Acasă · Lecții · clasa a X-a · Poligonul frecvențelor și al frecvențelor cumulate

Poligonul frecvențelor și al frecvențelor cumulate

Am rămas, în lecția trecută, cu histograma timpilor de navetă ai celor $40$ de elevi din clasa a X-a B. Diriginta e mulțumită, dar acum vrea altceva: să compare clasa ei cu clasa a X-a C, ca să vadă care dintre ele ar avea mai mult de câștigat dacă prima oră ar începe mai târziu. Încearcă să suprapună cele două histograme și obține un talmeș-balmeș de dreptunghiuri suprapuse din care nu se înțelege nimic. Dreptunghiurile sunt excelente pentru un set de date și dezastruoase pentru două.

Soluția e simplă și veche: în loc de dreptunghiuri, o linie frântă. Unești vârfurile histogramei și obții poligonul frecvențelor — o siluetă subțire, care poate fi suprapusă peste altă siluetă fără să o ascundă. Iar dacă, în loc de frecvențele obișnuite, folosești frecvențele cumulate de la Frecvențe cumulate, obții a doua diagramă a lecției, poligonul frecvențelor cumulate, din care poți citi dintr-o privire răspunsul la întrebări de tipul „câți elevi ajung la școală în cel mult $25$ de minute?". Sunt două grafice cu construcție asemănătoare, dar cu roluri complet diferite — iar confundarea lor e greșeala clasică a capitolului.

Ce vei învăța

Vei ști să construiești poligonul frecvențelor pornind de la un tabel de frecvențe pe clase, folosind centrele claselor.
Vei ști să închizi corect poligonul la ambele capete, cu ajutorul claselor fictive de frecvență zero.
Vei ști să construiești poligonul frecvențelor cumulate, punând punctele la capetele din dreapta ale claselor.
Vei ști să citești de pe cele două poligoane: clasa modală, forma distribuției, câte date sunt sub o valoare dată, procente.
Vei ști să compari două seturi de date suprapunând poligoanele lor și să formulezi o concluzie în cuvinte.
Vei ști să explici de ce poligonul cumulat este mereu crescător, iar cel obișnuit nu.

Hai să descoperim împreună

1. De la histogramă la poligonul frecvențelor

Reluăm tabelul de la Gruparea datelor pe clase. Histograma:

Clasa (minute)	$[0, 10)$	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$	Total
Centrul $c_{i}$	$5$	$15$	$25$	$35$	$45$	—
Frecvența $n_{i}$	$6$	$11$	$13$	$7$	$3$	$40$
Frecvența cumulată	$6$	$17$	$30$	$37$	$40$	—

Construcția poligonului frecvențelor, în trei pași:

Pentru fiecare clasă, marchezi punctul de coordonate $(c_{i}; n_{i})$ — adică centrul clasei pe orizontală și frecvența clasei pe verticală. Aici: $(5; 6)$ , $(15; 11)$ , $(25; 13)$ , $(35; 7)$ , $(45; 3)$ .
Unești punctele consecutive prin segmente.
Închizi linia frântă la ambele capete, coborând-o până la axa orizontală.

Dacă ai desenat mai întâi histograma, punctele sunt exact mijloacele laturilor de sus ale dreptunghiurilor. De aceea poligonul frecvențelor și histograma spun exact același lucru; diferă doar felul în care îl spun.

✏️Ilustrație: histograma timpilor de navetă (dreptunghiuri lipite de înălțimi 6, 11, 13, 7, 3) desenată cu linie subțire gri, peste care este trasat cu roșu poligonul frecvențelor care unește punctele (5; 6), (15; 11), (25; 13), (35; 7), (45; 3), coborât la zero la ambele capete

2. De ce se închide poligonul și cum

Dacă am lăsa linia frântă să înceapă „în aer", la înălțimea $6$ , graficul ar sugera că sub $5$ minute datele continuă la nesfârșit. De aceea se adaugă, la fiecare capăt, câte o clasă fictivă, de aceeași lățime și cu frecvența $0$ : aici $[- 10, 0)$ , cu centrul $- 5$ , și $[50, 60)$ , cu centrul $55$ . Linia coboară până la punctele $(- 5; 0)$ și $(55; 0)$ .

