Scări logaritmice: pH, decibeli, magnitudine (M2, științe ale naturii)

Raportul Grupului Interguvernamental privind Schimbările Climatice (IPCC) din 2013 spune că pH-ul apei de la suprafața oceanului a scăzut cu $0,1$ de la începutul erei industriale, ceea ce corespunde unei creșteri cu $26$ la sută a concentrației ionilor de hidrogen. O zecime de unitate pare nimic, iar un sfert în plus pare mult: cele două numere spun același lucru pentru că pH-ul este o scară logaritmică. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), citești asemenea scări pe graficul funcției logaritmice și traduci o diferență pe scară într-un raport între mărimi reale. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”, iar nota programei probei cere explicit „scări logaritmice” la funcții. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține calculele cu logaritmi la materia clasei a X-a, fără să numească scările.

Lecția folosește logaritmul natural și logaritmul zecimal la M2 și graficul funcției logaritmice. Contrastul dintre o mărime care se înmulțește și una care crește cu pași egali l-ai întâlnit în creșterea exponențială la M2. Pentru puterile lui zece cu exponent negativ poți reciti puterile cu exponent întreg din clasa a VII-a.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici, pe graficul funcției $\lg$, de ce pași egali pe o scară logaritmică înseamnă înmulțiri egale ale mărimii.
• Vei ști să treci de la concentrația ionilor de hidrogen la pH și înapoi, cu unitatea de măsură corectă.
• Vei ști să calculezi nivelul sonor în decibeli și să citești limitele de zgomot din documente oficiale.
• Vei ști să compari energiile a două cutremure după magnitudinile lor, fără să confunzi magnitudinea cu energia.
• Vei ști să interpretezi scara inversată a magnitudinilor stelare.
• Vei ști să verifici cu calculatorul orice trecere între scară și mărime.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o scară logaritmică?

Unele mărimi din științe se întind pe multe ordine de mărime: concentrația ionilor de hidrogen dintr-o soluție, intensitatea unui sunet, energia unui cutremur, strălucirea unei stele. Pe o axă obișnuită, valorile mici s-ar strânge toate lângă origine. Soluția este să nu mai notezi mărimea, ci logaritmul ei.

Scara logaritmică este un mod de a nota o mărime pozitivă $x$ prin numărul $\lg \frac{x}{x_0}$, eventual înmulțit cu o constantă, unde $x_0$ este o valoare de referință aleasă prin convenție. Numărul obținut se numește poziția pe scară. Pentru că funcția $\lg$ este strict crescătoare, ordinea se păstrează, dar distanțele se schimbă complet.

Figura A arată graficul funcției $y=\lg x$ pentru $x\in (0;110]$, cu punctele $(1;0)$, $(10;1)$ și $(100;2)$. Pe verticală, de la un punct la următorul urci cu câte o unitate. Pe orizontală, primul pas are lungimea $9$, al doilea lungimea $90$: pași egali pe scara logaritmică corespund unor înmulțiri cu zece, nu unor adunări. Aceasta este toată ideea scărilor din lecție.

2. Cum traduci o diferență pe scară?

Dacă două mărimi au pozițiile $p$ și $q$ pe o scară zecimală simplă, adică $p=\lg \frac{x}{x_0}$ și $q=\lg \frac{y}{x_0}$, atunci, din definiția logaritmului, $x=x_0\cdot 10^p$ și $y=x_0\cdot 10^q$. Împărțind, referința se simplifică: raportul mărimilor este $10^{q-p}$. Regula de lucru este deci: diferența pe scară este exponentul raportului.

De exemplu, două citiri de $1,6$ și $3,9$ pe o scară zecimală simplă înseamnă mărimi în raportul $10^{2,3}\approx 199,5$. Diferența de pe scară, $2,3$, nu spune de câte ori este mai mare mărimea; o spune puterea lui zece cu acest exponent. Formula nu cere nicio regulă nouă despre logaritmi, ci doar împărțirea a două puteri ale lui zece.

3. Cum funcționează scara pH?

Aciditatea unei soluții apoase se măsoară prin concentrația ionilor de hidrogen, notată $[{\mathrm{H}}^{+}]$ și exprimată în moli pe litru. pH-ul este

$$\mathrm{pH}=-\lg [{\mathrm{H}}^{+}],$$

unde în formulă se pune valoarea numerică a concentrației în moli pe litru; pH-ul nu are unitate de măsură. La $25$ °C, o soluție neutră are pH-ul $7$; sub $7$ este acidă, peste $7$ este bazică. Semnul minus face ca pH-ul să fie un număr pozitiv pentru soluțiile obișnuite, dar inversează sensul: un pH mai mic înseamnă mai mulți ioni de hidrogen.

