Probabilități condiționate (M2, științe ale naturii)

Pe o potecă de pădure, un elev a strâns $40$ de frunze căzute: $25$ de stejar și $15$ de arțar. Pe $12$ dintre ele se văd gale, umflăturile rotunde pe care le produc larvele unor viespi mici, iar $10$ dintre frunzele cu gale sunt de stejar. Dacă iei o frunză la întâmplare din grămadă, șansa să aibă gale e una; dacă știi dinainte că frunza e de stejar, șansa se schimbă, pentru că alegi acum dintr-un grup mai mic. Lecția face parte din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), capitolul de probabilități, unde probabilitățile condiționate sunt cerute explicit, pentru două evenimente. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă nu conține tema: programa de examen numește operațiile cu evenimente și probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile, dar nu probabilitățile condiționate.

În lecția despre probabilitatea intersecției ai întâlnit o fracție „recalculată după prima etapă”. Aici ea primește un nume și o definiție, iar tabelele cu dublă intrare încep să fie citite pe rânduri și pe coloane.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă probabilitatea lui $B$ știind că $A$ a avut loc, cum se notează și cum o calculezi restrângând mulțimea cazurilor posibile.
• Vei ști să folosești formula $P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ atunci când ai probabilități în loc de numere de cazuri.
• Vei ști să citești o probabilitate condiționată dintr-un tabel, alegând linia sau coloana indicată de condiție.
• Vei ști să deosebești $P(B\mid A)$ de $P(A\mid B)$ și să le calculezi pe amândouă din același tabel.
• Vei ști să recunoști probabilitățile condiționate de pe ramurile unui arbore și să obții din ele probabilitatea unui traseu.
• Vei ști să compari două probabilități condiționate ca să anticipezi comportarea unui sistem.

Hai să descoperim împreună

1. O informație nouă micșorează universul

Probabilitatea condiționată $P(B\mid A)$ este probabilitatea evenimentului $B$ calculată numai printre rezultatele evenimentului $A$; se citește „probabilitatea lui $B$, știind că $A$ a avut loc”. Când rezultatele sunt egal posibile și $A$ are cel puțin un rezultat,

$$P(B\mid A)=\frac{\mathrm{card}(A\cap B)}{\mathrm{card}(A)}.$$

Condiția $A$ joacă rolul unui nou $\Omega$: numitorul nu mai este numărul tuturor rezultatelor, ci numărul rezultatelor lui $A$, iar la numărător rămân doar rezultatele lui $A$ care îl realizează și pe $B$.

La frunzele din deschidere, fie $A$ = „frunza e de stejar” și $B$ = „frunza are gale”. Fără nicio informație, $P(B)=\frac{12}{40}=\frac{3}{10}$. Știind că frunza e de stejar, alegerea se face printre cele $25$ de frunze de stejar, dintre care $10$ au gale:

$$P(B\mid A)=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}.$$

Informația a mărit șansa, de la $0,3$ la $0,4$. În frunzele de stejar nu s-a schimbat nimic; s-a schimbat doar grupul din care alegi. Restrângerea unei mulțimi la elementele care au o proprietate o cunoști din clasa a IX-a, de la operațiile cu mulțimi.

2. Din numere de cazuri, în probabilități date

Împarte numărătorul și numitorul fracției din definiție la $\mathrm{card}(\Omega )$. Valoarea fracției nu se schimbă, dar fiecare termen devine o probabilitate:

$$P(B\mid A)=\frac{\mathrm{card}(A\cap B)/\mathrm{card}(\Omega )}{\mathrm{card}(A)/\mathrm{card}(\Omega )}=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},P(A)>0.$$

Forma aceasta se folosește când enunțul dă probabilități sau procente, nu numere de cazuri. Dacă $P(A\cap B)=0,12$ și $P(A)=0,4$, atunci $P(B\mid A)=\frac{0,12}{0,4}=0,3$.

Condiția $P(A)>0$ spune că informația primită trebuie să fie posibilă. Două controale decurg imediat din formulă: rezultatul stă între $0$ și $1$, pentru că intersecția e o parte din $A$, și nu este mai mic decât $P(A\cap B)$, pentru că împarți la un număr cel mult egal cu $1$.

