Schimbarea de variabilă (M2, științe ale naturii)

Un termometru de laborator gradat în grade Celsius și unul gradat în kelvini măsoară același lucru, dar arată numere diferite: intervalul care pe primul se citește de la $0$ la $100$ se citește pe al doilea de la $273$ la $373$. Nimeni nu se miră — e limpede că, dacă schimbi rigla, trebuie să schimbi și capetele. La clasa a XII-a, la profilul științe ale naturii (M2), capitolul despre integrala definită cuprinde o metodă construită exact pe ideea aceasta: ai voie să înlocuiești variabila de integrare cu alta, mai comodă, cu condiția să înlocuiești odată cu ea și capetele. Metoda se numește schimbare de variabilă, se dă la bacalaureatul M2 la Subiectul al III-lea, iar greșeala care o însoțește are un singur nume — limitele rămase din vechea gradație.

Merită spus de la început pe ce se sprijină lecția. Linia de programă e scrisă la fel în amândouă documentele care contează pentru tine: programa de examen din 2014, după care se dau sesiunile 2027, 2028 și 2029, cere „metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părți, integrarea prin schimbare de variabilă", iar programa nouă, aprobată prin OMEC 6930/2025, cere aceleași două metode la unitatea XII.4. Indiferent de generația din care faci parte, tema intră la examen; se schimbă doar anul în care o dai și numele probei.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști tiparul care cere schimbarea de variabilă: alături de o expresie împachetată într-o funcție stă chiar derivata ei, eventual înmulțită cu un număr.
• Vei ști să scrii cei trei pași ai metodei în ordinea corectă, cu noile limite trecute pe hârtie înaintea rescrierii integrandului.
• Vei ști să calculezi noile limite $u(a)$ și $u(b)$ și să spui în ce moment se încheie rezolvarea.
• Vei ști ce faci când noile limite ies în ordine descrescătoare, fără să le inversezi pe ascuns.
• Vei ști să verifici, printr-un test scurt, dacă substituția aleasă dizolvă tot integrandul sau dacă ai luat-o pe un drum greșit.
• Vei ști să folosești metoda într-un model din fizică, cu unități de măsură la rezultat.

Hai să descoperim împreună

1. Ce spune, exact, formula schimbării de variabilă?

Schimbarea de variabilă pentru integrala definită este următoarea egalitate: dacă $f$ este continuă pe un interval $J$, iar $u:[a,b]\to J$ este derivabilă și are derivata $u^{\prime }$ continuă, atunci

$${\int }_a^{b}f(u(x))u^{\prime }(x)dx={\int }_{u(a)}^{u(b)}f(t)dt.$$

Citește-o pe îndelete, pentru că fiecare bucată contează. În stânga, integrandul are o formă foarte precisă: o funcție $f$ aplicată unei expresii $u(x)$, înmulțită cu derivata acelei expresii. În dreapta, integrandul a devenit simplu — doar $f$, aplicată unei variabile noi, pe care o notăm $t$. Și, lucrul cel mai important, capetele nu au rămas $a$ și $b$: ele au devenit $u(a)$ și $u(b)$, adică valorile pe care le ia noua variabilă atunci când cea veche ajunge în capete.

Condițiile din enunț nu sunt decor. Continuitatea lui $f$ pe un interval este cea care garantează că $f$ are primitive acolo — regula de existență pe care ai fixat-o la Ce funcții admit primitive. Continuitatea derivatei $u^{\prime }$ este cea care face ca și integrandul din stânga să fie continuu, deci integrabil. Iar faptul că $u$ ia valori în $J$, nu oriunde, este condiția care ține toată construcția în picioare: funcția $f$ trebuie să fie definită acolo unde ajunge $u$.

Un amănunt care surprinde mulți elevi: nu se cere ca $u$ să fie crescătoare și nici măcar ca $u$ să fie injectivă. Formula rămâne adevărată și dacă $u$ ia de două ori aceeași valoare pe $[a,b]$, pentru că nicăieri în ea nu apare inversa lui $u$, ci numai compunerea cu $u$.

2. De unde vine formula?

Vine dintr-un singur loc: din regula de derivare a funcțiilor compuse, învățată la Derivarea funcțiilor compuse. Fie $F$ o primitivă a lui $f$ pe $J$, adică $F^{\prime }=f$. Compunerea $F\circ u$ este derivabilă pe $[a,b]$ și

$$(F\circ u{)}^{\prime }(x)=F^{\prime }(u(x))\cdot u^{\prime }(x)=f(u(x))u^{\prime }(x).$$

Am obținut astfel ceva foarte convenabil: funcția $F\circ u$ este o primitivă a exact acelui integrand care ne interesează. Aplicăm formula Leibniz-Newton, fixată la Formula Leibniz-Newton, și integrala din stânga devine diferența $F(u(b))-F(u(a))$.