Punctul $(- 5; 0)$ nu are, evident, sens fizic: nimeni nu face $- 5$ minute până la școală. Rolul lui este pur grafic — să arate că sub prima clasă nu mai există date. Când valorile negative ar fi deranjante, se acceptă și varianta în care linia coboară direct în punctul $(0; 0)$ , capătul din stânga al primei clase.

Un motiv matematic solid pentru închidere: aria cuprinsă între poligonul închis și axa orizontală este egală cu aria histogramei. Triunghiurile pe care linia le „taie" din fiecare dreptunghi sunt compensate exact de triunghiurile pe care le „adaugă" în afara lui. Poligonul nu inventează și nu pierde nimic.

3. Ce citim din poligonul frecvențelor

Vârful poligonului se află deasupra centrului clasei modale. Aici vârful e la $(25; 13)$ , deci clasa modală este $[20, 30)$ — la fel ca pe histogramă.

Forma. Poligonul urcă abrupt până la $25$ și coboară mai lent, cu o coadă lungă spre dreapta: distribuția este asimetrică la dreapta. O distribuție simetrică ar da un poligon aproximativ oglindit față de verticala vârfului.

Numărul de vârfuri. Un singur vârf înseamnă o populație omogenă. Două vârfuri („poligon bimodal") sunt un semnal că datele provin, de fapt, din două grupuri diferite amestecate — de exemplu, înălțimile fetelor și ale băieților măsurate împreună.

4. Poligonul frecvențelor cumulate

Aici schimbăm două lucruri deodată, iar amândouă contează.

Ce punem pe verticală: frecvențele cumulate crescător, adică $6$ , $17$ , $30$ , $37$ , $40$ .

Unde punem punctele pe orizontală: la capătul din dreapta al fiecărei clase, nu la centru. Motivul e logic: afirmația „ $17$ elevi" nu este adevărată pentru elevul „mediu" al clasei $[10, 20)$ , ci pentru toți elevii cu timpul strict mai mic decât $20$ . Frecvența cumulată a unei clase se realizează abia la capătul ei din dreapta.

Punctele sunt deci: $(0; 0)$ , $(10; 6)$ , $(20; 17)$ , $(30; 30)$ , $(40; 37)$ , $(50; 40)$ . Primul punct, $(0; 0)$ , exprimă faptul evident că sub valoarea minimă nu se află nicio dată. Unim punctele prin segmente și obținem o linie care urcă mereu, de la $0$ la $n = 40$ .

✏️Ilustrație: poligonul frecvențelor cumulate, o linie frântă mereu crescătoare prin punctele (0; 0), (10; 6), (20; 17), (30; 30), (40; 37), (50; 40); pe axa verticală, gradații din 5 în 5 până la 40; punctate cu linii întrerupte, citirea de la valoarea 20 de pe verticală până la aproximativ 22 de minute pe orizontală

De ce este mereu crescător? Pentru că frecvențele absolute sunt numere pozitive sau nule, iar fiecare frecvență cumulată se obține adunând încă una la precedenta. Un poligon cumulat care coboară undeva este sigur greșit — e cea mai rapidă verificare posibilă.

5. Citirea de pe poligonul cumulat

Aici stă toată utilitatea acestui grafic. Pornești de pe o axă, mergi orizontal sau vertical până la linie și cobori pe cealaltă axă.

„Câți elevi ajung în cel mult $30$ de minute?" Urci de la $30$ pe orizontală până la linie și citești pe verticală $30$ de elevi, adică $75%$ .

„Sub ce valoare se află jumătate dintre elevi?" Pornești de la $20$ pe verticală (jumătate din $40$ ), mergi orizontal până la linie și cobori: obții aproximativ $22$ de minute.

Atenție la cuvântul aproximativ: aceasta este o estimare grafică, obținută presupunând că datele sunt răspândite uniform în interiorul fiecărei clase — ceea ce, în realitate, nu se întâmplă niciodată exact. Valoarea exactă se obține doar din lista de date brute, ordonată, și este $21, 5$ minute; o vom calcula riguros în lecția Mediana unui set de date. Diferența dintre $22$ și $21, 5$ arată exact prețul grupării pe clase: câștigi o citire rapidă, pierzi puțină precizie.