3. Rândul sau coloana: numitorul îl alege condiția

Aripioarele din coada unei rachete o stabilizează, pentru că mută centrul de presiune în spatele centrului de masă. Un club de fizică a făcut $400$ de lansări ale unor rachete cu apă sub presiune: $250$ cu aripioare și $150$ fără aripioare, și a notat de fiecare dată dacă zborul a fost stabil.

Regula de citire: condiția îți spune în ce parte a tabelului rămâi, iar totalul acelei părți devine numitorul.

• Știind că racheta a avut aripioare, rămâi pe linia „cu aripioare”: $P(\text{stabil}\mid \text{aripioare})=\frac{200}{250}=\frac{4}{5}$.
• Pe linia „fără aripioare”: $P(\text{stabil}\mid \text{fa˘ra˘ aripioare})=\frac{45}{150}=\frac{3}{10}$.
• Fără nicio condiție, numitorul este totalul general: $P(\text{stabil})=\frac{245}{400}=\frac{49}{80}$.
• Știind că zborul a fost stabil, rămâi pe coloana „zbor stabil”: $P(\text{aripioare}\mid \text{stabil})=\frac{200}{245}=\frac{40}{49}$.

Primele două valori spun cel mai mult despre experiment: aripioarele cresc proporția zborurilor stabile de la $30\%$ la $80\%$.

4. Două întrebări cu același numărător

Un atlas descrie $120$ de specii de ciuperci din pădurile României: $18$ sunt toxice, $30$ au lamelele albe, iar $9$ au ambele caracteristici. Două întrebări sună asemănător, dar nu sunt aceeași întrebare:

• „Ce parte dintre speciile cu lamele albe sunt toxice?” Condiția e „lamele albe”, deci $P(\text{toxica˘}\mid \text{lamele albe})=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}$.
• „Ce parte dintre speciile toxice au lamele albe?” Condiția e „toxică”, deci $P(\text{lamele albe}\mid \text{toxica˘})=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}$.

Numărătorul e același, cele $9$ specii cu ambele caracteristici, dar numitorii diferă. Jumătate dintre speciile toxice au lamele albe, și totuși o ciupercă cu lamele albe e toxică doar în $30\%$ dintre cazuri. Nicio afirmație nu o implică pe cealaltă; fiecare se calculează din tabelul ei, cu propriul numitor. Inversarea condiției este o greșeală cu urmări reale: cineva care a citit „jumătate dintre ciupercile otrăvitoare au lamele albe” poate ajunge să creadă că orice ciupercă cu lamele albe e periculoasă, sau, invers, că nu e.

5. Ce număr stă pe a doua ramură a arborelui?

O cutie conține $16$ magneți, dintre care $5$ sunt de neodim. Se scoate un magnet, se pune deoparte, apoi se scoate încă unul. Pe ramura de la „primul e de neodim” spre „al doilea e de neodim” stă fracția $\frac{4}{15}$: au rămas $15$ magneți, dintre care $4$ de neodim. Este exact probabilitatea condiționată

$$P(\text{al doilea de neodim}\mid \text{primul de neodim})=\frac{4}{15}.$$

Toate numerele de pe ramurile nivelului al doilea sunt probabilități condiționate de nodul din care pleacă ramura. Scriind definiția de la subsecțiunea 2 cu $P(A)$ trecut în partea cealaltă, obții regula traseului din lecția precedentă, acum ca o consecință a definiției:

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A).$$

Pentru magneți, $P(\text{ambii de neodim})=\frac{5}{16}\cdot \frac{4}{15}=\frac{20}{240}=\frac{1}{12}$. Când pe a doua ramură stă aceeași fracție, orice s-ar fi întâmplat la prima etapă, situația are un nume, studiat în lecția despre evenimente independente.

6. Ce devine contrarul, sub aceeași condiție?

La plăcile de beton turnate iarna cu un aditiv antiîngheț, $92\%$ ating rezistența cerută după $28$ de zile. Știind că placa a fost turnată cu aditiv, probabilitatea ca ea să nu atingă rezistența este

$$P(\overline{B}\mid A)=1-P(B\mid A)=1-0,92=0,08.$$

Regula e cea de la evenimentul contrar, aplicată în interiorul lui $A$: rezultatele lui $A$ se împart în cele care îl realizează pe $B$ și cele care nu, deci cele două probabilități condiționate au suma $1$. Condiția trebuie să rămână aceeași. Despre plăcile turnate fără aditiv, valoarea de $0,92$ nu spune nimic: $P(B\mid \overline{A})$ se măsoară separat, pe alt grup de plăci, și nu este $0,08$.

