Frecvențe cumulate (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un biolog care urmărește o cohortă de mormoloci vrea să știe câți au rămas în viață după trei săptămâni, nu câți au murit exact în a treia. Întrebările din științe sunt adesea întrebări despre un prag, iar răspunsul lor este o sumă de frecvențe; lecția aceasta, din programa clasei a 10-a la profilul științe ale naturii (M2), îți arată cum pregătești toate aceste sume o singură dată, într-o coloană a tabelului. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”, unde programa numește explicit frecvențele cumulate. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține prelucrarea datelor statistice, în capitolul de matematici financiare; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință de statistică.

Ce vei învăța

Vei construi coloana frecvențelor cumulate crescător și pe cea descrescător și vei spune la ce întrebare răspunde fiecare celulă.
Vei răspunde corect când pragul din întrebare nu este o valoare a tabelului.
Vei controla o coloană cumulată fără nicio adunare nouă.
Vei citi și vei alcătui un tabel de supraviețuire, forma în care ecologii scriu frecvențele cumulate descrescător.
Vei merge înapoi, de la cumulate sau de la procente cumulate, la frecvențele absolute și vei afla o frecvență necunoscută.
Vei număra datele dintre două praguri printr-o singură scădere între două celule.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o frecvență cumulată?

Un astronom amator a numărat, timp de $30$ de zile, câte grupe de pete solare vedea pe discul Soarelui, proiectat pe un ecran. Valorile distincte obținute și frecvențele lor sunt:

Grupe de pete $v_{i}$	$4$	$5$	$7$	$8$	$10$
Zile $n_{i}$	$3$	$6$	$9$	$8$	$4$

Valorile sunt scrise în ordine crescătoare, $v_{1} < v_{2} < \dots < v_{k}$ . Frecvența cumulată crescător a valorii $v_{i}$ este numărul datelor care nu depășesc $v_{i}$ . O notăm $N_{i}$ ; ea adună frecvențele absolute ale rândurilor de sus până la rândul lui $v_{i}$ , inclusiv:

$N_{i} = n_{1} + n_{2} + \dots + n_{i} .$

Frecvența cumulată descrescător a valorii $v_{i}$ , notată $N_{i}^{↓}$ , numără datele mai mari sau egale cu $v_{i}$ , adică adună rândurile de la $v_{i}$ până jos. Cu valori concrete e mai sigur să scrii $N (\leq 7)$ în loc de $N_{3}$ și $N (\geq 8)$ în loc de $N_{4}^{↓}$ .

Cumularea are sens numai după ordonarea tabelului: altfel nu știi ce rânduri sunt „sub” $v_{i}$ .

2. Cum se construiește coloana, rând cu rând?

Nu reiei suma de la început: celula nouă este celula de deasupra plus frecvența rândului curent:

$N_{1} = n_{1}, N_{i} = N_{i - 1} + n_{i} (i \geq 2) .$

Coloana descrescătoare pornește de jos, de la $n_{k}$ , și urcă la fel. Pentru petele solare:

$v_{i}$	$n_{i}$	$N_{i}$ : date $\leq v_{i}$	$N_{i}^{↓}$ : date $\geq v_{i}$
$4$	$3$	$3$	$30$
$5$	$6$	$9$	$27$
$7$	$9$	$18$	$21$
$8$	$8$	$26$	$12$
$10$	$4$	$30$	$4$

Citirea e acum directă: în $18$ zile s-au văzut cel mult $7$ grupe de pete, iar în $12$ zile s-au văzut cel puțin $8$ .

3. Cum știi că nu ai greșit coloana?

Înainte să citești, faci trei controale.

Jos, în coloana crescătoare, stă $n$ , fiindcă nicio dată nu trece de valoarea maximă. La petele solare, $N_{5} = 30$ .
Sus, în coloana descrescătoare, stă tot $n$ , fiindcă nicio dată nu e sub valoarea minimă: $N_{1}^{↓} = 30$ .
Două celule „în diagonală” se completează până la $n$ . Datele care nu depășesc $v_{i}$ și cele care ajung măcar la $v_{i + 1}$ nu se suprapun și acoperă tot setul, deci

$N_{i} + N_{i + 1}^{↓} = n .$

Pe rândul valorii $5$ : $9 + 21 = 30$ . În plus, coloana crescătoare nu scade niciodată, iar cea descrescătoare nu crește niciodată.