Invers, din pH afli concentrația: $[{\mathrm{H}}^{+}]=10^{-\mathrm{pH}}$ moli pe litru. Pentru pH-uri neîntregi calculatorul dă puterea lui zece cu tasta $10^x$.

Să verificăm afirmația din raportul IPCC. O scădere a pH-ului cu $0,1$ înmulțește concentrația ionilor de hidrogen cu $10^{0,1}\approx 1,259$, adică o crește cu aproximativ $26$ la sută. Nu contează de la ce pH pleci: aceeași diferență pe scară înseamnă același raport.

Figura C așază pe porțiunea dintre $5$ și $10$ a scării pH două intervale reale: intervalul admis pentru apa potabilă, între $6,5$ și $9,5$ (Legea nr. 458/2002 privind calitatea apei potabile), și intervalul normal pentru sângele uman, între $7,35$ și $7,45$ (manualul medical MSD). Intervalul sângelui abia se vede pe axă, dar concentrațiile de la capetele lui diferă cu un sfert. Pe o axă obișnuită a concentrațiilor, capătul bazic al intervalului apei potabile nu s-ar deosebi de origine.

4. Cum se măsoară nivelul sonor în decibeli?

Intensitatea unui sunet, $I$, se măsoară în wați pe metru pătrat. Nivelul sonor $L$, în decibeli, este

$$L=10\lg \frac{I}{I_0},$$

unde $I_0=10^{-12}$ wați pe metru pătrat este intensitatea de referință, apropiată de pragul auzului la o frecvență de o mie de herți. Factorul zece transformă unitatea numită bel în decibeli, zece decibeli într-un bel.

Figura B arată graficul funcției $L(u)=10\lg u$, unde $u=\frac{I}{I_0}$ este raportul față de referință, pentru $u\in (0;1000]$. Punctele $(1;0)$, $(10;10)$, $(100;20)$ și $(1000;30)$ sunt pe grafic: fiecare adăugare de zece decibeli înseamnă o intensitate de zece ori mai mare. Între $u=100$ și $u=1000$ intensitatea crește cu nouă sute de unități de referință, dar curba urcă doar zece decibeli.

Regula generală vine din secțiunea a doua: două niveluri care diferă cu $d$ decibeli corespund unor intensități în raportul $10^{\frac{d}{10}}$. Împărțirea la zece apare pentru că scara decibelilor este de zece ori mai fină decât scara zecimală simplă.

5. Ce spun normele despre zgomot?

Directiva 2003/10/CE a Uniunii Europene, privind expunerea lucrătorilor la zgomot, fixează trei praguri pentru nivelul zilnic de expunere, mediat pe opt ore și ponderat A: $80$ dB(A) este valoarea inferioară de la care angajatorul trebuie să acționeze, $85$ dB(A) este valoarea superioară de acțiune, iar $87$ dB(A) este valoarea limită. Litera A arată că nivelul este corectat după sensibilitatea urechii, iar „mediat pe opt ore” înseamnă că se compară cantitățile de energie sonoră primite într-o zi de lucru, nu sunetele de o clipă.

Diferența dintre limită și primul prag este de șapte decibeli, deci energia sonoră primită la limită este de $10^{0,7}\approx 5,01$ ori mai mare decât la pragul inferior. Pe hârtie, $87$ și $80$ par apropiate; în energie, sunt de aproape cinci ori depărtate.

Organizația Mondială a Sănătății recomandă, în ghidul pentru zgomotul din mediu în regiunea europeană (2018), ca zgomotul mediu produs de traficul rutier să rămână sub $53$ dB $L_{den}$, un nivel mediat pe zi, seară și noapte. Și aici regula este aceeași: pentru a compara două niveluri, calculezi diferența și ridici zece la a zecea parte din ea.