7. Cum folosești o probabilitate condiționată ca să anticipezi?

Pauzele dintre erupțiile unui gheizer au fost studiate pe $100$ de erupții consecutive. După $60$ de erupții lungi, pauza următoare a fost lungă de $54$ de ori; după $40$ de erupții scurte, pauza a fost lungă doar de $8$ ori. Pentru ghizii care anunță turiștilor ora următoarei erupții, contează două numere:

$$P(\text{pauza˘ lunga˘}\mid \text{erupție lunga˘})=\frac{54}{60}=\frac{9}{10},P(\text{pauza˘ lunga˘}\mid \text{erupție scurta˘})=\frac{8}{40}=\frac{1}{5}.$$

Fără să știi cum a fost erupția, ai putea spune doar că pauza e lungă în $62$ de cazuri din $100$. Cu informația despre erupție, prognoza devine mult mai precisă: după o erupție lungă, așteptarea lungă e aproape sigură; după una scurtă, e puțin probabilă. Așa se folosesc datele condiționate în științe: comportarea observată în situații asemănătoare devine o estimare pentru situația următoare, cu condiția ca sistemul să nu se fi schimbat între timp.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Restrânge universul: numerele de ordine terminate în 7

Un program alege la întâmplare una dintre cele $50$ de probe ale unui stativ, numerotate de la $1$ la $50$. Se află că numărul probei alese se termină cu cifra $7$. Calculați probabilitatea ca numărul probei să fie prim.

Rezolvare. Condiția restrânge universul la numerele $7,17,27,37,47$, adică $5$ cazuri egal posibile. Dintre ele, $27=3\cdot 9$ nu este prim, iar celelalte patru sunt prime. Deci

$$P(\text{prim}\mid \text{termina˘ ıˆn }7)=\frac{4}{5}.$$

Pentru comparație, printre toate cele $50$ de numere sunt $15$ numere prime, deci fără informație probabilitatea ar fi fost $\frac{15}{50}=\frac{3}{10}$.

Exemplul 2 — Citește tabelul: mobilizarea după operație

Un spital a urmărit $600$ de pacienți operați. Dintre cei $240$ ridicați din pat în prima zi după operație, $12$ au avut complicații respiratorii; dintre ceilalți $360$, $54$ au avut astfel de complicații. Se alege la întâmplare un pacient. Calculați: a) probabilitatea unei complicații, știind că pacientul a fost mobilizat în prima zi; b) aceeași probabilitate pentru un pacient nemobilizat; c) probabilitatea ca pacientul să fi fost mobilizat în prima zi, știind că a avut complicații.

Rezolvare. a) Linia „mobilizați”: $P=\frac{12}{240}=\frac{1}{20}$.

b) Linia „nemobilizați”: $P=\frac{54}{360}=\frac{3}{20}$.

c) Coloana „complicații” are $12+54=66$ de pacienți, dintre care $12$ mobilizați: $P=\frac{12}{66}=\frac{2}{11}$.

Interpretare: printre pacienții nemobilizați, complicațiile au fost de trei ori mai frecvente. Datele unui singur spital nu dovedesc singure că mobilizarea previne complicațiile, dar arată o diferență care merită studiată.

Exemplul 3 — Găsește greșeala: ploaia și accidentele

Pe un tronson de drum s-au înregistrat într-un an $300$ de zile cu carosabil uscat și $65$ de zile cu ploaie. Accidente au avut loc în $24$ dintre zilele uscate și în $13$ dintre zilele ploioase. Un comentator spune: „Majoritatea zilelor cu accidente au fost uscate, deci ploaia nu face drumul mai periculos.” Găsiți greșeala.

Rezolvare. Comentatorul folosește probabilitatea condiționată de accident:

$$P(\text{zi uscata˘}\mid \text{accident})=\frac{24}{37}.$$

Valoarea e mare pur și simplu pentru că zilele uscate sunt mult mai multe. Întrebarea despre pericol cere condiția inversă:

$$P(\text{accident}\mid \text{zi uscata˘})=\frac{24}{300}=\frac{2}{25},P(\text{accident}\mid \text{zi ploioasa˘})=\frac{13}{65}=\frac{1}{5}.$$

Într-o zi ploioasă, un accident pe tronson e de două ori și jumătate mai probabil, ceea ce se potrivește cu scăderea aderenței pneurilor pe asfaltul ud.