Procentele. Dacă pe verticală trecem frecvențele cumulate relative, în procente ( $15%$ , $42, 5%$ , $75%$ , $92, 5%$ , $100%$ ), graficul se citește direct în procente și, în plus, poate fi comparat cu al unui set de date de altă mărime. Linia se termină întotdeauna la $100%$ .

6. Compararea a două seturi de date

Aceasta e problema de la care am pornit. Două clase, A și B, cu câte $25$ de elevi fiecare, sunt întrebate câte ore pe lună petrec învățând suplimentar la matematică:

Clasa (ore)	$[0, 10)$	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$	Total
Clasa A	$3$	$6$	$9$	$5$	$2$	$25$
Clasa B	$7$	$8$	$5$	$3$	$2$	$25$

Desenăm ambele poligoane pe același sistem de axe, cu culori diferite și cu legendă. Se vede imediat că vârful clasei A este deasupra centrului $25$ , iar al clasei B deasupra centrului $15$ : poligonul clasei A este deplasat spre dreapta, deci elevii ei învață, în general, mai mult. Cifrele confirmă: media pe date grupate este $23, 8$ ore la clasa A și $19$ ore la clasa B.

Două reguli fără de care comparația e falsă:

aceleași clase pentru ambele seturi (aceleași capete, aceeași lățime);
aceleași axe și aceeași scară; dacă seturile au efective diferite ( $25$ și $40$ , de exemplu), se compară poligoanele frecvențelor relative, nu ale celor absolute, altfel setul mai mare pare automat „mai mare".

✏️Ilustrație: două poligoane ale frecvențelor suprapuse pe același sistem de axe, unul albastru continuu (clasa A, vârf la 25) și unul portocaliu întrerupt (clasa B, vârf la 15), cu legendă în colțul din dreapta sus și axele etichetate „ore de studiu pe lună" și „număr de elevi"

Vom relua acest tip de analiză, cu toți indicatorii deodată, în lecția Compararea a două seturi de date.

7. Cu foaia de calcul

În Excel sau Google Sheets, poligonul se obține în câteva clicuri: pui într-o coloană centrele claselor, în alta frecvențele, selectezi ambele coloane și inserezi o diagramă cu linii (sau „linie cu marcaje"). Pentru poligonul cumulat, înlocuiești coloana frecvențelor cu cea a frecvențelor cumulate — pe care o obții cu o sumă parțială, de exemplu =SUM($B$2:B2) copiată în jos — și pui pe orizontală capetele din dreapta ale claselor. Pentru compararea a două seturi, adaugi pur și simplu o a treia coloană: programul va desena două linii pe același grafic.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Punctele poligonului

Pentru tabelul: clasele $[150, 155)$ , $[155, 160)$ , $[160, 165)$ , $[165, 170)$ , $[170, 175)$ , $[175, 180)$ (înălțimi, în cm, ale unor elevi) cu frecvențele $3, 7, 12, 10, 6, 2$ , scrieți coordonatele punctelor poligonului frecvențelor.

Rezolvare. Centrele claselor sunt mijloacele intervalelor: $152, 5$ ; $157, 5$ ; $162, 5$ ; $167, 5$ ; $172, 5$ ; $177, 5$ . Punctele sunt deci

$(152, 5; 3), (157, 5; 7), (162, 5; 12), (167, 5; 10), (172, 5; 6), (177, 5; 2) .$

Poligonul se închide în $(147, 5; 0)$ și $(182, 5; 0)$ , centrele claselor fictive $[145, 150)$ și $[180, 185)$ . Total: $3 + 7 + 12 + 10 + 6 + 2 = 40$ de elevi ✓.

Exemplul 2 — Punctele poligonului cumulat

Pentru același set, scrieți coordonatele punctelor poligonului frecvențelor cumulate.