6. Ce măsoară magnitudinea unui cutremur?

Seismologii folosesc astăzi mai ales magnitudinea moment, notată $M_w$, calculată din dimensiunile rupturii din falie. Institutul Național pentru Fizica Pământului (INFP) dă pentru marile cutremure vrâncene din secolul al XX-lea magnitudinile $M_w=7,7$ (1940), $M_w=7,4$ (1977), $M_w=7,1$ (1986) și $M_w=6,9$ (1990).

Legătura cu energia eliberată sub formă de unde seismice este logaritmică. Serviciul Geologic al Statelor Unite (USGS) o dă sub forma $\lg E=1,5M+4,8$, cu energia $E$ în jouli, adică $E=10^{1,5M+4,8}$. O unitate de magnitudine în plus înmulțește energia cu $10^{1,5}\approx 31,62$; USGS rotunjește la „de 32 de ori”, iar INFP la „de 30 de ori”. Magnitudinea nu este deci o măsură directă a energiei: diferența de magnitudine trebuie înmulțită cu $1,5$ înainte de a deveni exponentul raportului.

Figura D arată energia $E$, în unități de $10^{15}$ jouli, în funcție de magnitudinea $M$ între $6$ și $8$, cu cele patru cutremure vrâncene marcate. Pe scara magnitudinii ele sunt la cel mult $0,8$ unități distanță unul de altul; pe grafic, energia cutremurului din 1940 este de aproximativ $22,4$ unități, iar cea a cutremurului din 1990 de aproximativ $1,4$ unități.

Scara Richter originală, din 1935, măsura logaritmul amplitudinii undelor înregistrate de un anumit tip de seismograf, la o distanță de referință. Pentru valorile $M_w$ din catalogul INFP nu calculăm rapoarte de amplitudine, pentru că magnitudinea moment nu este definită prin amplitudine; comparăm numai energiile, cu relația USGS.

7. De ce scara stelelor merge invers?

Astronomii clasifică strălucirea aparentă a stelelor prin magnitudini, o scară moștenită din Antichitate, în care stelele cele mai strălucitoare aveau magnitudinea unu, iar cele mai slabe vizibile cu ochiul liber magnitudinea șase. În forma modernă, fixată în secolul al XIX-lea, o diferență de cinci magnitudini înseamnă exact un raport de o sută între strălucirile a două stele (cursul ASTRO 801 al Universității de Stat din Pennsylvania).

Scara este logaritmică, dar întoarsă: o magnitudine mai mare înseamnă o stea mai slabă. Pentru o diferență de o magnitudine, raportul strălucirilor este numărul care, înmulțit cu el însuși de cinci ori, dă o sută, adică $100^{\frac{1}{5}}=10^{0,4}\approx 2,512$. În general, o diferență de $d$ magnitudini înseamnă un raport de $10^{0,4d}$ între străluciri, cu steaua de magnitudine mai mică drept cea mai strălucitoare.

8. Ce lăsăm pentru clasa a X-a?

Toate calculele din lecție folosesc definiția logaritmului și împărțirea a două puteri ale lui zece. Formulele de calcul cu logaritmi (produs, cât, putere) și ecuațiile logaritmice cu mai mulți termeni sunt materie de clasa a X-a. Nici adunarea a două surse sonore nu o tratăm aici: ea cere proprietăți pe care le vei învăța atunci.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ionii de hidrogen din sânge

Manualul medical MSD dă pentru pH-ul normal al sângelui intervalul $7,35$–$7,45$, cu o valoare obișnuită apropiată de $7,40$. Calculați concentrația ionilor de hidrogen la $\mathrm{pH}=7,40$ și la capetele intervalului. La ce capăt sângele este mai acid?

Rezolvare. Din $[{\mathrm{H}}^{+}]=10^{-\mathrm{pH}}$, cu tasta $10^x$: la $7,40$ avem $10^{-7,4}\approx 3,98\cdot 10^{-8}$ moli pe litru; la $7,35$ avem $10^{-7,35}\approx 4,47\cdot 10^{-8}$ moli pe litru; la $7,45$ avem $10^{-7,45}\approx 3,55\cdot 10^{-8}$ moli pe litru.

Concentrația cea mai mare corespunde pH-ului mai mic, $7,35$, deci acolo sângele este mai acid. Ambele capete sunt peste $7$, așa că sângele rămâne ușor bazic pe tot intervalul normal.

Exemplul 2 — Apa de la robinet respectă legea?

