Gruparea datelor pe clase. Histograma (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un biolog marin măsoară, cu șublerul, lungimea a treizeci de cochilii de midii culese pe o plajă a Mării Negre și obține treizeci de numere aproape toate diferite. Un tabel de frecvențe pe valori ar avea aproape treizeci de rânduri cu frecvența $1$ și n-ar spune nimic; soluția este să împarți valorile în intervale și să numeri câte cochilii cad în fiecare, iar desenul care rezultă se numește histogramă. Lecția face parte din programa de clasa a 10-a la profilul științe ale naturii (M2), capitolul de statistică. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”, unde programa numește explicit histogramele. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține reprezentarea grafică a datelor statistice, fără să numească histograma; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are, la Subiectul I, nicio cerință de statistică.

Ai lucrat deja cu tabele de frecvențe pe valori și cu diagramele circulare, unde fiecare categorie are sectorul ei. Aici datele nu mai sunt categorii, ci măsurători, iar primul pas este să construim noi categoriile: clasele.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști datele care trebuie grupate pe clase: măsurătorile continue și numărătorile cu foarte multe valori distincte.
Vei ști să alegi lățimea claselor și capătul primei clase, astfel încât toate datele să fie acoperite, inclusiv maximul.
Vei ști să pui corect o valoare aflată pe granița dintre două clase și să verifici tabelul prin suma frecvențelor.
Vei ști să completezi tabelul pe clase, cu frecvențe relative și cu centrul fiecărei clase.
Vei ști să desenezi și să citești o histogramă: unde se adună datele, ce procent se află sub un prag, cât de lată e o clasă.
Vei ști ce faci când clasele au lățimi diferite: înălțimea devine densitate, iar aria păstrează frecvența.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să grupezi datele pe clase?

Iată lungimile, în milimetri, ale celor treizeci de cochilii, ordonate crescător:

$14, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 30,$

$31, 33, 34, 34, 35, 36, 38, 39, 41, 43, 44, 46, 49, 52, 58.$

Numai două valori se repetă. O măsurătoare făcută cu un instrument mai fin ar fi despărțit și aceste perechi, fiindcă lungimea este o mărime continuă: între două valori posibile încap oricât de multe altele.

Gruparea datelor pe clase înseamnă împărțirea intervalului în care se află datele în intervale consecutive, de forma $[a, b)$ , numite clase, care nu se suprapun, au aceeași lățime $h = b - a$ și acoperă toate datele; frecvența unei clase este numărul datelor care aparțin intervalului ei.

Pentru cochilii alegem clasele $[10, 20)$ , $[20, 30)$ , $[30, 40)$ , $[40, 50)$ și $[50, 60)$ , fiecare cu lățimea de $10$ mm. În locul celor treizeci de numere rămân cinci frecvențe, iar întrebările unui biolog („câte cochilii au sub trei centimetri?”, „unde se adună lungimile?”) primesc răspunsuri dintr-o privire. Prețul plătit e o pierdere de informație: din tabelul grupat nu mai afli că o cochilie avea exact $41$ mm, ci doar că ea se află între $40$ și $50$ mm. De aceea datele brute se păstrează separat, în caietul de teren.

Nu orice set se grupează. Datele calitative (specia, culoarea, tipul de sol) au deja categoriile lor, iar o numărătoare cu puține valori posibile (numărul de cotiledoane, doar $1$ sau $2$ ) are tabelul ei pe valori, desenat cu bare separate. Gruparea e soluția pentru măsurători și pentru numărătorile cu foarte multe valori distincte, cum ar fi numărul de pași făcuți într-o zi, citit pe telefon, care poate lua mii de valori diferite.

2. Unde intră o valoare aflată pe graniță?

Două cochilii au exact $30$ mm. Dacă am scrie clasele închise, $[20, 30]$ și $[30, 40]$ , fiecare dintre ele ar aparține la două clase, iar suma frecvențelor ar ieși $32$ , nu $30$ . Convenția de lucru elimină ambiguitatea: clasa $[a, b)$ conține capătul din stânga și nu conține capătul din dreapta,

$[a, b) = {x \in R ∣ a \leq x < b},$

adică exact intervalul semideschis pe care îl cunoști din lecția despre mulțimi și intervale. Cochiliile de $30$ mm intră în $[30, 40)$ , cea de $20$ mm intră în $[20, 30)$ . Cu această convenție fiecare valoare are o singură clasă, iar controlul e simplu: suma frecvențelor trebuie să fie egală cu numărul datelor.

Singura grijă apare la capătul de sus. Dacă cea mai mare valoare cade chiar pe capătul drept al ultimei clase, ea rămâne pe dinafară. Remediul cel mai curat este încă o clasă, de aceeași lățime, care o cuprinde.

3. Cum alegi lățimea și prima clasă?

Nu există o singură grupare corectă, dar există un drum care dă de fiecare dată o grupare bună.

