Probabilitatea reuniunii a două evenimente: pe scurt

Reuniunea $A\cup B$ înseamnă „se produce cel puțin unul dintre $A$ și $B$" — un „sau" neexclusiv, care include și cazul în care se produc amândouă. Numărând pe diagrama Venn, rezultatele din intersecție ar fi socotite de două ori dacă am aduna simplu $\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)$; corecția dă formula centrală

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

Cazul particular, cel mai des confundat cu regula generală: dacă $A$ și $B$ sunt disjuncte (nu se pot produce simultan), atunci $P(A\cap B)=0$ și formula devine simpla adunare $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$. Greșeala tipică e să aplici adunarea directă și când evenimentele se suprapun.

Citită invers, formula dă $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$ — varianta cea mai cerută la examen, atunci când enunțul dă direct cele trei probabilități.

Trei verificări rapide: $\max (P(A),P(B))\le P(A\cup B)\le \min (1,P(A)+P(B))$, iar evenimentul „nici $A$, nici $B$" are probabilitatea $1-P(A\cup B)$. Pe un tabel cu patru regiuni (numai $A$, ambele, numai $B$, niciunul), suma celor patru trebuie să dea totalul — proba obligatorie a oricărei probleme de acest tip.

Exerciții din această mini-lecție

1. Într-o clasă de $25$ de elevi, $15$ joacă tenis, $10$ joacă șah, iar $4$ joacă ambele sporturi. Se alege un elev la întâmplare. Care este probabilitatea ca el să joace cel puțin unul dintre cele două sporturi?

   • a) $\frac{21}{25}$
   • b) $1$
   • c) $\frac{11}{25}$
   • d) $\frac{19}{25}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{21}{25}$

   $P=\frac{15}{25}+\frac{10}{25}-\frac{4}{25}=\frac{21}{25}$. Varianta b) ar rezulta dintr-o adunare fără scădere, interpretată greșit ca eveniment sigur; c) și d) provin din scăderi incorecte ale intersecției.

2. Se extrage o carte dintr-un pachet de $52$ de cărți. Care este probabilitatea ca ea să fie treflă sau valet?

   • a) $\frac{4}{13}$
   • b) $\frac{17}{52}$
   • c) $\frac{1}{4}$
   • d) $\frac{3}{13}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{4}{13}$

   $P(\text{trefla˘})=\frac{13}{52}$, $P(\text{valet})=\frac{4}{52}$, iar $P(\text{trefla˘ și valet})=\frac{1}{52}$ (valetul de treflă). $P(\text{trefla˘ sau valet})=\frac{13}{52}+\frac{4}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$. Varianta b) apare dacă se uită să se scadă valetul de treflă, numărat de două ori.

3. Se aruncă un zar echilibrat. Fie $A$=«apare $1$ sau $2$» și $B$=«apare $5$ sau $6$». Care este $P(A\cup B)$?

   • a) $\frac{5}{6}$
   • b) $\frac{1}{3}$
   • c) $\frac{2}{3}$
   • d) $\frac{1}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{2}{3}$

   $A$ și $B$ nu au niciun rezultat comun (sunt disjuncte), deci $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{2}{6}+\frac{2}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, fără nicio scădere.