Acum privește și integrala din dreapta. Acolo integrandul este $f$, iar $F$ este primitiva lui, așa că aceeași formulă Leibniz-Newton dă tot $F(u(b))-F(u(a))$. Cele două integrale sunt deci egale, fiindcă dau același număr. Nu e nicio magie în metodă: sunt două citiri ale aceleiași diferențe de valori ale lui $F$.

Reține concluzia, nu calculul: schimbarea de variabilă nu adaugă nimic nou peste ce știai, ci pune regula de derivare a compuselor la treabă în sens invers. De aceea singurele funcții care se lasă integrate așa sunt cele care arată ca rezultatul unei derivări de funcție compusă.

3. Care sunt cei trei pași și în ce ordine se scriu?

Iată-i, pe un exemplu care nu va mai apărea nicăieri în lecția aceasta. Calculăm ${\int }_0^{2}2x{\left(x^2+6\right)}^{3}dx$.

Pasul 1 — substituția. Cauți expresia cea mai complicată dinăuntru. Aici este $x^2+6$, aflată sub o putere. Notăm $t=x^2+6$, deci $dt=2xdx$, iar factorul $2xdx$ apare întreg în integrand.

Pasul 2 — noile limite. Când $x=0$, $t=0^2+6=6$; când $x=2$, $t=2^2+6=10$. Le scrii acum, pe hârtie, înainte de a atinge integrandul.

Pasul 3 — calculul în noua variabilă.

$${\int }_0^{2}2x{\left(x^2+6\right)}^{3}dx={\int }_6^{10}{t}^{3}dt=\frac{t^4}{4}{|}_6^{10}=\frac{10000-1296}{4}=2176.$$

Ordinea celor trei pași nu e o toană. Dacă scrii mai întâi integrandul nou și abia apoi te gândești la capete, ai deja sub ochi o integrală care arată perfect corectă și nu mai ai niciun motiv să te întorci. Noile limite scrise imediat după substituție sunt singura procedură care te apără.

4. De ce nu se revine la variabila inițială?

Pentru că nu mai ai la ce. Rezultatul unei integrale definite este un număr, nu o funcție, iar numărul $2176$ de mai sus nu poartă în el nicio urmă a variabilei. În momentul în care ai schimbat capetele, integrala în $t$ este un obiect complet: are integrand și are limite, deci are valoare.

Merită spus limpede de ce observația aceasta contează mai mult decât pare. La profilul științe ale naturii, metodele de integrare apar direct la integrala definită: în capitolul de primitive ai lucrat numai cu tabelul și cu liniaritatea, așa cum ți-a arătat lecția Primitive: cum recunoști funcția la examen. Nu ai deci o variantă „cu revenire la $x$" pe care să o compari cu asta și din care să te obișnuiești greșit. Ai o singură procedură, iar ea se încheie în $t$.

Amestecul celor două scrieri e singurul lucru cu adevărat interzis. Cine desface substituția la loc, dar păstrează capetele noi, ajunge să evalueze $\frac{{\left(x^2+6\right)}^4}{4}$ pentru $x=10$ și $x=6$ — adică o expresie în vechea variabilă, între niște valori care aparțin celei noi. Numărul care iese de acolo nu măsoară nimic.

5. Ce faci când noile limite ies în ordine descrescătoare?

Nimic. Le lași așa. Uită-te la ${\int }_0^3\frac{dx}{7-2x}$, unde integrandul este bine definit, fiindcă pe intervalul $[0,3]$ numitorul $7-2x$ scade de la $7$ la $1$, fără să se anuleze.

Notăm $t=7-2x$, deci $dt=-2dx$, adică $dx=-\frac{dt}{2}$. Când $x=0$, $t=7$; când $x=3$, $t=1$. Noua variabilă merge deci de la $7$ la $1$, în scădere, fiindcă $u$ este descrescătoare. Scriem exact ce iese:

$${\int }_0^3\frac{dx}{7-2x}=-\frac{1}{2}{\int }_7^1\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}{\int }_1^7\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\ln t{|}_1^7=\frac{\ln 7}{2}.$$

Al doilea semn de egalitate folosește convenția ${\int }_{\beta }^{\alpha }f=-{\int }_{\alpha }^{\beta }f$, fixată odată cu definiția integralei definite. Observă că minusul din față și inversarea capetelor s-au anulat unul pe altul — de aceea rezultatul este pozitiv, cum și trebuie să fie, integrandul fiind pozitiv pe tot intervalul. Ceea ce nu se face niciodată este să inversezi capetele fără să schimbi semnul; atunci ai greși exact cu factorul $-1$.

6. Cum știi că ai ales bine substituția?

Există un test scurt și fără greș: după ce ai înlocuit, nu mai are voie să rămână niciun $x$. Dacă în integrandul rescris a rămas o urmă din variabila veche, substituția e greșită sau incompletă, iar calculul nu poate merge mai departe — nu ai voie să integrezi în $t$ o expresie care depinde și de $x$.