Întâi calculezi amplitudinea datelor: valoarea maximă minus valoarea minimă. Pentru cochilii, $58 - 14 = 44$ mm. Apoi alegi câte clase vrei; pentru câteva zeci de date, între cinci și opt clase arată bine forma datelor. Împărțind amplitudinea la numărul de clase, obții lățimea minimă, pe care o rotunjești în sus la o valoare comodă de citit: pentru cinci clase, $44 : 5 = 8, 8$ , deci lățimea $10$ mm. Rotunjirea în sus garantează că nu rămâne nicio valoare neacoperită.

Capătul din stânga al primei clase se alege puțin sub cea mai mică valoare și rotund: aici $10$ , sub minimul $14$ . Clasele se succed apoi din $10$ în $10$ , până când ultima conține maximul; $58$ intră în $[50, 60)$ .

Lățimea e o alegere cu consecințe. O lățime prea mică readuce lista brută, cu multe clase de frecvență $0$ sau $1$ . O lățime prea mare strânge totul în două-trei dreptunghiuri și ascunde forma. Între cele două, o grupare bună lasă să se vadă unde se adună datele și cât de repede se răresc spre margini.

4. Tabelul pe clase și centrul clasei

Numărăm, pe lista ordonată, valorile din fiecare clasă și completăm tabelul:

Clasa (mm)	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60)$	Total
Frecvența $n_{i}$	$4$	$9$	$10$	$5$	$2$	$30$
Frecvența relativă $f_{i}$	$\frac{2}{15}$	$0, 3$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{15}$	$1$
Centrul $c_{i}$	$15$	$25$	$35$	$45$	$55$	—

Frecvența relativă a unei clase se calculează ca în lecția despre frecvențe relative și procente, $f_{i} = \frac{n _{i}}{n}$ , iar suma lor e $1$ . Rândul nou este centrul clasei, mijlocul intervalului,

$c = \frac{a + b}{2},$

numărul care va ține locul tuturor valorilor din clasă atunci când nu mai avem datele brute. Centrul nu e o valoare măsurată: nicio cochilie nu are neapărat $35$ mm. El e doar reprezentantul clasei.

Tabelul răspunde deja la întrebări. Câte cochilii au sub $30$ mm? Adunăm primele două frecvențe: $4 + 9 = 13$ , adică

$\frac{13}{30} \approx 43, 33%.$

Sumele de acest fel sunt frecvențele cumulate din lecția despre frecvențe cumulate; pe clase, ele se citesc „sub capătul drept al clasei”.

5. Histograma, pas cu pas

Histograma este reprezentarea grafică a unui tabel pe clase în care fiecare clasă primește un dreptunghi așezat chiar pe intervalul ei, pe o axă orizontală numerică, iar înălțimea dreptunghiului este frecvența clasei (când clasele au aceeași lățime).

Construcția are patru pași. Pe axa orizontală gradezi valorile măsurate, cu unitatea de măsură, și marchezi capetele claselor. Pe axa verticală gradezi frecvențele, de la $0$ până la un număr ceva mai mare decât frecvența maximă. Deasupra fiecărei clase ridici un dreptunghi cu înălțimea egală cu frecvența ei. În sfârșit, pui titlul și numele axelor.

Lungimea celor treizeci de cochilii, pe clase de 10 mm: dreptunghiurile sunt lipite, iar înălțimea este frecvența clasei.

Dreptunghiurile sunt lipite: între ele nu rămâne niciun spațiu, pentru că nici între clase nu există goluri; lungimea $29, 9$ mm și lungimea $30$ mm stau una lângă alta pe axă. Tot de aceea ordinea dreptunghiurilor e fixată de axă și nu se poate schimba.

Forma se citește imediat. Lungimile se adună între $20$ și $40$ mm, cu vârful în clasa $[30, 40)$ , iar spre dreapta histograma coboară mai încet decât urcă în stânga: câteva cochilii mari formează o „coadă” spre valorile mari. Cel mai înalt dreptunghi marchează clasa cu cele mai multe date; numele ei și rolul ei sunt discutate în lecția despre modul unui set de date.

Programa recomandă aplicațiile digitale. În GeoGebra, comanda Histogram primește lista capetelor claselor și lista datelor brute și desenează singură dreptunghiurile; în foile de calcul, graficul de tip histogramă face gruparea automat, dar alege el lățimea, așa că merită verificată.

6. Ce aduce nou histograma față de diagrama cu bare?

Criteriul care alege între bare și dreptunghiuri lipite l-ai lucrat în lecția despre diagramele cu bare; aici contează ce se schimbă în desen. Sub dreptunghiuri stă o axă gradată, cu unitate de măsură, iar orice punct dintre două capete este o valoare posibilă. Lățimea unui dreptunghi nu mai e aleasă după gust: ea este chiar lățimea clasei, citită pe axă. Iar ce reprezintă frecvența, cum vei vedea imediat, este aria dreptunghiului, nu doar înălțimea lui.