4. Ce faci când pragul din întrebare nu este o valoare din tabel?

În tabelul petelor solare nu există valoarea $6$ . Întrebarea „în câte zile s-au văzut cel mult $6$ grupe?” are totuși răspuns: între $5$ și $7$ nu există nicio dată, deci datele de până la $6$ sunt cele de până la $5$ , adică $N (\leq 5) = 9$ .

Pragul 6 nu este o valoare a tabelului: datele cu cel mult 6 grupe sunt cele cu 4 sau 5 grupe, adică 9 zile.

Regula generală, pentru un prag $a$ oarecare:

„cel mult $a$ ” se citește la cea mai mare valoare din tabel care este $\leq a$ ;
„strict sub $a$ ” se citește la cea mai mare valoare din tabel care este $< a$ ;
„cel puțin $a$ ” se citește, în coloana descrescătoare, la cea mai mică valoare din tabel care este $\geq a$ ;
„strict peste $a$ ” se citește, în coloana descrescătoare, la cea mai mică valoare din tabel care este $> a$ .

Când pragul este chiar o valoare a tabelului, „cel mult” include rândul lui, „strict sub” nu. Dacă nicio valoare nu îndeplinește condiția, răspunsul este $0$ .

5. Frecvențe relative cumulate

Coloana cumulată se poate scrie și ca fracție din total. Frecvența relativă cumulată a valorii $v_{i}$ este

$F_{i} = \frac{N _{i}}{n} = f_{1} + f_{2} + \dots + f_{i},$

unde $f_{i} = \frac{n _{i}}{n}$ este frecvența relativă din lecția despre frecvențe relative și procente. Pentru petele solare, $F_{3} = \frac{18}{30} = 60%$ , iar ultima frecvență relativă cumulată este $100%$ . Un procent cumulat cuprinde deja toate valorile de dinaintea lui.

6. Tabelul de supraviețuire

În ecologie, frecvențele cumulate descrescător au un nume propriu. Puneți în vaze $20$ de flori tăiate și notați câte zile întregi a rămas proaspătă fiecare:

Zile $v_{i}$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
Flori $n_{i}$	$1$	$5$	$7$	$4$	$3$

Un tabel de supraviețuire trece în dreptul fiecărui $k$ câte flori au rezistat cel puțin $k$ zile, adică exact coloana descrescătoare: $20$ , $19$ , $14$ , $7$ , $3$ , sau $100%$ , $95%$ , $70%$ , $35%$ , $15%$ . Diferența a două rânduri vecine spune câte au „ieșit” din grup exact în acel interval: $95% - 70% = 25%$ dintre flori s-au ofilit exact după $6$ zile.

7. Drumul înapoi: din cumulate la frecvențe

Dacă ai doar coloana cumulată, frecvențele absolute se recuperează prin scăderi între celule vecine:

$n_{1} = N_{1}, n_{i} = N_{i} - N_{i - 1} (i \geq 2) .$

La procente cumulate scazi procentele și înmulțești cu $n$ ; în coloana descrescătoare, $n_{i} = N_{i}^{↓} - N_{i + 1}^{↓}$ , iar ultima frecvență este ultima celulă. Suma frecvențelor recuperate trebuie să dea $n$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Fulgerele unei furtuni

Un meteorolog a numărat fulgerele vizibile în fiecare minut al unei furtuni care a durat $40$ de minute. Construiți coloanele cumulate crescător și descrescător, verificați-le și aflați în câte minute au fost cel mult $2$ fulgere și în câte au fost cel puțin $4$ .

Fulgere pe minut	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Minute $n_{i}$	$3$	$7$	$11$	$9$	$6$	$3$	$1$

Rezolvare. Coloana crescătoare, de sus în jos: $3$ ; $3 + 7 = 10$ ; $10 + 11 = 21$ ; $21 + 9 = 30$ ; $30 + 6 = 36$ ; $36 + 3 = 39$ ; $39 + 1 = 40$ .

Coloana descrescătoare, de jos în sus: $1$ ; $1 + 3 = 4$ ; $4 + 6 = 10$ ; $10 + 9 = 19$ ; $19 + 11 = 30$ ; $30 + 7 = 37$ ; $37 + 3 = 40$ .

Controale: ultima celulă crescătoare este $40 = n$ , prima descrescătoare este tot $40$ , iar pe rândul valorii $2$ avem $N (\leq 2) + N (\geq 3) = 21 + 19 = 40$ .