Testul se face pe hârtie, în două mișcări. Întâi scrii ce ai notat cu $t$ și derivata lui. Apoi treci prin integrand bucată cu bucată și te întrebi, pentru fiecare, prin ce se exprimă: funcția compusă devine $f(t)$, iar factorul din afară trebuie să fie $u^{\prime }(x)dx$, adică $dt$, eventual înmulțit cu un număr. Dacă ce a mai rămas nu e un număr, ci o expresie în $x$, oprește-te: nu ai tiparul cerut de formulă. O constantă care lipsește se fabrică; o funcție care lipsește, nu.

Deosebirea dintre cele două situații se vede cel mai bine dacă scrii raportul dintre ce ai în integrand și derivata pe care o ceri. Când notezi $t=u(x)$ și în afara funcției compuse a rămas expresia $g(x)$, raportul care decide este $\frac{g(x)}{u^{\prime }(x)}$: dacă el se simplifică până la un număr, acela este chiar factorul pe care îl scoți în față; dacă rămâne cu $x$ în el, alegerea lui $t$ a fost greșită. Verificarea ține câteva secunde și se face înainte de a scrie primul rând de calcul, nu după ce ai umplut o pagină.

Tot aici se lămurește o nedumerire pe care o are aproape oricine la prima citire: de ce se poate scoate un număr din fața integralei, dar nu și o expresie cu $x$. Motivul e chiar liniaritatea integralei definite, care spune că o constantă înmulțită iese în față; despre o funcție nu spune nimic, fiindcă nu e adevărat. O funcție lăsată afară ar schimba integrandul, deci ar schimba și numărul.

7. Unde nu se aplică metoda?

Merită văzut și un caz în care metoda nu are ce căuta, ca să nu o încerci din reflex. Ia integrandul ${\left(x^2+6\right)}^3$, adică pe cel din secțiunea a treia, dar fără factorul $2x$ din față. Compunerea e la fel de vizibilă, expresia dinăuntru e aceeași, numai că derivata ei nu mai apare nicăieri. Nu poți să o „aduci" înmulțind și împărțind, pentru că ar trebui să scoți din integrală un $\frac{1}{2x}$, iar din fața integralei ies numai constantele, nu și funcțiile — proprietate fixată la Liniaritate, monotonie, aditivitate la integrală. Ce se face cu o astfel de integrală ține de altă discuție: fie desfaci puterea și ajungi la o sumă de rânduri din Tabelul primitivelor: puteri și radicali, fie, pentru alte forme, folosești cealaltă metodă a capitolului, Integrarea prin părți. Alegerea între ele o vei sistematiza la Cum alegi metoda de calcul al unei integrale.

Merită reținut și de ce contează atât de mult factorul acela din față. Prezența lui nu e un amănunt de scriere, ci chiar condiția ca integrandul să fie derivata unei compuneri: fără el, expresia nu mai este rezultatul vreunei derivări de funcție compusă, deci formula pe care am dedus-o în secțiunea a doua nu are ce să afirme despre ea. Metoda nu „se aplică mai greu" în cazul acesta — pur și simplu nu se aplică. Recunoașterea rapidă a celor două situații, cu semnul după care se deosebesc, este tema lecției următoare, Substituțiile care se dau la examen.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Interiorul este de gradul întâi

Calculați ${\int }_0^1(2x+3{)}^{3}dx$.

Rezolvare. Notăm $t=2x+3$, deci $dt=2dx$, adică $dx=\frac{dt}{2}$. Limitele: când $x=0$, $t=3$; când $x=1$, $t=5$. Atunci

$${\int }_0^1(2x+3{)}^{3}dx=\frac{1}{2}{\int }_3^5{t}^{3}dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^4}{4}{|}_3^5=\frac{625-81}{8}=68.$$

Aici derivata dinăuntru este constanta $2$, deci nu trebuie căutată în integrand: se fabrică, împărțind la ea. E situația cea mai comodă dintre toate.

Exemplul 2 — Un $x$ singur lângă o expresie în $x^2$

Calculați ${\int }_1^5\frac{x}{x^2+31}dx$.

Rezolvare. Notăm $t=x^2+31$, deci $dt=2xdx$, de unde $xdx=\frac{dt}{2}$. Limitele: când $x=1$, $t=32$; când $x=5$, $t=56$. Rezultă

$${\int }_1^5\frac{x}{x^2+31}dx=\frac{1}{2}{\int }_{32}^{56}\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\ln t{|}_{32}^{56}=\frac{1}{2}\left(\ln 56-\ln 32\right)=\frac{1}{2}\ln \frac{7}{4}.$$

Ultimul pas folosește proprietatea logaritmului: $\ln 56-\ln 32=\ln \frac{56}{32}=\ln \frac{7}{4}$. Numeric, $\frac{1}{2}\ln \frac{7}{4}\approx 0,2798$.