7. Ce faci când clasele nu au aceeași lățime?

Uneori datele reale vin grupate de altcineva, cu clase inegale. Un ornitolog a înregistrat adâncimea atinsă de un cormoran în $48$ de scufundări și a grupat-o astfel: $[0, 6)$ m — $6$ scufundări, $[6, 12)$ m — $15$ scufundări, $[12, 30)$ m — $27$ de scufundări. Ultima clasă are cele mai multe scufundări, dar este de trei ori mai lată decât celelalte.

Dacă ai desena înălțimile $6$ , $15$ și $27$ , dreptunghiul cel lat ar avea o arie uriașă și ar sugera că adâncimile dintre $12$ și $30$ m sunt de departe cele mai frecvente. Într-o histogramă, aria unui dreptunghi trebuie să fie proporțională cu frecvența. De aceea, la clase inegale, înălțimea este densitatea clasei, frecvența împărțită la lățime:

$\frac{6}{6} = 1, \frac{15}{6} = 2, 5, \frac{27}{18} = 1, 5 scufund \overset{a}{˘} ri pe metru .$

Clase inegale: înălțimea este densitatea (scufundări pe metru); numerele de deasupra sunt frecvențele, egale cu ariile dreptunghiurilor.

Acum desenul spune adevărul: pe fiecare metru de adâncime, cele mai multe scufundări se află între $6$ și $12$ m. Aria fiecărui dreptunghi, lățime înmulțită cu densitate, dă înapoi frecvența clasei, iar suma ariilor dă numărul total de scufundări. Când poți alege tu clasele, alege-le egale; când le primești inegale, lucrează cu densitatea.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — De la datele brute la clase

Conținutul de zahăr al boabelor de strugure se măsoară în grade Brix (°Bx). Un laborator viticol a analizat $24$ de probe dintr-o podgorie și a obținut: $18, 4$ ; $21, 2$ ; $15, 8$ ; $19, 6$ ; $20, 0$ ; $17, 3$ ; $22, 6$ ; $19, 1$ ; $16, 9$ ; $20, 8$ ; $18, 0$ ; $24, 1$ ; $19, 9$ ; $21, 9$ ; $15, 2$ ; $18, 7$ ; $22, 0$ ; $20, 5$ ; $17, 6$ ; $19, 3$ ; $23, 3$ ; $16, 1$ ; $21, 4$ ; $25, 4$ . a) Grupează datele pe clase de lățime $2$ , pornind de la $14$ . b) Ce procent dintre probe au cel puțin $20$ °Bx?

Rezolvare. a) Amplitudinea este $25, 4 - 15, 2 = 10, 2$ ; cu șase clase, lățimea minimă ar fi $10, 2 : 6 = 1, 7$ , pe care o rotunjim în sus la $2$ . Pornind de la $14$ , sub minim, clasele sunt $[14, 16)$ , $[16, 18)$ , …, $[24, 26)$ , iar ultima conține maximul $25, 4$ . Valorile de pe graniță, $18, 0$ , $20, 0$ și $22, 0$ , intră în clasa care începe cu ele.

Clasa (°Bx)	$[14, 16)$	$[16, 18)$	$[18, 20)$	$[20, 22)$	$[22, 24)$	$[24, 26)$
Frecvența	$2$	$4$	$7$	$6$	$3$	$2$

Controlul: $2 + 4 + 7 + 6 + 3 + 2 = 24$ , câte probe au fost.

b) „Cel puțin $20$ ” înseamnă ultimele trei clase: $6 + 3 + 2 = 11$ probe, adică

$\frac{11}{24} \approx 45, 83%.$

Exemplul 2 — Citește histograma

Într-un studiu despre liliecii dintr-o peșteră, s-a măsurat anvergura aripilor (distanța dintre vârfurile aripilor întinse). Rezultatele sunt date de histograma de mai jos. a) Câți lilieci au fost măsurați? b) Câți au anvergura sub $28$ cm? c) Ce procent dintre ei au anvergura de cel puțin $28$ cm?

Anvergura aripilor liliecilor, pe clase de 4 cm (datele exemplului 2).

Rezolvare. Clasele au lățimea de $4$ cm, iar frecvențele se citesc pe înălțimi: $4$ , $8$ , $11$ , $6$ , $3$ .

a) Numărul liliecilor este suma frecvențelor: $4 + 8 + 11 + 6 + 3 = 32$ .

b) Sub $28$ cm înseamnă clasele $[20, 24)$ și $[24, 28)$ : $4 + 8 = 12$ lilieci.

c) Restul, $32 - 12 = 20$ , au anvergura de cel puțin $28$ cm, adică

$\frac{20}{32} = 0, 625 = 62, 5%.$

Observă că întrebarea b) se oprește exact pe un capăt de clasă. O întrebare de felul „câți au sub $30$ cm?” n-ar mai avea un răspuns exact din histogramă, fiindcă nu știm cum sunt așezate cele $11$ valori în interiorul clasei $[28, 32)$ .