Cel mult $2$ fulgere pe minut s-au înregistrat în $21$ de minute, adică $\frac{21}{40} = 52, 5%$ din durata furtunii; cel puțin $4$ fulgere, în $N (\geq 4) = 10$ minute.

Exemplul 2 — Citește tabelul: pragurile care lipsesc

Un ocol silvic a notat numărul de ramificații de pe un corn la $36$ de cerbi observați într-o toamnă. Nicio observație nu a avut $7$ ramificații.

Ramificații	$3$	$4$	$5$	$6$	$8$
Cerbi $n_{i}$	$4$	$7$	$12$	$8$	$5$

Aflați câți cerbi au: a) cel mult $7$ ramificații; b) strict sub $5$ ; c) cel puțin $7$ ; d) strict peste $5$ .

Rezolvare. Coloana crescătoare este $4$ , $11$ , $23$ , $31$ , $36$ , iar cea descrescătoare $36$ , $32$ , $25$ , $13$ , $5$ .

a) Pragul $7$ nu e valoare; cea mai mare valoare $\leq 7$ este $6$ , deci $N (\leq 6) = 31$ de cerbi.

b) Cea mai mare valoare strict mai mică decât $5$ este $4$ , deci $N (\leq 4) = 11$ .

c) Cea mai mică valoare $\geq 7$ este $8$ , deci $N (\geq 8) = 5$ .

d) Cea mai mică valoare strict mai mare decât $5$ este $6$ , deci $N (\geq 6) = 13$ . Control: $N (\leq 5) + N (\geq 6) = 23 + 13 = 36$ .

Exemplul 3 — Un tabel de supraviețuire

Raportul unui experiment cu $250$ de mormoloci crescuți în același bazin dă doar procentul celor care au trăit cel puțin $k$ săptămâni întregi. Câți au trăit exact $k$ săptămâni, pentru fiecare $k$ , și câți cel puțin două săptămâni?

Săptămâni $k$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Cel puțin $k$ săptămâni	$100%$	$56%$	$30%$	$12%$	$4%$

Rezolvare. Exact $k$ săptămâni = diferența a două celule vecine; ultimul procent este ultima celulă:

$100% - 56% = 44%; 56% - 30% = 26%; 30% - 12% = 18%; 12% - 4% = 8%; 4%.$

Înmulțind cu $250$ : $0, 44 \cdot 250 = 110$ ; $0, 26 \cdot 250 = 65$ ; $0, 18 \cdot 250 = 45$ ; $0, 08 \cdot 250 = 20$ ; $0, 04 \cdot 250 = 10$ . Control: $110 + 65 + 45 + 20 + 10 = 250$ .

Cel puțin două săptămâni au trăit $0, 3 \cdot 250 = 75$ de mormoloci, adică $45 + 20 + 10$ .

Exemplul 4 — Găsește greșeala: coloana „cel puțin” pornită de sus

Un elev a numărat speciile de licheni de pe $32$ de trunchiuri dintr-un parc: $2$ specii — $5$ trunchiuri, $3$ — $8$ , $4$ — $9$ , $5$ — $6$ , $6$ — $4$ . A completat coloana „cel puțin $v_{i}$ ” adunând de sus în jos și a obținut $5$ , $13$ , $22$ , $28$ , $32$ , apoi a scris: „cel puțin $5$ specii au $28$ de trunchiuri”. Unde a greșit și care este răspunsul corect?

Rezolvare. Coloana elevului crește de sus în jos, deci este coloana crescătoare, scrisă sub alt nume. O coloană „cel puțin” trebuie să înceapă cu $n = 32$ și să nu crească niciodată; a lui se termină cu $32$ . Celula $28$ din dreptul valorii $5$ numără trunchiurile cu cel mult $5$ specii.

Coloana descrescătoare se începe de jos: $4$ ; $4 + 6 = 10$ ; $10 + 9 = 19$ ; $19 + 8 = 27$ ; $27 + 5 = 32$ , adică, citită de sus, $32$ , $27$ , $19$ , $10$ , $4$ . Cel puțin $5$ specii au $N (\geq 5) = 10$ trunchiuri, nu $28$ . Controlul „în diagonală” confirmă: $N (\leq 4) + N (\geq 5) = 22 + 10 = 32$ .