Rezolvare. Frecvențele cumulate: $3$ ; $3 + 7 = 10$ ; $10 + 12 = 22$ ; $22 + 10 = 32$ ; $32 + 6 = 38$ ; $38 + 2 = 40$ . Punctele se pun la capetele din dreapta ale claselor, plus punctul de pornire:

$(150; 0), (155; 3), (160; 10), (165; 22), (170; 32), (175; 38), (180; 40) .$

Verificare: linia urcă mereu și se termină la $40$ , adică la numărul total de elevi ✓.

Exemplul 3 — Citirea unui procent

Pentru setul de la Exemplul 2, ce procent dintre elevi au sub $165$ cm? Dar peste $170$ cm?

Rezolvare. Sub $165$ cm: citim direct pe poligonul cumulat, în dreptul lui $165$ , valoarea $22$ . Procentul:

$\frac{22}{40} = 0, 55 = 55%.$

Peste $170$ cm: sub $170$ sunt $32$ de elevi, deci peste $170$ sunt $40 - 32 = 8$ elevi, adică $\frac{8}{40} = 0, 2 = 20%$ . Control: $55% + \frac{32 - 22}{40} + 20% = 55% + 25% + 20% = 100%$ ✓.

Exemplul 4 — Estimarea grafică a medianei

Punctajele a $50$ de elevi la un test sunt grupate astfel: $[0, 20)$ — $4$ elevi, $[20, 40)$ — $9$ , $[40, 60)$ — $17$ , $[60, 80)$ — $14$ , $[80, 100)$ — $6$ . Estimați de pe poligonul cumulat punctajul sub care se află jumătate dintre elevi.

Rezolvare. Frecvențele cumulate: $4$ , $13$ , $30$ , $44$ , $50$ . Punctele poligonului: $(0; 0)$ , $(20; 4)$ , $(40; 13)$ , $(60; 30)$ , $(80; 44)$ , $(100; 50)$ .

Jumătate din $50$ înseamnă $25$ . Pe verticală, valoarea $25$ se află între $13$ (la $40$ de puncte) și $30$ (la $60$ de puncte), deci citirea cade în clasa $[40, 60)$ , numită clasa mediană. Coborând de pe linie, obținem aproximativ $54$ de puncte.

Sublinierea de rigoare: este o estimare citită de pe grafic, nu valoarea exactă. Aceasta din urmă s-ar obține doar din cele $50$ de punctaje individuale, ordonate crescător.

Exemplul 5 — Comparație în cuvinte

Comparați cele două clase din tabelul de la punctul 6 și formulați o concluzie.

Rezolvare. Clasa A are vârful poligonului deasupra centrului $25$ , clasa B deasupra centrului $15$ . Frecvențele cumulate sunt: clasa A — $3$ , $9$ , $18$ , $23$ , $25$ ; clasa B — $7$ , $15$ , $20$ , $23$ , $25$ .

Citim la $20$ de ore: în clasa A doar $9$ elevi ( $36%$ ) învață sub $20$ de ore pe lună, în clasa B sunt $15$ elevi ( $60%$ ). Mediile pe date grupate confirmă: $23, 8$ ore la A, $19$ ore la B.

Concluzie: elevii clasei A alocă, în general, mai mult timp studiului suplimentar. Diferența este vizibilă mai ales la capătul de jos: clasa B are de peste două ori mai mulți elevi în prima clasă de timp ( $7$ față de $3$ ).

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Poligonul frecvențelor cumulate al unui set de date trece prin punctele $(0; 0)$ , $(10; 6)$ , $(20; 17)$ , $(30; 30)$ , $(40; 37)$ , $(50; 40)$ . a) Câte date are setul? b) Care sunt clasele și frecvențele lor absolute? c) Ce procent dintre date sunt cel puțin egale cu $20$ ? d) Care este clasa modală?

