Proprietățile logaritmilor: produs, cât, putere (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Multe formule din chimie și biologie sunt produse și câturi de puteri: o constantă de echilibru, debitul unui lichid printr-un vas, o arie sau un volum. Dacă iei logaritmul unei asemenea formule, înmulțirile devin adunări, împărțirile devin scăderi, iar exponenții coboară în fața logaritmilor ca simpli coeficienți. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), acest mecanism se formulează ca trei proprietăți ale logaritmilor, demonstrate în câte trei rânduri din definiție, la care se adaugă o identitate cu logaritmul urcat în exponent. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă numește explicit proprietățile logaritmilor; în varianta-model pentru 2026, ecuația cu logaritmi de la Subiectul I conține o sumă de doi logaritmi cu aceeași bază, pe care o restrângi exact cu proprietatea produsului.

Lecția se sprijină pe definiția logaritmului unui număr la M2, cu valorile fracționare și condițiile de existență, și pe regulile puterilor cu exponent real din proprietățile funcției exponențiale. Logaritmul ca exponent l-ai folosit anul trecut, în lecția M2 despre definiția logaritmului, iar pe scările pH și decibeli din lecția despre scările logaritmice ai observat deja că un raport devine o diferență.

Ce vei învăța

Vei demonstra, pornind doar de la definiție, proprietățile produsului, câtului și puterii, în câte trei rânduri.
Vei ști să calculezi o putere care are în exponent un logaritm în aceeași bază.
Vei ști să descompui logaritmul unei expresii în sume și diferențe și să comprimi o sumă de logaritmi într-unul singur.
Vei ști să verifici semnul fiecărui factor înainte de a despărți logaritmul unui produs.
Vei ști să recunoști transformările care nu sunt proprietăți: logaritmul unei sume, pătratul unui logaritm, logaritmi cu baze diferite.
Vei ști să scrii o lege din științe, de tipul produs de puteri, în forma cu logaritmi.

Hai să descoperim împreună

1. Ce regulă a puterilor stă în spatele proprietăților?

Pentru o bază $a > 0$ , $a \neq = 1$ , regulile puterilor cu exponent real spun că $a^{u} \cdot a^{v} = a^{u + v}$ , că $\frac{a ^{u}}{a ^{v}} = a^{u - v}$ și că $(a^{u})^{k} = a^{u k}$ . Logaritmul citește exponentul, deci fiecare regulă se traduce într-o regulă despre logaritmi. Să urmărim traducerea pe un obiect: $3 = 3^{1/2}$ și $33 = 3^{3/2}$ , iar produsul lor este $9 = 3^{2}$ . Exponenții s-au adunat: $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$ . Scris cu logaritmi, $lo g_{3} (3 \cdot 33) = lo g_{3} 3 + lo g_{3} (33)$ .

Logaritmul unui produs de numere pozitive este suma logaritmilor factorilor, în aceeași bază. La fel, logaritmul unui cât este diferența logaritmilor, iar pentru o putere scoți exponentul în față, ca factor, lângă logaritmul numărului ridicat la putere. Toate trei vin din aceeași idee: operațiile cu puteri se văd ca operații cu exponenți, cu o treaptă mai jos. Înmulțirea coboară la adunare, împărțirea la scădere, iar ridicarea la putere la înmulțire.

2. Cum se demonstrează proprietatea produsului?

Fie $a > 0$ , $a \neq = 1$ și $x > 0$ , $y > 0$ . Notăm $u = lo g_{a} x$ și $v = lo g_{a} y$ ; din definiție, $a^{u} = x$ și $a^{v} = y$ . Înmulțind, $x y = a^{u} \cdot a^{v} = a^{u + v}$ . Am scris produsul ca putere a bazei, cu exponentul $u + v$ , deci, din definiție,

$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y .$

Demonstrația nu a folosit nimic altceva decât definiția și regula produsului a două puteri. De aceea ea funcționează pentru orice bază permisă, supraunitară sau subunitară, și pentru orice factori pozitivi, fie ei întregi, fracții sau numere iraționale. Singura cerință ascunsă este ca ambii logaritmi să aibă aceeași bază: numai așa exponenții $u$ și $v$ se referă la aceeași putere și se pot aduna.

Proprietatea este o egalitate între numere, deci se poate verifica pe numere. Luăm $lo g_{12} 9 + lo g_{12} 16$ : niciun termen nu are o valoare simplă, dar suma este $lo g_{12} 144 = 2$ , pentru că $1 2^{2} = 144$ . Cu mai mulți factori pozitivi, proprietatea se aplică de mai multe ori: logaritmul unui produs de trei factori este suma a trei logaritmi.

3. Ce devine logaritmul unui cât?

Cu aceleași notații, $\frac{x}{y} = \frac{a ^{u}}{a ^{v}} = a^{u - v}$ , deci

$lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y .$

Luând $x = 1$ și folosind $lo g_{a} 1 = 0$ , obținem un caz particular util: $lo g_{a} \frac{1}{y} = - lo g_{a} y$ . Inversul unui număr are logaritmul opus. Demonstrația este oglinda celei de la produs: acolo exponenții se adunau, aici se scad. Pe numere: $lo g_{19} 1083 - lo g_{19} 3 = lo g_{19} 361 = 2$ , pentru că $\frac{1083}{3} = 361 = 1 9^{2}$ . Nici aici termenii nu au valori simple separat; doar diferența lor are.