Exemplul 5 — Coloana descrescătoare cu o celulă lipsă

O stație seismică a înregistrat, timp de $60$ de zile, numărul de cutremure de magnitudine cel puțin $2$ produse zilnic. Frecvențele cumulate descrescător pentru $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ cutremure pe zi sunt $60$ , $41$ , $x$ , $12$ , $4$ . Știind că în $31$ de zile s-a produs cel mult un cutremur, aflați $x$ , toate frecvențele absolute și numărul zilelor cu cel mult $2$ cutremure.

Rezolvare. Celula $x$ numără zilele cu cel puțin $2$ cutremure. Zilele cu cel mult un cutremur și cele cu cel puțin două nu se suprapun și acoperă toate cele $60$ de zile, deci, după controlul „în diagonală”, $31 + x = 60$ , adică

$x = 29.$

Frecvențele se obțin ca diferențe între celule vecine: $n (0) = 60 - 41 = 19$ ; $n (1) = 41 - 29 = 12$ ; $n (2) = 29 - 12 = 17$ ; $n (3) = 12 - 4 = 8$ ; $n (4) = 4$ . Control: $19 + 12 + 17 + 8 + 4 = 60$ și $19 + 12 = 31$ .

Zilele cu cel mult $2$ cutremure sunt toate zilele, minus cele cu cel puțin $3$ : $60 - 12 = 48$ . Control direct: $19 + 12 + 17 = 48$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

La o lucrare practică de biologie, $n$ elevi au folosit un determinator ca să recunoască plante; tabelul arată câte greșeli a făcut fiecare.

Numărul de greșeli	$0$	$1$	$2$	$3$
Număr de elevi	$6$	$a$	$7$	$2$

Determinați numărul natural $a$ , știind că $64%$ dintre elevi au făcut cel mult o greșeală, apoi procentul elevilor care au făcut cel puțin două greșeli.

Rezolvare. Numărul total de elevi este $n = 6 + a + 7 + 2 = 15 + a$ , iar cel mult o greșeală au făcut $6 + a$ elevi. Condiția din enunț este

$\frac{6 + a}{15 + a} = \frac{64}{100}, adic \overset{a}{˘} 100 (6 + a) = 64 (15 + a) .$

De aici $600 + 100 a = 960 + 64 a$ , deci $36 a = 360$ și $a = 10$ . Clasa are $n = 25$ de elevi.

Cel puțin două greșeli au făcut $7 + 2 = 9$ elevi, adică $\frac{9}{25} = 36%$ . Verificare: $\frac{16}{25} = 64%$ , iar $64% + 36% = 100%$ .

Să exersăm

Ordonează valorile și controlează coloana înainte de orice citire.

1. Un grup de astronomi amatori a numărat meteorii Perseidelor în $30$ de intervale de câte $5$ minute: $3$ meteori — $2$ intervale, $4$ — $5$ , $5$ — $9$ , $6$ — $8$ , $7$ — $6$ . Construiește coloana cumulată crescător și spune în câte intervale s-au văzut cel mult $5$ meteori.

2. Pentru $50$ de uleiuri vegetale s-a notat numărul de legături duble din acidul gras predominant: $0$ — $8$ uleiuri, $1$ — $21$ , $2$ — $15$ , $3$ — $6$ . Construiește coloana cumulată descrescător și află la câte uleiuri acidul predominant are cel puțin două legături duble.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă într-un tabel de frecvențe $N_{3} = 22$ și $N_{4}^{↓} = 19$ , atunci setul are $40$ de date.”

4. Numărul de ramuri principale ale $40$ de arbuști de coacăz: $2$ ramuri — $5$ arbuști, $3$ — $11$ , $5$ — $14$ , $6$ — $7$ , $8$ — $3$ . Câți arbuști au cel puțin $4$ ramuri? Câți au strict sub $8$ ? Câți au între $4$ și $7$ ramuri, inclusiv?

5. La un control stomatologic, $60$ de copii au avut: $0$ dinți cariați — $18$ , $1$ — $15$ , $2$ — $12$ , $3$ — $8$ , $4$ — $5$ , $5$ — $2$ . Câți copii au între $2$ și $4$ dinți cariați, inclusiv? Folosește coloana cumulată.

6. Frecvențele cumulate crescător ale numărului de oceli (pete în formă de ochi) de pe aripile unor fluturi, pentru valorile $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , sunt $6$ , $15$ , $27$ , $33$ , $36$ . Află frecvențele absolute.

7. La $80$ de tufe de grâu s-a numărat câte spice fertile are fiecare. Procentele cumulate crescător pentru $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ spice sunt $10%$ , $35%$ , $75%$ , $90%$ , $100%$ . Câte tufe au exact $3$ spice?