Exemplul 3 — Interiorul este un logaritm

Calculați ${\int }_e^{e^4}\frac{dx}{x\sqrt{\ln x}}$.

Rezolvare. Pe intervalul $\left[e,e^4\right]$ avem $\ln x\ge 1$, deci radicalul are sens și nu se anulează. Notăm $t=\ln x$, deci $dt=\frac{dx}{x}$ — iar factorul $\frac{1}{x}$ chiar stă în integrand, întreg. Limitele: când $x=e$, $t=1$; când $x=e^4$, $t=4$. Atunci

$${\int }_e^{e^4}\frac{dx}{x\sqrt{\ln x}}={\int }_1^4\frac{dt}{\sqrt{t}}=2\sqrt{t}{|}_1^4=4-2=2.$$

Rândul folosit la ultimul pas este cel al lui $\frac{1}{\sqrt{t}}$ din Tabelul primitivelor: puteri și radicali.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev a calculat ${\int }_1^{2}2x{\left(x^2-1\right)}^{2}dx$ astfel: „notez $t=x^2-1$, deci $dt=2xdx$ și obțin ${\int }_1^2{t}^{2}dt=\frac{t^3}{3}{|}_1^2=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}$". Unde a greșit și care este rezultatul corect?

Rezolvare. Substituția e bine aleasă, iar calculul în $t$ e făcut corect. Greșeala stă în capete: elevul a păstrat limitele vechi, $1$ și $2$, care sunt valori ale lui $x$, nu ale lui $t$. Corect: când $x=1$, $t=1^2-1=0$; când $x=2$, $t=2^2-1=3$. Prin urmare

$${\int }_1^{2}2x{\left(x^2-1\right)}^{2}dx={\int }_0^3{t}^{2}dt=\frac{t^3}{3}{|}_0^3=\frac{27-0}{3}=9.$$

Compară cele două numere: $9$ față de $\frac{7}{3}$. Nimic din calculul greșit nu arată suspect — de aceea capetele se scriu imediat, nu la sfârșit.

Exemplul 5 — Un model din fizică

Un mic cărucior este tras de-a lungul unei șine orizontale de o forță care slăbește pe măsură ce căruciorul se depărtează de punctul de pornire, după legea $F(x)=\frac{60x}{x^2+4}$, unde $F$ se măsoară în newtoni, iar $x$ este distanța parcursă, în metri, cu $x\in [0,4]$. Calculați lucrul mecanic efectuat de forță pe acest drum, știind că el este $L={\int }_0^{4}F(x)dx$.

Rezolvare. Modelul are sens fizic pe tot intervalul: numitorul nu se anulează, iar $F(x)\ge 0$ pentru $x\ge 0$, deci forța trage în sensul mișcării. Notăm $t=x^2+4$, deci $dt=2xdx$ și $60xdx=30dt$. Limitele: când $x=0$, $t=4$; când $x=4$, $t=20$. Atunci

$$L={\int }_0^4\frac{60x}{x^2+4}dx=30{\int }_4^{20}\frac{dt}{t}=30\ln t{|}_4^{20}=30\ln 5\text{J}.$$

Numeric, $30\ln 5\approx 48,28$ J. Ordinul de mărime se poate controla și fără integrală: pe $[0,4]$ forța are valori între $0$ N și $15$ N, deci lucrul mecanic nu poate depăși $15\cdot 4=60$ J — iar $48,28$ J se încadrează.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+12$.

a) Arătați că ${\int }_0^{2}2xf(x)dx=56$.

b) Arătați că ${\int }_0^2\frac{x}{f(x)}dx=\frac{1}{2}\ln \frac{4}{3}$.

c) Determinați numărul real $a>0$ pentru care ${\int }_0^a\frac{x}{f(x)}dx=\ln 2$.

Rezolvare. În toate trei folosim aceeași substituție, $t=x^2+12$, cu $dt=2xdx$.

a) Limitele: când $x=0$, $t=12$; când $x=2$, $t=16$. Deci ${\int }_0^{2}2x\left(x^2+12\right)dx={\int }_{12}^{16}tdt=\frac{t^2}{2}{|}_{12}^{16}=\frac{256-144}{2}=56$.

b) Cu aceleași limite și cu $xdx=\frac{dt}{2}$ obținem ${\int }_0^2\frac{x}{x^2+12}dx=\frac{1}{2}{\int }_{12}^{16}\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\ln \frac{16}{12}=\frac{1}{2}\ln \frac{4}{3}$.

c) Acum capătul de sus este necunoscut, dar procedeul nu se schimbă: când $x=0$, $t=12$; când $x=a$, $t=a^2+12$. Rezultă ${\int }_0^a\frac{x}{x^2+12}dx=\frac{1}{2}\ln \frac{a^2+12}{12}$. Punem condiția $\frac{1}{2}\ln \frac{a^2+12}{12}=\ln 2$, adică $\ln \frac{a^2+12}{12}=\ln 4$, deci $\frac{a^2+12}{12}=4$, de unde $a^2=36$ și, cum $a>0$, $a=6$.

