Poligonul frecvențelor și al frecvențelor cumulate (M2, științe ale naturii)

Un ecolog vrea să compare crevetele de apă dulce din două bălți, măsurate în aceeași săptămână. Două histograme puse una peste alta se acoperă și nu se mai citesc; două linii frânte, în schimb, stau liniștite pe același grafic. Linia frântă care unește mijloacele laturilor de sus ale unei histograme se numește poligonul frecvențelor, iar sora ei, care urcă de la zero până la numărul total de date, este poligonul frecvențelor cumulate. Lecția face parte din programa de clasa a 10-a la profilul științe ale naturii (M2), capitolul de statistică. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”, unde programa numește explicit poligonul frecvențelor și al frecvențelor cumulate. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține reprezentarea grafică a datelor statistice, fără să numească poligonul; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are, la Subiectul I, nicio cerință de statistică.

Pornim de la ce ai construit în lecția despre gruparea datelor pe clase și histogramă: clase de aceeași lățime, frecvențe, centrele claselor. Poligonul nu aduce date noi; aduce un alt fel de a le privi și, mai ales, un fel de a citi valori dintre capetele claselor.

Ce vei învăța

• Vei ști să construiești poligonul frecvențelor din vârfurile așezate deasupra centrelor claselor și să-l închizi corect pe axă.
• Vei ști de ce aria de sub poligon este egală cu aria histogramei și ce înseamnă asta pentru un desen corect.
• Vei ști să compari două loturi de mărimi diferite cu poligoanele frecvențelor relative.
• Vei ști să desenezi poligonul frecvențelor cumulate și să explici de ce vârfurile lui stau la sfârșitul fiecărei clase.
• Vei ști să estimezi, prin interpolare liniară, câte date se află sub o valoare aflată în interiorul unei clase.
• Vei ști să citești panta unui segment al poligonului cumulat ca măsură a aglomerării datelor.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este poligonul frecvențelor?

Lungimea a cincizeci de crevete de apă dulce, măsurată în milimetri, a fost grupată pe clase de lățime $4$ mm:

Poligonul frecvențelor este linia frântă care unește, în ordine, punctele care au ca abscisă centrul unei clase și ca ordonată frecvența acelei clase, completată la capete cu câte un punct pe axa orizontală, aflat în centrul unei clase fictive de frecvență $0$, alipite primei, respectiv ultimei clase.

Vârfurile sunt aici $(12;3)$, $(16;9)$, $(20;17)$, $(24;14)$ și $(28;7)$. Clasa fictivă din stânga ar fi $[6,10)$, cu centrul $8$, iar cea din dreapta $[30,34)$, cu centrul $32$; poligonul pornește din $(8;0)$ și se întoarce pe axă în $(32;0)$. Aceste două puncte nu sunt măsurători: sunt o convenție de desen, care spune că dincolo de clasele reale nu mai există date.

În practică, peste o histogramă deja desenată, marchezi mijlocul fiecărei laturi de sus, le legi prin segmente, apoi cobori la fiecare capăt până la axă, la o jumătate de clasă distanță.

2. De ce se închide poligonul pe axă?

Privește segmentul care unește vârful clasei $[14,18)$ cu vârful clasei $[18,22)$. El traversează granița $x=18$ la o înălțime aflată la jumătatea drumului dintre $9$ și $17$. În stânga graniței, segmentul adaugă deasupra dreptunghiului mai scund un triunghi dreptunghic; în dreapta ei, taie din dreptunghiul mai înalt un alt triunghi dreptunghic. Cele două triunghiuri au o catetă de o jumătate de clasă și cealaltă de jumătate din diferența frecvențelor, deci sunt congruente: cât se adaugă într-o parte, atâta se taie în cealaltă.

Același joc se petrece la fiecare graniță, iar la capete se petrece datorită închiderii: segmentul care coboară de la $(12;3)$ la $(8;0)$ taie din primul dreptunghi exact triunghiul pe care îl adaugă în afara lui. Concluzia: aria de sub poligonul frecvențelor este egală cu aria histogramei, adică lățimea clasei înmulțită cu numărul datelor,

$$4\cdot 50=200.$$

Dacă ai închide poligonul direct în capetele claselor reale, $10$ și $30$, ai pierde o parte din arie, iar desenul ar spune, fals, că datele de la margini sunt mai puține decât sunt.