Legea nr. 458/2002 cere ca apa potabilă să aibă pH-ul între $6,5$ și $9,5$. Două probe au concentrațiile ionilor de hidrogen $2,5\cdot 10^{-8}$ moli pe litru, respectiv $5\cdot 10^{-6}$ moli pe litru. Care dintre ele respectă cerința?

Rezolvare. Pentru prima probă, $\mathrm{pH}=-\lg \left(2,5\cdot 10^{-8}\right)\approx 7,602$, în intervalul $[6,5;9,5]$: proba respectă cerința. Pentru a doua, $\mathrm{pH}=-\lg \left(5\cdot 10^{-6}\right)\approx 5,301$, sub $6,5$: proba este prea acidă pentru apa de băut.

Controlul prin încadrare, fără calculator: $5\cdot 10^{-6}$ este între $10^{-6}$ și $10^{-5}$, deci pH-ul este între $5$ și $6$, sigur sub pragul legal.

Exemplul 3 — Citește scara decibelilor pe grafic

Folosind figura B, estimați nivelul sonor pentru un sunet de $600$ de ori mai intens decât referința și raportul $u$ pentru un sunet de $24$ dB. Confirmați prin calcul.

Rezolvare. Deasupra abscisei $600$ graficul este între ordonatele $20$ și $30$, mai aproape de $30$; citim aproximativ $28$ dB. Calculul dă $L(600)=10\lg 600\approx 27,78$ dB, iar $27,78\approx 28$, deci citirea este bună.

Dreapta orizontală de ordonată $24$ taie graficul între abscisele $100$ și $1000$, mult mai aproape de $100$; citim aproximativ $250$. Exact, din $10\lg u=24$ rezultă $\lg u=2,4$, deci $u=10^{2,4}\approx 251,2$.

Exemplul 4 — Un loc de muncă zgomotos

Un tehnician lucrează într-un atelier în care nivelul zilnic de expunere este $84$ dB(A). Față de pragurile Directivei 2003/10/CE, unde se află? De câte ori ar trebui redusă energia sonoră primită zilnic ca nivelul să coboare la $80$ dB(A)?

Rezolvare. Nivelul $84$ dB(A) depășește valoarea inferioară de acțiune, $80$ dB(A), dar nu atinge valoarea superioară, $85$ dB(A). Diferența până la pragul inferior este de patru decibeli, deci energia trebuie împărțită la $10^{0,4}\approx 2,51$.

Cu alte cuvinte, o scădere de doar patru decibeli cere ca tehnicianul să primească mai puțin de jumătate din energia sonoră de acum. Asta se obține cu echipamente mai silențioase, carcase fonoabsorbante sau mai puțin timp petrecut lângă sursă.

Exemplul 5 — Două cutremure vrâncene

Folosind relația USGS $E=10^{1,5M+4,8}$ și magnitudinile INFP, calculați energia eliberată de cutremurul din 1977 și de câte ori a fost ea mai mare decât energia cutremurului din 1986.

Rezolvare. Pentru $M=7,4$, exponentul este $1,5\cdot 7,4+4,8=15,9$, deci $E_{1977}=10^{15,9}\approx 7,94\cdot 10^{15}$ jouli. Pentru $M=7,1$, exponentul este $1,5\cdot 7,1+4,8=15,45$.

Raportul energiilor este $10^{15,9-15,45}=10^{0,45}\approx 2,82$. O diferență de trei zecimi de magnitudine a însemnat de aproape trei ori mai multă energie. Pe figura D, punctele celor două cutremure sunt la ordonatele aproximative $7,9$ și $2,8$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=10\lg x$. Determinați numărul real $x$ pentru care $f(x)=130$.

Rezolvare. Ecuația $10\lg x=130$ devine $\lg x=13$, iar din definiția logaritmului zecimal $x=10^{13}$. Numărul este pozitiv, deci aparține domeniului, iar verificarea dă $10\lg 10^{13}=130$. În limbajul decibelilor: un nivel de $130$ dB corespunde unei intensități de $10^{13}$ ori mai mari decât referința. Exercițiul este un antrenament propriu, nu un subiect oficial.

Să exersăm

Rotunjește la trei zecimale sau la trei cifre semnificative, dacă enunțul nu cere altfel, și scrie unitatea de măsură la fiecare rezultat care are una.