Exemplul 4 — Două cutii cu baterii

Pe o masă sunt două cutii: cutia I are $6$ baterii, dintre care $2$ descărcate, iar cutia II are $4$ baterii, dintre care $3$ descărcate. Se alege la întâmplare o cutie, apoi o baterie din ea. Calculați: a) probabilitatea ca bateria să fie descărcată, știind că s-a ales cutia I; b) probabilitatea ca să fie aleasă cutia II și bateria să fie descărcată.

Rezolvare. a) Condiția fixează cutia I, deci alegerea se face printre cele $6$ baterii ale ei: $P(\text{desca˘rcata˘}\mid \text{cutia I})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

b) Pe traseul „cutia II, apoi descărcată” folosim $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$:

$$P=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{8}.$$

Pe arbore, $\frac{1}{2}$ stă pe ramura primului nivel, iar $\frac{3}{4}$ pe ramura nivelului al doilea, ca probabilitate condiționată de cutia aleasă.

Exemplul 5 — Condiționată din procente: păsările răpitoare

Un centru de reabilitare primește păsări răpitoare găsite rănite sau slăbite. Dintre păsările primite într-un an, $70\%$ sunt exemplare tinere, iar $28\%$ din totalul păsărilor sunt exemplare tinere cu o aripă rănită. Calculați probabilitatea ca o pasăre aleasă la întâmplare să aibă aripa rănită, știind că este tânără, și probabilitatea ca aripa să nu fie rănită, cu aceeași condiție.

Rezolvare. Procentele se referă la aceeași mulțime de păsări, deci le folosim ca probabilități:

$$P(R\mid T)=\frac{P(T\cap R)}{P(T)}=\frac{0,28}{0,7}=0,4.$$

Sub aceeași condiție, $P(\overline{R}\mid T)=1-0,4=0,6$. Altfel spus, $40\%$ dintre păsările tinere sosesc cu aripa rănită.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2 (MAT_P2 2030)

Se consideră mulțimea $M=\{1,2,3,\dots ,100\}$ și evenimentele $A$ = „numărul ales din $M$ este multiplu de $4$”, $B$ = „numărul ales din $M$ este multiplu de $10$”. a) Calculați $P(A\cap B)$. b) Calculați $P(B\mid A)$.

Rezolvare. a) Un număr este multiplu și de $4$, și de $10$ exact când e multiplu de $20$: $20,40,60,80,100$, adică $5$ numere. Deci $P(A\cap B)=\frac{5}{100}=\frac{1}{20}$.

b) Multiplii lui $4$ din $M$ sunt $25$, deci $P(A)=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$. Cu formula,

$$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{5/100}{25/100}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}.$$

Același rezultat se obține restrângând universul la cei $25$ de multipli ai lui $4$, dintre care $5$ sunt multipli de $10$. Programa MAT_P2 din 2030 conține probabilitățile condiționate, dar pentru această probă nu există încă un model publicat.

Să exersăm

1. O secție de spital are $50$ de pacienți; $20$ dintre ei au peste $65$ de ani, iar $8$ dintre aceștia au un stimulator cardiac. Se alege la întâmplare un pacient. Calculează probabilitatea ca el să aibă stimulator cardiac, știind că are peste $65$ de ani.

2. Un laborator de informatică a descărcat $250$ de fișiere de date: $160$ prin rețeaua Wi-Fi a școlii, dintre care $12$ au ajuns corupte, și $90$ prin date mobile, dintre care $18$ au ajuns corupte. Calculează probabilitatea ca un fișier să fie corupt, știind că a fost descărcat prin Wi-Fi, și probabilitatea ca un fișier să fi fost descărcat prin Wi-Fi, știind că este corupt.

3. Se știe că $P(A\cap B)=0,18$ și $P(A)=0,45$. Calculează $P(B\mid A)$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Un experiment are un număr finit de rezultate egal posibile, iar $A$ și $B$ sunt două evenimente ale lui, cu $A$ nevid. „Dacă $P(B\mid A)=1$, atunci orice rezultat al lui $A$ este și rezultat al lui $B$.”

