Care dintre matricele următoare este simetrică?

$$\begin{pmatrix}3 & 5 & -2\\5 & 0 & 7\\-2 & 7 & 4\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}3 & 5 & -2\\5 & 0 & 7\\2 & 7 & 4\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}3 & 5 & -2\\-5 & 0 & 7\\-2 & 7 & 4\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}3 & 5 & 4\\5 & 0 & 7\\-2 & 7 & 4\end{pmatrix}$$

Scrie matricea $$A=(a_{ij})\in\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$$ cu $$a_{ij}=j^2-2i$$.

$$\begin{pmatrix}-1 & 2 & 7\\-3 & 0 & 5\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}-1 & -3 & -5\\2 & 0 & -2\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}-1 & 0 & 1\\-3 & -2 & -1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}-1 & -3\\2 & 0\\7 & 5\end{pmatrix}$$

Cum construiesc matricea cu elementele aᵢⱼ=i+2j?

Iei pe rând fiecare poziție și înlocuiești indicii în formulă. Pentru o matrice de ordinul 2: a₁₁=3, a₁₂=5, a₂₁=4, a₂₂=6, deci A= 3, 5; 4, 6. Linia se ține fixă și se parcurg coloanele, apoi se trece la linia următoare.

Ce arată indicii unui element dintr-o matrice?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Matrice și formatul lor

Elementul $a_{ij}$ stă pe linia $i$ și pe coloana $j$ : primul indice numără liniile de sus în jos, al doilea numără coloanele de la stânga la dreapta. Dacă în $M = (121115141920)$ liniile sunt două eprubete, iar coloanele trei momente de măsurare a temperaturii, în °C, atunci $m_{23} = 20$ este temperatura eprubetei a doua la al treilea moment. Un element are sens doar dacă indicii nu depășesc numărul de linii și de coloane.

Un tablou dreptunghiular de numere reale devine matrice de îndată ce fiecărei căsuțe i se atașează o pereche de indici: întâi rândul, apoi coloana. Perechea $(m, n)$ poartă numele de format și se citește „m pe n"; ea spune și câte numere încap, fiindcă produsul $m \cdot n$ numără toate căsuțele. Scrierea $a_{ij}$ are înțeles numai între limitele formatului, așa că o cerință care iese din ele nu e greșită la socoteală, ci lipsită de obiect. Mulțimea tablourilor de un format dat se notează $M_{m, n} (R)$ , iar la profilul acesta numerele dinăuntru rămân mereu reale.

Când cele două numere ale formatului coincid, tabloul capătă nume suplimentare: pătratic, cu cele două diagonale ale lui, apoi nul, unitate, diagonal, scalar, triunghiular și simetric. Niciunul dintre ele nu se potrivește unui dreptunghi, de aceea prima întrebare rămâne mereu aceeași: câte rânduri, câte coloane?

Transpusa $^{t} A$ răstoarnă formatul și scrie rândurile pe verticală; un tablou pătratic care coincide cu transpusa lui este simetric.

Capcana. Egalitatea a două tablouri nu se citește pe o singură căsuță: toate trebuie să se potrivească deodată. Dacă valorile ieșite din căsuțe diferite nu coincid între ele, răspunsul cerut este chiar acesta — nu există niciun număr care să facă egalitatea adevărată.

De reținut

$a_{ij}$ : linia $i$ , coloana $j$ , în această ordine
o matrice de format $m \times n$ are $m \cdot n$ elemente
transpusa $^{t} A$ schimbă liniile cu coloanele

Greșeala tipică

Se citește $a_{32}$ ca element de pe linia a doua și coloana a treia; ordinea este fixă: primul indice, $3$ , numără liniile, iar al doilea, $2$ , coloanele.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră matricea $T = 704 - 2 98 5 - 3 - 1 16 - 5$ . Care este elementul $t_{24}$ ?
- a) $- 3$
- b) $6$
- c) $1$
- d) $- 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $6$

Primul indice arată linia, al doilea coloana, deci elementul se caută pe linia a doua și pe coloana a patra: $t_{24} = 6$ . Numărul $- 3$ stă tot pe linia a doua, dar pe coloana a treia, adică este $t_{23}$ ; numărul $1$ este $t_{14}$ , pe coloana bună, însă pe prima linie; iar $- 5$ este $t_{34}$ . Toate cele patru numere se află în tablou, doar că pe poziții diferite — de aceea citirea se face rostind rândul înaintea coloanei.
Care dintre matricele următoare este simetrică?
- a) $352507 - 2 74$
- b) $35 - 2 507 - 2 74$
- c) $3 - 5 - 2 507 - 2 74$
- d) $35 - 2 507474$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $35 - 2 507 - 2 74$