Proprietatea câtului explică ce ai observat pe scările din clasa a IX-a: când o mărime se împarte la zece, logaritmul ei zecimal scade exact cu unu, oricare ar fi valoarea de pornire. În general, raportul a două mărimi pozitive se citește ca diferența logaritmilor lor. De aceea, pe o scară logaritmică, două perechi de valori cu același raport sunt la aceeași distanță una de alta.

4. Ce se întâmplă cu un exponent aflat sub logaritm?

Fie $x > 0$ și $k$ un număr real oarecare. Cu $u = lo g_{a} x$ avem $x = a^{u}$ , iar $x^{k} = (a^{u})^{k} = a^{u k}$ . Prin definiție,

$lo g_{a} x^{k} = k lo g_{a} x .$

Exponentul coboară în fața logaritmului ca un coeficient. Cum exponentul poate fi orice număr real, proprietatea acoperă și radicalii: $lo g_{a} x = \frac{1}{2} lo g_{a} x$ și $lo g_{a} 3 x = \frac{1}{3} lo g_{a} x$ . De exemplu, $lo g_{7} 349 = \frac{1}{3} lo g_{7} 49 = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$ . Rezultatul se potrivește cu metoda din lecția despre definiție, unde scriai $349 = 7^{2/3}$ și citeai direct exponentul: cele două drumuri duc la aceeași valoare, iar proprietatea puterii este forma generală a acelei observații.

Condiția $x > 0$ contează. Pentru un exponent par, $x^{k}$ poate fi pozitiv și când $x$ este negativ, deci membrul stâng există, dar membrul drept nu. În acest caz se scrie $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} ∣ x ∣$ , pentru orice $x \neq = 0$ .

5. Ce se întâmplă când logaritmul stă în exponent?

Numărul $lo g_{a} b$ este, prin definiție, exponentul la care trebuie ridicată baza ca să obții $b$ . Dacă ridici chiar baza $a$ la acest exponent, obții $b$ :

$a^{l o g_{a} b} = b, b > 0.$

Identitatea pare o simplă reformulare, dar în calcul este foarte eficientă, mai ales împreună cu regulile puterilor. De exemplu, $3^{2 l o g_{3} 5} = (3^{l o g_{3} 5})^{2} = 5^{2} = 25$ . La fel, $1 0^{1 + l g 4} = 10 \cdot 1 0^{l g 4} = 10 \cdot 4 = 40$ , iar $2^{l o g_{2} 3 - 1} = \frac{2 ^{l o g_{2} 3}}{2} = \frac{3}{2}$ . În fiecare caz desfaci întâi exponentul cu regulile puterilor, astfel încât logaritmul să rămână singur, cu aceeași bază ca puterea.

Împreună cu $lo g_{a} a^{k} = k$ din lecția despre definiție, identitatea arată că ridicarea la putere cu baza $a$ și logaritmarea în baza $a$ se anulează una pe alta, în orice ordine.

Identitatea îți dă și un mijloc de control pentru soluțiile scrise cu logaritm, cum au rămas unele soluții în lecția despre ecuațiile exponențiale. Pentru ecuația $2 \cdot 7^{x} = 26$ , adică $7^{x} = 13$ , soluția este $x = lo g_{7} 13$ . Înlocuind, $2 \cdot 7^{l o g_{7} 13} = 2 \cdot 13 = 26$ , deci verificarea se face exact, fără nicio zecimală. Cu o valoare rotunjită a lui $lo g_{7} 13$ ai obține doar un număr apropiat de $26$ și nu ai ști sigur dacă diferența vine din rotunjire sau dintr-o greșeală.

6. Cum descompunem o expresie și cum o comprimăm?

A descompune înseamnă a scrie logaritmul unei expresii ca sumă și diferență de logaritmi simpli. Mergi de afară spre înăuntru: întâi câtul, apoi produsul, apoi exponenții. Pentru $x > 0$ și $y > 0$ :

$lo g_{7} \frac{x ^{5} y}{49} = lo g_{7} x^{5} + lo g_{7} y - lo g_{7} 49 = 5 lo g_{7} x + \frac{1}{2} lo g_{7} y - 2.$

Factorii numerici se calculează: $lo g_{7} 49 = 2$ nu rămâne scris ca logaritm. Ordinea contează pentru claritate: dacă începi cu exponenții, riști să cobori un exponent care privea tot produsul, nu un singur factor. Condițiile $x > 0$ și $y > 0$ se scriu înaintea descompunerii, pentru că fiecare logaritm nou apărut trebuie să aibă sens.

