Între ce numere întregi se află log₂ 50?

Cauți puterile lui 2 vecine cu 50: 2⁵=32<50<64=2⁶. Funcția 2^(x) este crescătoare, deci 5<log₂ 50<6. Calculatorul confirmă: log₂ 50≈5,64. Atenție: capetele încadrării sunt exponenții, nu puterile 32 și 64.

Cum aflu semnul unui logaritm fără calcul?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Logaritmul ca exponent

Compari cu $1$ atât baza, cât și argumentul. Dacă sunt de aceeași parte a lui $1$ , ambele mai mari sau ambele mai mici, logaritmul este pozitiv; dacă sunt de părți diferite, este negativ; dacă argumentul este $1$ , logaritmul este $0$ . Exemple: $lo g_{3} 0, 5 < 0$ , fiindcă $3 > 1$ și $0, 5 < 1$ , iar $lo g_{0, 5} 0, 2 > 0$ , fiindcă ambele numere sunt sub $1$ .

Logaritmul răspunde la întrebarea „la ce putere trebuie ridicată baza ca să obțin un număr dat?”. Pentru $a > 0$ , $a \neq = 1$ și $b > 0$ , $lo g_{a} b$ este exponentul $c$ cu $a^{c} = b$ . Orice valoare se verifică ridicând baza la ea, iar la traducerea dintre cele două forme baza rămâne bază.

Pe graficul funcției $a^{x}$ , logaritmul lui $b$ este abscisa punctului de ordonată $b$ . Dreapta orizontală $y = b$ taie graficul o singură dată dacă $b$ este pozitiv; dacă $b$ este zero sau negativ, nu există niciun punct, iar expresia nu are sens. Baza unu este exclusă pentru că toate puterile ei sunt egale cu unu.

Semnul se stabilește fără calcul, comparând cu unu atât baza, cât și argumentul: dacă ambele sunt mai mari sau ambele mai mici, rezultatul iese pozitiv, iar altfel negativ. Pentru o valoare neîntreagă se caută două puteri vecine ale bazei care prind argumentul între ele; la o bază subunitară capetele se așază invers. Egalitățile $lo g_{a} 1 = 0$ , $lo g_{a} a = 1$ , $lo g_{a} a^{n} = n$ și $a^{l o g_{a} b} = b$ se citesc direct din definiție. Proprietățile de calcul și ecuațiile logaritmice vin în clasa a X-a.

De reținut

$lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$ , cu $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$
baza și argumentul de aceeași parte a lui $1$ : logaritm pozitiv; de părți diferite: negativ
$lo g_{a} 1 = 0$ , $lo g_{a} a = 1$

Greșeala tipică

Se crede că un logaritm cu argumentul subunitar este mereu negativ; la bază subunitară el iese pozitiv, de exemplu $lo g_{0, 5} 0, 25 = 2$ .

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $lo g_{11} 1331$ ?
- a) $3$
- b) $4$
- c) $121$
- d) $\frac{1}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3$

Din $1 1^{3} = 1331$ rezultă $lo g_{11} 1331 = 3$ .
Care dintre expresii NU are sens?
- a) $lo g_{\frac{1}{2}} 7$
- b) $lo g_{5} 0, 2$
- c) $lo g_{7} (- 49)$
- d) $lo g_{0, 3} 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $lo g_{7} (- 49)$

Argumentul unui logaritm trebuie să fie strict pozitiv, iar la $lo g_{7} (- 49)$ el este negativ. Celelalte au bazele pozitive, diferite de unu, și argumentele pozitive.
Care dintre numere este pozitiv?
- a) $lo g_{0, 4} 3$
- b) $lo g_{4} 0, 3$
- c) $lo g_{0, 2} 0, 7$
- d) $lo g_{6} 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $lo g_{0, 2} 0, 7$

La $lo g_{0, 2} 0, 7$ baza și argumentul sunt amândouă sub unu, deci logaritmul este pozitiv. Primele două au baza și argumentul de părți diferite ale lui unu, iar $lo g_{6} 1 = 0$ .

Întrebări conexe

Între ce numere întregi se află $lo g_{2} 50$ ?

Cauți puterile lui $2$ vecine cu $50$ : $2^{5} = 32 < 50 < 64 = 2^{6}$ . Funcția $2^{x}$ este crescătoare, deci $5 < lo g_{2} 50 < 6$ . Calculatorul confirmă: $lo g_{2} 50 \approx 5, 64$ . Atenție: capetele încadrării sunt exponenții, nu puterile $32$ și $64$ .

Câte cicluri PCR sunt necesare ca o moleculă să ajungă la un milion de copii?

La fiecare ciclu numărul copiilor se dublează, deci după $n$ cicluri ai $2^{n}$ . Ceri $2^{n} \geq 1 0^{6}$ , adică $n \geq lo g_{2} 1 0^{6} \approx 19, 93$ . Numărul de cicluri este întreg, deci sunt necesare $20$ : $2^{20} = 1048576$ .

Pentru ce valori ale lui $x$ are sens $lo g_{3} (x^{2} - 4)$ ?

Argumentul trebuie să fie strict pozitiv: $x^{2} - 4 > 0$ , adică $x < - 2$ sau $x > 2$ . Pentru $x = \pm 2$ argumentul este zero, iar pentru $x$ între $- 2$ și $2$ este negativ, deci logaritmul nu există. Baza $3$ respectă deja condițiile.

Cât face $5^{l o g_{5} 7}$ și cât face $lo g_{5} 5^{4}$ ?

Din definiție, $lo g_{5} 7$ este exponentul la care ridici $5$ ca să obții $7$ , deci $5^{l o g_{5} 7} = 7$ . La fel, exponentul care dă $5^{4}$ este $4$ , deci $lo g_{5} 5^{4} = 4$ . Cele două operații se anulează reciproc când au aceeași bază. Definiția este primul pas și în ecuația logaritmică de la Subiectul I din modelul de bacalaureat M2 pentru 2026.

Cât este $lo g_{0, 1} 1000$ ?

Cauți exponentul $c$ cu $0, 1^{c} = 1000$ . Cum $0, 1 = 1 0^{- 1}$ , $0, 1^{c} = 1 0^{- c}$ , deci $- c = 3$ și $c = - 3$ . Rezultatul negativ era de așteptat: baza este sub $1$ , iar argumentul peste $1$ .

Oamenii mai întreabă și: semnul logaritmului · când este un logaritm negativ · logaritm pozitiv sau negativ · cum știu dacă logaritmul e pozitiv

Cum aflu semnul unui logaritm fără calcul?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Între ce numere întregi se află log2​50?

Câte cicluri PCR sunt necesare ca o moleculă să ajungă la un milion de copii?

Pentru ce valori ale lui x are sens log3​(x2−4)?

Cât face 5log5​7 și cât face log5​54?

Cât este log0,1​1000?

Continuă cu

Între ce numere întregi se află $lo g_{2} 50$ ?

Pentru ce valori ale lui $x$ are sens $lo g_{3} (x^{2} - 4)$ ?

Cât face $5^{l o g_{5} 7}$ și cât face $lo g_{5} 5^{4}$ ?

Cât este $lo g_{0, 1} 1000$ ?