Rezolvare. a) Ultima valoare a frecvenței cumulate este numărul total de date: $n = 40$ . b) Clasele sunt $[0, 10)$ , $[10, 20)$ , $[20, 30)$ , $[30, 40)$ , $[40, 50)$ , iar frecvențele absolute se obțin prin scăderea frecvențelor cumulate consecutive:

$6; 17 - 6 = 11; 30 - 17 = 13; 37 - 30 = 7; 40 - 37 = 3.$

Verificare: $6 + 11 + 13 + 7 + 3 = 40$ ✓. c) Sub $20$ se află $17$ date, deci cel puțin $20$ sunt $40 - 17 = 23$ de date:

$\frac{23}{40} = 0, 575 = 57, 5%.$

d) Clasa modală este $[20, 30)$ , cu frecvența absolută maximă, $13$ .

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare poligon, verifică dacă suma frecvențelor absolute dă numărul total de date, iar la fiecare poligon cumulat, dacă linia urcă mereu.

1. Pentru clasele $[0, 4)$ , $[4, 8)$ , $[8, 12)$ , $[12, 16)$ , calculează centrele care se folosesc la poligonul frecvențelor.

2. Pentru un tabel cu clasele $[10, 20)$ , $[20, 30)$ , $[30, 40)$ și frecvențele $5$ , $9$ , $6$ , scrie coordonatele punctelor poligonului frecvențelor și pe cele ale punctelor de închidere.

3. Pentru același tabel, scrie coordonatele punctelor poligonului frecvențelor cumulate.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Punctele poligonului frecvențelor se marchează la capetele din dreapta ale claselor."

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Poligonul frecvențelor cumulate crescător nu poate coborî niciodată."

6. Un poligon cumulat trece prin $(150; 0)$ , $(155; 3)$ , $(160; 10)$ , $(165; 22)$ , $(170; 32)$ , $(175; 38)$ , $(180; 40)$ . Determină frecvențele absolute ale celor șase clase.

7. Pentru setul de la exercițiul precedent, ce procent dintre elevi au sub $160$ cm?

8. Pentru același set, câți elevi au între $165$ și $175$ cm? Ce procent reprezintă?

9. De ce se închide poligonul frecvențelor la ambele capete? Ce ar sugera, fals, un poligon neînchis?

10. (Problemă aplicată.) Punctajele a $50$ de elevi sunt grupate în clasele $[0, 20)$ , $[20, 40)$ , $[40, 60)$ , $[60, 80)$ , $[80, 100)$ , cu frecvențele $4$ , $9$ , $17$ , $14$ , $6$ . Calculează frecvențele cumulate și scrie punctele poligonului cumulat.

11. Pentru setul de la exercițiul $10$ , ce procent dintre elevi au obținut cel puțin $60$ de puncte?

12. Pentru setul de la exercițiul $10$ , precizează clasa mediană, adică acea clasă în dreptul căreia poligonul cumulat depășește jumătate din efectiv.

13. (Problemă aplicată.) Clasa A are frecvențele $3$ , $6$ , $9$ , $5$ , $2$ și clasa B frecvențele $7$ , $8$ , $5$ , $3$ , $2$ , pe clasele $[0, 10)$ , $[10, 20)$ , $[20, 30)$ , $[30, 40)$ , $[40, 50)$ (ore de studiu pe lună). Câți elevi din fiecare clasă studiază sub $20$ de ore? Ce procent?

14. Pentru cele două clase de la exercițiul $13$ , calculează media pe date grupate a fiecăreia, folosind centrele claselor, și compară rezultatele.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Poligonul frecvențelor cumulate al unui set de date trece prin punctele $(0; 0)$ , $(20; 4)$ , $(40; 13)$ , $(60; 30)$ , $(80; 44)$ , $(100; 50)$ . Determinați numărul total de date, frecvența absolută a clasei $[40, 60)$ și procentul datelor mai mici decât $40$ .

16. Un poligon al frecvențelor are două vârfuri de înălțimi apropiate. Ce ar putea însemna acest lucru despre populația studiată?

17. (Problemă aplicată.) Două licee raportează distribuția notelor la simulare, unul cu $200$ de elevi, celălalt cu $500$ . De ce nu are sens să suprapunem poligoanele frecvențelor absolute și ce trebuie folosit în locul lor?

18. (Provocare.) Un elev construiește poligonul frecvențelor cumulate punând punctele la centrele claselor, nu la capetele din dreapta. Explică ce anume citește greșit din graficul obținut și în ce direcție se deplasează eroarea.