A comprima este operația inversă: coeficienții urcă la exponent, apoi sumele devin produse și diferențele câturi. Un număr liber intră în logaritm scris ca logaritm în aceeași bază: $2 = l g 100$ . De exemplu, $3 l g x - l g y + 2 = l g x^{3} - l g y + l g 100 = l g \frac{100 x ^{3}}{y}$ , pentru $x > 0$ și $y > 0$ . Comprimarea este pasul care pregătește ecuațiile logaritmice din lecțiile următoare: acolo vei aduce fiecare membru la un singur logaritm.

O strategie sigură pentru comprimare are trei pași. Întâi urci fiecare coeficient la exponentul argumentului său. Apoi scrii fiecare număr liber ca logaritm în baza expresiei. În final aduni argumentele cu plus la numărător și pe cele cu minus la numitor. Pentru control, dezvolți rezultatul înapoi și trebuie să ajungi la expresia de la care ai plecat.

Figura A arată proprietatea produsului pe graficul funcției $l g$ : înălțimea graficului deasupra lui $12$ este suma înălțimilor deasupra lui $3$ și deasupra lui $4$ , pentru că $12 = 3 \cdot 4$ . Desenul ilustrează, iar egalitatea $l g 12 = l g 3 + l g 4$ o dovedește calculul.

7. De ce înălțimea de deasupra lui 7 nu este suma celor de deasupra lui 3 și 4?

Pe figura A, înălțimea graficului deasupra lui $12$ este suma înălțimilor de deasupra lui $3$ și $4$ , pentru că $12 = 3 \cdot 4$ . Deasupra lui $7 = 3 + 4$ graficul este însă mai jos: $l g 7 \approx 0, 845$ , în timp ce $l g 3 + l g 4 = l g 12 \approx 1, 079$ . Proprietatea leagă produsul argumentelor de suma logaritmilor, iar pentru o sumă de argumente nu există nicio formulă de desfacere. Figura arată diferența dintre cele două înălțimi fără niciun calcul.

Fiecare proprietate transformă argumentele doar prin înmulțire, împărțire sau ridicare la putere, deci o adunare aflată sub logaritm rămâne cum este. Condiția ca fiecare factor să fie pozitiv, nu doar produsul lor, este cea scrisă la demonstrația produsului. Câtul a doi logaritmi este un alt obiect, pe care îl dă formula de schimbare a bazei.

8. Cum arată o lege din științe în forma cu logaritmi?

Multe legi au forma $y = c \cdot x^{k}$ , cu $c > 0$ , pentru mărimi pozitive. Logaritmând în baza zece și folosind proprietățile produsului și puterii, obții $l g y = l g c + k l g x$ . Între $l g x$ și $l g y$ legătura este de gradul întâi: dacă reprezinți punctele $(l g x; l g y)$ , ele stau pe o dreaptă cu panta $k$ .

Pe un obiect simplu: volumul unui cub cu latura $ℓ$ este $V = ℓ^{3}$ , deci $l g V = 3 l g ℓ$ . Figura B arată cuburile cu laturile $1$ , $2$ , $4$ și $8$ centimetri, adică volumele $1$ , $8$ , $64$ și $512$ centimetri cubi, în coordonatele $(l g ℓ; l g V)$ : punctele sunt pe dreapta de pantă $3$ . În laborator, trucul se folosește invers: din măsurători se calculează $l g x$ și $l g y$ , iar panta dreptei dă exponentul legii.

Forma cu logaritmi are și un avantaj practic. Mărimile din științe acoperă adesea multe ordine de mărime, de la miimi la milioane, iar pe o axă obișnuită valorile mici se strâng toate lângă zero. Pe o axă cu $l g$ , fiecare înmulțire cu zece ocupă aceeași lungime, deci și valorile mici, și cele mari se văd la fel de clar. Constanta $c$ a legii apare și ea: este valoarea lui $y$ pentru $x = 1$ , adică punctul în care dreapta taie axa verticală, la înălțimea $l g c$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un singur logaritm dintr-o sumă

Calculați $lo g_{24} 9 + 2 lo g_{24} 8$ .

Rezolvare. Coeficientul $2$ urcă la exponent: $2 lo g_{24} 8 = lo g_{24} 8^{2} = lo g_{24} 64$ . Toți factorii sunt pozitivi, deci suma se restrânge cu proprietatea produsului:

$lo g_{24} 9 + lo g_{24} 64 = lo g_{24} (9 \cdot 64) = lo g_{24} 576 = 2,$

pentru că $2 4^{2} = 576$ . Semnalul că trebuia comprimat: niciun termen nu are o valoare simplă, dar produsul argumentelor este o putere a bazei. Dacă ai fi încercat să calculezi separat $lo g_{24} 9$ și $lo g_{24} 8$ , ai fi avut nevoie de calculator și ai fi obținut doar o valoare aproximativă a unui număr care, de fapt, este exact $2$ .

Exemplul 2 — Logaritmul urcat în exponent

Calculați $5^{l o g_{5} 7 + 2}$ , $1 0^{2 l g 3}$ și $4^{l o g_{2} 3}$ .