8. Tabelul de supraviețuire al bateriilor celor $300$ de emițătoare de urmărire prinse de cocori dă procentul celor care au funcționat cel puțin $k$ luni: $6$ — $100%$ , $7$ — $84%$ , $8$ — $60%$ , $9$ — $25%$ , $10$ — $7%$ . Câte baterii au funcționat cel puțin $7$ luni, dar mai puțin de $9$ ?

9. Pentru $40$ de săptămâni de iarnă s-a notat numărul zilelor cu îngheț. Se știe că $N (\leq 2) = 14$ , $N (\geq 3) = 26$ și că $9$ săptămâni au avut exact $3$ zile cu îngheț. Află $N (\leq 3)$ și $N (\geq 4)$ .

10. (Problemă aplicată.) În $30$ de probe de apă dintr-un râu s-au numărat grupele de nevertebrate bioindicatoare: $1$ — $2$ probe, $2$ — $4$ , $3$ — $9$ , $4$ — $7$ , $5$ — $5$ , $6$ — $3$ . Cel puțin $4$ grupe indică apă curată, cel mult $2$ indică apă poluată. Ce procent din probe intră în fiecare categorie?

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru cei $200$ de membri ai unui club de ciclism, procentul celor care și-au plătit abonamentul lunar cel puțin $k$ luni la rând este: $k = 1$ — $100%$ , $k = 2$ — $70%$ , $k = 3$ — $45%$ , $k = 4$ — $20%$ . Determinați numărul membrilor care și-au plătit abonamentul cel mult $2$ luni.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Prețul unei ore de închiriere a unei biciclete a fost notat la $40$ de centre: $8$ lei — $7$ centre, $10$ lei — $10$ , $12$ lei — $15$ , $15$ lei — $8$ . Determinați numărul centrelor cu prețul de cel mult $13$ lei și procentul centrelor cu prețul strict peste $10$ lei.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Numărul camerelor rezervate pe zi la o pensiune, în $60$ de zile, ia patru valori, cu procentele cumulate crescător $15%$ , $40%$ , $p %$ și $100%$ ; a treia valoare apare în $35%$ dintre zile. Determinați $p$ și numărul zilelor cu a patra valoare.

14. În $50$ de fragmente de ADN secvențiate s-au găsit: $0$ mutații punctiforme — $20$ de fragmente, $1$ — $15$ , $2$ — $9$ , $3$ — $4$ , $4$ — $2$ . Câte fragmente au strict mai mult de o mutație? Câte au cel puțin o mutație?

15. La $32$ de conuri de brad căzute s-a numărat câte semințe întregi au rămas în fiecare. Pentru valorile $12$ , $14$ , $16$ , $18$ , $20$ , $22$ de semințe, coloana cumulată crescător este $2$ , $5$ , $11$ , $20$ , $28$ , $32$ . Scrie coloana cumulată descrescător fără să calculezi frecvențele absolute.

16. La $50$ de tufe de lavandă, numărul de tulpini florifere ia valorile $1$ , $2$ , $3$ , $4$ . Știind că $40%$ dintre tufe au cel mult $2$ tulpini, $N (\leq 1) = 8$ și $N (\geq 4) = 12$ , reconstituie tabelul frecvențelor absolute.

17. Tabelul de supraviețuire scris de un elev pentru $200$ de pui de țestoasă de mare marcați este: $1$ an — $70%$ , $2$ ani — $74%$ , $3$ ani — $30%$ . De ce e sigur greșit? Dacă valoarea corectă pentru $2$ ani este $47%$ , câți pui au murit în al doilea an?

18. (Provocare.) Un set de date are cinci valori distincte și $45$ de date. Pentru fiecare $i$ de la $1$ la $5$ , frecvența cumulată crescător a valorii a $i$ -a este egală cu frecvența cumulată descrescător a valorii a $(6 - i)$ -a. Știind că $N_{1} = 4$ și $N_{2} = 13$ , determină toate frecvențele absolute. Ce observi despre tabel?

Răspunsuri și explicații

1. Coloana crescătoare: $2$ ; $2 + 5 = 7$ ; $7 + 9 = 16$ ; $16 + 8 = 24$ ; $24 + 6 = 30$ . Cel mult $5$ meteori s-au văzut în $N (\leq 5) = 16$ intervale.