5. Într-o cutie sunt $7$ senzori de temperatură, dintre care $2$ defecți. Se scoate un senzor, se pune deoparte, apoi se scoate încă unul. Calculează probabilitatea ca al doilea senzor să fie defect, știind că primul a fost bun.

6. (Problemă aplicată.) Un medic veterinar a urmărit $80$ de miei într-o iarnă: $50$ au stat într-un adăpost încălzit, iar $5$ dintre ei s-au îmbolnăvit; $30$ au stat într-un adăpost neîncălzit, iar $12$ dintre ei s-au îmbolnăvit. a) Calculează probabilitatea îmbolnăvirii pentru fiecare tip de adăpost. b) Un crescător are $20$ de miei într-un adăpost neîncălzit. Folosind rezultatul de la a) ca estimare, câte îmbolnăviri sunt de așteptat?

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră mulțimea $M=\{1,2,3,\dots ,30\}$. Știind că numărul ales din $M$ este prim, determinați probabilitatea ca el să dea restul $1$ la împărțirea cu $4$.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se alege un număr natural de trei cifre. Știind că numărul ales este multiplu de $5$, determinați probabilitatea ca cifra sutelor să fie $1$.

9. Se știe că $P(A)=0,5$, $P(B)=0,45$ și $P(A\cap B)=0,3$. Calculează $P(B\mid A)$ și $P(A\mid B)$.

10. Într-o expediție de $40$ de speologi, $22$ au cartografiat galerii, $15$ au prelevat probe de apă, iar $7$ au făcut ambele activități. Se alege la întâmplare un membru al expediției. Calculează probabilitatea ca el să fi cartografiat galerii, știind că a prelevat probe de apă.

11. Pentru o reacție, un program alege la întâmplare o concentrație $c$ dintre $0,1$, $0,2$ și $0,5$ mol/L și un volum $V$ dintre $10$, $20$, $30$ și $40$ mL; toate cele $12$ perechi sunt egal posibile. Cantitatea de substanță, în milimoli, este $n=c\cdot V$. Știind că $n\ge 6$ mmol, calculează probabilitatea ca $c=0,5$ mol/L.

12. Un detector de fum se declanșează în $97\%$ dintre incendiile din încăperea în care e montat. a) Calculează probabilitatea ca detectorul să nu se declanșeze, știind că în încăpere a izbucnit un incendiu. b) Estimează în câte dintre $400$ de astfel de incendii detectorul ar rămâne tăcut.

13. Un studiu agricol a analizat $1200$ de mostre de sol: $300$ sunt argiloase, $240$ sunt sărace în azot, iar $90$ sunt și argiloase, și sărace în azot. a) Calculează probabilitatea ca o mostră să fie argiloasă, știind că e săracă în azot. b) Calculează probabilitatea ca o mostră să fie săracă în azot, știind că e argiloasă. c) Un fermier are un teren argilos și se întreabă dacă solul lui e probabil sărac în azot. Care dintre cele două rezultate îl ajută și de ce?

14. Într-o seră, $8\%$ dintre plante au frunze îngălbenite, iar $75\%$ dintre plantele cu frunze îngălbenite au o carență de azot. Calculează probabilitatea ca o plantă aleasă la întâmplare să aibă frunze îngălbenite și carență de azot.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Dintre $6$ probe, notate $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, se aleg simultan, la întâmplare, două pentru o analiză. Determinați probabilitatea ca proba $B$ să fie aleasă, știind că proba $A$ a fost aleasă, și comparați-o cu probabilitatea ca proba $B$ să fie aleasă, fără nicio informație.

16. Dintr-un lot de $60$ de semințe, $45$ au germinat, iar $36$ dintre semințele germinate au dat plante sănătoase. Calculează probabilitatea ca o sămânță să dea o plantă sănătoasă, știind că a germinat, și probabilitatea ca o sămânță aleasă din tot lotul să germineze și să dea o plantă sănătoasă.

17. Două laboratoare au testat aceeași vopsea anticorozivă pe probe de oțel ținute $30$ de zile în ceață salină. La laboratorul I, $102$ din $120$ de probe nu au ruginit; la laboratorul II, $64$ din $80$. Calculează, pentru fiecare laborator, probabilitatea ca o probă să nu fi ruginit, știind că a fost testată acolo, și spune unde rezultatul a fost mai bun.