Rezolvare. Primul: exponentul este o sumă, deci puterea se desface într-un produs, $5^{l o g_{5} 7 + 2} = 5^{l o g_{5} 7} \cdot 5^{2} = 7 \cdot 25 = 175$ . Al doilea: $1 0^{2 l g 3} = (1 0^{l g 3})^{2} = 3^{2} = 9$ .

Al treilea are baza $4$ și logaritmul în baza $2$ , deci identitatea nu se aplică direct. Scriem $4 = 2^{2}$ : $4^{l o g_{2} 3} = (2^{2})^{l o g_{2} 3} = (2^{l o g_{2} 3})^{2} = 3^{2} = 9$ . Regula este să aduci puterea la aceeași bază ca logaritmul din exponent. Controlul se face prin încadrare: $lo g_{2} 3$ este între $1$ și $2$ , deci $4^{l o g_{2} 3}$ trebuie să fie între $4^{1} = 4$ și $4^{2} = 16$ , iar $9$ chiar este acolo.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev a scris trei egalități: „ $l g 50 : l g 5 = l g 10$ ”, „ $l g ((- 4) \cdot (- 25)) = l g (- 4) + l g (- 25)$ ” și „ $lo g_{17} 28 9^{3} = (lo g_{17} 289)^{3} = 8$ ”. Găsiți greșelile.

Rezolvare. Prima confundă câtul a doi logaritmi cu logaritmul câtului. Proprietatea spune $l g \frac{50}{5} = l g 50 - l g 5$ , adică o diferență. Numeric, câtul $\frac{l g 50}{l g 5}$ este aproximativ $\frac{1 , 699}{0 , 699} \approx 2, 431$ , deloc egal cu $l g 10 = 1$ .

A doua ignoră semnul factorilor: membrul stâng este $l g 100 = 2$ și există, dar $l g (- 4)$ și $l g (- 25)$ nu există. Proprietatea produsului cere ca fiecare factor să fie pozitiv.

A treia confundă logaritmul unei puteri cu puterea unui logaritm. Corect, $lo g_{17} 28 9^{3} = 3 lo g_{17} 289 = 3 \cdot 2 = 6$ , pentru că $1 7^{2} = 289$ ; numărul $(lo g_{17} 289)^{3} = 8$ este altceva.

Exemplul 4 — Descompunere cu control numeric

Descompuneți $lo g_{2} \frac{3 x y ^{2}}{32}$ , unde $x > 0$ și $y > 0$ , apoi verificați rezultatul pentru $x = 8$ și $y = 4$ .

Rezolvare. Întâi câtul, apoi produsul, apoi exponenții:

$lo g_{2} \frac{3 x y ^{2}}{32} = lo g_{2} 3 x + lo g_{2} y^{2} - lo g_{2} 32 = \frac{1}{3} lo g_{2} x + 2 lo g_{2} y - 5.$

Control: pentru $x = 8$ și $y = 4$ argumentul este $\frac{2 \cdot 16}{32} = 1$ , deci membrul stâng este $lo g_{2} 1 = 0$ . Membrul drept este $\frac{1}{3} \cdot 3 + 2 \cdot 2 - 5 = 1 + 4 - 5 = 0$ . Controlul pe valori alese potrivit prinde o greșeală de semn sau de coeficient într-o jumătate de minut. Valorile $x = 8$ și $y = 4$ nu au fost alese la întâmplare: sunt puteri ale lui $2$ , iar $38$ este întreg, deci fiecare termen din membrul drept se calculează fără calculator.

Exemplul 5 — Constanta de echilibru în forma cu logaritmi

La aproximativ $450$ °C, într-un vas închis se stabilește echilibrul $H_{2} + I_{2} ⇌ 2 HI$ . Constanta de echilibru este $K = \frac{[ HI ] ^{2}}{[ H _{2} ] [ I _{2} ]}$ , unde parantezele drepte sunt concentrațiile la echilibru, în moli pe litru. Într-o probă s-au măsurat $[H_{2}] = [I_{2}] = 0, 1$ și $[HI] = 0, 7$ . a) Scrieți $l g K$ ca sumă de logaritmi ai concentrațiilor. b) Calculați $l g K$ și $K$ fără calculator. c) Volumul vasului se înjumătățește, deci toate concentrațiile se dublează. Cum se schimbă expresia lui $l g K$ calculată cu noile concentrații?

Rezolvare. a) Cu proprietățile câtului, produsului și puterii: $l g K = 2 l g [HI] - l g [H_{2}] - l g [I_{2}]$ .

b) $l g 0, 7 = l g 7 - 1$ și $l g 0, 1 = - 1$ , deci $l g K = 2 (l g 7 - 1) + 1 + 1 = 2 l g 7$ . Atunci $K = 1 0^{2 l g 7} = (1 0^{l g 7})^{2} = 49$ . Constanta nu are unitate de măsură, pentru că numărătorul și numitorul conțin câte două concentrații.

c) Cu concentrațiile dublate, expresia devine $2 l g 1, 4 - 2 l g 0, 2 = 2 l g \frac{1 , 4}{0 , 2} = 2 l g 7$ , aceeași valoare. Factorul $2$ apare de două ori sus și de două ori jos și se reduce. Pentru această reacție, cu același număr de molecule de gaz în ambii membri, comprimarea nu mută echilibrul, ceea ce chimia confirmă.

