Probleme rezolvate cu aranjamente (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Simbolurile elementelor chimice au una sau două litere: H, O, Na, Cl, Fe. Tabelul periodic are astăzi $118$ elemente. Câte simboluri de două litere ar fi posibile, în principiu, cu cele $26$ de litere ale alfabetului? Și câte dintre ele au literele diferite? Întrebările acestea sunt probleme de numărare cu ordine — Na nu e același simbol cu An —, iar răspunsurile lor depind de un singur detaliu: dacă o literă se poate repeta sau nu. Lecția de față, din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), trece de la formula aranjamentelor la probleme cu condiții: cifre care nu au voie pe primul loc, elemente care trebuie să apară, poziții rezervate, situații cu și fără repetiție. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține tema, la capitolul „Metode de numărare”.

Formula $A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1)$ și diagrama arborescentă le-ai văzut în lecția despre aranjamente: definiție și formulă. Aici nu mai calculezi formule izolate; înveți să le potrivești pe o situație reală, în care ceva e interzis sau ceva e obligatoriu.

Ce vei învăța

Vei ști să deosebești locurile de ocupanți într-un enunț și să scrii corect $A_{n}^{k}$ , cu $n$ și $k$ la locul lor.
Vei ști să decizi dacă elementele se pot repeta și să compari cele două numărători, cu și fără repetiție.
Vei ști să ocupi întâi poziția restricționată și abia apoi să completezi restul cu aranjamente.
Vei ști să numeri numere cu cifre distincte atunci când printre cifre se află $0$ , fără să-l confunzi cu un cod.
Vei ști să numeri șirurile care conțin obligatoriu un anumit element, prin complement sau direct.
Vei ști să împarți în cazuri disjuncte o problemă în care aceeași cifră cade sub două condiții.

Hai să descoperim împreună

1. Cine ocupă și ce se ocupă?

O problemă de aranjamente este o problemă în care fiecare dintre cele $k$ poziții primește un element diferit, ales dintr-o mulțime cu $n$ elemente. În enunț apar, deci, două mulțimi: locurile care trebuie ocupate și elementele din care alegi ocupanții. Programa dă, la acest capitol, exemplul unor mașini care parchează într-o parcare cu mai multe locuri. Să-l luăm cu numerele unui institut de biologie: trei mașini ale echipei de teren sosesc la parcarea institutului, care are șapte locuri numerotate, și ocupă fiecare câte un loc.

Aici „pozițiile” sunt mașinile — fiecare trebuie să primească un loc —, iar „elementele” sunt cele șapte locuri. Prima mașină are $7$ variante, a doua $6$ , a treia $5$ :

$7 \cdot 6 \cdot 5 = 210.$

Deci sunt $A_{7}^{3} = 210$ de parcări posibile. Nu confunda cu „ $A_{3}^{7}$ ”, care nu are sens, și nici cu $3^{7}$ : fiecare mașină alege un loc, nu fiecare loc o mașină. Regula de lucru: mulțimea mai mică, cea în care fiecare element trebuie servit, dă numărul pozițiilor $k$ ; mulțimea din care se servește dă $n$ .

2. Cu repetiție sau fără?

Revenim la simbolurile chimice. Un simbol de două litere se citește în ordine, iar prima literă se scrie mare, a doua mică. Dacă nu impunem nicio regulă, fiecare dintre cele două poziții are $26$ de variante, independent de cealaltă, iar regula produsului dă

$26 \cdot 26 = 2 6^{2} = 676 de simboluri posibile .$

Dacă cerem ca literele să fie diferite, repetiția e interzisă și numărăm aranjamente: $A_{26}^{2} = 26 \cdot 25 = 650$ . Diferența, $26$ de simboluri, sunt exact cele cu aceeași literă de două ori, câte unul pentru fiecare literă.

Ambele numere depășesc cu mult cele $118$ elemente cunoscute. Regula de citire: „se pot repeta” înseamnă putere, „distincte” înseamnă aranjament; enunțul se citește până găsești cuvântul care decide.

3. De ce ocup întâi poziția restricționată?

Programa aduce și un exemplu de orar: șapte ore de curs așezate în cinci intervale ale unei zile. Să-l mutăm într-o tabără științifică. Organizatorii au șapte activități diferite (laborator, drumeție botanică, atelier de microscopie, analiza apei din lac și altele) și cinci intervale orare pe zi; fiecare interval primește o activitate, iar o activitate nu se repetă în aceeași zi. Fără nicio condiție, sunt

$A_{7}^{5} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520$

de programe ale zilei.