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie mai întâi ce notezi cu $t$, apoi cele două limite noi, și abia pe urmă calculul.

1. Calculați ${\int }_0^1(3x+1{)}^{2}dx$.

2. Calculați ${\int }_0^1\frac{2x}{x^2+2}dx$.

3. Calculați ${\int }_1^2\frac{dx}{(2x+1{)}^2}$.

4. Calculați ${\int }_0^2\frac{x}{\sqrt{x^2+5}}dx$, apoi explicați de ce aceeași metodă nu se poate aplica integralei ${\int }_0^2\frac{dx}{\sqrt{x^2+5}}$.

5. Calculați ${\int }_0^4\frac{dx}{\sqrt{3x+4}}$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Fie $f$ continuă pe $\mathbb{R}$ și $F$ o primitivă a ei. Atunci ${\int }_0^{3}f(2x)dx=\frac{F(6)-F(0)}{2}$.

7. Calculați ${\int }_0^2\frac{x}{{\left(x^2+8\right)}^2}dx$.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că ${\int }_0^1\frac{2x+5}{x^2+5x+6}dx=\ln 2$.

9. Calculați ${\int }_1^2(5x-2{)}^{2}dx$.

10. Calculați ${\int }_1^2\frac{dx}{(3x-2{)}^2}$.

11. Calculați ${\int }_0^4\frac{dx}{6x+1}$.

12. Calculați ${\int }_1^4(2x-5{)}^{3}dx$ și explicați de ce rezultatul nu este o surpriză.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că ${\int }_1^{e^2}\frac{dx}{x(\ln x+1)}=\ln 3$.

14. (Problemă aplicată.) O tijă metalică lungă de $3$ cm are densitatea liniară $\rho (x)=\frac{12x}{x^2+3}$ grame pe centimetru, unde $x$ este distanța de la un capăt, în centimetri. Calculați masa tijei, știind că ea este ${\int }_0^3\rho (x)dx$, și spuneți dacă valoarea obținută e plauzibilă.

15. Calculați ${\int }_0^2(4-3x{)}^{3}dx$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $g:[0,4]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\sqrt{4x+9}$. a) Arătați că ${\int }_0^{4}g(x)dx=\frac{49}{3}$. b) Arătați că ${\int }_0^4\frac{dx}{g(x)}=1$.

17. Calculați ${\int }_1^3\sqrt{4x-3}dx$.

18. (Provocare.) Calculați ${\int }_1^e\frac{dx}{x\left({\ln }^{2}x+1\right)}$.

Răspunsuri și explicații

1. Cu $t=3x+1$ și $dx=\frac{dt}{3}$, limitele devin $1$ și $4$, iar ${\int }_0^1(3x+1{)}^{2}dx=\frac{1}{3}{\int }_1^4{t}^{2}dt=\frac{64-1}{9}=7$.

2. Cu $t=x^2+2$ și $dt=2xdx$, limitele devin $2$ și $3$, iar ${\int }_0^1\frac{2x}{x^2+2}dx={\int }_2^3\frac{dt}{t}=\ln \frac{3}{2}\approx 0,4055$. Derivata dinăuntru apare aici întreagă, cu tot cu factorul $2$, deci nu e nimic de reparat.

3. Cu $t=2x+1$, limitele devin $3$ și $5$, iar ${\int }_1^2\frac{dx}{(2x+1{)}^2}=\frac{1}{2}{\int }_3^5\frac{dt}{t^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{15}$.

4. Cu $t=x^2+5$ și $xdx=\frac{dt}{2}$, limitele devin $5$ și $9$, iar ${\int }_0^2\frac{x}{\sqrt{x^2+5}}dx=\frac{1}{2}{\int }_5^9\frac{dt}{\sqrt{t}}=\sqrt{t}{|}_5^9=3-\sqrt{5}\approx 0,7639$. La a doua integrală metoda nu se aplică: alegerea firească ar fi tot $t=x^2+5$, cu derivata $2x$, dar în integrand nu mai există niciun $x$ liber. Raportul dintre ce a rămas și derivată ar fi $\frac{1}{2x}$, adică o expresie în $x$, nu un număr — iar o funcție lipsă nu se poate fabrica.

5. Cu $t=3x+4$, limitele devin $4$ și $16$, iar ${\int }_0^4\frac{dx}{\sqrt{3x+4}}=\frac{1}{3}{\int }_4^{16}\frac{dt}{\sqrt{t}}=\frac{2}{3}\sqrt{t}{|}_4^{16}=\frac{2(4-2)}{3}=\frac{4}{3}$.