3. La ce folosește poligonul, dacă avem histograma?

Avantajul lui e suprapunerea. Pe același reper poți desena poligoanele a două sau trei seturi, cu culori diferite, iar liniile nu se ascund una pe alta, cum s-ar întâmpla cu dreptunghiurile. Condiția de bază este ca seturile să folosească aceleași clase.

Când seturile au mărimi diferite, frecvențele absolute nu se mai pot compara: o baltă cu $200$ de crevete măsurate ar avea aproape peste tot linii mai înalte decât una cu $50$, chiar dacă crevetele ar fi exact la fel. Soluția este să desenezi poligonul frecvențelor relative, cu ordonatele $f_i=\frac{n_i}{n}$, ca în lecția despre frecvențe relative și procente. Toate poligoanele relative au aceeași arie, lățimea clasei, iar comparația devine una a formelor.

4. Poligonul frecvențelor cumulate

Frecvența cumulată a unei clase este numărul datelor mai mici decât capătul ei din dreapta, construită ca în lecția despre frecvențe cumulate. La crevete, cumulatele sunt $3$, $12$, $29$, $43$ și $50$.

Poligonul frecvențelor cumulate este linia frântă care pornește din punctul format de capătul stâng al primei clase și $0$, apoi unește punctele care au ca abscisă capătul din dreapta al fiecărei clase și ca ordonată frecvența cumulată corespunzătoare.

Vârfurile sunt $(10;0)$, $(14;3)$, $(18;12)$, $(22;29)$, $(26;43)$ și $(30;50)$. Motivul pentru care vârfurile stau în capetele din dreapta este simplu: abia la $18$ mm poți spune că $12$ crevete sunt mai scurte decât această valoare, pentru că abia acolo s-a încheiat clasa $[14,18)$.

Linia nu coboară niciodată, pentru că la fiecare pas se adaugă o frecvență, iar frecvențele nu sunt negative. Ea se termină la numărul total al datelor.

5. Cum citești o valoare dintre două vârfuri?

Câte crevete au sub $20$ mm? Valoarea $20$ e în interiorul clasei $[18,22)$, iar tabelul nu spune cum sunt așezate cele $17$ crevete ale ei. Poligonul cumulat face o presupunere rezonabilă: în interiorul clasei, datele sunt răspândite uniform. Atunci pe segmentul de la $(18;12)$ la $(22;29)$ cumulata crește proporțional cu distanța parcursă: la jumătatea clasei s-a adăugat jumătate din frecvența ei,

$$12+17\cdot \frac{20-18}{22-18}=12+8,5=20,5.$$

Rezultatul se spune ca o estimare: „aproximativ $20$ sau $21$ de crevete”. Numărul exact se află doar din datele brute. Calculul de mai sus e ecuația dreptei printr-un punct, cu panta pe care o cunoști din lecția despre panta unei drepte ca raport: pornești din vârful din stânga și urci cu panta segmentului înmulțită cu distanța.

6. Ce spune panta unui segment al poligonului cumulat?

Segmentul de deasupra clasei $[a,b)$ urcă cu frecvența clasei pe lățimea ei, deci panta lui este

$$\frac{n_i}{b-a},$$

adică exact densitatea clasei. La crevete, pantele sunt $\frac{3}{4}=0,75$, $\frac{9}{4}=2,25$, $\frac{17}{4}=4,25$, $\frac{14}{4}=3,5$ și $\frac{7}{4}=1,75$ crevete pe milimetru. Cel mai abrupt segment arată unde se înghesuie datele, iar porțiunile aproape orizontale arată intervalele în care aproape nu există date. Așa poți citi forma distribuției chiar de pe poligonul cumulat, fără histogramă.

