Ce lungime are graficul lui ⅔x√x pe [0, 3]?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Lungime și arie laterală

Se folosește $L = \int_{a}^{b} 1 + (f^{'} (x))^{2} d x$ . Pentru $f (x) = \frac{2}{3} x x$ , derivata este $x$ , deci sub radical rămâne $1 + x$ . Pe $[0, 3]$ : $L = \int_{0}^{3} 1 + x d x = \frac{2}{3} (1 + x) 1 + x_{0}^{3} = \frac{2}{3} (8 - 1) = \frac{14}{3} \approx 4, 67$ . Lungimea depășește proiecția pe axă, $3$ , cum trebuie, fiindcă graficul urcă. Funcția aceasta e aleasă tocmai pentru că radicalul se simplifică. Formula însăși vine din teorema lui Pitagora aplicată pe bucăți foarte mici de grafic.

Un fir întins între doi stâlpi întrece distanța dintre ei, iar tabla care îmbracă un turn ascuțit nu se socotește după raza acoperișului. Amândouă întrebările primesc răspunsuri înrudite, cu același radical sub semnul integralei: $L = \int_{a}^{b} 1 + (f^{'} (x))^{2} d x$ pentru curbă și $S_{lat} = 2 π \int_{a}^{b} f (x) 1 + (f^{'} (x))^{2} d x$ pentru pânza măturată prin rotire, cu $f$ derivabilă, de derivată continuă, și cu valori nenegative la a doua.

Radicalul iese din teorema lui Pitagora: o porțiune mică de grafic se apropie de ipotenuza unui triunghi ale cărui catete sunt pasul orizontal și creșterea funcției. De aici și $L \geq b - a$ — nicio curbă nu coboară sub umbra ei. La pânza unui con socoteala cere generatoarea; pusă înălțimea în locul ei, valoarea iese mereu prea mică.

Când se închide calculul. Pe o dreaptă radicalul e o constantă. Pe arcul de cerc el se reduce împreună cu funcția, iar o bandă de suprafață măsoară $2 π r$ ori grosimea ei, indiferent unde s-a tăiat. Pentru $f (x) = \frac{2}{3} x x$ sub radical rămâne $1 + x$ .

Cui i se cer. Amândouă formulele sunt aduse de programa nouă, iar clasa le primește în anul de studiu 2029–2030. Programa de examen din 2014, pe care se sprijină sesiunile 2027, 2028 și 2029, nu le cuprinde la niciun capitol, așa că generațiile de azi nu le au de dat. Din 2030 ele figurează la proba MAT_P2, la domeniul de analiză.

De reținut

lungimea: $L = \int_{a}^{b} 1 + (f^{'} (x))^{2} d x$
aria laterală: $2 π \int_{a}^{b} f (x) 1 + (f^{'} (x))^{2} d x$
la con se folosește generatoarea, nu înălțimea

Greșeala tipică

La aria laterală a conului se folosește înălțimea în locul generatoarei: pentru $r = 3$ și $h = 4$ se scrie $12 π$ , deși aria corectă este $15 π$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care este lungimea graficului funcției $f : [0, 11] \to R$ , $f (x) = \frac{60 x}{11}$ ?
- a) $61$
- b) $11$
- c) $60$
- d) $71$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $61$

Derivata este constanta $\frac{60}{11}$ , deci radicalul este $1 + \frac{3600}{121} = \frac{61}{11}$ , iar $L = \frac{61}{11} \cdot 11 = 61$ . Pitagora confirmă: segmentul are proiecțiile $11$ și $60$ . Varianta b) dă lungimea intervalului, adică umbra curbei pe axă; c) dă creșterea funcției; d) adună catetele în loc să calculeze ipotenuza.
Care este aria învelișului obținut prin rotirea în jurul axei $O x$ a graficului funcției $f : [0, 40] \to R$ , $f (x) = \frac{9 x}{40}$ ?
- a) $369 π$
- b) $360 π$
- c) $81 π$
- d) $738 π$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $369 π$

Radicalul este $1 + \frac{81}{1600} = \frac{41}{40}$ , deci $S_{lat} = 2 π \cdot \frac{9}{40} \cdot \frac{41}{40} \cdot \frac{x ^{2}}{2}_{0}^{40} = 369 π$ . Corpul este conul de rază $9$ , înălțime $40$ și generatoare $41$ , iar $π r G$ confirmă. Varianta b) folosește înălțimea în locul generatoarei, c) dă aria discului de bază, iar d) dublează rezultatul.
O sferă de rază $11$ este tăiată cu două plane perpendiculare pe axa $O x$ , duse prin punctele de abscise $- 4$ și $3$ . Care este aria feliei de suprafață cuprinse între ele?
- a) $154 π$
- b) $484 π$
- c) $77 π$
- d) $242 π$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $154 π$

La semicerc integrandul ariei se reduce la constanta $2 π r$ , deci aria feliei este $2 π r$ ori grosimea: $2 π \cdot 11 \cdot 7 = 154 π$ . Varianta b) dă aria întregii sfere, c) uită factorul $2$ , iar d) folosește $2 π r^{2}$ , adică jumătate din sferă. Rezultatul nu depinde de locul tăieturii, ci numai de grosimea feliei.

Întrebări conexe

Cum verific formula lungimii pe o dreaptă?

Pentru $f (x) = \frac{3 x}{4}$ pe $[0, 4]$ , radicalul este constant, $1 + \frac{9}{16} = \frac{5}{4}$ , deci $L = \frac{5}{4} \cdot 4 = 5$ . Segmentul de la $(0, 0)$ la $(4, 3)$ are, după teorema lui Pitagora, tot lungimea $5$ . Proba pe dreaptă arată că formula nu adaugă lungime în plus.

Cum obțin aria laterală a conului cu integrala?

Rotești $f (x) = \frac{r x}{h}$ , iar formula ariei laterale dă $2 π \int_{0}^{h} \frac{r x}{h} \cdot \frac{G}{h} d x = π r G$ , unde $G$ este generatoarea. Pentru $r = 3$ și $h = 4$ , generatoarea este $5$ , iar aria laterală este $15 π$ . Formula din gimnaziu, $π r G$ , se obține astfel direct din integrală.

Cum calculez aria sferei cu integrala?

Pentru $f (x) = r^{2} - x^{2}$ , produsul $f (x) 1 + (f^{'} (x))^{2}$ se reduce la constanta $r$ , deci aria este $2 π \int_{- r}^{r} r d x = 4 π r^{2}$ . La raza $2$ se obține $16 π$ . O felie de sferă de grosime $d$ are aria $2 π r d$ , oriunde ar fi tăiată.

Câtă tablă trebuie pentru un acoperiș conic?

Tabla acoperă aria laterală. Pentru raza de $6$ m și înălțimea de $8$ m, generatoarea este $36 + 64 = 10$ m, iar aria laterală este $π \cdot 6 \cdot 10 = 60 π \approx 188, 5$ m², fără pierderile de la îmbinări.

De ce un grafic este cel puțin cât proiecția lui pe axă?

Radicalul $1 + (f^{'} (x))^{2}$ este cel puțin $1$ , deci integrala lui pe $[a, b]$ este cel puțin $b - a$ . Egalitatea apare doar când derivata este zero peste tot, adică la funcțiile constante, cu graficul orizontal.

Oamenii mai întreabă și: lungimea graficului lui x radical din x · lungimea unui arc de curbă exemplu · lungimea curbei cu integrala · formula lungimii graficului aplicată