Exemplul 3 — Găsește greșeala: maximul rămas pe dinafară

Salinitatea apei unui lac sărat a fost măsurată în $25$ de puncte; valorile sunt între $20$ și $40$ g/L, iar cea mai mare este exact $40$ g/L. Un elev a construit tabelul: $[20, 25)$ — $6$ , $[25, 30)$ — $9$ , $[30, 35)$ — $7$ , $[35, 40)$ — $2$ . Găsiți greșeala și corectați tabelul.

Rezolvare. Suma frecvențelor elevului este $6 + 9 + 7 + 2 = 24$ , nu $25$ : lipsește o probă. Proba care lipsește e chiar maximul. Cu convenția $[a, b)$ , valoarea $40$ nu aparține clasei $[35, 40)$ , iar elevul nu a mai pus o clasă după ea.

Corectura păstrează lățimea de $5$ g/L și adaugă clasa $[40, 45)$ cu frecvența $1$ . Acum $24 + 1 = 25$ . Regula de reținut: ultima clasă trebuie să conțină maximul, iar controlul prin suma frecvențelor prinde imediat o valoare pierdută.

Exemplul 4 — Clase de lățimi diferite

Un radar montat pe o stradă a înregistrat viteza a $84$ de autoturisme, iar datele au fost publicate grupat: $[30, 40)$ km/h — $12$ , $[40, 50)$ km/h — $30$ , $[50, 60)$ km/h — $24$ , $[60, 90)$ km/h — $18$ . a) Calculează densitatea fiecărei clase. b) Care dreptunghi al histogramei este cel mai înalt?

Rezolvare. a) Primele trei clase au lățimea $10$ km/h, ultima $30$ km/h. Densitățile, în autoturisme pe km/h, sunt

$\frac{12}{10} = 1, 2, \frac{30}{10} = 3, \frac{24}{10} = 2, 4, \frac{18}{30} = 0, 6.$

b) Cel mai înalt este dreptunghiul clasei $[40, 50)$ , cu densitatea $3$ . Deși ultima clasă are $18$ autoturisme, mai multe decât prima, ele sunt împrăștiate pe $30$ km/h, deci dreptunghiul ei e cel mai scund. Control prin arii: $10 \cdot 1, 2 + 10 \cdot 3 + 10 \cdot 2, 4 + 30 \cdot 0, 6 = 12 + 30 + 24 + 18 = 84$ .

Exemplul 5 — Un tabel pe clase complet

Conținutul de grăsime al laptelui a fost determinat, în procente, pentru $20$ de probe de la o fermă: $3, 4$ ; $3, 8$ ; $3, 1$ ; $4, 1$ ; $3, 6$ ; $3, 5$ ; $3, 9$ ; $4, 3$ ; $3, 7$ ; $3, 3$ ; $3, 8$ ; $3, 6$ ; $4, 0$ ; $3, 2$ ; $3, 7$ ; $3, 4$ ; $4, 4$ ; $3, 8$ ; $3, 5$ ; $4, 1$ . a) Grupează datele în clase de lățime $0, 3$ , începând de la $3, 0$ , și calculează frecvențele relative. b) Ce procent dintre probe au cel puțin $3, 9%$ grăsime?

Rezolvare. a) Clasele sunt $[3, 0; 3, 3)$ , $[3, 3; 3, 6)$ , $[3, 6; 3, 9)$ , $[3, 9; 4, 2)$ , $[4, 2; 4, 5)$ ; numărăm pe listă:

Clasa (% grăsime)	$[3, 0; 3, 3)$	$[3, 3; 3, 6)$	$[3, 6; 3, 9)$	$[3, 9; 4, 2)$	$[4, 2; 4, 5)$
Frecvența	$2$	$5$	$7$	$4$	$2$
Frecvența relativă	$0, 1$	$0, 25$	$0, 35$	$0, 2$	$0, 1$

Suma frecvențelor este $20$ , iar suma frecvențelor relative este $1$ .

b) Ultimele două clase: $0, 2 + 0, 1 = 0, 3$ , adică $30%$ dintre probe. Atenție la cele două procente din aceeași frază: unul măsoară grăsimea din lapte, celălalt partea din probe.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Prețul unui kilogram de mere a fost înregistrat în $40$ de piețe. Datele sunt grupate în tabelul:

Prețul (lei)	$[4, 5)$	$[5, 6)$	$[6, 7)$	$[7, 8)$
Numărul de piețe	$6$	$13$	$12$	$9$

a) Determinați procentul piețelor în care prețul este mai mic decât $6$ lei. b) Determinați lățimea claselor și centrul clasei $[6, 7)$ .

Rezolvare. a) Prețul este mai mic decât $6$ lei în primele două clase: $6 + 13 = 19$ piețe din $40$ , adică

$\frac{19}{40} = 0, 475 = 47, 5%.$

b) Fiecare clasă are lățimea $5 - 4 = 1$ leu. Centrul clasei $[6, 7)$ este $\frac{6 + 7}{2} = 6, 5$ lei.