7. Poligonul cumulat în procente

Dacă împarți fiecare cumulată la numărul datelor, obții frecvențele relative cumulate; pentru crevete: $6\%$, $24\%$, $58\%$, $86\%$ și $100\%$. Poligonul desenat cu aceste ordonate are aceeași formă, doar scara verticală se schimbă, iar linia se termină întotdeauna la $100\%$. Varianta în procente e cea potrivită când compari două loturi de mărimi diferite: citești direct „ce parte din lot are sub o anumită valoare”.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Vârfurile celor două poligoane

Diametrul, în milimetri, a $40$ de cireșe a fost grupat astfel: $[20,23)$ — $4$, $[23,26)$ — $13$, $[26,29)$ — $15$, $[29,32)$ — $8$. a) Scrie vârfurile poligonului frecvențelor, inclusiv punctele de închidere. b) Scrie vârfurile poligonului frecvențelor cumulate.

Rezolvare. a) Clasele au lățimea $3$ mm, iar centrele sunt $21,5$; $24,5$; $27,5$; $30,5$. Vârfurile sunt $(21,5;4)$, $(24,5;13)$, $(27,5;15)$, $(30,5;8)$. Clasele fictive sunt $[17,20)$ și $[32,35)$, cu centrele $18,5$ și $33,5$, deci poligonul se închide în $(18,5;0)$ și $(33,5;0)$.

b) Cumulatele sunt $4$, $17$, $32$ și $40$. Vârfurile, în capetele din dreapta: $(20;0)$, $(23;4)$, $(26;17)$, $(29;32)$, $(32;40)$. Ultimul vârf are ordonata $40$, numărul cireșelor.

Exemplul 2 — Citește poligonul

Înălțimea, în centimetri, a unor tulpini de coada-calului măsurate pe un taluz umed este dată de poligonul frecvențelor de mai jos. a) Care sunt clasele și frecvențele lor? b) Câte tulpini au fost măsurate? c) Ce procent dintre ele au înălțimea de cel puțin $24$ cm?

Rezolvare. a) Vârfurile sunt deasupra centrelor, așezate din $4$ în $4$ cm, deci clasele au lățimea $4$ cm; fiecare centru e la jumătatea clasei sale: $[12,16)$, $[16,20)$, $[20,24)$, $[24,28)$, $[28,32)$, cu frecvențele $4$, $10$, $13$, $7$ și $2$. Punctele de pe axă, $10$ și $34$, sunt centrele claselor fictive și nu aduc date.

b) $4+10+13+7+2=36$ de tulpini.

c) Cel puțin $24$ cm înseamnă ultimele două clase: $7+2=9$ tulpini, adică

$$\frac{9}{36}=0,25=25\%.$$

Exemplul 3 — Două loturi de orz

Într-un experiment de fertilizare, s-a măsurat înălțimea plantelor de orz din două loturi, pe aceleași clase: lotul fertilizat, cu $60$ de plante, are frecvențele $6$, $15$, $24$, $15$, iar lotul martor, cu $40$ de plante, are frecvențele $8$, $18$, $10$, $4$, pe clasele $[40,50)$, $[50,60)$, $[60,70)$ și $[70,80)$ cm. a) Calculează frecvențele relative ale fiecărui lot. b) Ce procent din fiecare lot are cel puțin $60$ cm? Formulează o concluzie.

Rezolvare. a) Loturile au mărimi diferite, deci le comparăm prin frecvențele relative. Lotul fertilizat: $\frac{6}{60}=10\%$, $\frac{15}{60}=25\%$, $\frac{24}{60}=40\%$, $\frac{15}{60}=25\%$. Lotul martor: $\frac{8}{40}=20\%$, $\frac{18}{40}=45\%$, $\frac{10}{40}=25\%$, $\frac{4}{40}=10\%$.

b) Lotul fertilizat: $40\%+25\%=65\%$ dintre plante au cel puțin $60$ cm. Lotul martor: $25\%+10\%=35\%$. Poligonul lotului fertilizat e deplasat spre dreapta, cu vârful o clasă mai sus. Concluzia corectă descrie ce s-a observat în aceste două loturi: plantele fertilizate au fost, în ansamblu, mai înalte. Pentru a spune că fertilizarea e cauza, experimentul trebuie să fi avut loturi comparabile în rest (același sol, aceeași lumină, aceeași udare).