1. Calculează pH-ul soluțiilor cu $[{\mathrm{H}}^{+}]=6,3\cdot 10^{-4}$ moli pe litru și $[{\mathrm{H}}^{+}]=2,5\cdot 10^{-10}$ moli pe litru. Spune care este acidă și care bazică.

2. Calculează concentrația ionilor de hidrogen pentru soluțiile cu pH-ul $2,8$ și $11,3$, în notație științifică.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) După relația USGS și magnitudinile INFP, cutremurul vrâncean din 1977 a eliberat de peste cinci ori mai multă energie decât cel din 1990.

4. Pentru scenariul cu emisiile cele mai mari, raportul IPCC din 2013 proiectează până la sfârșitul secolului o scădere a pH-ului de la suprafața oceanului cu $0,30$–$0,32$. Pornind de la pH-ul $8,1$, calculează concentrația ionilor de hidrogen de azi, dublează-o și află pH-ul care corespunde concentrației duble. Se potrivește scăderea obținută cu proiecția?

5. În acidoză, pH-ul sângelui poate coborî de la $7,40$ la $7,20$. De câte ori crește concentrația ionilor de hidrogen? Exprimă creșterea și în procente.

6. Calculează nivelul sonor al unui sunet cu intensitatea $3,5\cdot 10^{-5}$ wați pe metru pătrat.

7. Recomandarea Organizației Mondiale a Sănătății pentru traficul rutier este un nivel mediu sub $53$ dB. Ce intensitate medie corespunde exact acestui nivel?

8. La $r$ metri de o sursă sonoră mică, în aer liber, nivelul sonor este $L(r)=100-20\lg r$ decibeli, pentru $r\in [1;50]$ (figura E). Estimează pe figură distanța la care nivelul coboară la $74$ dB, apoi calculeaz-o exact.

9. Cu modelul din exercițiul 8, calculează nivelul la $5$ metri și la $10$ metri. Cu câți decibeli scade nivelul când distanța se dublează?

10. Directiva 2003/10/CE compară energia sonoră primită într-o zi. Un lucrător intră într-o sală a mașinilor în care nivelul este $91$ dB(A). Câte ore poate sta acolo, astfel încât energia primită să nu depășească energia a opt ore petrecute la $85$ dB(A)?

11. (Problemă aplicată.) Un muncitor este expus la $95$ dB(A) și poartă antifoane care atenuează sunetul cu $20$ dB. Ce nivel ajunge la urechea lui? Ce fracțiune din energia sonoră trece de antifoane?

12. Folosind relația USGS și magnitudinile INFP, calculează energia totală a celor patru cutremure vrâncene și magnitudinea unui singur cutremur care ar elibera toată această energie.

13. Ce magnitudine are, după relația USGS, un cutremur care eliberează $10^{14}$ jouli? Rotunjește la două zecimale.

14. Citește pe figura D energia unui cutremur de magnitudine $7$ și confirm-o prin calcul, în jouli.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că numărul $-\lg \left(2\cdot 10^{-3}\right)$ este cuprins între $2$ și $3$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $-\lg 10^{-9}-10\lg 100=-11$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=-\lg x$. Arătați că $f\left(10^{-11}\right)-f\left(10^{-4}\right)=7$ și spuneți de câte ori diferă numerele $10^{-4}$ și $10^{-11}$.

18. (Provocare.) Două stele au magnitudinile aparente $1,2$ și $4,7$. De câte ori este mai strălucitoare prima? Cu câte magnitudini ar trebui să difere două stele ca una să fie de o mie de ori mai strălucitoare decât cealaltă?

Răspunsuri și explicații

1. $\mathrm{pH}=-\lg \left(6,3\cdot 10^{-4}\right)\approx 3,201$, deci soluția este acidă. $\mathrm{pH}=-\lg \left(2,5\cdot 10^{-10}\right)\approx 9,602$, deci soluția este bazică. Încadrările de control: primul pH este între $3$ și $4$, al doilea între $9$ și $10$.

2. Pentru pH-ul $2,8$: $10^{-2,8}\approx 1,58\cdot 10^{-3}$ moli pe litru. Pentru pH-ul $11,3$: $10^{-11,3}\approx 5,01\cdot 10^{-12}$ moli pe litru. Exponentul puterii lui zece din notația științifică este partea întreagă a lui $-\mathrm{pH}$: $-3$, respectiv $-12$.