Răspunsuri și explicații

1. Centrele sunt mijloacele intervalelor: $2$ , $6$ , $10$ , $14$ .

2. Centrele sunt $15$ , $25$ , $35$ , deci punctele sunt $(15; 5)$ , $(25; 9)$ , $(35; 6)$ . Închiderea se face în $(5; 0)$ și $(45; 0)$ , centrele claselor fictive $[0, 10)$ și $[40, 50)$ , ambele cu frecvența $0$ .

3. Frecvențele cumulate: $5$ , $14$ , $20$ . Punctele, la capetele din dreapta, plus punctul de pornire: $(10; 0)$ , $(20; 5)$ , $(30; 14)$ , $(40; 20)$ .

4. Fals. La poligonul frecvențelor punctele se marchează la centrele claselor, pentru că ele reprezintă frecvența întregii clase, nu doar a capătului ei. La capetele din dreapta se marchează punctele poligonului frecvențelor cumulate.

5. Adevărat. Fiecare frecvență cumulată se obține adunând la precedenta o frecvență absolută, care este un număr natural. Prin urmare șirul frecvențelor cumulate este crescător, iar linia frântă nu poate coborî. Dacă graficul coboară undeva, există o eroare de calcul.

6. Se scad frecvențele cumulate consecutive: $3$ ; $10 - 3 = 7$ ; $22 - 10 = 12$ ; $32 - 22 = 10$ ; $38 - 32 = 6$ ; $40 - 38 = 2$ . Verificare: $3 + 7 + 12 + 10 + 6 + 2 = 40$ ✓.

7. Sub $160$ cm se află $10$ elevi din $40$ , adică $\frac{10}{40} = 0, 25 = 25%$ .

8. Sub $175$ sunt $38$ de elevi, sub $165$ sunt $22$ : rămân $38 - 22 = 16$ elevi, adică $\frac{16}{40} = 0, 4 = 40%$ .

9. Se închide adăugând la capete câte o clasă fictivă cu frecvența $0$ , ale cărei centre devin punctele de sprijin pe axă. Un poligon neînchis, care începe și se termină „în aer", ar sugera că datele continuă dincolo de clasele reprezentate — ceea ce este fals. În plus, doar poligonul închis are aria egală cu aria histogramei.

10. Frecvențele cumulate: $4$ ; $4 + 9 = 13$ ; $13 + 17 = 30$ ; $30 + 14 = 44$ ; $44 + 6 = 50$ . Punctele: $(0; 0)$ , $(20; 4)$ , $(40; 13)$ , $(60; 30)$ , $(80; 44)$ , $(100; 50)$ .

11. Sub $60$ de puncte sunt $30$ de elevi, deci cel puțin $60$ au $50 - 30 = 20$ de elevi: $\frac{20}{50} = 0, 4 = 40%$ .

12. Jumătate din efectiv este $25$ . Frecvența cumulată depășește $25$ pentru prima oară la clasa $[40, 60)$ (unde ajunge la $30$ ), deci aceasta este clasa mediană.

13. Clasa A: $3 + 6 = 9$ elevi, adică $\frac{9}{25} = 0, 36 = 36%$ . Clasa B: $7 + 8 = 15$ elevi, adică $\frac{15}{25} = 0, 6 = 60%$ . Diferența e mare și arată că în clasa B mult mai mulți elevi studiază puțin.

14. Centrele claselor sunt $5$ , $15$ , $25$ , $35$ , $45$ . Clasa A: $\frac{3 \cdot 5 + 6 \cdot 15 + 9 \cdot 25 + 5 \cdot 35 + 2 \cdot 45}{25} = \frac{15 + 90 + 225 + 175 + 90}{25} = \frac{595}{25} = 23, 8$ ore. Clasa B: $\frac{7 \cdot 5 + 8 \cdot 15 + 5 \cdot 25 + 3 \cdot 35 + 2 \cdot 45}{25} = \frac{35 + 120 + 125 + 105 + 90}{25} = \frac{475}{25} = 19$ ore. Clasa A studiază, în medie, cu $4, 8$ ore pe lună mai mult.