6. Adevărat. Cu $t=2x$ avem $dt=2dx$, iar limitele devin $u(0)=0$ și $u(3)=6$. Prin urmare ${\int }_0^{3}f(2x)dx=\frac{1}{2}{\int }_0^{6}f(t)dt$, iar ultima integrală este $F(6)-F(0)$ prin formula Leibniz-Newton. Atenție la factorul $\frac{1}{2}$: el nu vine din capete, ci din derivata interiorului, iar cele două modificări se fac amândouă, nu una în locul celeilalte. Dacă ai fi schimbat doar capetele, ai fi obținut un număr de două ori mai mare; dacă ai fi scos doar factorul, unul de două ori mai mic.

7. Cu $t=x^2+8$, limitele devin $8$ și $12$, iar ${\int }_0^2\frac{x}{{\left(x^2+8\right)}^2}dx=\frac{1}{2}{\int }_8^{12}\frac{dt}{t^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{48}$.

8. Numărătorul este chiar derivata numitorului, fiindcă ${\left(x^2+5x+6\right)}^{\prime }=2x+5$. Cu $t=x^2+5x+6$ limitele devin $6$ și $12$, iar ${\int }_0^1\frac{2x+5}{x^2+5x+6}dx={\int }_6^{12}\frac{dt}{t}=\ln \frac{12}{6}=\ln 2$. Numitorul este strict pozitiv pe $[0,1]$, deci nu era nevoie de modul.

9. Cu $t=5x-2$, limitele devin $3$ și $8$, iar ${\int }_1^2(5x-2{)}^{2}dx=\frac{1}{5}{\int }_3^8{t}^{2}dt=\frac{512-27}{15}=\frac{97}{3}$.

10. Cu $t=3x-2$, limitele devin $1$ și $4$, iar ${\int }_1^2\frac{dx}{(3x-2{)}^2}=\frac{1}{3}{\int }_1^4\frac{dt}{t^2}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}$.

11. Cu $t=6x+1$, limitele devin $1$ și $25$, iar ${\int }_0^4\frac{dx}{6x+1}=\frac{1}{6}{\int }_1^{25}\frac{dt}{t}=\frac{\ln 25}{6}\approx 0,5365$.

12. Cu $t=2x-5$, limitele devin $-3$ și $3$, iar ${\int }_1^4(2x-5{)}^{3}dx=\frac{1}{2}{\int }_{-3}^3{t}^{3}dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^4}{4}{|}_{-3}^3=\frac{81-81}{8}=0$. Nu e o surpriză: noile capete sunt simetrice față de origine, iar $t^3$ ia în $-t$ valoarea opusă celei din $t$, deci cele două jumătăți ale intervalului se anulează una pe alta.

13. Cu $t=\ln x$ avem $dt=\frac{dx}{x}$, iar limitele devin $\ln 1=0$ și $\ln e^2=2$. Prin urmare ${\int }_1^{e^2}\frac{dx}{x(\ln x+1)}={\int }_0^2\frac{dt}{t+1}=\ln (t+1){|}_0^2=\ln 3$. A doua substituție, $s=t+1$, nici nu e necesară: expresia $t+1$ este de gradul întâi, cu derivata $1$.

14. Cu $t=x^2+3$ și $12xdx=6dt$, limitele devin $3$ și $12$, iar masa este ${\int }_0^3\frac{12x}{x^2+3}dx=6{\int }_3^{12}\frac{dt}{t}=6\ln \frac{12}{3}=6\ln 4=12\ln 2\approx 8,32$ grame. Valoarea e plauzibilă: densitatea este pozitivă pe tot intervalul, iar valoarea ei cea mai mare se atinge în $x=\sqrt{3}$ și este $\frac{12\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{3}\approx 3,46$ grame pe centimetru, deci masa unei tije de $3$ cm nu poate depăși $3\cdot 2\sqrt{3}=6\sqrt{3}\approx 10,39$ grame — iar $8,32$ grame se încadrează.

15. Cu $t=4-3x$ avem $dx=-\frac{dt}{3}$, iar limitele devin $4$ și $-2$. Deci ${\int }_0^2(4-3x{)}^{3}dx=-\frac{1}{3}{\int }_4^{-2}{t}^{3}dt=\frac{1}{3}{\int }_{-2}^4{t}^{3}dt=\frac{1}{3}\cdot \frac{256-16}{4}=20$.

16. Cu $t=4x+9$ și $dx=\frac{dt}{4}$, limitele devin $9$ și $25$ la amândouă punctele. a) ${\int }_0^4\sqrt{4x+9}dx=\frac{1}{4}{\int }_9^{25}\sqrt{t}dt=\frac{1}{4}\cdot \frac{2t\sqrt{t}}{3}{|}_9^{25}=\frac{125-27}{6}=\frac{49}{3}$. b) ${\int }_0^4\frac{dx}{\sqrt{4x+9}}=\frac{1}{4}{\int }_9^{25}\frac{dt}{\sqrt{t}}=\frac{\sqrt{t}}{2}{|}_9^{25}=\frac{5-3}{2}=1$.