2. De jos în sus: $6$ ; $6 + 15 = 21$ ; $21 + 21 = 42$ ; $42 + 8 = 50$ , deci coloana descrescătoare, citită de sus, este $50$ , $42$ , $21$ , $6$ . Cel puțin două legături duble are acidul predominant la $N (\geq 2) = 21$ de uleiuri.

3. Fals. Datele cu valoarea cel mult $v_{3}$ și cele cu valoarea cel puțin $v_{4}$ formează împreună tot setul, fără date comune, deci $n = N_{3} + N_{4}^{↓} = 22 + 19 = 41$ , nu $40$ .

4. Coloana crescătoare este $5$ , $16$ , $30$ , $37$ , $40$ , iar cea descrescătoare $40$ , $35$ , $24$ , $10$ , $3$ . Pragul $4$ nu e valoare: cel puțin $4$ ramuri înseamnă cel puțin $5$ , deci $N (\geq 5) = 24$ de arbuști. Strict sub $8$ înseamnă cel mult $6$ : $N (\leq 6) = 37$ . Între $4$ și $7$ inclusiv sunt doar valorile $5$ și $6$ : $N (\leq 6) - N (\leq 3) = 37 - 16 = 21$ de arbuști.

5. Coloana crescătoare este $18$ , $33$ , $45$ , $53$ , $58$ , $60$ . Între $2$ și $4$ inclusiv: $N (\leq 4) - N (\leq 1) = 58 - 33 = 25$ de copii. Control direct: $12 + 8 + 5 = 25$ .

6. $n (0) = 6$ ; $n (1) = 15 - 6 = 9$ ; $n (2) = 27 - 15 = 12$ ; $n (3) = 33 - 27 = 6$ ; $n (4) = 36 - 33 = 3$ . Control: $6 + 9 + 12 + 6 + 3 = 36$ .

7. Exact $3$ spice au $75% - 35% = 40%$ dintre tufe, adică $0, 4 \cdot 80 = 32$ de tufe.

8. Cel puțin $7$ luni, dar mai puțin de $9$ înseamnă „cel puțin $7$ ” minus „cel puțin $9$ ”: $84% - 25% = 59%$ , adică $0, 59 \cdot 300 = 177$ de baterii.

9. $N (\leq 3) = N (\leq 2) + n (3) = 14 + 9 = 23$ , iar $N (\geq 4) = 40 - N (\leq 3) = 40 - 23 = 17$ . Control: $N (\geq 4) = N (\geq 3) - n (3) = 26 - 9 = 17$ .

10. Cel puțin $4$ grupe au $7 + 5 + 3 = 15$ probe, adică $\frac{15}{30} = 50%$ — apă curată. Cel mult $2$ grupe au $2 + 4 = 6$ probe, adică $\frac{6}{30} = 20%$ — apă poluată. Restul de $9$ probe, cu exact $3$ grupe, nu intră în niciuna dintre categorii.

11. „Cel mult $2$ luni” este contrariul lui „cel puțin $3$ luni”: $100% - 45% = 55%$ dintre membri, adică $0, 55 \cdot 200 = 110$ membri.

12. Pragul $13$ nu este un preț din tabel: cel mult $13$ lei înseamnă cel mult $12$ lei, deci $N (\leq 12) = 7 + 10 + 15 = 32$ de centre. Strict peste $10$ lei înseamnă cel puțin $12$ lei: $15 + 8 = 23$ de centre, adică $\frac{23}{40} = 57, 5%$ .

13. Procentul cumulat al celei de-a treia valori este cel al celei de-a doua plus frecvența ei relativă: $p = 40 + 35 = 75$ . A patra valoare apare în $100% - 75% = 25%$ dintre zile, adică $0, 25 \cdot 60 = 15$ zile.

14. Strict mai mult de o mutație înseamnă cel puțin $2$ : $9 + 4 + 2 = 15$ fragmente. Cel puțin o mutație: $50 - 20 = 30$ de fragmente.

15. Prima celulă descrescătoare este totalul, $32$ . Pentru celelalte folosești controlul „în diagonală”, $N_{i + 1}^{↓} = n - N_{i}$ : $32 - 2 = 30$ , $32 - 5 = 27$ , $32 - 11 = 21$ , $32 - 20 = 12$ , $32 - 28 = 4$ . Coloana este $32$ , $30$ , $27$ , $21$ , $12$ , $4$ .