Forma cu logaritmi arată imediat și cazul general: dacă toate concentrațiile se înmulțesc cu același factor $t$ , $l g K$ se modifică cu $(2 - 1 - 1) l g t = 0$ . Coeficientul lui $l g t$ este diferența dintre numărul de molecule din dreapta și cel din stânga ecuației chimice, aici zero.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Arătați că $lo g_{4} 24 + lo g_{4} \frac{32}{3} = 4$ .

Rezolvare. Ambele argumente sunt pozitive, deci suma se restrânge: $lo g_{4} 24 + lo g_{4} \frac{32}{3} = lo g_{4} (24 \cdot \frac{32}{3}) = lo g_{4} 256$ . Cum $4^{4} = 256$ , rezultatul este $4$ . La redactare se scriu trei lucruri: că argumentele sunt pozitive, ce proprietate s-a folosit și puterea din care se citește valoarea finală. Cerința este construită pentru exercițiu, după modelul calculelor scurte cu logaritmi de la prima parte a lucrării, nu preluată dintr-o variantă oficială.

Să exersăm

Înainte de a despărți un logaritm, verifică semnul fiecărui factor. La final, controlează rezultatul pe o valoare numerică aleasă de tine.

1. Calculează $l g 16 + l g 62, 5$ .

2. Calculează $lo g_{7} 98 - lo g_{7} 2$ .

3. Calculează $\frac{1}{3} lo g_{15} 27 + lo g_{15} 5$ .

4. Calculează $(3)^{l o g_{3} 49}$ , $10 0^{l g 3}$ și $(\frac{1}{2})^{l o g_{2} 5}$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $lo g_{3} a + lo g_{3} b = 2$ , atunci $ab = 9$ .”

6. Descompune $lo g_{5} \frac{125 x}{y ^{3}}$ , pentru $x > 0$ și $y > 0$ .

7. Comprimă într-un singur logaritm expresia $\frac{1}{3} l g a + 4 l g b - 2$ , pentru $a > 0$ și $b > 0$ .

8. a) Pentru ce valori ale lui $x$ are sens $lo g_{2} (x (x + 5))$ ? b) Pentru ce valori ale lui $x$ are sens $lo g_{2} x + lo g_{2} (x + 5)$ ? c) Pe ce mulțime este adevărată egalitatea $lo g_{2} (x (x + 5)) = lo g_{2} x + lo g_{2} (x + 5)$ ?

9. Calculează $1 3^{2 l o g_{13} 2 - 1}$ .

10. (Problemă aplicată.) Pentru o curgere lentă, fără vârtejuri, debitul de sânge printr-un vas scurt, la aceeași diferență de presiune, este $Q = k \cdot r^{4}$ , unde $r$ este raza vasului și $k > 0$ o constantă (legea lui Poiseuille). a) Scrie $l g Q$ ca sumă. b) Prin vasodilatație, raza unei arteriole crește cu $20%$ . Cu cât crește $l g Q$ și de câte ori crește debitul? Folosește $l g 1, 2 \approx 0, 0792$ . c) Cu cât scade $l g Q$ dacă raza scade la jumătate?

11. Descompune $lo g_{2} \frac{( x + 1 ) ^{3}}{x ^{2}}$ , pentru $x > 0$ .

12. Arată că $l g 2 + l g 3 + l g 4 + l g 5 - l g 12 = 1$ .

13. Calculează $lo g_{3} (7 + 2) + lo g_{3} (7 - 2)$ .

14. Pentru numerele pozitive $a$ și $b$ se știe că $l g a = 1, 2$ și $l g b = 0, 5$ . Calculează $l g (a^{2} b)$ , $l g \frac{a}{b}$ și $l g (100 a b^{3})$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $7^{l o g_{7} 10} + 1 0^{l g 7} = 17$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Demonstrați egalitatea $lo g_{2} (42) = \frac{5}{2}$ .

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Verificați egalitatea $2^{l o g_{2} 3 + l o g_{2} 5} = 15$ .

18. (Provocare.) Numerele pozitive $a$ , $b$ , $c$ verifică $l g a + l g c = 2 l g b$ . Arată că $b^{2} = a c$ , adică $a$ , $b$ , $c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice, și dă un exemplu cu numere naturale. Arată apoi că, pentru orice progresie geometrică cu termeni pozitivi, logaritmii termenilor formează o progresie aritmetică.

Răspunsuri și explicații

1. Argumentele sunt pozitive: $l g 16 + l g 62, 5 = l g (16 \cdot 62, 5) = l g 1000 = 3$ .

2. $lo g_{7} 98 - lo g_{7} 2 = lo g_{7} \frac{98}{2} = lo g_{7} 49 = 2$ .