Acum o condiție: laboratorul trebuie să fie în primul interval, când sala e liberă. Ordinea în care judeci contează. Începi cu intervalul constrâns, care are o singură variantă, apoi completezi celelalte patru intervale, în ordine, din cele șase activități rămase: $1 \cdot A_{6}^{4} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$ de programe. Invers, variantele intervalului constrâns ar depinde de ce ai pus înaintea lui. Regula generală: poziția cu cea mai strictă condiție se ocupă prima, iar restul se completează cu aranjamente din elementele încă libere.

4. Numere sau coduri: ce face cifra 0?

Cu cifrele $0, 2, 5, 7, 8$ se formează șiruri de patru cifre distincte. Dacă șirul e un cod (de pildă, codul unui dulap de reactivi), el poate începe cu $0$ , iar numărul codurilor este $A_{5}^{4} = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$ .

Dacă șirul trebuie să fie un număr de patru cifre, prima cifră nu poate fi $0$ . Poziția restricționată e prima: ea are $4$ variante ( $2$ , $5$ , $7$ sau $8$ ). Celelalte trei poziții se completează, în ordine, din cele patru cifre rămase — printre care, acum, și $0$ : $A_{4}^{3} = 24$ . Rezultă $4 \cdot 24 = 96$ de numere.

Cele două rezultate se leagă: dintre cele $120$ de coduri, cele care încep cu $0$ sunt $A_{4}^{3} = 24$ (restul pozițiilor se completează din celelalte patru cifre), iar $120 - 24 = 96$ . Același număr pe două căi — semn bun. Capcana cifrei $0$ există numai la numere; la coduri, parole și etichete, $0$ e o cifră ca oricare alta.

5. Cum număr șirurile care conțin sigur un element?

Un laborator are $11$ probe de sol, printre care o probă-martor, iar caruselul unui colorimetru are trei poziții numerotate. Câte încărcări ale caruselului conțin proba-martor?

Prin complement. Toate încărcările sunt $A_{11}^{3} = 990$ . Cele care nu conțin martorul folosesc doar celelalte zece probe: $A_{10}^{3} = 720$ . Diferența, $990 - 720 = 270$ , numără exact încărcările în care martorul apare.

Direct. Martorul stă pe una dintre cele $3$ poziții, iar celelalte două poziții se completează, în ordine, din cele zece probe rămase: $3 \cdot A_{10}^{2} = 3 \cdot 90 = 270$ .

Ambele drumuri dau $270$ . Cheia complementului: „conține” se numără ca „total minus nu conține”, niciodată ca „total minus conține pe primul loc”.

6. Ce fac când aceeași cifră cade sub două condiții?

Cu cifrele $0, 1, 3, 4, 6$ vrem numere pare de trei cifre distincte. Cifra unităților trebuie să fie pară: $0$ , $4$ sau $6$ . Dar $0$ e special — dacă stă la unități, nu mai încurcă prima poziție, pe când $4$ și $6$ lasă cifra $0$ disponibilă și deci interzisă la început. Nu există o singură numărătoare valabilă pentru toate cele trei variante, așa că împărțim în cazuri disjuncte:

unitățile sunt $0$ : primele două poziții se completează, în ordine, din ${1, 3, 4, 6}$ , deci $A_{4}^{2} = 12$ numere;
unitățile sunt $4$ sau $6$ (două variante): prima cifră nu poate fi $0$ și nici cifra folosită la unități, deci are $3$ variante; cifra din mijloc se alege dintre cele $3$ cifre rămase, inclusiv $0$ . Rezultă $2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$ numere.

Cazurile nu se suprapun (un număr nu se termină și în $0$ , și în $4$ ), deci se adună, după regula sumei: $12 + 18 = 30$ de numere pare.

7. Cum îmi verific rezultatul?

Trei controale, în ordinea în care costă. Primul: a doua cale — complementul în locul numărării directe sau invers, ca la probele de sol. Al doilea: suma cazurilor — dacă ai despărțit în pare și impare, cele două trebuie să dea totalul. Al treilea: cazul mic — micșorezi datele până când poți scrie toate șirurile pe caiet și compari cu formula ta aplicată acelor date. Un raționament care dă rezultatul corect pe cazul mic nu e garantat corect, dar unul care dă greș acolo e sigur greșit.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Filtrele unui fotometru, cu și fără repetiție

Un fotometru de laborator are o roată cu $9$ filtre colorate diferite. Un protocol de calibrare face patru măsurători succesive, fiecare cu un filtru, iar ordinea măsurătorilor contează. a) Câte protocoale sunt posibile, dacă un filtru poate fi folosit de mai multe ori? b) Câte protocoale folosesc patru filtre diferite? c) De câte ori crește numărul protocoalelor de la punctul b), dacă roata primește încă un filtru?