17. Cu $t=4x-3$, limitele devin $1$ și $9$, iar ${\int }_1^3\sqrt{4x-3}dx=\frac{1}{4}{\int }_1^9\sqrt{t}dt=\frac{1}{4}\cdot \frac{2t\sqrt{t}}{3}{|}_1^9=\frac{27-1}{6}=\frac{13}{3}$.

18. Cu $t=\ln x$ limitele devin $0$ și $1$, iar ${\int }_1^e\frac{dx}{x\left({\ln }^{2}x+1\right)}={\int }_0^1\frac{dt}{t^2+1}=\mathrm{arctg}t{|}_0^1=\frac{\pi }{4}$. Rândul cu arctangenta este cel construit la Primitive trigonometrice și cu arctangentă; substituția doar l-a scos la iveală.

De reținut

• Formula metodei este ${\int }_a^{b}f(u(x))u^{\prime }(x)dx={\int }_{u(a)}^{u(b)}f(t)dt$; ea cere ca $f$ să fie continuă pe un interval $J$, iar $u$ să fie derivabilă, cu $u^{\prime }$ continuă și cu toate valorile în $J$.
• Se schimbă și variabila, și capetele: noile limite sunt $u(a)$ și $u(b)$, iar ele se scriu imediat după substituție, înainte de a rescrie integrandul.
• Odată capetele schimbate, integrala în $t$ e completă: te oprești la valoarea ei, fără niciun pas de desfacere a substituției.
• O constantă care lipsește din integrand se fabrică, împărțind la ea; o funcție care lipsește nu se poate fabrica, fiindcă din fața integralei ies numai constantele.
• Dacă $u$ este descrescătoare, noile capete apar în ordine inversă; se lasă așa sau se inversează odată cu schimbarea semnului, după convenția ${\int }_{\beta }^{\alpha }f=-{\int }_{\alpha }^{\beta }f$.

Greșeli frecvente

• Se aplică metoda pe un interval pe care integrandul nu e definit. Înainte de substituție se verifică intervalul din enunț: la $\frac{1}{7-2x}$ numitorul trebuie să nu se anuleze, la $\sqrt{\ln x}$ logaritmul trebuie să fie pozitiv. Un capăt prost ales strică rezultatul înaintea oricărui calcul.
• Se scrie $+\mathcal{C}$ la o integrală definită. Constanta aparține mulțimii primitivelor, nu unui număr; aici, după ce ai capetele, rezultatul este o singură valoare. Un $+\mathcal{C}$ rămas în răspuns arată că s-a copiat o rețetă de la capitolul anterior.
• Se alege rândul greșit din tabel după substituție. După ce integrala a devenit, de pildă, ${\int }_{32}^{56}\frac{dt}{t}$, se folosește rândul logaritmului, nu cel al puterii cu exponent negativ; iar pentru $\int \frac{dt}{t^2}$ este exact invers. Substituția simplifică forma, dar nu te scutește de citit tabelul cu atenție.
• Se confundă factorul $\frac{1}{a}$ cu o schimbare a capetelor. La ${\int }_0^{3}f(2x)dx$ apare un $\frac{1}{2}$ care vine din $dt=2dx$, adică din derivata interiorului, iar capetele devin $0$ și $6$. Sunt două lucruri diferite, iar cine le amestecă împarte de două ori sau deloc.
• Se uită unitatea de măsură la o problemă cu context. Un lucru mecanic se scrie în jouli, o masă în grame; numărul singur nu este un răspuns complet și nu permite proba de bun-simț a ordinului de mărime.

Aplică acasă

1. Cele două termometre. Scrie pe o foaie funcția $u(x)=x+273$, care trece de la grade Celsius la kelvini, și verifică pe ea, cu formula lecției, că ${\int }_0^{100}f(x+273)dx={\int }_{273}^{373}f(t)dt$ pentru orice funcție continuă $f$. Apoi explică în două propoziții de ce, în cazul acesta, nu apare niciun factor în fața integralei.

2. Capătul care se plimbă. Ia ${\int }_0^a\frac{x}{x^2+4}dx$ și calculeaz-o pentru $a\in \{1,2,3,4\}$, notând de fiecare dată cele două limite noi. Așază rezultatele într-un tabel și observă cât de încet cresc; caută o explicație în forma integrandului.

3. Vânătoarea de tipare. Deschide caietul la capitolul de derivate și alege cinci funcții compuse pe care le-ai derivat acolo. Scrie, pentru fiecare, derivata obținută și construiește din ea o integrală definită cu limite simple, pe care apoi să o rezolvi prin schimbare de variabilă. Vei vedea că metoda nu face decât să citească înapoi ce ai scris deja.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul recunoaște în integrand perechea „expresie dinăuntru — derivata ei", dacă scrie noile limite ca pas separat al rezolvării și dacă se oprește la număr, fără să se întoarcă la variabila inițială. Sunt trei deprinderi scurte, dar care se văd imediat în orice rezolvare de la Subiectul al III-lea.