Contextul este unul financiar, ca în nota programei de examen pentru acest capitol; forma, o cerință scurtă cu calcul direct, e cea a Subiectului I. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu conține o cerință de statistică, așa că exemplul e un antrenament pe tema din programă, nu o copie a unui subiect.

Să exersăm

La fiecare tabel pe clase, verifică întâi că suma frecvențelor este egală cu numărul datelor și că fiecare valoare de pe graniță e pusă în clasa care începe cu ea.

1. Un termometru digital cu precizie de $0, 1$ °C a înregistrat temperatura aerului dintr-o sală de clasă la fiecare jumătate de oră, timp de o zi: $48$ de citiri, toate între $17, 3$ °C și $24, 8$ °C. a) Câte valori diferite poate afișa termometrul în acest interval? b) Ce frecvențe ar avea cele mai multe rânduri ale unui tabel pe valori? c) Dacă aceleași citiri s-ar rotunji la grad, câte valori posibile ar rămâne?

2. Datele unui set sunt cuprinse între $32$ și $76$ . Vrei $5$ clase de aceeași lățime, iar prima începe la $30$ . Care este cea mai mică lățime întreagă pentru care ultima clasă conține valoarea $76$ ?

3. Se folosesc clasele $[6, 12)$ , $[12, 18)$ , $[18, 24)$ , $[24, 30)$ . În ce clasă intră fiecare dintre valorile $12$ , $18$ și $24$ ?

4. Grosimea unor foi de tablă variază între $1, 6$ mm și $3, 8$ mm. Scrie clasele de lățime $0, 5$ mm care încep la $1, 5$ mm și acoperă toate valorile. Câte clase sunt?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „În setul grupat pe clasele $[0, 6)$ , $[6, 12)$ , $[12, 18)$ , cu frecvențele $7$ , $11$ și $4$ , cel puțin trei sferturi dintre date sunt mai mici decât $12$ .”

6. Diametrul boabelor de piper dintr-un lot a fost grupat în clasele $[2, 5; 3)$ , $[3; 3, 5)$ și $[3, 5; 4)$ , în milimetri. Care este lățimea claselor? Care sunt centrele lor?

7. Lungimea a $40$ de semințe de dovleac, în milimetri, a fost grupată astfel: $[10, 12)$ — $6$ , $[12, 14)$ — $15$ , $[14, 16)$ — $12$ , $[16, 18)$ — $7$ . Calculează frecvențele relative ale claselor, în procente.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Datele unui set sunt grupate în clasele $[0, 10)$ , $[10, 20)$ , $[20, 30)$ , $[30, 40)$ , cu frecvențele $5$ , $8$ , $4$ și $3$ . Determinați procentul datelor care sunt mai mici decât $20$ .

9. (Problemă aplicată.) În experimentul „crucii care dispare”, o soluție de tiosulfat de sodiu se amestecă cu acid clorhidric, iar sulful format tulbură treptat amestecul până când o cruce desenată sub pahar nu se mai vede. Șaisprezece echipe au cronometrat timpul, în secunde: $54$ , $42$ , $61$ , $38$ , $66$ , $51$ , $47$ , $59$ , $72$ , $56$ , $45$ , $63$ , $53$ , $77$ , $58$ , $68$ . a) Grupează timpii pe clase de $10$ s, începând de la $30$ s. b) Ce procent dintre echipe au obținut un timp sub $50$ s?

10. Histograma de mai jos arată masa, în miligrame, a unor semințe de floarea-soarelui. a) Câte semințe au fost cântărite? b) Ce procent dintre ele au masa de cel puțin $70$ mg?

Masa semințelor de floarea-soarelui, pe clase de 10 mg (datele exercițiului 10).

11. La o campanie de ecologizare, vârsta voluntarilor a fost grupată în clasele $[15, 20)$ — $10$ voluntari, $[20, 30)$ — $16$ voluntari, $[30, 50)$ — $12$ voluntari. Calculează densitățile claselor și spune care dreptunghi al histogramei este cel mai înalt.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Prețul unei pizza medii a fost înregistrat în $30$ de pizzerii, iar datele sunt grupate astfel: $[20, 30)$ lei — $7$ pizzerii, $[30, 40)$ lei — $k$ pizzerii, $[40, 50)$ lei — $9$ pizzerii. Determinați numărul $k$ și procentul pizzeriilor în care pizza costă cel puțin $30$ de lei.

13. Durata de funcționare, în ore, a $80$ de acumulatori a fost grupată în clasele $[4, 6)$ , $[6, 8)$ , $[8, 10)$ , $[10, 12)$ , cu frecvențele relative $15%$ , $35%$ , $30%$ și $20%$ . Calculează frecvențele absolute ale claselor.