Exemplul 4 — Găsește greșeala: poligonul închis prea devreme

Lungimea a $30$ de știuleți de porumb a fost grupată în clasele $[12,16)$ — $4$, $[16,20)$ — $11$, $[20,24)$ — $10$, $[24,28)$ — $5$, în centimetri. Un elev a desenat poligonul frecvențelor pornind din $(12;0)$ și terminând în $(28;0)$. Arată, calculând arii, de ce desenul lui nu e corect.

Rezolvare. Aria histogramei este lățimea clasei înmulțită cu numărul datelor: $4\cdot 30=120$. Poligonul elevului are vârfurile $(12;0)$, $(14;4)$, $(18;11)$, $(22;10)$, $(26;5)$, $(28;0)$; aria de sub el se împarte în trapeze și două triunghiuri:

$$\frac{4\cdot 2}{2}+\frac{(4+11)\cdot 4}{2}+\frac{(11+10)\cdot 4}{2}+\frac{(10+5)\cdot 4}{2}+\frac{5\cdot 2}{2}=4+30+42+30+5=111.$$

Lipsesc $9$ unități de arie. Închiderea corectă se face în centrele claselor fictive, $10$ și $30$; atunci triunghiurile de la capete au bazele de $4$ cm, cu ariile $\frac{4\cdot 4}{2}=8$ și $\frac{5\cdot 4}{2}=10$, iar aria devine $8+30+42+30+10=120$, exact aria histogramei.

Exemplul 5 — O estimare pe poligonul cumulat

Masa, în grame, a $80$ de fructe de kiwi dintr-o livadă a fost grupată în clasele $[70,75)$ — $8$, $[75,80)$ — $22$, $[80,85)$ — $30$, $[85,90)$ — $16$, $[90,95)$ — $4$. Estimează câte fructe au masa sub $82$ g și ce procent din recoltă reprezintă.

Rezolvare. Cumulatele sunt $8$, $30$, $60$, $76$ și $80$, deci poligonul cumulat trece prin $(80;30)$ și $(85;60)$. Valoarea $82$ se află pe acest segment, la două cincimi din lățimea clasei $[80,85)$:

$$30+30\cdot \frac{82-80}{85-80}=30+12=42.$$

Estimăm aproximativ $42$ de fructe sub $82$ g, adică $\frac{42}{80}=52,5\%$ din recoltă. Estimarea se bazează pe presupunerea că în clasa $[80,85)$ masele sunt răspândite uniform; cu datele brute s-ar putea obține numărul exact.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Prețul unei cărți a fost înregistrat în $30$ de librării, iar datele au fost grupate pe clase de lățime $10$ lei, începând de la $10$ lei. Poligonul frecvențelor are vârfurile $(15;3)$, $(25;8)$, $(35;12)$, $(45;5)$ și $(55;2)$. a) Determinați procentul librăriilor în care prețul este mai mic decât $30$ de lei. b) Determinați procentul librăriilor în care prețul este în intervalul $[30,40)$ lei.

Rezolvare. Vârfurile stau deasupra centrelor, deci clasele sunt $[10,20)$, $[20,30)$, $[30,40)$, $[40,50)$, $[50,60)$, cu frecvențele $3$, $8$, $12$, $5$ și $2$; suma lor este $30$, câte librării au fost.

a) Sub $30$ de lei: $3+8=11$ librării, adică $\frac{11}{30}\approx 36,67\%$.

b) Clasa $[30,40)$ are $12$ librării: $\frac{12}{30}=0,4=40\%$.

Contextul este financiar, ca în nota programei de examen pentru acest capitol, iar cerința e scurtă, cu calcul direct. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu conține o cerință de statistică, deci exemplul e un antrenament pe tema din programă.

Să exersăm

La fiecare poligon al frecvențelor verifică dacă vârfurile stau deasupra centrelor și dacă linia se închide în centrele claselor fictive; la fiecare poligon cumulat, dacă linia pornește de la $0$ și se termină la numărul datelor.

1. Pentru clasele $[4,8)$, $[8,12)$ și $[12,16)$, scrie abscisele vârfurilor poligonului frecvențelor și abscisele punctelor de închidere.

2. Un tabel are clasele $[30,40)$, $[40,50)$, $[50,60)$, cu frecvențele $6$, $10$ și $4$. Scrie toate punctele poligonului frecvențelor, inclusiv cele de pe axă.

