Cum calculez lungimea unui arc cu radiani?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Grade și radiani

Înmulțești raza cu măsura unghiului la centru exprimată în radiani: $ℓ = R \cdot α$ . Exemplu: când raza măsoară $20$ cm, un unghi de $\frac{2 π}{5}$ rad cuprinde un arc de $20 \cdot \frac{2 π}{5} = 8 π \approx 25, 13$ cm. Dacă unghiul este dat în grade, de pildă $7 2^{\circ}$ , îl transformi întâi: $7 2^{\circ} = \frac{2 π}{5}$ rad. Raza și arcul au aceeași unitate de lungime.

Un unghi la centru se poate descrie prin grade sau prin radiani. Radianul compară arcul cu raza: împarți lungimea arcului la rază și obții un număr fără unitate. Dacă desenul se mărește, ambele lungimi cresc la fel, așa că raportul nu se schimbă.

O rotație completă înseamnă doi pi radiani sau trei sute șaizeci de grade. Jumătatea de rotație, pi radiani, corespunde deci unui unghi alungit. Pentru conversie scrii proporția dintre numărul de grade și 180 și dintre radiani și pi, simplifici fracția, apoi adaugi unitatea. Un radian are puțin sub șaizeci de grade, reper util la verificare.

Drumul parcurs pe cerc este raza înmulțită cu unghiul exprimat în radiani. Raza și drumul trebuie scrise în aceeași unitate de lungime.

În fizică, rotațiile se descriu prin viteza unghiulară, în radiani pe secundă. Din rotații pe minut ajungi acolo înmulțind cu doi pi și împărțind la șaizeci. Un punct aflat la distanța R de axă are viteza egală cu produsul dintre viteza unghiulară și R. Păstrează pi exact și rotunjește doar la final.

De reținut

$ℓ = R α$ și $A_{sector} = \frac{R ^{2} α}{2}$ , cu $α$ în radiani
$18 0^{\circ} = π$ rad, deci $1$ rad $\approx 57, 3^{\circ}$
$v = ω R$

Greșeala tipică

Se aplică $ℓ = R α$ cu unghiul în grade și se obține, pentru $R = 20$ cm și $7 2^{\circ}$ , un arc de $1440$ cm; unghiul trebuie mai întâi transformat în radiani.

Exerciții din această mini-lecție

Transformă $16 8^{\circ}$ în radiani.
- a) $\frac{14 π}{15}$
- b) $\frac{7 π}{15}$
- c) $\frac{15 π}{14}$
- d) $\frac{14}{15}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{14 π}{15}$

Fracțiunea din $18 0^{\circ}$ este $\frac{168}{180} = \frac{14}{15}$ , deci măsura este $\frac{14 π}{15}$ .
Câte grade are un unghi de $\frac{11 π}{12}$ radiani?
- a) $15 0^{\circ}$
- b) $16 5^{\circ}$
- c) $33 0^{\circ}$
- d) $1 1^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $16 5^{\circ}$

Înlocuim $π$ cu $18 0^{\circ}$ : $\frac{11 \cdot 18 0 ^{\circ}}{12} = 16 5^{\circ}$ .
Pe un cerc cu raza de $0, 6$ m, un arc are lungimea de $0, 9$ m. Ce măsură are arcul?
- a) $0, 54$ rad
- b) $\frac{2}{3}$ rad
- c) $1, 5^{\circ}$
- d) $1, 5$ rad
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $1, 5$ rad

Măsura în radiani este raportul dintre arc și rază: $\frac{0 , 9}{0 , 6} = 1, 5$ .

Întrebări conexe

Ce viteză are un punct de pe o roată care se rotește cu $4$ rad/s?

Viteza liniară este produsul dintre viteza unghiulară și distanța până la axă: $v = ω R$ . Pentru un punct aflat la $0, 35$ m de axă, $v = 4 \cdot 0, 35 = 1, 4$ m/s. Un punct mai apropiat de centru are aceeași viteză unghiulară, dar viteză liniară mai mică.

Câte grade are un radian?

Din $π$ rad $= 18 0^{\circ}$ rezultă $1$ rad $= \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 57, 3^{\circ}$ . Un radian este unghiul la centru care cuprinde un arc egal cu raza. Reperul este util la verificări: un unghi de $2$ rad are circa $11 5^{\circ}$ , deci este obtuz. La bacalaureatul M2, un unghi de triunghi poate fi dat direct în radiani, ca $\frac{π}{6}$ în cerința de la Subiectul I din 2026.

Ce arie are un sector de cerc dacă unghiul este dat în radiani?

Aria sectorului este $\frac{R ^{2} α}{2}$ , cu $α$ în radiani. Pentru $R = 6$ cm și $α = \frac{π}{3}$ , aria este $\frac{36 \cdot π}{6} = 6 π \approx 18, 85$ cm². Verificare: $\frac{π}{3}$ este a șasea parte din cerc, iar $\frac{36 π}{6} = 6 π$ .

De ce se lucrează în radiani la pendulul cu unghi mic?

Pentru unghiuri mici exprimate în radiani, $sin α \approx α$ : la $α = 0, 1$ rad, $sin 0, 1 \approx 0, 0998$ . Aproximarea simplifică legea de mișcare a pendulului. În grade ea nu funcționează, fiindcă $sin 6^{\circ} \approx 0, 105$ , nu $6$ .

Ce unghi descrie Pământul în jurul axei sale într-o oră?

O rotație completă, $2 π$ rad, durează aproximativ $24$ de ore, deci într-o oră unghiul este $\frac{2 π}{24} = \frac{π}{12}$ rad, adică $1 5^{\circ}$ . Viteza unghiulară este $\frac{π}{12}$ rad/h, aceeași pentru toate punctele de pe glob.

Oamenii mai întreabă și: lungimea arcului de cerc în radiani · formula l egal R ori alfa · cât de lung este un arc de cerc · arcul de cerc din unghi și rază