție, prin regula produsului: $10^4=10000$ de coduri.

Cu cifre distincte, prin aranjamente: $A_{10}^4=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040$.

Procentul: $\frac{5040}{10000}=0,504$, adică $50,4\%$. Așadar, cam jumătate dintre coduri au cifre distincte — o „regulă de siguranță" care ar înjumătăți spațiul de căutare al unui atacator, deci ar slăbi securitatea, nu ar întări-o.

Exemplul 2 — Meniul cu desert opțional

La cantină sunt $3$ supe, $5$ feluri principale și $4$ deserturi. Câte meniuri complete se pot alcătui? Dar dacă desertul este opțional?

Rezolvare. Meniu complet: o alegere din fiecare categorie, deci prin regula produsului $3\cdot 5\cdot 4=60$ de meniuri.

Cu desert opțional, categoria „desert" capătă o variantă în plus, „fără desert", deci are $5$ posibilități: $3\cdot 5\cdot 5=75$ de meniuri. Diferența de $15$ este exact numărul meniurilor fără desert ($3\cdot 5=15$) ✓.

Exemplul 3 — Comisia cu cel puțin un băiat

Dintr-un grup format din $7$ fete și $5$ băieți se alege o comisie de $4$ persoane. În câte moduri se poate face alegerea dacă în comisie trebuie să fie cel puțin un băiat?

Rezolvare. Numărăm prin complement.

Total comisii de $4$ persoane din $12$: $C_{12}^4=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=495$.

Comisii fără niciun băiat (numai fete): $C_7^4=35$.

Comisii cu cel puțin un băiat: $495-35=460$.

Control pe cazuri: exact $1$ băiat: $C_5^1{C}_7^3=5\cdot 35=175$; exact $2$: $C_5^2{C}_7^2=10\cdot 21=210$; exact $3$: $C_5^3{C}_7^1=10\cdot 7=70$; exact $4$: $C_5^4=5$. Suma: $175+210+70+5=460$ ✓. Complementul a fost, evident, mult mai rapid.

Exemplul 4 — Drumuri prin oraș

Într-o rețea de străzi, de la școală până acasă trebuie să parcurgi $4$ blocuri spre est și $3$ blocuri spre nord. Câte drumuri de lungime minimă există?

Rezolvare. Orice drum minim are exact $4+3=7$ pași, dintre care $3$ sunt „nord". A alege drumul înseamnă a alege pozițiile celor $3$ pași „nord" din cei $7$:

$$C_7^3=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{1\cdot 2\cdot 3}=35\text{ drumuri}.$$

Test pe caz mic: pentru $2$ blocuri est și $1$ nord, formula dă $C_3^1=3$, iar drumurile sunt EEN, ENE, NEE — exact trei ✓.

Exemplul 5 — Steagul cu benzi vecine diferite

Câte steaguri cu trei benzi orizontale se pot face folosind $5$ culori, dacă benzile vecine trebuie să aibă culori diferite? Dar dacă toate trei benzile trebuie să aibă culori diferite?

Rezolvare. Prima variantă, de sus în jos: $5$ culori pentru banda de sus, $4$ pentru cea din mijloc (diferită de cea de deasupra), $4$ pentru cea de jos (diferită doar de cea din mijloc). Total: $5\cdot 4\cdot 4=80$.

A doua variantă cere trei culori distincte, în ordine — adică aranjamente: $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$.

Diferența $80-60=20$ reprezintă steagurile în care banda de sus și cea de jos au aceeași culoare: alegem culoarea comună ($5$ moduri) și culoarea din mijloc ($4$ moduri), deci $20$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma folosind cifrele $1,2,3,4,5$. Câte dintre ele sunt pare?

Rezolvare. Cifrele sunt distincte, ordinea contează (numărul $123$ diferă de $321$) și folosim $3$ din cele $5$ cifre disponibile — deci aranjamente:

$$A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60\text{ numere}.$$

Pentru cele pare, ultima cifră trebuie să fie $2$ sau $4$, deci avem $2$ variante pentru poziția unităților. Rămân $4$ cifre pentru poziția sutelor și apoi $3$ pentru zeci:

$$2\cdot 4\cdot 3=24\text{ numere pare}.$$

Observație de metodă: am început cu poziția cea mai restricționată (unitățile). Dacă începeam cu sutele, ar fi trebuit să tratăm separat cazul în care cifra sutelor este pară.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare problemă, scrie mai întâi răspunsul la cele trei întrebări (se repetă? contează ordinea? toate sau o parte?) și abia apoi formula.