18. (Provocare.) Pentru două evenimente se știe că $P(A)=0,64$, $P(B\mid A)=0,5$ și $P(A\cup B)=0,85$. Calculează $P(B)$ și $P(B\mid \overline{A})$.

Răspunsuri și explicații

1. Condiția restrânge la cei $20$ de pacienți de peste $65$ de ani: $P=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$.

2. Linia „Wi-Fi”: $P(\text{corupt}\mid \text{Wi-Fi})=\frac{12}{160}=\frac{3}{40}$. Coloana „corupte” are $12+18=30$ de fișiere: $P(\text{Wi-Fi}\mid \text{corupt})=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$.

3. $P(B\mid A)=\frac{0,18}{0,45}=0,4$.

4. Adevărat. Din $P(B\mid A)=\frac{\mathrm{card}(A\cap B)}{\mathrm{card}(A)}=1$ rezultă $\mathrm{card}(A\cap B)=\mathrm{card}(A)$. Cum $A\cap B\subseteq A$, cele două mulțimi finite au același număr de elemente și sunt egale, deci $A\subseteq B$.

5. După un senzor bun rămân $6$ senzori, dintre care cei $2$ defecți: $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

6. a) Adăpost încălzit: $P=\frac{5}{50}=\frac{1}{10}$; neîncălzit: $P=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$. b) Aproximativ $\frac{2}{5}\cdot 20=8$ îmbolnăviri; numărul real poate diferi, pentru că estimarea vine dintr-un singur lot.

7. Numerele prime din $M$ sunt $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$, adică $10$. Dau restul $1$ la împărțirea cu $4$: $5,13,17,29$. $P=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$.

8. Numerele de trei cifre multiple de $5$ sunt $100,105,\dots ,995$, adică $180$. Cu cifra sutelor $1$: $100,105,\dots ,195$, adică $20$. $P=\frac{20}{180}=\frac{1}{9}$.

9. $P(B\mid A)=\frac{0,3}{0,5}=0,6$ și $P(A\mid B)=\frac{0,3}{0,45}=\frac{2}{3}$. Același numărător, numitori diferiți.

10. Condiția restrânge la cei $15$ speologi care au prelevat probe, dintre care $7$ au și cartografiat: $P=\frac{7}{15}$.

11. Valorile lui $n$: pentru $c=0,1$: $1,2,3,4$; pentru $c=0,2$: $2,4,6,8$; pentru $c=0,5$: $5,10,15,20$. Condiția $n\ge 6$ păstrează $5$ perechi: $(0,2;30)$, $(0,2;40)$, $(0,5;20)$, $(0,5;30)$, $(0,5;40)$. Trei au $c=0,5$: $P=\frac{3}{5}$.

12. a) Sub aceeași condiție, $P=1-0,97=0,03$. b) Aproximativ $0,03\cdot 400=12$ incendii.

13. a) $P(\text{argiloasa˘}\mid \text{sa˘raca˘ ıˆn azot})=\frac{90}{240}=\frac{3}{8}$. b) $P(\text{sa˘raca˘ ıˆn azot}\mid \text{argiloasa˘})=\frac{90}{300}=\frac{3}{10}$. c) Fermierul știe că terenul e argilos, deci condiția lui este „argiloasă”: îl ajută rezultatul de la b), $30\%$. Rezultatul de la a) răspunde la altă întrebare, despre solurile sărace în azot.

14. Cu $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$: $P=0,08\cdot 0,75=0,06$, adică $6\%$ dintre plante.

15. Perechile de probe sunt $C_6^2=15$. Cele care conțin proba $A$ sunt $5$, iar dintre ele doar una conține și proba $B$: $P=\frac{1}{5}$. Fără informație, perechile care conțin $B$ sunt $5$ din $15$: $P=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$. Informația a micșorat probabilitatea.

16. $P(\text{sa˘na˘toasa˘}\mid \text{germinata˘})=\frac{36}{45}=\frac{4}{5}$; $P(\text{germinata˘ și sa˘na˘toasa˘})=\frac{36}{60}=\frac{3}{5}$. Verificare: $\frac{45}{60}\cdot \frac{4}{5}=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}=\frac{3}{5}$.