16. $N (\leq 2) = 0, 4 \cdot 50 = 20$ , deci $n (1) = 8$ și $n (2) = 20 - 8 = 12$ . Din $N (\geq 3) = 50 - 20 = 30$ și $n (4) = N (\geq 4) = 12$ rezultă $n (3) = 30 - 12 = 18$ . Tabelul: $8$ , $12$ , $18$ , $12$ ; control: $8 + 12 + 18 + 12 = 50$ .

17. Procentul celor care au trăit cel puțin $2$ ani nu poate depăși procentul celor care au trăit cel puțin $1$ an: orice pui viu după doi ani a fost viu și după un an, deci $74% > 70%$ este imposibil. Cu valoarea corectă, în al doilea an au murit $70% - 47% = 23%$ dintre pui, adică $0, 23 \cdot 200 = 46$ de pui.

18. Pentru $i = 1$ : $N_{1} = N_{5}^{↓}$ , adică $n_{1} = n_{5}$ . Pentru $i = 2$ : $n_{1} + n_{2} = n_{4} + n_{5}$ , deci $n_{2} = n_{4}$ . Din $N_{1} = 4$ și $N_{2} = 13$ : $n_{1} = n_{5} = 4$ , $n_{2} = n_{4} = 9$ , iar $n_{3} = 45 - 4 - 9 - 9 - 4 = 19$ . Tabelul $4$ , $9$ , $19$ , $9$ , $4$ are frecvențele simetrice față de valoarea din mijloc.

De reținut

Coloana cumulată se construiește numai după ordonarea valorilor: $N_{i}$ adună frecvențele valorilor care nu depășesc $v_{i}$ , iar $N_{i}^{↓}$ pe ale celor care nu sunt sub $v_{i}$ ; fiecare celulă se obține din vecina ei, prin adunarea unei singure frecvențe.
Un prag care nu apare în tabel se înlocuiește cu valoarea din tabel aflată de aceeași parte a lui cu datele cerute; cuvântul „strict” mută citirea cu un rând.
Controalele unei coloane: capătul crescătorului și începutul descrescătorului sunt $n$ , iar $N_{i} + N_{i + 1}^{↓} = n$ ; o coloană descrescătoare începe cu $n$ și nu crește niciodată.
Un tabel de supraviețuire este o coloană cumulată descrescător, de obicei în procente; diferența a două rânduri vecine spune câte date au ieșit din cohortă exact în acel interval.
Din orice coloană cumulată te întorci la frecvențele absolute prin scăderi între celule vecine, iar suma frecvențelor recuperate trebuie să dea $n$ .

Greșeli frecvente

Pragul absent din tabel tratat ca „zero date”. La întrebarea „cel mult $6$ ” într-un tabel fără valoarea $6$ , unii elevi răspund $0$ sau caută rândul lui $7$ . Datele de până la $6$ sunt cele de până la cea mai mare valoare mai mică decât $6$ .
Celula cumulată citită ca frecvență a unei singure valori. La întrebarea „câte date au exact valoarea $v_{i}$ ” se răspunde cu $N_{i}$ , uitând că celula adună și toate rândurile de deasupra. Frecvența exactă este diferența a două celule.
Procente cumulate adunate între ele. Din „ $30%$ au cel mult $1$ ” și „ $65%$ au cel mult $2$ ” nu rezultă că $95%$ au cel mult $2$ ; al doilea procent îl cuprinde deja pe primul.
Coloana descrescătoare construită de sus. Adunarea pornită de la primul rând dă coloana crescătoare, chiar dacă o scrii în coloana „cel puțin”. Coloana descrescătoare se începe cu ultima valoare.
Tabelul de supraviețuire citit ca tabel de decese. Procentul din dreptul lui $k$ spune câți au trăit cel puțin $k$ unități de timp, nu câți au murit atunci; cei morți exact în intervalul $k$ se obțin prin scădere.

Aplică acasă

Mandarinele din fructieră. Desfă $20$ de mandarine și numără felii în fiecare. Fă tabelul, ambele coloane cumulate și răspunde la o întrebare cu un prag care nu apare între valori, de exemplu „câte au cel mult $9$ felii”, dacă nicio mandarină nu are exact $9$ .
Bananele fără pete. Pune pe masă câteva banane verzi-gălbui și notează, pentru fiecare, în a câta zi apare prima pată maro. La sfârșit, scrie tabelul „fără pete cel puțin $k$ zile”, în numere și în procente, și verifică faptul că procentele nu cresc niciodată de la un rând la următorul.
Jurnalul ploilor. Timp de o lună, notează în fiecare săptămână în câte zile a plouat. Folosește datele ca să construiești coloana „cel puțin $k$ zile ploioase pe săptămână”, apoi compară-ți rezultatul cu al unui coleg care locuiește în alt cartier sau în altă localitate.