14. Doi elevi grupează aceleași $40$ de măsurători, cuprinse între $0$ și $40$ : primul folosește clase de lățime $1$ , al doilea clase de lățime $20$ . Explică ce vede fiecare în histograma lui și ce lățime ai propune tu.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Datele unui set sunt repartizate pe clasele $[10, 15)$ , $[15, 20)$ , $[20, 25)$ , $[25, 30)$ , $[30, 35)$ , cu frecvențele $3$ , $7$ , $9$ , $6$ și $5$ . Determinați câte date se află în intervalul $[15, 30)$ și ce procent din total reprezintă ele.

16. Clasele unei grupări au lățimea $5$ , centrul primei clase este $12, 5$ , iar centrul ultimei clase este $52, 5$ . Câte clase sunt? Scrie prima și ultima clasă.

17. Lungimea a $30$ de castraveți, în centimetri, a fost grupată în clasele $[20, 25)$ — $8$ , $[25, 30)$ — $15$ , $[30, 35)$ — $7$ . Scrie clasele în milimetri. Ce se schimbă în histogramă și ce rămâne la fel?

18. (Provocare.) Într-o histogramă cu clasele $[0, 5)$ , $[5, 10)$ și $[10, 20)$ , înălțimile sunt densitățile $0, 6$ , $1, 4$ și $0, 5$ . Câte date are setul? Ce fracție dintre ele sunt mai mici decât $10$ ?

Răspunsuri și explicații

1. a) De la $17, 3$ la $24, 8$ , din zecime în zecime, sunt $\frac{24 , 8 - 17 , 3}{0 , 1} + 1 = 76$ de valori posibile. b) Cele $48$ de citiri se împart între $76$ de valori posibile, așa că cele mai multe rânduri ar avea frecvența $0$ sau $1$ : tabelul ar fi doar lista brută rescrisă. c) Rotunjite la grad, citirile pot fi $17, 18, \dots, 25$ , adică $9$ valori, cu aproximativ cinci citiri pe valoare. Rotunjirea a făcut deja o grupare, în clase cu lățimea de $1$ °C.

2. Cu lățimea $h$ , clasele merg de la $30$ până la $30 + 5 h$ , iar ultima conține $76$ doar dacă $30 + 5 h > 76$ , adică $h > 9, 2$ . Pentru $h = 9$ , ultima clasă este $[66, 75)$ și pierde valoarea $76$ ; pentru $h = 10$ , ultima clasă este $[70, 80)$ . Cea mai mică lățime întreagă este $10$ .

3. Fiecare valoare intră în clasa care începe cu ea: $12$ în $[12, 18)$ , $18$ în $[18, 24)$ , $24$ în $[24, 30)$ .

4. Clasele sunt $[1, 5; 2)$ , $[2; 2, 5)$ , $[2, 5; 3)$ , $[3; 3, 5)$ și $[3, 5; 4)$ , deci $5$ clase; ultima conține maximul $3, 8$ , iar o clasă mai puțin, oprită la $3, 5$ , l-ar fi lăsat pe dinafară.

5. Adevărat. Setul are $7 + 11 + 4 = 22$ de date, dintre care $7 + 11 = 18$ sunt mai mici decât $12$ . Cum $\frac{18}{22} \approx 0, 82$ , iar trei sferturi înseamnă $0, 75$ , afirmația este adevărată.

6. Lățimea este $0, 5$ mm. Centrele sunt $\frac{2 , 5 + 3}{2} = 2, 75$ mm, $3, 25$ mm și $3, 75$ mm.

7. Setul are $6 + 15 + 12 + 7 = 40$ de semințe. Frecvențele relative sunt $\frac{6}{40} = 15%$ , $\frac{15}{40} = 37, 5%$ , $\frac{12}{40} = 30%$ și $\frac{7}{40} = 17, 5%$ , cu suma $100%$ .

8. Setul are $5 + 8 + 4 + 3 = 20$ de date, iar sub $20$ se află $5 + 8 = 13$ . Procentul este $\frac{13}{20} = 65%$ .

9. a) Clasele $[30, 40)$ , $[40, 50)$ , $[50, 60)$ , $[60, 70)$ , $[70, 80)$ au frecvențele $1$ , $3$ , $6$ , $4$ și $2$ , cu suma $16$ . b) Sub $50$ s sunt $1 + 3 = 4$ echipe, adică $\frac{4}{16} = 25%$ . Timpii diferă de la o echipă la alta prin temperatura soluțiilor și prin momentul în care fiecare echipă a pornit cronometrul.

10. a) Suma înălțimilor: $5 + 12 + 18 + 10 + 5 = 50$ de semințe. b) De cel puțin $70$ mg sunt ultimele două clase, $10 + 5 = 15$ semințe, adică $\frac{15}{50} = 30%$ .

11. Lățimile sunt $5$ , $10$ și $20$ de ani. Densitățile, în voluntari pe an, sunt $\frac{10}{5} = 2$ , $\frac{16}{10} = 1, 6$ și $\frac{12}{20} = 0, 6$ . Cel mai înalt dreptunghi este cel al clasei $[15, 20)$ , deși are cei mai puțini voluntari.