17. Laboratorul I: $P=\frac{102}{120}=\frac{17}{20}=0,85$; laboratorul II: $P=\frac{64}{80}=\frac{4}{5}=0,8$. Rezultatul a fost mai bun la laboratorul I, chiar dacă numărul probelor testate diferă.

18. $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=0,64\cdot 0,5=0,32$. Din formula reuniunii, $P(B)=P(A\cup B)-P(A)+P(A\cap B)=0,85-0,64+0,32=0,53$. Apoi $P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=0,21$ și $P(\overline{A})=0,36$, deci $P(B\mid \overline{A})=\frac{0,21}{0,36}=\frac{7}{12}$.

De reținut

• $P(B\mid A)$ este probabilitatea lui $B$ calculată numai printre rezultatele lui $A$; la rezultate egal posibile, $P(B\mid A)=\frac{\mathrm{card}(A\cap B)}{\mathrm{card}(A)}$.
• Cu probabilități, $P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$, definită numai pentru $P(A)>0$.
• Într-un tabel, condiția alege linia sau coloana, iar totalul ei devine numitorul; $P(B\mid A)$ și $P(A\mid B)$ au același numărător și numitori diferiți.
• Numerele de pe ramurile nivelului al doilea ale unui arbore sunt probabilități condiționate, iar $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$.
• Sub aceeași condiție, $P(\overline{B}\mid A)=1-P(B\mid A)$; două probabilități condiționate de grupuri diferite se compară între ele pentru a anticipa ce se va întâmpla.

Greșeli frecvente

• Scazi din $1$ o probabilitate condiționată de alt grup. Dacă $92\%$ dintre plăcile cu aditiv ating rezistența, nu rezultă că $8\%$ dintre plăcile fără aditiv o ating; contrarul se ia numai sub aceeași condiție.
• Compari numerele din căsuțe în loc de proporții. $54$ de complicații la nemobilizați față de $12$ la mobilizați nu spun singure nimic, pentru că grupurile au mărimi diferite; se compară $\frac{12}{240}$ cu $\frac{54}{360}$.
• Aduni probabilitățile condiționate ale rândurilor ca să afli probabilitatea fără condiție. $\frac{1}{20}+\frac{3}{20}$ nu este probabilitatea unei complicații la un pacient oarecare; aceea se citește din coloana totalului, $\frac{66}{600}$.
• Crezi că o probabilitate condiționată mare arată o cauză. Dacă după o erupție lungă pauza e aproape mereu lungă, datele arată o legătură, nu și mecanismul ei; concluzia despre cauză cere un experiment sau o explicație fizică.
• Crezi că o informație poate doar să mărească probabilitatea. La rachetele fără aripioare, proporția zborurilor stabile scade de la $\frac{49}{80}$ la $\frac{3}{10}$; o condiție poate la fel de bine să micșoreze șansa.

Aplică acasă

1. Fasole pe vată. Pune $10$ boabe de fasole pe vată umedă și $10$ pe vată uscată, la aceeași temperatură. După $5$ zile, numără câte au germinat în fiecare grup, fă tabelul cu dublă intrare și calculează probabilitatea germinării știind că vata a fost umedă, apoi știind că a fost uscată.
2. Filtrul din foaia de calcul. Generează $1000$ de numere întregi aleatoare de la $1$ la $100$, ca la simularea din lecția despre definiția clasică a probabilității. Folosește filtrul ca să păstrezi numai numerele care se termină cu $7$ și numără câte dintre ele sunt prime. Compară frecvența obținută cu probabilitatea calculată prin restrângerea universului la cele $10$ numere de la $1$ la $100$ terminate în $7$.
3. Dimineața ta. Timp de $20$ de zile de școală, notează în fiecare dimineață dacă ai plecat de acasă după ora obișnuită și dacă ai ajuns în clasă după începerea orei. Calculează probabilitatea întârzierii știind că ai plecat mai târziu și probabilitatea întârzierii știind că ai plecat la timp, apoi spune ce anticipezi pentru o zi în care pleci cu cinci minute mai târziu.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce singura noțiune nouă a capitolului care nu e o operație cu evenimente: probabilitatea calculată după primirea unei informații. Definiția este dată întâi prin restrângerea universului, cu numere de cazuri, apoi ca raport de probabilități, iar legătura cu arborele din lecția precedentă apare ca o consecință. Tabelele vin din fizică, medicină și biologie, pentru că la științele naturii probabilitățile condiționate servesc în primul rând la compararea a două grupuri.