3. Adevărat. Diferența de magnitudine este $7,4-6,9=0,5$, deci raportul energiilor este $10^{1,5\cdot 0,5}=10^{0,75}\approx 5,62$, puțin peste cinci. Fără factorul $1,5$ ar fi ieșit $10^{0,5}\approx 3,16$ și verdictul ar fi fost greșit.

4. Azi, $[{\mathrm{H}}^{+}]=10^{-8,1}\approx 7,94\cdot 10^{-9}$ moli pe litru; dublul este $\approx 1,59\cdot 10^{-8}$ moli pe litru. Pentru el, $\mathrm{pH}=-\lg \left(1,59\cdot 10^{-8}\right)\approx 7,80$, adică o scădere de $\approx 0,30$. Proiecția IPCC înseamnă deci, cam, o dublare a concentrației ionilor de hidrogen.

5. Scăderea pH-ului de la $7,40$ la $7,20$, adică cu $0,2$, înmulțește concentrația cu $10^{0,2}\approx 1,585$. Creșterea este $(1,585-1)\cdot 100=58,5$ la sută, deși pe scară pH-ul s-a schimbat doar cu două zecimi.

6. Raportul față de referință este $\frac{3,5\cdot 10^{-5}}{10^{-12}}=3,5\cdot 10^7$, deci $L=10\lg \left(3,5\cdot 10^7\right)\approx 75,441$ dB. Control: raportul este între $10^7$ și $10^8$, deci nivelul trebuie să fie între $70$ și $80$ dB, iar $70<75,441<80$.

7. Din $10\lg \frac{I}{I_0}=53$ rezultă $\frac{I}{I_0}=10^{5,3}$, deci $I=10^{5,3}\cdot 10^{-12}=10^{-6,7}\approx 2,00\cdot 10^{-7}$ wați pe metru pătrat. Nivelul recomandat este o medie pe o zi întreagă, nu intensitatea unui singur sunet.

8. Pe figura E, curba coboară la $74$ dB cam la $20$ de metri. Exact: $100-20\lg r=74$ dă $20\lg r=26$, deci $\lg r=1,3$ și $r=10^{1,3}\approx 19,95$ metri, în intervalul $[1;50]$.

9. $L(5)=100-20\lg 5\approx 86,02$ dB și $L(10)=100-20\lg 10=80$ dB. Diferența este $86,02-80=6,02$ dB, cu aproximație: la dublarea distanței, nivelul scade cu cam șase decibeli, pentru că intensitatea scade de patru ori.

10. Energia primită este proporțională cu intensitatea înmulțită cu timpul. Diferența de $6$ dB înseamnă o intensitate de $10^{0,6}\approx 3,98$ ori mai mare, deci timpul trebuie împărțit la același factor: $t=8\cdot 10^{-0,6}\approx 2,01$ ore, cam două ore.

11. La ureche ajung $95-20=75$ dB(A). O atenuare de $20$ dB înseamnă o energie de $10^2=100$ de ori mai mică, deci trece $\frac{1}{100}=1\%$ din energia sonoră.

12. Energiile sunt $10^{16,35}\approx 2,24\cdot 10^{16}$, $10^{15,9}\approx 7,94\cdot 10^{15}$, $10^{15,45}\approx 2,82\cdot 10^{15}$ și $10^{15,15}\approx 1,41\cdot 10^{15}$ jouli, cu suma $\approx 3,46\cdot 10^{16}$ jouli. Din $1,5M+4,8=\lg \left(3,46\cdot 10^{16}\right)\approx 16,539$ rezultă $M\approx 7,83$: toate patru la un loc depășesc cutremurul din 1940 cu doar $0,13$ unități.

13. Din $\lg E=1,5M+4,8$ cu $\lg 10^{14}=14$ rezultă $1,5M=9,2$, deci $M=\frac{9,2}{1,5}\approx 6,13$.

14. Pe figura D, deasupra magnitudinii $7$ curba este la aproximativ două unități de $10^{15}$ jouli. Calculul: exponentul este $1,5\cdot 7+4,8=15,3$, deci $E=10^{15,3}\approx 2,00\cdot 10^{15}$ jouli.

15. Avem $10^{-3}<2\cdot 10^{-3}<10^{-2}$, iar funcția $\lg$ este strict crescătoare, deci $-3<\lg \left(2\cdot 10^{-3}\right)<-2$. Înmulțind cu $-1$, sensul inegalităților se schimbă: $2<-\lg \left(2\cdot 10^{-3}\right)<3$. Este pH-ul unei soluții cu $[{\mathrm{H}}^{+}]=2\cdot 10^{-3}$ moli pe litru.