3. Un tabel are clasele $[5,10)$, $[10,15)$, $[15,20)$, $[20,25)$, cu frecvențele $2$, $7$, $9$ și $2$. Scrie vârfurile poligonului frecvențelor cumulate.

4. Poligonul frecvențelor cumulate al unui set trece prin punctele $(40;0)$, $(45;6)$, $(50;15)$, $(55;27)$, $(60;33)$ și $(65;36)$. Determină frecvențele absolute ale claselor și numărul datelor.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru un set grupat pe clase de lățime $5$, cu frecvențele $1$, $8$, $7$ și $4$, aria cuprinsă între poligonul frecvențelor și axa orizontală este $100$.”

6. Poligonul frecvențelor cumulate al unui set trece prin $(20;0)$, $(30;8)$, $(40;22)$, $(50;34)$ și $(60;40)$. Care este frecvența clasei $[30,40)$? Ce parte din date, în procente, are valori de cel puțin $40$?

7. Masa, în grame, a $40$ de portocale este descrisă de poligonul cumulat cu vârfurile $(140;0)$, $(160;5)$, $(180;17)$, $(200;30)$, $(220;36)$, $(240;40)$. Estimează câte portocale au masa sub $190$ g.

8. Înălțimea plantelor de mușețel din două grădini a fost grupată pe aceleași patru clase. Grădina A are $25$ de plante, cu frecvențele $5$, $10$, $7$, $3$; grădina B are $50$ de plante, cu frecvențele $6$, $14$, $20$, $10$. Calculează frecvențele relative și spune în care grădină ultimele două clase cuprind o parte mai mare din plante.

9. (Problemă aplicată.) Nivelul de zgomot a fost măsurat în $40$ de puncte ale unui oraș, iar valorile, în decibeli, au fost grupate astfel: $[40,50)$ — $4$, $[50,60)$ — $11$, $[60,70)$ — $15$, $[70,80)$ — $8$, $[80,90)$ — $2$. a) Scrie vârfurile poligonului frecvențelor. b) Scrie vârfurile poligonului cumulat. c) În ce procent din puncte zgomotul este de cel puțin $70$ dB?

10. Un set este grupat pe trei clase de lățime $2$, iar aria cuprinsă între poligonul frecvențelor și axa orizontală este $36$. Câte date are setul? Dacă primele două clase au frecvențele $5$ și $9$, care este frecvența celei de-a treia?

11. Poligonul cumulat al unui set trece prin $(50;0)$, $(60;14)$, $(70;40)$, $(80;52)$ și $(90;60)$. Calculează panta fiecărui segment. În ce clasă se află cele mai dese date?

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Un set de date grupat pe clase de lățime $5$ are poligonul frecvențelor cu vârfurile $(12,5;4)$, $(17,5;9)$, $(22,5;5)$ și $(27,5;2)$. Determinați numărul datelor și procentul datelor care sunt cel puțin egale cu $20$.

13. Vârfurile unui poligon al frecvențelor au abscisele $7$, $11$, $15$ și $19$. Scrie clasele și abscisele punctelor de închidere.

14. Un set de $25$ de date are, pe cinci clase consecutive, frecvențele $3$, $7$, $8$, $4$ și $3$. Calculează ordonatele poligonului cumulat în procente.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se dă poligonul cumulat al unor date, cu vârfurile $(10;0)$, $(20;4)$, $(30;15)$, $(40;23)$ și $(50;25)$. Determinați numărul datelor și procentul datelor mai mici decât $30$.

16. Un poligon al frecvențelor relative are, pe patru clase, ordonatele $0,1$; $0,3$; $x$; $0,2$. Determină $x$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Poligonul cumulat al unui set de $60$ de date trece prin punctele $(50;18)$ și $(60;42)$, consecutive. Estimați câte date se află în intervalul $[50,55)$.

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice set grupat pe $k$ clase de aceeași lățime $h$, cu frecvențele $n_1,n_2,\dots ,n_k$, aria de sub poligonul frecvențelor, închis în centrele claselor fictive, este $h\cdot (n_1+n_2+\dots +n_k)$.