1. Câte coduri PIN de patru cifre există, dacă cifrele se pot repeta?

2. Câte coduri PIN de patru cifre au toate cifrele distincte?

3. Un magazin oferă $3$ modele de tricouri, $4$ de pantaloni și $2$ perechi de încălțări. Câte ținute diferite se pot alcătui?

4. Câte numere naturale de patru cifre au toate cifrele distincte?

5. Dintr-un lot de $12$ jucători, antrenorul alege $5$ pentru meci. În câte moduri poate face alegerea?

6. Aceeași echipă de $5$ din $12$, dar trebuie desemnat și un căpitan dintre cei aleși. Câte variante sunt? Numără în două feluri.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „La formarea unei echipe de $5$ jucători dintr-un lot de $12$ contează ordinea în care sunt aleși."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Numărul codurilor PIN de patru cifre în care cifrele se pot repeta este $A_{10}^4$."

9. Dintr-un grup cu $7$ fete și $5$ băieți se alege o comisie de $4$ persoane, cu exact $2$ băieți. În câte moduri?

10. Din același grup, în câte moduri se poate alege o comisie de $4$ persoane cu cel puțin un băiat?

11. Într-o rețea de străzi trebuie să parcurgi $5$ blocuri spre est și $4$ spre nord. Câte drumuri minime există?

12. (Problemă aplicată.) Câte steaguri cu trei benzi orizontale se pot confecționa din $5$ culori, dacă benzile vecine au culori diferite? Dar dacă toate trei culorile sunt diferite?

13. La cantină sunt $3$ supe, $5$ feluri principale și $4$ deserturi. Câte meniuri complete se pot alcătui? Dar dacă desertul este opțional?

14. Într-o sală, $10$ persoane își strâng mâna, fiecare cu fiecare, o singură dată. Câte strângeri de mână au loc? Câte diagonale are un poligon convex cu $8$ laturi?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma folosind cifrele $1,2,3,4,5$.

16. (Problemă aplicată.) La Loto $6$ din $49$ se completează un bilet cu $6$ numere distincte din $49$. Câte bilete diferite se pot completa? Câte dintre ele conțin exact $4$ dintre cele $6$ numere extrase?

17. Cinci cărți diferite se așază pe un raft, în linie. În câte moduri? În câte dintre acestea două cărți anume stau una lângă alta? Dar în câte NU stau alături?

18. (Provocare.) Dintre $8$ elevi se aleg $3$ pentru olimpiada de matematică, iar apoi, dintre cei rămași, $2$ pentru un concurs de informatică. În câte moduri se pot face cele două alegeri? Arată că obții același rezultat dacă alegi întâi cei $2$ informaticieni.

Răspunsuri și explicații

1. Se repetă, contează ordinea: regula produsului, $10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10^4=10000$ de coduri.

2. Nu se repetă, contează ordinea, alegem $4$ din $10$: aranjamente, $A_{10}^4=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040$.

3. Regula produsului, o alegere din fiecare categorie: $3\cdot 4\cdot 2=24$ de ținute.

4. Prima cifră nu poate fi $0$, deci are $9$ variante; a doua are tot $9$ (revine $0$, dispare cifra folosită), a treia $8$, a patra $7$: $9\cdot 9\cdot 8\cdot 7=4536$ de numere.

5. Ordinea nu contează: $C_{12}^5=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=792$.

6. Primul drum: alegi echipa ($792$ moduri), apoi căpitanul dintre cei $5$ ($5$ moduri), deci $792\cdot 5=3960$. Al doilea drum: alegi căpitanul ($12$ moduri), apoi ceilalți $4$ dintre cei $11$ rămași ($C_{11}^4=330$), deci $12\cdot 330=3960$ ✓. Aceeași valoare pe două căi — verificarea ideală.

7. Fals. Echipa formată din aceiași cinci jucători este aceeași, indiferent de ordinea în care au fost numiți. De aceea se folosesc combinări, nu aranjamente. (Cu aranjamente am obține $A_{12}^5=95040$, adică fiecare echipă numărată de $P_5=120$ de ori.)

8. Fals. $A_{10}^4=5040$ numără doar codurile cu cifre distincte. Când cifrele se pot repeta, se folosește regula produsului: $10^4=10000$.

9. Alegem separat băieții și fetele, apoi înmulțim: $C_5^2\cdot C_7^2=10\cdot 21=210$ de comisii.

10. Prin complement: total minus comisiile fără niciun băiat, adică $C_{12}^4-C_7^4=495-35=460$.

11. Orice drum minim are $5+4=9$ pași, dintre care $4$ spre nord: $C_9^4=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=126$ de drumuri.

12. Benzi vecine diferite: $5\cdot 4\cdot 4=80$. Toate trei culorile diferite: $A_5^3=60$. Diferența de $20$ o dau steagurile la care banda de sus și cea de jos au aceeași culoare.