16. $-\lg 10^{-9}=9$ și $10\lg 100=10\cdot 2=20$, deci diferența este $9-20=-11$.

17. $f\left(10^{-11}\right)=11$ și $f\left(10^{-4}\right)=4$, deci diferența este $7$. Numerele diferă de $\frac{10^{-4}}{10^{-11}}=10^7$ ori: diferența de pe scară este exponentul raportului.

18. Diferența este $4,7-1,2=3,5$ magnitudini, deci raportul strălucirilor este $10^{0,4\cdot 3,5}=10^{1,4}\approx 25,12$; prima stea, cu magnitudinea mai mică, este cea mai strălucitoare. Pentru un raport de o mie avem nevoie de $10^{0,4d}=10^3$, adică $0,4d=3$ și $d=7,5$ magnitudini.

De reținut

• O scară logaritmică notează $\lg \frac{x}{x_0}$ în locul mărimii $x$: pași egali pe scară înseamnă înmulțiri egale ale mărimii.
• pH-ul este $-\lg [{\mathrm{H}}^{+}]$, cu concentrația în moli pe litru; o scădere a pH-ului cu $d$ înmulțește concentrația cu $10^d$.
• Nivelul sonor este $L=10\lg \frac{I}{I_0}$, cu $I_0=10^{-12}$ wați pe metru pătrat; $d$ decibeli în plus înseamnă intensitate de $10^{\frac{d}{10}}$ ori mai mare.
• Energia unui cutremur crește cu magnitudinea după $E=10^{1,5M+4,8}$ jouli: $d$ unități de magnitudine înseamnă energie de $10^{1,5d}$ ori mai mare.
• La stele scara este inversă: o magnitudine mai mare înseamnă o stea mai slabă, iar cinci magnitudini înseamnă un raport de o sută.

Greșeli frecvente

• Uiți unitatea concentrației înainte de a calcula pH-ul. Formula cere concentrația în moli pe litru; o valoare în milimoli pe litru dă un pH greșit cu trei unități. Transformă întâi unitatea.
• Tratezi diferența de decibeli ca pe o diferență de scară zecimală simplă. Diferența de șapte decibeli nu înseamnă un raport de $10^7$, ci de $10^{0,7}$. Împarți întâi diferența la zece.
• Compari nivelurile ponderate A ca pe sunete de o clipă. Pragurile din directivă sunt medii pe opt ore. Raportul pe care îl calculezi este unul între energiile primite, nu între intensitățile unor sunete.
• Folosești relația USGS cu energia în altă unitate. Relația $E=10^{1,5M+4,8}$ dă energia în jouli; dacă introduci kilojouli sau tone de TNT, magnitudinea iese greșită. Transformi întâi energia în jouli, apoi calculezi.
• Uiți că scara stelelor este inversată. Steaua de magnitudine $1,2$ este mai strălucitoare decât cea de magnitudine $4,7$. Verifică sensul înainte să scrii „de atâtea ori mai strălucitoare”.

Aplică acasă

1. Caută buletinul de analiză a apei potabile publicat de compania de apă din localitatea ta. Notează pH-ul raportat, verifică dacă se încadrează în intervalul din Legea nr. 458/2002 și calculează, în moli pe litru, câți ioni de hidrogen corespund valorii raportate și pentru cele două capete ale intervalului legal.
2. Caută harta strategică de zgomot a orașului tău sau a celui mai apropiat oraș mare (primăriile le publică pentru străzile principale). Alege trei străzi, notează nivelurile medii și calculează de câte ori depășește energia sonoră pe fiecare stradă valoarea recomandată de Organizația Mondială a Sănătății.
3. Într-o seară senină, alege o constelație și caută, într-o aplicație de astronomie sau într-un atlas, magnitudinile a patru stele din ea. Ordonează-le după strălucire și calculează raportul strălucirilor dintre cea mai strălucitoare și cea mai slabă.

