Cum aduc x²+6x+2 la forma (x-h)²+k ca să citesc vârful?

Completezi pătratul: x²+6x=(x+3)²-9, deci x²+6x+2=(x+3)²-7. Vârful este (-3,-7), iar axa este x=-3. Controlul cu formula: - b/2a=- 6/2=-3 și f(-3)=9-18+2=-7. Metoda completării pătratului arată vârful fără să mai calculezi separat ordonata lui.

Cum aflu axa parabolei din două valori egale?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Vârful și axa de simetrie

Dacă două puncte ale parabolei au aceeași ordonată, adică $f (p) = f (q)$ cu $p \neq = q$ , axa de simetrie este verticala prin mijlocul absciselor: $x = \frac{p + q}{2}$ . Exemplu: pentru $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 5$ avem $f (1) = 2 - 12 + 5 = - 5$ și $f (5) = 50 - 60 + 5 = - 5$ , deci axa este $x = \frac{1 + 5}{2} = 3$ . Controlul cu formula: $- \frac{b}{2 a} = \frac{12}{4} = 3$ . Metoda merge și când parabola e dată doar printr-un tabel de valori.

Vârful este punctul în care parabola își schimbă sensul: cel mai jos când ramurile urcă, cel mai sus când ele coboară. Axa de simetrie este verticala prin vârf, deci se scrie ca ecuație $x = h$ , nu ca pereche de coordonate. Dacă funcția apare sub forma $a (x - h)^{2} + k$ , vârful $(h, k)$ se citește direct; pentru o scriere dezvoltată, abscisa lui este $- \frac{b}{2 a}$ , iar ordonata se obține prin substituție.

Reflexia față de axa $x = h$ păstrează înălțimea unui punct și îi trimite abscisa $u$ în $2 h - u$ . Două intrări diferite cu aceeași imagine au mijlocul exact pe axă, însă egalitatea lor nu spune nimic despre nivelul vârfului. Dacă punctele comparate au ordonate diferite, media absciselor nu are legătură cu axa.

Pe un domeniu restrâns, simetria rămâne completă numai dacă fiecare abscisă admisă are și partenerul în domeniu; contează centrul intervalului și includerea capetelor. O fereastră de afișare mică poate ascunde vârful fără ca acesta să dispară din grafic. În aplicații, o simetrie aproximativă dintr-o fotografie devine exactă doar în cadrul unui model declarat.

De reținut

axa de simetrie: $x = - \frac{b}{2 a}$
dacă $f (p) = f (q)$ cu $p \neq = q$ , axa este $x = \frac{p + q}{2}$
simetricul lui $(u, v)$ față de $x = h$ este $(2 h - u, v)$

Greșeala tipică

Se scrie axa de simetrie ca punct, $V (3, - 2)$ , sau ca $y = - 2$ ; axa este o dreaptă verticală și se notează $x = 3$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care este vârful parabolei funcției $f (x) = - \frac{1}{3} (x - 4)^{2} + 6$ ?
- a) $V (- 4, 6)$
- b) $V (6, 4)$
- c) $V (4, - 6)$
- d) $V (4, 6)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $V (4, 6)$

Termenul cu pătrat se anulează în $x = 4$ , iar atunci valoarea este $6$ . Vârful este $V (4, 6)$ .
Ecuația axei de simetrie a parabolei funcției $f (x) = 2 (x + 5)^{2} - 1$ este:
- a) $x = - 5$
- b) $x = 5$
- c) $y = - 1$
- d) $y = - 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = - 5$

Pătratul se anulează în $x = - 5$ , abscisa vârfului. Axa este verticala $x = - 5$ ; o ecuație de forma $y = \dots$ ar descrie o orizontală.
O parabolă are axa de simetrie $x = 3$ și conține punctul $A (- 1, 7)$ . Ce alt punct aparține sigur parabolei?
- a) $(- 1, - 7)$
- b) $(7, 7)$
- c) $(1, 7)$
- d) $(5, 7)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(7, 7)$

Partenerul are ordonata $7$ și abscisa $2 \cdot 3 - (- 1) = 7$ . Punctul $(7, 7)$ este la patru unități de axă, ca și $A$ .