Pentru părinți și profesori

Lecția are două ținte: construcția corectă a coloanelor cumulate și traducerea întrebărilor despre praguri în celula potrivită. Programa clasei a X-a cere organizarea datelor „în tabele de frecvențe/frecvențe cumulate”, în vederea introducerii lor într-o aplicație digitală.

Întrebări bune de control: „Tabelul e ordonat?”; „Pragul este o valoare a tabelului?”. Semn că elevul a înțeles: face controlul $N_{i} + N_{i + 1}^{↓} = n$ fără să i se ceară. Lecția continuă cu diagramele cu bare, iar coloana cumulată se desenează în lecția despre poligonul frecvențelor și se folosește la mediana unui set de date. Recurența $N_{i} = N_{i - 1} + n_{i}$ are aceeași structură ca șirurile din clasa a IX-a, prezentate în lecția despre termenul general al unui șir. Unitatea se verifică în testul de statistică M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: frecvențe cumulate, mate-info (M1).

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027; la clasa a X-a ea numește frecvențele cumulate printre modurile de organizare a datelor, iar la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține, în capitolul „Matematici financiare”, „culegerea, clasificarea și prelucrarea datelor statistice”, cu nota că aplicațiile sunt din domeniul financiar. De aceea exercițiile de citire a unui tabel cumulat marcate aici sunt „tip Bacalaureat M2” și au context financiar; exemplul de tip bacalaureat păstrează un context de laborator, pe aceeași formă a cerinței. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu conține o cerință de statistică, iar exercițiile de aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Întrebări frecvente

Ce diferență este între lecția de la M2 și cea de la mate-info (M1)? Construcția coloanelor este aceeași. Lecția de științe ale naturii pune accent pe datele de laborator și de teren: praguri care nu apar în tabel, tabele de supraviețuire scrise în procente, recuperarea frecvențelor dintr-un raport care dă doar valori cumulate, adică date incomplete, ca în rapoartele reale. Exercițiile marcate pentru bacalaureat au context financiar, ca în programa de examen 2014.

La ce subiect apar frecvențele cumulate la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 cere prelucrarea datelor statistice, în capitolul de matematici financiare, deci o cerință despre un prag, „cel mult…” sau „cel puțin…”, poate avea context financiar. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință de statistică; cerința apropiată de la Subiectul I este una de probabilitate. Pentru proba MAT_P2 din 2030, frecvențele cumulate sunt în domeniul „Date, statistică matematică și probabilități”, dar un model de subiect nu a fost încă publicat.

Ce fac dacă pragul din întrebare nu este o valoare din tabel? Cauți valoarea din tabel cea mai apropiată de prag, de aceeași parte cu datele cerute. Pentru „cel mult $a$ ” iei cea mai mare valoare care nu depășește $a$ , pentru „cel puțin $a$ ” cea mai mică valoare care nu e sub $a$ . Între prag și valoarea aleasă nu există nicio dată, deci numărul căutat nu se schimbă.

Ce este un tabel de supraviețuire și ce legătură are cu frecvențele cumulate? Este un tabel care arată, pentru fiecare durată $k$ , câți indivizi dintr-un grup urmărit de la început au trăit cel puțin $k$ unități de timp, adesea în procente. Este deci o coloană de frecvențe cumulate descrescător. Diferența dintre două rânduri vecine dă numărul celor care au ieșit din grup exact în acel interval.

Coloana cumulată poate avea două valori egale una după alta? Da, dacă în tabel apare o valoare posibilă cu frecvența $0$ : rândul ei nu adaugă nimic, iar coloana „stă pe loc”. Ce nu se poate întâmpla este ca o coloană crescătoare să scadă sau ca o coloană descrescătoare să crească; o astfel de coloană conține sigur o greșeală de adunare sau de ordine.

Pot calcula frecvențe cumulate pentru o caracteristică care nu este un număr? Numai dacă valorile ei au o ordine firească, cum ar fi gradul de infestare al unei culturi (absent, slab, mediu, puternic) sau stadiul de dezvoltare al unei plante. Atunci „cel mult mediu” are sens. Pentru culori, specii sau grupe fără ordine, o coloană cumulată nu răspunde la nicio întrebare utilă.