Răspunsuri și explicații

1. Centrele sunt $6$, $10$ și $14$. Clasele fictive sunt $[0,4)$ și $[16,20)$, deci punctele de închidere au abscisele $2$ și $18$.

2. Centrele sunt $35$, $45$, $55$, deci vârfurile sunt $(35;6)$, $(45;10)$, $(55;4)$. Poligonul se închide în $(25;0)$ și $(65;0)$.

3. Cumulatele sunt $2$, $9$, $18$ și $20$. Vârfurile: $(5;0)$, $(10;2)$, $(15;9)$, $(20;18)$, $(25;20)$.

4. Frecvențele sunt diferențele cumulatelor consecutive: $6$, $15-6=9$, $27-15=12$, $33-27=6$ și $36-33=3$. Setul are $36$ de date, ordonata ultimului vârf.

5. Adevărat. Aria de sub poligon este egală cu aria histogramei, adică lățimea clasei înmulțită cu numărul datelor. Setul are $1+8+7+4=20$ de date, deci aria este $5\cdot 20=100$.

6. Frecvența clasei $[30,40)$ este $22-8=14$. Setul are $40$ de date, iar sub $40$ se află $22$, deci cel puțin egale cu $40$ sunt $40-22=18$, adică $\frac{18}{40}=45\%$.

7. Valoarea $190$ e la mijlocul segmentului dintre $(180;17)$ și $(200;30)$: $17+13\cdot \frac{190-180}{200-180}=17+6,5=23,5$. Estimăm aproximativ $23$ sau $24$ de portocale sub $190$ g.

8. Grădina A: $\frac{5}{25}=20\%$, $\frac{10}{25}=40\%$, $\frac{7}{25}=28\%$, $\frac{3}{25}=12\%$. Grădina B: $\frac{6}{50}=12\%$, $\frac{14}{50}=28\%$, $\frac{20}{50}=40\%$, $\frac{10}{50}=20\%$. Ultimele două clase cuprind $28\%+12\%=40\%$ din grădina A și $40\%+20\%=60\%$ din grădina B, deci grădina B are o parte mai mare de plante înalte, deși frecvențele absolute nu se puteau compara direct.

9. a) Vârfurile: $(45;4)$, $(55;11)$, $(65;15)$, $(75;8)$, $(85;2)$, cu închiderea în $(35;0)$ și $(95;0)$. b) Cumulatele sunt $4$, $15$, $30$, $38$, $40$, deci vârfurile sunt $(40;0)$, $(50;4)$, $(60;15)$, $(70;30)$, $(80;38)$, $(90;40)$. c) De cel puțin $70$ dB sunt $8+2=10$ puncte, adică $\frac{10}{40}=25\%$. Scara decibelilor e logaritmică, deci o diferență de $10$ dB între două clase nu înseamnă un zgomot „cu atât mai mare”, ci o intensitate a sunetului de zece ori mai mare.

10. Aria de sub poligon este aria histogramei, adică lățimea clasei înmulțită cu numărul datelor: $2n=36$, deci setul are $n=18$ date. A treia clasă are $18-5-9=4$ date.

11. Frecvențele claselor sunt $14$, $26$, $12$ și $8$, iar lățimea $10$, deci pantele sunt $\frac{14}{10}=1,4$, $\frac{26}{10}=2,6$, $\frac{12}{10}=1,2$ și $\frac{8}{10}=0,8$. Cel mai abrupt segment e deasupra clasei $[60,70)$: acolo datele sunt cele mai dese.

12. Clasele sunt $[10,15)$, $[15,20)$, $[20,25)$, $[25,30)$, cu frecvențele $4$, $9$, $5$, $2$; numărul datelor este $20$. Cel puțin egale cu $20$ sunt $5+2=7$ date, adică $\frac{7}{20}=35\%$.

13. Distanța dintre centre, $4$, este lățimea claselor. Clasele sunt $[5,9)$, $[9,13)$, $[13,17)$ și $[17,21)$, iar punctele de închidere au abscisele $3$ și $23$.