Dificultatea reală nu e calculul, ci ordinea gesturilor. Un elev care scrie mai întâi integrala nouă și abia pe urmă se gândește la capete are sub ochi o expresie care arată corectă și nu mai are niciun semnal care să-l întoarcă din drum; de aceea merită insistat, acasă, pe un singur lucru: limitele se scriu pe rândul substituției. Patru întrebări scurte arată repede unde se află elevul: „Pe care bucată din integrand ai pus litera $t$?", „Între ce valori se plimbă acum noua variabilă?", „În ce rând al rezolvării ai scris capetele?", „Numărul din fața integralei de unde a apărut?". Semne că a înțeles: nu mai lasă niciun $x$ în integrandul rescris; verifică singur dacă rezultatul are ordinul de mărime plauzibil; și, la o problemă cu context, scrie unitatea de măsură lângă număr.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.4. Integrala definită, la conținutul „Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin schimbare de variabilă, integrarea prin părți". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) conține același rând, la capitolul „Integrala definită"; cerințele de analiză stau la Subiectul al III-lea. Tema se dă, așadar, la amândouă generațiile. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Cum calculez, practic, cele două limite noi?

Le obții înlocuind, pe rând, capetele vechi în expresia pe care ai notat-o cu $t$. Dacă ai pus $t=u(x)$ și integrala mergea de la $a$ la $b$, atunci noile capete sunt numerele $u(a)$ și $u(b)$. Nu se caută nimic altundeva și nu se rezolvă nicio ecuație: sunt două înlocuiri directe, care ocupă un rând de rezolvare.

Ce se strică dacă păstrez capetele vechi?

Obții un număr care arată la fel de cuminte ca cel corect, dar care măsoară altceva. La ${\int }_1^{2}2x{\left(x^2-1\right)}^{2}dx$ capetele adevărate sunt $0$ și $3$, iar rezultatul este $9$; cine le lasă $1$ și $2$ obține $\frac{7}{3}$. Niciun semn din calcul nu te avertizează, de aceea capetele se scriu imediat după substituție.

De unde vine numărul care apare în fața integralei?

Din derivata expresiei dinăuntru. Dacă ai notat $t=u(x)$, atunci $dt=u^{\prime }(x)dx$; când în integrand stă $u^{\prime }(x)$ înmulțit cu un număr, acel număr se scoate în față prin liniaritate. La $t=x^2+31$ avem $dt=2xdx$, iar dacă în integrand e doar $xdx$, apare factorul $\frac{1}{2}$. El nu are nicio legătură cu capetele.

Pot verifica singur rezultatul?

Da, în două feluri, amândouă scurte. Întâi derivezi expresia pe care ai folosit-o ca primitivă în noua variabilă și vezi dacă îți dă integrandul de acolo. Apoi faci o probă de ordin de mărime: încadrezi integrandul între valoarea lui cea mai mică și cea mai mare pe interval și înmulțești cu lungimea intervalului. Rezultatul trebuie să cadă între cele două produse.

De ce nu apare $+\mathcal{C}$ în răspuns?

Pentru că $\mathcal{C}$ ține de mulțimea primitivelor, adică de capitolul anterior, unde răspunsul era o familie întreagă de funcții. Aici, de îndată ce ai două capete, rezultatul este o singură valoare numerică. Un $+\mathcal{C}$ rămas în răspuns e semnul că s-a copiat o rețetă dintr-un loc în care ea avea sens.

Se dă schimbarea de variabilă și la mate-info (M1)?

Da, dar în alt loc și cu mai multe ramuri. Acolo metoda se învață întâi la primitive, unde rezultatul e o funcție, iar apoi se reia la integrala definită; tot acolo se studiază și o formă pe care profilul tău nu o are, cea în care se înlocuiește chiar $x$ cu o expresie în $t$. Schimbarea de variabilă pentru integrala definită la mate-info (M1) arată drumul întreg, cu toate ramurile lui.

La ce subiect apare schimbarea de variabilă la Bacalaureatul M2?

La Subiectul al III-lea, acolo unde stau cerințele de analiză matematică. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, a doua problemă a acestui subiect are trei cerințe legate despre aceeași funcție, iar una dintre ele se rezolvă notând cu $t$ expresia de la numitor. Tema figurează și în programa de examen din 2014, și în programa nouă.

Ce se schimbă față de capitolul de primitive de la profilul meu?

Acolo ai lucrat numai cu tabelul și cu liniaritatea, cum arată lecția Primitive: cum recunoști funcția la examen; metodele de calcul intră abia la integrala definită. Deosebirea practică e că acum răspunsul e un număr, deci rezolvarea se oprește mai devreme, iar grija se mută pe capete.