Pentru părinți și profesori

Lecția răspunde cerinței programei de științe de a interpreta graficul funcției logaritmice pentru a explica scări logaritmice, cu exemplele din chimie (pH), acustică (decibeli), seismologie (magnitudine) și astronomie (magnitudine stelară). Toate datele sunt reale și au sursa numită în text: raportul IPCC din 2013, manualul medical MSD, Legea nr. 458/2002, Directiva 2003/10/CE, ghidul Organizației Mondiale a Sănătății din 2018, catalogul INFP, relația USGS dintre magnitudine și energie și cursul ASTRO 801 al Universității de Stat din Pennsylvania. Fiecare calcul pornește de la definiția logaritmului și de la împărțirea a două puteri ale lui zece; proprietățile logaritmilor rămân pentru clasa a X-a.

Două precizări de fizică merită urmărite: nivelurile din normele de zgomot sunt medii ponderate A, deci rapoartele se referă la energia primită, iar magnitudinile moment din catalog se compară numai prin energie, nu prin amplitudine. Întrebări bune de control: „De ce o scădere a pH-ului cu o zecime înseamnă un sfert mai mulți ioni de hidrogen?”; „De câte ori crește energia sonoră la zece decibeli în plus?”; „De ce trei zecimi de magnitudine înseamnă aproape de trei ori mai multă energie?”. Semnul că elevul a înțeles: spune „cu atâtea unități” despre scară și „de atâtea ori” despre mărime.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, care cere la competența IX.CS.6.6 „interpretarea reprezentării grafice a funcției logaritmice pentru a explica scările logaritmice (de exemplu, scara Richter, scara decibelilor)”, iar nota unității de funcții numește „scări logaritmice”. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”, iar nota programei probei reia „scări logaritmice”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care conține noțiunea de logaritm și calculele cu logaritmi la materia clasei a X-a, dar nu numește scările logaritmice. Exercițiile marcate aici sunt calcule directe cu logaritmi zecimali, antrenamente proprii; contextele din științe nu sunt afirmate ca subiecte de examen.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: scările logaritmice pH, decibeli și magnitudine. Lecția precedentă a traseului este logaritmul natural și logaritmul zecimal, iar recapitularea unității se face cu testul M2 de funcții și lecturi grafice.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre scări logaritmice?

Aici scările se explică pe graficul funcției logaritmice, cum cere programa de științe, și se lucrează cu date reale, fiecare cu sursa numită: normele de zgomot, pH-ul sângelui și al apei potabile, cutremurele vrâncene, magnitudinile stelelor. Comparațiile de energie la cutremure folosesc relația USGS. Varianta M1 lucrează mai mult cu valori rotunde.

La ce subiect al Bacalaureatului M2 îmi folosesc scările logaritmice?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține calculele cu logaritmi la materia clasei a X-a, fără să numească scările; ce exersezi aici sunt calculele cu logaritmi zecimali. Pentru MAT_P2 din 2030, nota programei la funcții numește explicit scările logaritmice, în domeniul „Algebră”.

De ce pH-ul nu are unitate de măsură?

pH-ul este logaritmul unui număr, valoarea concentrației exprimate în moli pe litru, iar logaritmul unui număr nu are unitate. Tocmai de aceea unitatea concentrației trebuie fixată înainte de calcul: aceeași soluție scrisă în milimoli pe litru ar da un alt număr sub logaritm.

Ce înseamnă dB(A) în normele de zgomot?

Litera A arată că nivelul a fost corectat după sensibilitatea urechii umane, care aude mai slab frecvențele foarte joase și foarte înalte. În normele de protecție a muncii, nivelurile în dB(A) sunt medii pe o zi de lucru, deci compară cantități de energie sonoră primite, nu sunete de o clipă.

De ce nu calculăm raportul amplitudinilor pentru cutremurele vrâncene?

Pentru că magnitudinile din catalogul INFP sunt magnitudini moment, calculate din dimensiunile rupturii, nu din amplitudinea înregistrată de un seismograf. Pentru ele relația sigură este cea cu energia, $E=10^{1,5M+4,8}$ jouli, dată de USGS. Raportul amplitudinilor ținea de scara Richter originală.

De ce la stele numerele mai mici înseamnă stele mai strălucitoare?

Scara vine din Antichitate, când stelele cele mai strălucitoare erau numite de „prima mărime”, iar cele abia vizibile de „a șasea”. Astronomii au păstrat ordinea și au fixat-o precis: cinci magnitudini înseamnă un raport de o sută. Așa se face că o stea mai strălucitoare are o magnitudine mai mică, uneori chiar negativă.