3. $\frac{1}{3} lo g_{15} 27 = lo g_{15} 327 = lo g_{15} 3$ , deci suma este $lo g_{15} 3 + lo g_{15} 5 = lo g_{15} 15 = 1$ .

4. $(3)^{l o g_{3} 49} = (3^{1/2})^{l o g_{3} 49} = (3^{l o g_{3} 49})^{1/2} = 49 = 7$ . $10 0^{l g 3} = (1 0^{2})^{l g 3} = (1 0^{l g 3})^{2} = 9$ . $(\frac{1}{2})^{l o g_{2} 5} = (2^{- 1})^{l o g_{2} 5} = (2^{l o g_{2} 5})^{- 1} = \frac{1}{5}$ .

5. Adevărat. Logaritmii există, deci $a > 0$ și $b > 0$ , iar proprietatea produsului dă $lo g_{3} (ab) = 2$ . Din definiție, $ab = 3^{2} = 9$ .

6. Pentru $x > 0$ și $y > 0$ : $lo g_{5} \frac{125 x}{y ^{3}} = lo g_{5} 125 + lo g_{5} x - lo g_{5} y^{3} = 3 + lo g_{5} x - 3 lo g_{5} y$ . Control pentru $x = y = 5$ : argumentul este $\frac{625}{125} = 5$ , deci membrul stâng este $1$ , iar cel drept $3 + 1 - 3 = 1$ .

7. Pentru $a > 0$ și $b > 0$ : $\frac{1}{3} l g a = l g 3 a$ , $4 l g b = l g b^{4}$ și $2 = l g 100$ , deci expresia este $l g \frac{3 a b ^{4}}{100}$ . Numărul liber, scris ca logaritm zecimal, avea semnul minus, deci a ajuns la numitor. Control pentru $a = 1000$ și $b = 10$ : expresia dă $1 + 4 - 2 = 3$ , iar $l g \frac{10 \cdot 1 0 ^{4}}{100} = l g 1000 = 3$ .

8. a) Pentru $lo g_{2} (x (x + 5))$ condiția este $x (x + 5) > 0$ : produsul are rădăcinile $- 5$ și $0$ și este pozitiv în afara lor, deci $D = (- \infty; - 5) \cup (0; + \infty)$ . b) Fiecare logaritm cere argumentul pozitiv: $x > 0$ și $x + 5 > 0$ , deci $D = (0; + \infty)$ . c) Egalitatea are sens numai unde au sens ambii membri, adică pentru $x > 0$ , și acolo este adevărată, din proprietatea produsului. Pentru $x < - 5$ membrul stâng există, dar cel drept nu.

9. Exponentul este o diferență, deci puterea devine un cât, iar coeficientul $2$ urcă la putere: $1 3^{2 l o g_{13} 2 - 1} = \frac{( 1 3 ^{l o g_{13} 2} ) ^{2}}{13} = \frac{4}{13}$ .

10. a) Cu $k > 0$ și $r > 0$ : $l g Q = l g k + 4 l g r$ . b) O creștere cu $20%$ înseamnă raza nouă $1, 2 r$ , deci $l g Q$ crește cu $4 l g 1, 2$ . Cu valoarea dată, $l g 1, 2 \approx 0, 0792$ , creșterea este de aproximativ $0, 317$ , iar debitul se înmulțește cu $1 0^{0, 317} \approx 2, 07$ ; exact, $1, 2^{4} = 2, 0736$ . O creștere a razei cu o cincime dublează aproape debitul, de aceea vasodilatația este un mecanism eficient de reglare a fluxului de sânge. c) $l g Q$ scade cu $4 l g 2$ , deci debitul se împarte la $2^{4} = 16$ . Legea descrie o curgere liniștită printr-un vas rigid; sângele și vasele reale se abat de la ea, dar dependența puternică de rază rămâne.

11. $lo g_{2} \frac{( x + 1 ) ^{3}}{x ^{2}} = 3 lo g_{2} (x + 1) - 2 lo g_{2} x$ . Pentru $x > 0$ ambii factori sunt pozitivi, deci descompunerea este permisă. Control pentru $x = 1$ : membrul stâng este $lo g_{2} 8 = 3$ , iar cel drept $3 \cdot 1 - 2 \cdot 0 = 3$ .

12. Toate argumentele sunt pozitive, deci primii patru termeni se restrâng: $l g (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) = l g 120$ . Apoi, cu proprietatea câtului, $l g 120 - l g 12 = l g 10 = 1$ . Niciunul dintre cei cinci logaritmi nu are o valoare simplă, dar combinația lor are; semnalul este că produsul și câtul argumentelor dau o putere a lui zece.

13. Ambele argumente sunt pozitive, pentru că $7 > 2$ . Suma este $lo g_{3} ((7 + 2) (7 - 2)) = lo g_{3} (7 - 4) = lo g_{3} 3 = 1$ . Produsul celor două argumente este o diferență de pătrate, ca la expresiile conjugate din lecția despre radicali; fără proprietatea produsului, niciun termen nu s-ar putea calcula exact.