12. Din $7 + k + 9 = 30$ rezultă $k = 14$ . Pizza costă cel puțin $30$ de lei în $14 + 9 = 23$ de pizzerii, adică $\frac{23}{30} \approx 76, 67%$ .

13. Frecvența absolută este frecvența relativă înmulțită cu $80$ : $0, 15 \cdot 80 = 12$ , $0, 35 \cdot 80 = 28$ , $0, 3 \cdot 80 = 24$ și $0, 2 \cdot 80 = 16$ ; suma lor este $80$ .

14. Cu lățimea $1$ ar fi $40$ de clase pentru $40$ de date: majoritatea au frecvența $0$ sau $1$ , iar histograma arată ca lista brută. Cu lățimea $20$ ar rămâne două dreptunghiuri, care ascund complet forma datelor. O lățime de $5$ dă opt clase, suficient de puține ca să se vadă unde se adună datele și suficient de multe ca să se vadă coada.

15. Intervalul $[15, 30)$ cuprinde clasele $[15, 20)$ , $[20, 25)$ și $[25, 30)$ : $7 + 9 + 6 = 22$ de date. Totalul este $3 + 7 + 9 + 6 + 5 = 30$ , deci procentul este $\frac{22}{30} \approx 73, 33%$ .

16. Centrele consecutive diferă prin lățime, deci de la $12, 5$ la $52, 5$ sunt $\frac{52 , 5 - 12 , 5}{5} = 8$ pași și $9$ clase. Prima clasă este $[10, 15)$ , ultima $[50, 55)$ .

17. Clasele devin $[200, 250)$ , $[250, 300)$ și $[300, 350)$ mm. Se schimbă doar numerele de pe axa orizontală și unitatea ei; frecvențele $8$ , $15$ , $7$ și forma histogramei rămân aceleași, pentru că fiecare castravete rămâne în aceeași clasă.

18. Frecvența unei clase este aria dreptunghiului ei: $5 \cdot 0, 6 = 3$ , $5 \cdot 1, 4 = 7$ și $10 \cdot 0, 5 = 5$ . Setul are $3 + 7 + 5 = 15$ date, iar sub $10$ se află $3 + 7 = 10$ dintre ele, adică $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ .

De reținut

Se grupează pe clase măsurătorile continue și numărătorile cu foarte multe valori distincte; datele calitative și numărătorile cu puține valori rămân pe valori.
O clasă $[a, b)$ conține capătul din stânga și nu îl conține pe cel din dreapta; o valoare de pe graniță intră în clasa care începe cu ea, iar ultima clasă trebuie să conțină maximul.
Lățimea este amplitudinea împărțită la câte clase vrei, rotunjită în sus; centrul clasei $[a, b)$ este $\frac{a + b}{2}$ .
Histograma are dreptunghiuri lipite, pe o axă numerică gradată cu unitate; la clase egale, înălțimea este frecvența.
La clase de lățimi diferite, înălțimea este densitatea (frecvența împărțită la lățime), iar aria dreptunghiului redă frecvența clasei.

Greșeli frecvente

Ultima clasă care se oprește chiar în maxim. Cu clasa $[35, 40)$ , o salinitate de exact $40$ g/L rămâne pe dinafară; suma frecvențelor iese cu unu mai mică. Adaugă o clasă sau alege capetele astfel încât maximul să fie în interiorul ultimei clase.
Lățimea rotunjită în jos. Dacă amplitudinea împărțită la cinci dă $8, 8$ , lățimea $8$ produce cinci clase care nu ajung până la maxim. Lățimea se rotunjește întotdeauna în sus.
Clase cu capete incomode. Clasele $[13, 7; 18, 1)$ , $[18, 1; 22, 5)$ respectă regulile, dar nu se pot citi pe axă și nici compara cu alt studiu. Capetele se aleg rotunde, multipli de $2$ , $5$ sau $10$ ai unității, iar prima clasă începe la un astfel de număr, puțin sub minim.
Centrul clasei luat drept o valoare măsurată. Centrul $35$ al clasei $[30, 40)$ nu spune că există o cochilie de $35$ mm; e doar reprezentantul clasei, folosit în calcule aproximative.
Procentul dintr-o clasă citit „în interiorul” ei. Histograma nu spune câte date sunt sub $30$ cm dacă $30$ e în mijlocul unei clase; întrebările cu răspuns exact se opresc pe capetele claselor.