14. Cumulatele sunt $3$, $10$, $18$, $22$, $25$; împărțite la $25$, dau $12\%$, $40\%$, $72\%$, $88\%$ și $100\%$.

15. Numărul datelor este ultima cumulată, $25$. Sub $30$ se află $15$ date, adică $\frac{15}{25}=60\%$.

16. Suma frecvențelor relative este $1$: $0,1+0,3+x+0,2=1$, deci $x=0,4$.

17. Clasa $[50,60)$ are $42-18=24$ de date. Presupunând că ele sunt răspândite uniform în clasă, la $55$ cumulata este $18+24\cdot \frac{55-50}{60-50}=18+12=30$, deci în $[50,55)$ sunt aproximativ $30-18=12$ date.

18. Poligonul are vârfurile $(c_0;0)$, $(c_1;n_1)$, …, $(c_k;n_k)$, $(c_{k+1};0)$, cu centrele consecutive la distanța $h$. Aria de sub el este suma a $k+1$ trapeze de înălțime $h$: $\frac{h}{2}\left[(0+n_1)+(n_1+n_2)+\dots +(n_k+0)\right]$. În paranteză fiecare frecvență apare de două ori, deci aria este $\frac{h}{2}\cdot 2(n_1+\dots +n_k)=h(n_1+\dots +n_k)$, adică aria histogramei.

De reținut

• Vârfurile poligonului frecvențelor stau deasupra centrelor claselor, la înălțimea frecvenței; linia se închide pe axă în centrele a două clase fictive, alipite la capete.
• Aria de sub poligonul frecvențelor este egală cu aria histogramei: lățimea clasei înmulțită cu numărul datelor.
• Loturile de mărimi diferite se compară prin poligoanele frecvențelor relative, desenate pe aceleași clase.
• Vârfurile poligonului cumulat stau în capetele din dreapta ale claselor; linia pornește de la $0$, nu coboară niciodată și se termină la numărul datelor (sau la $100\%$).
• O valoare din interiorul unei clase se estimează prin interpolare liniară pe segmentul poligonului cumulat; panta segmentului este densitatea clasei.

Greșeli frecvente

• Poligonul închis în capetele claselor reale. Închis în $12$ și $28$ în loc de $10$ și $30$, poligonul știuleților pierde $9$ unități de arie și subestimează datele de la margini. Închiderea se face la o jumătate de clasă în afara claselor.
• „Câte date sunt sub $x$?” citit pe poligonul frecvențelor. Înălțimea poligonului simplu deasupra lui $x$ nu numără datele de sub $x$; ea arată cât de dese sunt datele în jurul lui $x$. Pentru o întrebare de tipul „sub” sau „peste” se folosește poligonul cumulat.
• Ordonata unui vârf cumulat luată drept frecvența clasei. Pe poligonul cumulat al crevetelor, vârful de la $22$ mm are ordonata $29$, dar clasa $[18,22)$ are $29-12=17$ crevete. Frecvența unei clase este diferența dintre două ordonate vecine.
• Loturi comparate pe clase diferite. Două poligoane desenate unul pe clase de $5$ cm, altul pe clase de $10$ cm nu se pot compara punct cu punct, chiar dacă folosesc frecvențe relative: ariile și înălțimile nu mai au aceeași semnificație.
• Concluzia cauzală trasă din două poligoane. Faptul că poligonul lotului fertilizat e mai la dreapta descrie loturile măsurate; că fertilizarea e cauza reiese doar dintr-un experiment cu loturi comparabile în rest.

Aplică acasă

1. Curba de germinare. Pune la încolțit $40$ de semințe de fasole sau de linte, pe vată umedă, și notează de două ori pe zi câte au încolțit. Desenează poligonul cumulat al semințelor încolțite; biologii numesc această linie curba de germinare. Estimează din desen câte semințe încolțiseră la jumătatea zilei a patra și compară cu notițele tale.

2. Cel mai abrupt segment. Ia temperaturile maxime zilnice ale unei luni, publicate de Administrația Națională de Meteorologie, grupează-le pe clase de $2$ grade și desenează poligonul cumulat. Marchează segmentul cel mai abrupt și scrie în ce interval de temperaturi au stat cele mai multe zile.

3. Două caserole de ouă. Cântărește, pe cântarul de bucătărie, ouăle din două caserole de calibre diferite, M și L. Grupează masele pe aceleași clase de $2$ g și desenează, pe același reper, poligoanele frecvențelor relative ale celor două caserole. Se suprapun cele două linii? În dreptul cărei mase trece granița dintre calibre?