15. Numărul total de date este ultima valoare cumulată: $50$ . Frecvența clasei $[40, 60)$ : $30 - 13 = 17$ . Datele mai mici decât $40$ : $13$ , adică $\frac{13}{50} = 0, 26 = 26%$ .

16. Că populația studiată nu este omogenă, ci amestecă, foarte probabil, două subpopulații cu comportamente diferite — de exemplu înălțimile fetelor și ale băieților măsurate împreună, sau timpii a două grupe care se antrenează diferit. Soluția statistică este separarea celor două grupuri și analizarea lor distinctă.

17. Pentru că liceul cu $500$ de elevi ar avea automat frecvențe absolute mai mari la aproape fiecare clasă, chiar dacă distribuția notelor ar fi identică — graficul ar compara mărimea liceelor, nu performanța lor. Se folosesc poligoanele frecvențelor relative (în procente), care aduc ambele seturi la același total, $100%$ .

18. Punând punctele la centre, elevul afirmă implicit că frecvența cumulată a unei clase este atinsă deja la mijlocul ei, deși ea se realizează abia la capătul din dreapta. Toate citirile „câte date sunt sub valoarea $x$ " ies astfel prea mari, iar graficul apare deplasat spre stânga cu jumătate de clasă. Concret, pe setul din lecție, valoarea $17$ ar fi citită în dreptul lui $15$ , deși în realitate $17$ elevi au timpul sub $20$ de minute; în dreptul lui $20$ graficul lui ar indica peste $23$ de elevi, iar estimarea medianei ar ieși cu aproximativ $5$ minute mai mică decât cea corectă.

De reținut

Poligonul frecvențelor unește punctele $(c_{i}; n_{i})$ , unde $c_{i}$ este centrul clasei, și se închide la capete cu ajutorul a două clase fictive de frecvență $0$ .
Poligonul frecvențelor cumulate unește punctele formate din capătul din dreapta al fiecărei clase și frecvența cumulată corespunzătoare, pornind din punctul de coordonate (capătul stâng al primei clase; $0$ ).
Poligonul cumulat este întotdeauna crescător și se termină la $n$ (sau la $100%$ , dacă lucrăm cu frecvențe relative).
Din poligonul cumulat citim rapid „câte date sunt sub o valoare"; valorile obținute grafic sunt estimări, nu rezultate exacte.
Pentru compararea a două seturi se suprapun poligoanele, obligatoriu pe aceleași clase și pe aceleași axe; dacă efectivele diferă, se folosesc frecvențele relative.

Greșeli frecvente

Confundarea punctelor celor două poligoane. La poligonul frecvențelor punctele stau deasupra centrelor claselor; la cel cumulat, deasupra capetelor din dreapta. Sunt două grafice diferite, cu reguli diferite.
Poligonul cumulat care coboară. Semn sigur că frecvențele nu au fost cumulate corect (probabil au fost trecute cele absolute). Frecvențele cumulate cresc întotdeauna.
Uitarea închiderii poligonului frecvențelor. O linie care începe și se termină în aer sugerează, fals, că datele continuă dincolo de clasele reprezentate.
Compararea a două seturi de efective diferite prin frecvențe absolute. Setul mai numeros pare mereu „mai mare". Se compară frecvențele relative, aduse la $100%$ .
Prezentarea unei citiri grafice drept valoare exactă. Mediana citită de pe poligonul cumulat este o estimare, bazată pe presupunerea că datele sunt uniform răspândite în interiorul clasei. Valoarea exactă se calculează doar din datele brute ordonate.