Aplică acasă

Pătrățelele numără datele. Pe hârtie milimetrică, desenează histograma cochiliilor din secțiunea 5, cu $1$ cm pentru $10$ mm pe orizontală și $1$ cm pentru o cochilie pe verticală. Apoi unește ultimele două clase într-una singură, $[40, 60)$ , și desenează-o cu densitatea. Numără pătrățelele de câte $1$ cm²: aria dreptunghiului nou trebuie să fie egală cu suma ariilor celor două dreptunghiuri pe care le-a înlocuit.
Aceleași date, trei lățimi. Introdu măsurătorile într-o foaie de calcul sau în GeoGebra și desenează histograma de trei ori, cu trei lățimi diferite. Notează pentru fiecare desen ce se vede și ce se pierde, apoi alege lățimea cea mai potrivită.
Senzorul de lumină al telefonului. Cu o aplicație care afișează citirea senzorului de lumină, notează $60$ de valori, în lucși, mutând telefonul prin cameră: lângă fereastră, pe birou, în colțuri. Grupează-le pe clase și desenează histograma. Dacă alegi la capăt o clasă mai lată pentru valorile foarte mari de lângă fereastră, desenează densitatea.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă o listă de măsurători într-un tabel pe clase și apoi într-un desen care se citește. Accentul cade pe deciziile pe care elevul le ia singur (lățimea, capătul primei clase, locul valorilor de pe graniță) și pe controlul prin suma frecvențelor, fiindcă aici se produc aproape toate erorile. Clasele de lățimi diferite sunt tratate prin densitate, pentru că datele reale din biologie și din statistica oficială vin adesea așa grupate.

Întrebări utile la clasă: „Datele au fost măsurate sau clasificate?”; „Unde pui o măsurătoare egală cu un capăt de clasă?”; „Ultima clasă conține maximul?”; „Aria dreptunghiului corespunde frecvenței?”. Semn că elevul a înțeles: își verifică singur suma frecvențelor și refuză să dea un număr exact pentru un prag aflat în mijlocul unei clase. Pasul următor este poligonul frecvențelor, care unește centrele claselor printr-o linie frântă, iar exercițiile de recapitulare sunt în testul de statistică M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: gruparea datelor pe clase și histograma, mate-info (M1).

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul „Statistică și probabilități” numește histogramele printre reprezentările grafice ale seturilor de date, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține, în capitolul „Matematici financiare” al clasei a X-a, „culegerea, clasificarea și prelucrarea datelor statistice” și „reprezentarea grafică a datelor statistice”, fără să numească histograma, iar nota capitolului cere ca aplicațiile să fie din domeniul financiar. De aceea exercițiile marcate aici „tip Bacalaureat M2” au date pur numerice sau prețuri. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I nu conține nicio cerință de statistică, așa că aceste exerciții sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Întrebări frecvente

Ce diferență este între histograma de la M2 și cea de la mate-info (M1)? Construcția este aceeași, dar lecția de la științe ale naturii pornește de la măsurători de laborator și de teren: cochilii, probe de lapte, scufundări, zahărul din struguri. În plus, tratează clasele de lățimi diferite prin densitate, fiindcă datele științifice vin adesea grupate de altcineva, iar exercițiile de examen folosesc date numerice sau prețuri.

La ce subiect apare histograma la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 cere reprezentarea grafică a datelor statistice, fără să numească histograma, iar modelul oficial publicat pentru 2026 nu are nicio cerință de statistică. Pentru proba MAT_P2 din 2030, programa numește histogramele în domeniul „Date, statistică matematică și probabilități”, dar un model de subiect nu a fost încă publicat.

Ce fac cu o măsurătoare mult mai mare decât toate celelalte? Verifici întâi dacă e reală: o eroare de citire se corectează în caietul de teren, nu în tabel. Dacă e reală, rămâne în date. Fie continui clasele de aceeași lățime, unele cu frecvența $0$ , până o cuprinzi, fie folosești o ultimă clasă mai lată și desenezi densitatea. Nu o ștergi fără să spui.

De ce nu pot afla exact câte date sunt sub o valoare din mijlocul unei clase? Pentru că tabelul pe clase păstrează doar câte date sunt în fiecare interval, nu cum sunt așezate înăuntru. Dacă o clasă $[28, 32)$ are $11$ valori, ele pot fi toate lângă $28$ sau toate lângă $32$ . Răspunsul exact există doar pe capetele claselor; în rest poți doar estima.

Ce este densitatea unei clase și când o folosesc? Densitatea este frecvența clasei împărțită la lățimea ei, adică numărul de date pe o unitate de măsură. O folosești ca înălțime a dreptunghiului când clasele au lățimi diferite: astfel aria fiecărui dreptunghi rămâne egală cu frecvența, iar un interval lat nu mai pare, fals, mai bogat în date.

De ce apare uneori o ultimă clasă de tipul „ $60$ de ani și peste”? În statistica oficială, ultima clasă e lăsată deschisă ca să cuprindă toate valorile mari. Pentru o histogramă corectă trebuie totuși să-i alegi un capăt, de exemplu $90$ de ani, și atunci clasa devine mai lată decât celelalte, deci desenezi densitatea. Capătul ales se scrie sub desen, fiindcă schimbă înălțimea dreptunghiului.