Întrebări conexe

Care este simetricul punctului $(1, 4)$ față de axa $x = - 2$ ?

Ordonata rămâne $4$ , iar abscisa se reflectă: $2 \cdot (- 2) - 1 = - 5$ . Simetricul este $(- 5, 4)$ . Verificare: ambele abscise sunt la $3$ unități de axă, $1$ la dreapta ei, $- 5$ la stânga. Dacă $(1, 4)$ e pe o parabolă cu această axă, atunci și $(- 5, 4)$ este.

De ce ecuația axei de simetrie are forma $x = h$ și nu $y = h$ ?

Axa este o dreaptă verticală, iar toate punctele unei verticale au aceeași abscisă. Pentru o parabolă cu vârful $(3, - 2)$ , axa conține $(3, 0)$ , $(3, 5)$ , $(3, - 2)$ , deci ecuația ei este $x = 3$ . Ecuația $y = - 2$ ar descrie orizontala prin vârf, care nu este axă de simetrie.

Cum aduc $x^{2} + 6 x + 2$ la forma $(x - h)^{2} + k$ ca să citesc vârful?

Completezi pătratul: $x^{2} + 6 x = (x + 3)^{2} - 9$ , deci $x^{2} + 6 x + 2 = (x + 3)^{2} - 7$ . Vârful este $(- 3, - 7)$ , iar axa este $x = - 3$ . Controlul cu formula: $- \frac{b}{2 a} = - \frac{6}{2} = - 3$ și $f (- 3) = 9 - 18 + 2 = - 7$ . Metoda completării pătratului arată vârful fără să mai calculezi separat ordonata lui.

La ce distanță atinge înălțimea maximă o minge care cade la $20$ m?

Dacă traiectoria este $y = x - 0, 05 x^{2}$ metri, mingea pleacă din $x = 0$ și atinge solul la $x = 20$ , unde $y = 0$ . Prin simetrie, punctul cel mai înalt este la mijloc, $x = 10$ m, cu înălțimea $10 - 0, 05 \cdot 100 = 5$ m.

Cum aflu $b$ dacă axa de simetrie a lui $x^{2} + b x + 1$ este $x = 2$ ?

Pui condiția $- \frac{b}{2 \cdot 1} = 2$ , de unde $b = - 4$ . Funcția devine $x^{2} - 4 x + 1$ . Verificare prin simetrie: $f (0) = 1$ și $f (4) = 16 - 16 + 1 = 1$ , iar $0$ și $4$ sunt la distanță $2$ de axă. Parametrul se află dintr-o singură condiție, iar verificarea prin simetrie arată dacă rezultatul e corect.

Oamenii mai întreabă și: axa parabolei din două puncte cu aceeași ordonată · f(p) egal f(q) și axa de simetrie · mijlocul absciselor a două puncte simetrice · axa de simetrie dintr-un tabel de valori

Cum aflu axa parabolei din două valori egale?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Care este simetricul punctului (1,4) față de axa x=−2?

De ce ecuația axei de simetrie are forma x=h și nu y=h?

Cum aduc x2+6x+2 la forma (x−h)2+k ca să citesc vârful?

La ce distanță atinge înălțimea maximă o minge care cade la 20 m?

Cum aflu b dacă axa de simetrie a lui x2+bx+1 este x=2?

Continuă cu

Care este simetricul punctului $(1, 4)$ față de axa $x = - 2$ ?

De ce ecuația axei de simetrie are forma $x = h$ și nu $y = h$ ?

Cum aduc $x^{2} + 6 x + 2$ la forma $(x - h)^{2} + k$ ca să citesc vârful?

La ce distanță atinge înălțimea maximă o minge care cade la $20$ m?

Cum aflu $b$ dacă axa de simetrie a lui $x^{2} + b x + 1$ este $x = 2$ ?