Ce merită urmărit în caiet: elevul scrie, înainte de orice fracție, care este grupul la care se restrânge; alege linia sau coloana indicată de condiție și totalul ei; formulează în cuvinte întrebarea la care răspunde fracția; când compară două grupuri, compară proporții, nu căsuțe. Întrebări bune de control: „Din ce grup alegi, după ce afli informația?”, „Ce întrebare pune fracția inversă?”, „Este aceeași condiție la ambele probabilități pe care le scazi din $1$?”. Semn de înțelegere: elevul explică singur, pe un exemplu din presă, de ce „cei mai mulți dintre cei care… au…” nu spune cât de probabil este ca cineva care are ceva să fie și altceva.

Lecția următoare, despre evenimente independente, studiază cazul în care informația nu schimbă nimic. Unitatea se verifică prin testul de probabilități. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: probabilități condiționate.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul „Date, statistică matematică și probabilități”, la capitolul de probabilități al clasei a X-a, care numește „probabilități condiționate” pentru două evenimente, iar competențele clasei cer aplicarea probabilității condiționate în contexte reale și pentru anticiparea evenimentelor. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde „operații cu evenimente” și „probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile”, dar nu numește probabilitățile condiționate; aceeași programă cere ca aplicațiile capitolului „Matematici financiare”, din care fac parte probabilitățile, să fie din domeniul financiar, iar exercițiile acestei lecții sunt din științe și pe mulțimi de numere. De aceea exercițiile marcate aici sunt „tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030”; numărarea cazurilor după restrângerea universului rămâne însă un antrenament util și pentru cerința de probabilitate pe care modelul oficial publicat pentru 2026 o are la Subiectul I.

Întrebări frecvente

Ce diferă între lecția despre probabilitățile condiționate de la M2 și cea de la mate-info (M1)? Definiția și formula sunt aceleași. La științe ale naturii, accentul cade pe compararea a două grupuri dintr-un studiu, pe probabilitatea contrarului sub aceeași condiție și pe anticiparea unui fenomen din date, ca la gheizer. Tabelele vin din fizică și medicină, iar lecția se oprește la două evenimente, cum cere programa.

La ce subiect apar probabilitățile condiționate la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 nu numește probabilitățile condiționate, deci în acești ani tema nu face parte din materia de bacalaureat M2. Programa probei MAT_P2 din 2030 le conține, în domeniul „Date, statistică matematică și probabilități”, dar pentru această probă nu există încă un model publicat.

Poate o informație să scadă probabilitatea unui eveniment? Da. Informația restrânge universul la un grup, iar în acel grup evenimentul poate fi mai rar decât în total. La gheizer, pauzele lungi apar în $62$ de cazuri din $100$, dar numai în $\frac{1}{5}$ dintre cazuri după o erupție scurtă. Condiția poate schimba probabilitatea în orice sens, iar uneori o lasă neschimbată.

Ce legătură are „știind că” cu operațiile cu mulțimi din clasa a IX-a? „Știind că $A$ a avut loc” înseamnă că lucrezi numai cu elementele lui $A$, ca și cum $A$ ar fi noua mulțime totală. Rezultatele favorabile sunt atunci elementele intersecției $A\cap B$. Probabilitatea condiționată este raportul dintre numărul elementelor intersecției și numărul elementelor lui $A$.

Pot calcula o probabilitate condiționată din procente? Da, dacă toate procentele se referă la același grup. Împarți procentul intersecției la procentul condiției: dacă $70\%$ dintre păsările primite sunt tinere și $28\%$ sunt tinere cu aripa rănită, atunci $\frac{0,28}{0,7}=0,4$. Un procent dat „dintre cei care…” este deja o probabilitate condiționată și se folosește direct.

Ce face o foaie de calcul când filtrezi un tabel după o coloană? Filtrul păstrează numai rândurile care îndeplinesc condiția, adică restrânge universul. Orice proporție calculată după filtrare este o probabilitate condiționată: numărul rândurilor rămase cu proprietatea căutată, împărțit la numărul tuturor rândurilor rămase. De aceea programa pomenește, ca posibilitate, simularea probabilităților condiționate cu instrumente digitale.