14. $l g (a^{2} b) = 2 \cdot 1, 2 + 0, 5 = 2, 9$ . $l g \frac{a}{b} = 1, 2 - \frac{1}{2} \cdot 0, 5 = 0, 95$ . $l g (100 a b^{3}) = 2 + 1, 2 + 3 \cdot 0, 5 = 4, 7$ . Nu a fost nevoie să afli numerele $a$ și $b$ : proprietățile lucrează direct cu logaritmii lor. Dacă vrei totuși valorile, $a = 1 0^{1, 2} \approx 15, 85$ și $b = 1 0^{0, 5} \approx 3, 16$ .

15. Din identitatea $a^{l o g_{a} b} = b$ : $7^{l o g_{7} 10} = 10$ și $1 0^{l g 7} = 7$ , deci suma este $10 + 7 = 17$ . Nu a fost nevoie de valoarea niciunui logaritm.

16. Cu proprietățile produsului și puterii: $lo g_{2} (42) = lo g_{2} 4 + lo g_{2} 2^{1/2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ . Verificare: $2^{5/2} = 2^{2} \cdot 2 = 42$ .

17. $lo g_{2} 3 + lo g_{2} 5 = lo g_{2} 15$ , deci $2^{l o g_{2} 3 + l o g_{2} 5} = 2^{l o g_{2} 15} = 15$ .

18. Din $l g a + l g c = l g (a c)$ și $2 l g b = l g b^{2}$ rezultă $l g (a c) = l g b^{2}$ . Ridicând $10$ la ambele valori, $a c = b^{2}$ , deci $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$ : numerele sunt în progresie geometrică. Exemplu: $a = 4$ , $b = 12$ , $c = 36$ , cu rația $3$ . Invers, dacă termenii pozitivi sunt $a_{1}$ , $a_{1} q$ , $a_{1} q^{2}$ , …, logaritmii lor sunt $l g a_{1}$ , $l g a_{1} + l g q$ , $l g a_{1} + 2 l g q$ , …, o progresie aritmetică cu rația $l g q$ . Legătura explică de ce o mărime care se înmulțește cu același factor la fiecare pas apare, pe o axă logaritmică, ca o serie de puncte egal distanțate.

De reținut

Pentru $a > 0$ , $a \neq = 1$ și $x, y > 0$ : $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ și $lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$ .
Pentru $x > 0$ și orice $k$ real, $lo g_{a} x^{k} = k lo g_{a} x$ ; radicalii intră ca exponenți fracționari.
Pentru $b > 0$ , $a^{l o g_{a} b} = b$ ; exponentul se desface întâi cu regulile puterilor, până rămâne logaritmul singur.
Descompunerea merge dinspre exterior spre interior, comprimarea invers, iar un număr liber intră în logaritm ca logaritm în aceeași bază.
Nu există formulă pentru logaritmul unei sume, iar proprietățile cer fiecare argument pozitiv, nu doar rezultatul.

Greșeli frecvente

Desfaci logaritmul unui cât în ordinea inversă. $lo g_{5} \frac{x}{25}$ devine $lo g_{5} x - 2$ , nu $2 - lo g_{5} x$ . Controlul pe $x = 5$ : $lo g_{5} \frac{1}{5} = - 1$ , iar $2 - 1 = 1$ , deci forma inversată dă semnul greșit.
Desfaci o sumă aflată în exponent ca pe o sumă de puteri. $a^{l o g_{a} b + c}$ este produsul $b \cdot a^{c}$ , nu suma $b + a^{c}$ , pentru că exponenții adunați înseamnă puteri înmulțite.
Aduni logaritmi cu baze diferite. Proprietatea produsului cere aceeași bază: $lo g_{2} 5 + lo g_{4} 5$ nu se restrânge într-un logaritm al lui $25$ . Pentru baze diferite ai nevoie de schimbarea bazei.
Transformi un număr liber în logaritm cu bază greșită. În $2 + l g x$ , numărul $2$ este $l g 100$ , deci expresia este $l g (100 x)$ , nu $l g (2 x)$ .
Muți semnul minus în argument. $- lo g_{a} x$ este $lo g_{a} \frac{1}{x}$ , nu $lo g_{a} (- x)$ , care nici nu există pentru $x > 0$ .

Aplică acasă

Decupează din carton pătrate cu laturile de $1$ , $2$ , $3$ , $4$ și $6$ centimetri. Pentru fiecare, calculează aria, apoi $l g ℓ$ și $l g A$ cu calculatorul, și reprezintă punctele $(l g ℓ; l g A)$ pe hârtie milimetrică. Verifică faptul că ele stau pe o dreaptă și măsoară panta; explică de ce iese $2$ .
Caută în manualul de chimie ecuația unui echilibru și expresia constantei lui de echilibru. Scrie $l g K$ ca sumă și diferență de logaritmi ai concentrațiilor și spune ce concentrație are cel mai mare coeficient în această scriere.
Alege din manualul de fizică trei formule de tipul produs sau cât de puteri, de exemplu energia cinetică, puterea disipată într-un rezistor sau atracția dintre două corpuri. Scrie fiecare formulă în forma cu logaritmi și precizează, pentru fiecare mărime, ce coeficient are $l g$ -ul ei.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă regulile puterilor, cunoscute deja pentru exponenți reali, în proprietățile logaritmilor. Fiecare proprietate se demonstrează în trei rânduri, prin aceeași schemă: notezi logaritmii, treci la forma cu putere, aplici regula puterilor, revii la logaritm. Merită cerută redactarea completă a cel puțin unei demonstrații, pentru că schema se folosește și mai târziu, la formula de schimbare a bazei.