Pentru părinți și profesori

Lecția folosește tabelul pe clase din lecția precedentă ca să construiască două linii frânte: poligonul frecvențelor, pentru forme și comparații, și poligonul cumulat, pentru estimări. Accentul cade pe convențiile de desen justificate (închiderea la o jumătate de clasă, argumentată prin arii egale; vârfurile cumulate în capetele din dreapta) și pe onestitatea unei estimări: interpolarea presupune date răspândite uniform în clasă și se raportează ca aproximare.

Întrebări utile la clasă: „Ce arie are poligonul, fără să-l desenezi?”; „Unde e cel mai abrupt segment al poligonului cumulat și ce înseamnă?”; „De ce folosim frecvențe relative când loturile diferă?”. Semn că elevul a înțeles: spune „aproximativ” înaintea oricărei valori citite între vârfuri și verifică singur că poligonul cumulat se termină la numărul datelor. O lecție dintr-o clasă anterioară este poligonul frecvențelor de la gimnaziu, iar pasul următor este media aritmetică și media ponderată; exercițiile de recapitulare sunt în testul de statistică M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: poligonul frecvențelor și al frecvențelor cumulate, mate-info (M1).

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul „Statistică și probabilități” numește explicit „poligonul frecvențelor/frecvențelor cumulate”, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține, în capitolul „Matematici financiare” al clasei a X-a, „reprezentarea grafică a datelor statistice”, fără să numească poligonul, iar nota capitolului cere ca aplicațiile să fie din domeniul financiar. De aceea exercițiile marcate aici „tip Bacalaureat M2” au date pur numerice sau prețuri. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I nu conține nicio cerință de statistică, așa că aceste exerciții sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Întrebări frecvente

Ce diferență este între poligonul frecvențelor de la M2 și cel de la mate-info (M1)? Construcția este aceeași, dar lecția de la științe ale naturii insistă pe ce faci cu poligoanele într-un studiu: compari loturi experimentale prin frecvențe relative, justifici închiderea prin arii egale și estimezi prin interpolare valori dintre capetele claselor. Exemplele vin din biologie și din măsurători de teren.

La ce subiect apare poligonul frecvențelor la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 cere reprezentarea grafică a datelor statistice, fără să numească poligonul, iar modelul oficial publicat pentru 2026 nu are nicio cerință de statistică. La proba MAT_P2 din 2030, programa numește poligonul frecvențelor și al frecvențelor cumulate în domeniul „Date, statistică matematică și probabilități”, dar un model de subiect nu a fost încă publicat.

De ce este aria de sub poligon egală cu aria histogramei? Fiecare segment al poligonului trece peste o graniță dintre clase: taie un triunghi din dreptunghiul mai înalt și adaugă un triunghi congruent peste cel mai scund. La capete, închiderea în centrele claselor fictive face același schimb. Pierderile și câștigurile se anulează, deci ariile sunt egale.

Pot desena un poligon cumulat care coboară? Da, dacă numeri datele cel puțin egale cu fiecare capăt, adică frecvențele cumulate descrescător din lecția despre frecvențe cumulate. Vârfurile stau atunci în capetele din stânga ale claselor: linia pornește de la numărul datelor și coboară până la $0$. La crevete, ea trece prin $(10;50)$, $(14;47)$, $(18;38)$, $(22;21)$, $(26;7)$ și $(30;0)$.

Ce arată un poligon cumulat aproape orizontal pe o porțiune? Arată că în acel interval aproape nu există date: cumulata abia crește de la un capăt la altul. Panta segmentului e numărul de date pe unitatea de măsură, adică densitatea clasei. Un segment abrupt marchează, dimpotrivă, intervalul în care datele se adună cel mai mult.

Pot desena poligoanele într-o foaie de calcul? Da. Pui centrele claselor într-o coloană, frecvențele (sau frecvențele relative) în alta și alegi un grafic cu linii și puncte, adăugând manual punctele de închidere cu frecvența zero. Pentru poligonul cumulat folosești capetele din dreapta și coloana cumulatelor, pornind de la zero.