Probabilitatea condiționată a evenimentelor: pe scurt

O informație suplimentară restrânge mulțimea cazurilor posibile. Probabilitatea condiționată a lui $B$, știind că s-a produs $A$ (cu $P(A)>0$), este

$$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},$$

adică raportul dintre cazurile favorabile ambelor evenimente și cazurile în care condiția $A$ e îndeplinită — numitorul nu mai e totalul, ci numărul cazurilor care satisfac condiția.

Într-un tabel cu două caracteristici, condiția indică pe ce linie sau coloană lucrezi: numitorul este totalul acelei linii/coloane, nu totalul general. De aici rezultă și cea mai costisitoare confuzie a capitolului: $P(B\mid A)\ne P(A\mid B)$ în general — au același numărător, $P(A\cap B)$, dar numitori diferiți, pentru că răspund la întrebări diferite („ce parte din $A$ e și $B$" versus „ce parte din $B$ e și $A$").

Din definiție se obține direct regula înmulțirii, $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$ — exact ceea ce se înmulțește pe traseele unei diagrame arborescente. Capcană de citire: condiția „cel puțin unul" nu elimină decât cazul „niciunul", nu și cazurile intermediare — la o familie cu doi copii, „cel puțin un băiat" lasă trei cazuri egal posibile, nu două.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se aruncă un zar echilibrat și se știe că rezultatul este un număr impar. Care este probabilitatea ca fața să fie mai mare decât $3$?

   • a) $\frac{1}{3}$
   • b) $\frac{1}{2}$
   • c) $\frac{2}{3}$
   • d) $\frac{1}{6}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{1}{3}$

   Condiția restrânge lumea la $\{1,3,5\}$ — trei cazuri egal posibile. Dintre ele, mai mare decât $3$ este doar $5$, deci $P=\frac{1}{3}$.

2. Într-o companie sunt $250$ de angajați: $150$ la sediul central și $100$ la sucursală. Lucrează în IT $60$ dintre cei de la sediul central și $20$ dintre cei de la sucursală. Care este probabilitatea ca un angajat ales la întâmplare să lucreze în IT, știind că lucrează la sediul central?

   • a) $\frac{2}{5}$
   • b) $\frac{6}{25}$
   • c) $\frac{1}{5}$
   • d) $\frac{8}{25}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{2}{5}$

   Condiția «sediul central» restrânge numitorul la cei $150$ de angajați de acolo; dintre ei, $60$ lucrează în IT. $P(\text{IT}\mid \text{sediul central})=\frac{60}{150}=\frac{2}{5}$. Varianta b) ($\frac{6}{25}=\frac{60}{250}$) greșește folosind totalul general în loc de totalul sediului central.

3. Folosind aceleași date (compania cu $250$ de angajați), care este probabilitatea ca un angajat ales la întâmplare să lucreze la sediul central, știind că lucrează în IT?

   • a) $\frac{1}{4}$
   • b) $\frac{2}{5}$
   • c) $\frac{3}{4}$
   • d) $\frac{60}{250}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{3}{4}$

   Condiția «lucrează în IT» restrânge numitorul la cei $60+20=80$ de angajați din IT; dintre ei, $60$ sunt de la sediul central. $P(\text{sediul central}\mid \text{IT})=\frac{60}{80}=\frac{3}{4}$. Observă că acest rezultat diferă de $P(\text{IT}\mid \text{sediul central})=\frac{2}{5}$, calculat la exercițiul anterior — cele două întrebări nu sunt aceeași.