13. Meniuri complete: $3\cdot 5\cdot 4=60$. Cu desert opțional, desertul are $5$ variante („niciunul" inclusiv): $3\cdot 5\cdot 5=75$.

14. O strângere de mână este o pereche neordonată de persoane: $C_{10}^2=45$. Diagonalele unui poligon cu $8$ laturi: numărăm toate segmentele determinate de vârfuri, $C_8^2=28$, și scădem cele $8$ laturi: $28-8=20$ de diagonale.

15. Cifre distincte, ordinea contează, $3$ din $5$: $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$ de numere.

16. Un bilet este o submulțime de $6$ numere din $49$, deci $C_{49}^6=13983816$ de bilete. Cu exact $4$ numere câștigătoare: alegem $4$ dintre cele $6$ extrase și $2$ dintre celelalte $43$: $C_6^4\cdot C_{43}^2=15\cdot 903=13545$ de bilete.

17. Toate așezările: $P_5=5!=120$. Cu cele două cărți alăturate: le „lipim" într-un pachet, avem $4$ obiecte de permutat ($P_4=24$) și $2$ ordini în interiorul pachetului, deci $24\cdot 2=48$. Cele în care nu stau alături: $120-48=72$ (numărare prin complement).

18. Primul drum: $C_8^3\cdot C_5^2=56\cdot 10=560$. Al doilea drum: alegem întâi cei $2$ informaticieni, apoi $3$ olimpici dintre cei $6$ rămași: $C_8^2\cdot C_6^3=28\cdot 20=560$ ✓. Explicația egalității: în ambele cazuri numărăm același lucru, adică modurile de a împărți cei $8$ elevi într-o grupă de $3$, o grupă de $2$ și un rest de $3$ — ordinea în care facem alegerile nu schimbă rezultatul final.

De reținut

• Trei întrebări înainte de orice calcul: se repetă elementele? contează ordinea? le iau pe toate sau doar o parte? Răspunsurile decid formula: regula produsului, $P_n$, $A_n^k$ sau $C_n^k$.
• Coduri și parole se numără cu regula produsului când simbolurile se repetă ($10^4$) și cu aranjamente când sunt distincte ($A_{10}^4$).
• Echipele și comisiile se numără cu combinări; când apar categorii (fete/băieți), alegem separat din fiecare categorie și înmulțim.
• „Cel puțin unu" se rezolvă prin complement: total minus cazurile care nu convin. Este aproape întotdeauna mai rapid decât numărarea pe cazuri.
• Drumurile minime într-o rețea sunt combinări deghizate: un drum cu $m$ pași la dreapta și $n$ pași în sus se alege în $C_{m+n}^n$ moduri.

Greșeli frecvente

• Folosirea aranjamentelor la echipe. Dacă ordinea nu contează, $A_n^k$ numără fiecare echipă de $k!$ ori. Test rapid: schimbă ordinea a doi membri — dacă obții aceeași echipă, sunt combinări.
• Ignorarea restricției „prima cifră nu poate fi zero". La numere de patru cifre distincte, răspunsul este $9\cdot 9\cdot 8\cdot 7=4536$, nu $A_{10}^4=5040$. Începe mereu cu poziția cea mai restricționată.
• Adunarea în loc de înmulțire (și invers). Regula produsului se aplică la etape succesive („și apoi"): meniu = supă și fel principal și desert. Regula sumei se aplică la cazuri care se exclud („sau"): exact $3$ băieți sau exact $4$ băieți.
• Numărarea de două ori. La problemele cu categorii, dacă alegi „un băiat, apoi încă trei persoane oarecare", vei număra de mai multe ori aceeași comisie. Ori numeri pe cazuri disjuncte, ori folosești complementul.
• Uitarea variantei «niciunul». Când o categorie este opțională (desert, ingredient, accesoriu), numărul ei de variante crește cu $1$. La fel, o delegație „de orice mărime" include și pe cea vidă, dacă enunțul nu spune altfel.

Aplică acasă

1. Garderoba ta. Numără câte tricouri, câți pantaloni și câte perechi de încălțăminte porți în mod curent. Calculează câte ținute diferite poți alcătui. Apoi impune o restricție reală (de exemplu, un tricou anume nu merge cu o pereche de pantaloni) și recalculează prin complement. Vei vedea concret cum o restricție reduce numărul de posibilități.

2. Harta cartierului. Desenează pe o foaie caroiată traseul de la casa ta până la școală, aproximând străzile printr-o rețea. Numără blocurile pe orizontală și pe verticală, apoi calculează câte drumuri minime există. Alege trei dintre ele și marchează-le cu culori diferite — vei vedea de ce toate au aceeași lungime.