Aplică acasă

Poligonul clasei tale. Folosește datele adunate la lecția anterioară (timpul de navetă al colegilor) sau adună altele noi. Desenează pe aceeași foaie histograma cu creionul și poligonul frecvențelor cu pix colorat, unind mijloacele laturilor de sus. Verifică vizual că triunghiurile „tăiate" din dreptunghiuri sunt cam cât cele „adăugate" în afara lor.
Băieți și fete. Măsoară sau adună înălțimile a cel puțin $20$ de colegi, separat pe băieți și pe fete, grupează-le pe clase de $5$ cm și desenează cele două poligoane ale frecvențelor relative pe același grafic. Scrie două-trei fraze despre ce arată deplasarea dintre ele.
Ogiva în foaia de calcul. Într-o foaie de calcul, construiește coloana frecvențelor cumulate cu formula =SUM($B$2:B2) copiată în jos, apoi inserează o diagramă cu linii. Folosește-o ca să răspunzi la trei întrebări de tipul „ce procent dintre date sunt sub…".

Pentru părinți și profesori

Lecția completează repertoriul de reprezentări grafice cerut explicit de programă (X.CS.2.3: diagrame cu bare, histograme, poligonul frecvențelor/frecvențelor cumulate, boxplot, diagrame circulare). Miza pedagogică reală nu este desenul, ci citirea: elevul trebuie să treacă de la „am desenat linia" la „linia îmi spune că trei sferturi dintre elevi ajung în cel mult o jumătate de oră".

Ce verificați în caietul elevului: (1) punctele poligonului simplu sunt la centrele claselor, iar cele ale poligonului cumulat la capetele din dreapta; (2) poligonul simplu este închis la ambele capete; (3) poligonul cumulat urcă mereu și se termină exact la efectivul total; (4) când citește o valoare de pe grafic, elevul spune „aproximativ". Întrebări bune de control: „De ce punctele nu se pun în același loc la cele două poligoane?"; „De ce nu poate coborî poligonul cumulat?"; „Ce compari când suprapui două poligoane și ce condiție trebuie respectată?".

La Bacalaureat, apar frecvent transformări între reprezentări: din poligonul cumulat se cer frecvențele absolute (prin scăderi succesive), efectivul total (ultima valoare) sau un procent. Semne că elevul a înțeles: obține frecvențele absolute din cele cumulate fără ezitare, verifică suma și distinge clar între o valoare citită de pe grafic și una calculată din date.

Întrebări frecvente

Ce este poligonul frecvențelor? Este linia frântă care unește punctele având drept abscisă centrul fiecărei clase și drept ordonată frecvența clasei. Se obține practic unind mijloacele laturilor de sus ale dreptunghiurilor histogramei și se închide la capete cu două clase fictive de frecvență zero.

Unde se pun punctele la poligonul frecvențelor cumulate? La capetele din dreapta ale claselor, nu la centre. Motivul: frecvența cumulată a unei clase se realizează abia la sfârșitul ei — abia la $20$ de minute putem spune că $17$ elevi au timpul sub această valoare.

De ce este poligonul frecvențelor cumulate mereu crescător? Pentru că fiecare frecvență cumulată se obține adunând la precedenta o frecvență absolută, care este un număr natural. Șirul crește, deci linia urcă. Se termină la efectivul total $n$ sau, dacă lucrăm cu frecvențe relative, la $100%$ .

Cum citesc mediana de pe poligonul cumulat? Pornești de la jumătatea efectivului pe axa verticală, mergi orizontal până la linie și cobori pe axa orizontală. Valoarea obținută este o estimare; valoarea exactă a medianei se calculează din datele brute ordonate crescător.

Care e diferența dintre poligonul frecvențelor și histogramă? Conțin exact aceeași informație, dar o prezintă diferit: histograma prin dreptunghiuri lipite, poligonul printr-o linie frântă. Avantajul poligonului este că se pot suprapune două sau trei seturi de date pe același grafic, fără ca liniile să se ascundă între ele.

Cum compar corect două seturi de date cu poligoane? Le desenezi pe același sistem de axe, folosind exact aceleași clase și aceeași scară, cu culori diferite și legendă. Dacă seturile au numere diferite de date, compari poligoanele frecvențelor relative, altfel setul mai numeros pare mereu mai mare.

Ce înseamnă un poligon cu două vârfuri? Că datele provin, foarte probabil, din două subpopulații diferite amestecate — de exemplu, două grupuri cu obiceiuri sau caracteristici distincte. Într-o astfel de situație, media pe tot setul devine puțin informativă, iar analiza corectă cere separarea celor două grupuri.