O greșeală de fond merită urmărită separat: elevul care a învățat proprietățile ca „reguli de mutat simboluri” le aplică și acolo unde nu există, de exemplu la o sumă sau la pătratul unui logaritm. Antidotul este controlul numeric, cerut sistematic: după fiecare transformare, elevul alege valori simple și verifică. Un minut de control pe hârtie economisește mult timp la corectarea unei rezolvări întregi.

Întrebări bune de control: „De ce $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ cere ca $x$ și $y$ să fie pozitive fiecare?”; „Cât este $2^{l o g_{2} 3 + l o g_{2} 5}$ și de ce?”; „Ce se întâmplă cu $l g K$ în Exemplul 5 când toate concentrațiile se dublează?”. Semnul că elevul a înțeles: controlează fiecare descompunere pe valori numerice și nu aplică proprietățile unei sume.

Lecția nu rezolvă ecuații logaritmice, care vin în unitate imediat după funcția logaritmică, și nu calculează logaritmi în baze diferite cu calculatorul; aceasta este tema lecției următoare. Contextele alese, echilibrul chimic și debitul prin vasele de sânge, arată de ce științele scriu legile în forma cu logaritmi: produsele devin sume, iar exponenții devin coeficienți care se pot citi pe un grafic.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028, care numește la funcții proprietățile logaritmilor, iar competența X.CS.4.3 cere redactarea justificărilor matematice în limbajul funcțiilor. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care trece la clasa a X-a proprietățile logaritmilor și calculele cu logaritmi; de aici marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)”. În varianta-model pentru 2026, cerința cu logaritmi de la prima parte a lucrării cere restrângerea unei sume de doi logaritmi cu aceeași bază, iar rezolvarea completă a ecuației se face în lecția despre ecuațiile logaritmice; exercițiile marcate aici sunt create pentru antrenament.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: proprietățile logaritmilor: produs, cât, putere, mate-info (M1). Lecția următoare a traseului este formula de schimbare a bazei la M2, iar exercițiile de recapitulare sunt în testul M2 despre rata creșterii, compunere și inversare.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta mate-info (M1) despre proprietățile logaritmilor?

Demonstrațiile sunt aceleași ca idee, pentru că pornesc din definiție, dar aplicațiile M2 vin din chimie și biologie: constanta de echilibru, debitul prin vase, legi de putere citite pe o dreaptă. Varianta M2 lucrează și cu identitatea în care logaritmul stă în exponent. Varianta M1 insistă pe calcule numerice pornind de la valori memorate ale logaritmilor.

Unde apar proprietățile logaritmilor la bacalaureatul M2?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 numește proprietățile logaritmilor printre temele clasei a X-a. În varianta-model pentru 2026, ecuația cu logaritmi de la Subiectul I se rezolvă restrângând o sumă de doi logaritmi cu aceeași bază, adică exact cu proprietatea produsului din această lecție, după scrierea condițiilor de existență.

La ce folosește identitatea în care baza este ridicată la un logaritm?

Ea scoate un număr dintr-un exponent. Când un calcul îți dă o putere de tipul $a^{l o g_{a} b}$ , înlocuiești direct cu $b$ ; dacă exponentul are mai mulți termeni, îl desfaci întâi cu regulile puterilor. Identitatea este și motivul pentru care o ecuație exponențială are soluția scrisă cu logaritm.

De ce biologii și chimiștii desenează date în coordonate logaritmice?

Pentru că o lege de forma $y = c \cdot x^{k}$ devine, după logaritmare, o relație de gradul întâi între $l g x$ și $l g y$ . Punctele măsurate se așază atunci pe o dreaptă, iar panta ei este chiar exponentul legii. Este mult mai ușor să recunoști o dreaptă decât o curbă, iar abaterile de la lege se văd imediat.

Când descompun și când comprim o expresie cu logaritmi?

Descompui când ai un singur logaritm al unei expresii complicate și vrei termeni simpli, de exemplu ca să vezi cum depinde rezultatul de fiecare mărime. Comprimi când ai o sumă de logaritmi fără valori simple, dar produsul argumentelor este o putere a bazei. În ecuațiile din lecțiile următoare vei comprima, ca fiecare membru să devină un singur logaritm.

Cum verific repede o descompunere pe care am făcut-o?

Alege valori pentru litere care fac argumentele puteri ale bazei, apoi calculează separat ambii membri. Dacă obții numere diferite, ai greșit un semn sau un coeficient. Controlul nu dovedește egalitatea pentru toate valorile, dar prinde aproape toate greșelile de scriere.