3. Codul tău. Fără să scrii undeva codul real, calculează câte coduri PIN ar exista dacă ar avea $6$ cifre în loc de $4$ ($10^6$), și de câte ori crește securitatea. Apoi calculează câte parole de $8$ caractere se pot face din literele mici ale alfabetului englez ($26^8$) și compară cele două numere — vei înțelege de ce parolele lungi sunt recomandate.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este locul unde combinatorica devine utilă. Toate formulele au fost predate anterior; aici se antrenează competența care contează cu adevărat la examen și în viață — modelarea: transformarea unui enunț în limbaj obișnuit într-o schemă de numărare. Programa cere explicit abordarea prin contexte practice, iar exemplele alese (coduri, meniuri, echipe, drumuri, steaguri, Loto) sunt exact tipurile care apar în manuale și în subiectele de examen.

Ce verificați în caietul elevului: (1) scrie explicit dacă ordinea contează și dacă elementele se repetă, înainte de a alege formula; (2) la restricții, începe cu poziția sau categoria cea mai constrânsă; (3) la „cel puțin", folosește complementul, nu enumerarea pe cazuri; (4) verifică rezultatul pe un caz mic sau printr-o a doua numărare. Întrebări bune de control: „De ce echipa se numără cu combinări, iar codul cu aranjamente?"; „Ce se schimbă dacă desertul devine opțional?"; „De ce numărul drumurilor minime nu depinde de forma drumului, ci doar de câți pași ai în fiecare direcție?".

La Bacalaureat, aceste probleme apar la subiectul I și la subiectul al II-lea, în formulări scurte: „câte numere de trei cifre distincte se pot forma…", „în câte moduri se poate alege…". Punctajul se obține integral doar dacă elevul justifică alegerea metodei, nu doar dacă scrie rezultatul. Semne că elevul a înțeles: își pune singur cele trei întrebări, sesizează diferența dintre „exact doi" și „cel puțin doi" și verifică rezultatul printr-o a doua numărătoare.

Întrebări frecvente

Câte coduri PIN de patru cifre există? Există $10^4=10000$ de coduri, pentru că fiecare dintre cele patru poziții poate fi ocupată de oricare dintre cele $10$ cifre, independent de celelalte. Dacă se cere ca toate cifrele să fie distincte, numărul scade la $A_{10}^4=5040$.

Cum îmi dau seama dacă folosesc aranjamente sau combinări? Schimbă mental ordinea a două elemente alese. Dacă rezultatul este altceva (de exemplu, alt cod, alt număr, alt clasament), contează ordinea și folosești aranjamente. Dacă rezultatul este același lucru (aceeași echipă, aceeași comisie), ordinea nu contează și folosești combinări.

În câte moduri se poate forma o echipă de cinci jucători dintr-un lot de doisprezece? În $C_{12}^5=792$ de moduri, pentru că ordinea alegerii nu schimbă echipa. Dacă trebuie desemnat și un căpitan, numărul devine $792\cdot 5=3960$.

Cum rezolv o problemă cu „cel puțin unul"? Prin numărarea prin complement: calculezi numărul total de posibilități și scazi cazurile care nu conțin niciunul dintre elementele cerute. De exemplu, comisiile de $4$ din $7$ fete și $5$ băieți cu cel puțin un băiat sunt $C_{12}^4-C_7^4=495-35=460$.

De ce drumurile într-o rețea de străzi se numără cu combinări? Pentru că un drum minim este determinat complet de ordinea pașilor: dacă ai $4$ pași la dreapta și $3$ în sus, drumul e stabilit imediat ce alegi care dintre cele $7$ poziții sunt pașii „în sus". Deci numărul de drumuri este $C_7^3=35$.

Ce se schimbă dacă o categorie devine opțională? Numărul de variante al acelei categorii crește cu $1$, pentru varianta „niciunul". La un meniu cu $3$ supe, $5$ feluri și $4$ deserturi, meniurile complete sunt $60$, iar cele cu desert opțional sunt $3\cdot 5\cdot 5=75$.

Cum verific dacă am numărat corect? Trei metode: reia raționamentul pe un caz mic pe care îl poți enumera pe hârtie; numără în două moduri diferite și compară; verifică dacă ordinul de mărime are sens (un rezultat cu restricții trebuie să fie mai mic decât cel fără restricții).

Ce greșeală se face cel mai des la problemele cu numere? Uitarea condiției ca prima cifră să fie nenulă. Numerele de patru cifre cu cifre distincte sunt $9\cdot 9\cdot 8\cdot 7=4536$, nu $A_{10}^4=5040$; diferența de $504$ o dau „numerele" care încep cu $0$ și care, de fapt, au doar trei cifre.