Condiția este $a_{ij} = a_{j i}$ pentru orice pereche de indici, adică numerele așezate simetric față de diagonala principală trebuie să coincidă. La b) se potrivesc toate trei perechile: $5$ cu $5$ , $- 2$ cu $- 2$ , $7$ cu $7$ . La a) perechea $(1, 3)$ – $(3, 1)$ dă $- 2$ și $2$ ; la c) perechea $(1, 2)$ – $(2, 1)$ dă $5$ și $- 5$ ; la d) aceeași pereche $(1, 3)$ – $(3, 1)$ dă $4$ și $- 2$ . Un singur semn schimbat este de ajuns ca tabloul să nu mai fie egal cu transpusa lui.
Scrie matricea $A = (a_{ij}) \in M_{2, 3} (R)$ cu $a_{ij} = j^{2} - 2 i$ .
- a) $(- 1 - 3 2075)$
- b) $(- 1 2 - 3 0 - 5 - 2)$
- c) $(- 1 - 3 0 - 2 1 - 1)$
- d) $- 1 27 - 3 05$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(- 1 - 3 2075)$

Se completează linie cu linie, ținând primul indice fix. Pentru $i = 1$ ies $1 - 2 = - 1$ , $4 - 2 = 2$ și $9 - 2 = 7$ ; pentru $i = 2$ ies $1 - 4 = - 3$ , $4 - 4 = 0$ și $9 - 4 = 5$ . Varianta b) vine din regula $i^{2} - 2 j$ , adică din indicii schimbați între ei; varianta c) din $j - 2 i$ , cu pătratul pierdut pe drum; varianta d) are formatul $3 \times 2$ , deci este transpusa tabloului cerut, nu tabloul.

Întrebări conexe

Câte elemente are o matrice de format $4 \times 3$ ?

Are $4 \cdot 3 = 12$ elemente, așezate pe $4$ linii și $3$ coloane. Într-un tabel de laborator cu patru plante pe linii și trei zile de măsurare pe coloane, cele $12$ căsuțe sunt cele $12$ măsurători. Primul număr al formatului dă mereu liniile, al doilea coloanele.

Cum construiesc matricea cu elementele $a_{ij} = i + 2 j$ ?

Iei pe rând fiecare poziție și înlocuiești indicii în formulă. Pentru o matrice de ordinul $2$ : $a_{11} = 3$ , $a_{12} = 5$ , $a_{21} = 4$ , $a_{22} = 6$ , deci $A = (3456)$ . Linia se ține fixă și se parcurg coloanele, apoi se trece la linia următoare.

Cum se scrie transpusa unei matrice?

Transpusa $^{t} A$ se obține când prima linie a lui $A$ devine prima coloană, a doua linie devine a doua coloană și așa mai departe. De exemplu, din $A = (1043 - 2 5)$ , de format $2 \times 3$ , rezultă $^{t} A = 14 - 2 035$ , de format $3 \times 2$ . Elementul de pe poziția $(i, j)$ ajunge pe poziția $(j, i)$ .

Când este o matrice pătratică simetrică?

Când $a_{ij} = a_{j i}$ pentru toți indicii, adică matricea coincide cu transpusa ei. În $2 - 1 4 - 1 03 437$ numerele așezate în oglindă față de diagonala principală sunt egale două câte două. Elementele de pe diagonală pot fi oricare.

Care e diferența dintre matricea nulă și matricea unitate?

Matricea nulă are toate elementele $0$ și poate avea orice format, de exemplu $O_{2, 3}$ . Matricea unitate $I_{n}$ este doar pătratică: are $1$ pe diagonala principală și $0$ în rest, ca $I_{2} = (1001)$ . Prima joacă rolul lui $0$ la adunare, a doua rolul lui $1$ la înmulțire.

Ce reprezintă o coloană dintr-o matrice de măsurători?

Dacă obiectele măsurate stau pe linii, o coloană adună aceeași mărime măsurată la toate obiectele, deci toate numerele ei au aceeași unitate de măsură. De exemplu, coloana a doua poate fi masa în grame a fiecărei probe, iar a treia volumul în mililitri. Numerele din coloane diferite nu se compară direct.

Oamenii mai întreabă și: ce înseamnă a i j la matrice · elementul aij al unei matrice · linia și coloana unui element din matrice · cum citesc indicii într-o matrice · ce reprezintă primul indice al unui element