Rezolvare. a) Fiecare dintre cele patru măsurători poate folosi oricare filtru, independent de celelalte: $9^{4} = 6561$ de protocoale.

b) Cu filtre distincte, numărăm aranjamente: $A_{9}^{4} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$ .

c) Cu $10$ filtre, $A_{10}^{4} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$ , iar $A_{9}^{4} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6$ . Factorii $9$ , $8$ și $7$ se simplifică, deci raportul este $\frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ : numărul protocoalelor crește de $\frac{5}{3}$ ori. Altfel spus, un filtru în plus schimbă primul și ultimul factor, iar creșterea este de aproximativ $67%$ .

Exemplul 2 — Găsește greșeala

Un elev numără câte numere cu trei cifre diferite se pot scrie folosind cifrele $0, 3, 5, 8, 9$ și notează: „Cifrele sunt distincte și ordinea contează, deci răspunsul este $A_{5}^{3} = 60$ .” Identificați greșeala și corectați rezultatul.

Rezolvare. Raționamentul ar fi corect pentru coduri, nu pentru numere. Printre cele $60$ de șiruri se află și cele care încep cu $0$ , de pildă $035$ , care nu sunt numere de trei cifre. Ele se obțin fixând $0$ pe primul loc și completând celelalte două poziții din ${3, 5, 8, 9}$ : $A_{4}^{2} = 12$ șiruri. Rezultatul corect este $60 - 12 = 48$ .

Direct: prima cifră are $4$ variante ( $3$ , $5$ , $8$ sau $9$ ), iar restul pozițiilor se completează, în ordine, cu două dintre cele patru cifre rămase: $4 \cdot A_{4}^{2} = 4 \cdot 12 = 48$ .

Exemplul 3 — Rolurile unei echipe de teren

O echipă de $5$ voluntari pleacă să inventarieze fluturii dintr-o rezervație. Trebuie ocupate trei roluri diferite: coordonator, cartograf și fotograf, câte o persoană pe rol. Ioana, una dintre voluntare, nu poate fi coordonator, fiindcă se alătură echipei abia a doua zi. În câte moduri se pot ocupa rolurile?

Rezolvare. Rolurile sunt diferite, deci contează cine ce face; o persoană are cel mult un rol.

Direct. Poziția restricționată este cea de coordonator: $4$ variante (oricine în afară de Ioana). Celelalte două roluri se completează, în ordine, din cele $4$ persoane rămase — printre care și Ioana: $A_{4}^{2} = 4 \cdot 3 = 12$ . Total: $4 \cdot 12 = 48$ .

Prin complement. Fără condiție ar fi $A_{5}^{3} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ de repartizări. Cele interzise au Ioana coordonator, iar restul rolurilor se completează din ceilalți patru: $A_{4}^{2} = 12$ . Rămân $60 - 12 = 48$ . Cele două căi coincid.

Exemplul 4 — Numere pare, cu cifra 0 în joc

Câte numere de patru cifre distincte, formate cu cifrele $0, 1, 2, 5, 7, 9$ , sunt pare?

Rezolvare. Cifrele pare disponibile sunt $0$ și $2$ , iar ele se comportă diferit față de prima poziție, deci despărțim în două cazuri.

Unitățile sunt $0$ . Primele trei poziții se completează, în ordine, din cele cinci cifre rămase, fără nicio altă restricție: $A_{5}^{3} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ .

Unitățile sunt $2$ . Prima cifră nu poate fi $0$ și nici $2$ : are $4$ variante ( $1$ , $5$ , $7$ , $9$ ). Cele două poziții din mijloc se completează din cele patru cifre rămase, printre care și $0$ : $A_{4}^{2} = 12$ . Rezultă $4 \cdot 12 = 48$ .

Cazurile sunt disjuncte, deci totalul este $60 + 48 = 108$ de numere pare.

Exemplul 5 — Parola unui aparat de laborator

Parola unui termociclor, aparatul folosit pentru analizele PCR, are forma: două litere distincte alese dintre A, B, C, D, E, F, G, H, urmate de patru cifre distincte. a) Câte parole sunt posibile? b) Câte ar fi dacă literele și cifrele s-ar putea repeta? c) Ce fracție din parolele de la punctul b) respectă regula „fără repetiții”?

Rezolvare. a) Partea de litere și partea de cifre se completează independent, deci se înmulțesc: $A_{8}^{2} \cdot A_{10}^{4} = 56 \cdot 5040 = 282240$ . Aici cifrele formează un cod, deci $0$ poate sta oriunde.

b) Cu repetiții, fiecare poziție e liberă: $8^{2} \cdot 1 0^{4} = 64 \cdot 10000 = 640000$ .

c) $\frac{282 240}{640 000} = 0, 441$ , adică mai puțin de jumătate. Interzicerea repetițiilor taie mai mult de jumătate din parolele posibile.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

a) Arătați că $A_{6}^{3} - A_{5}^{2} = 100$ . b) Determinați câte numere naturale formate din trei cifre diferite, toate din mulțimea ${0, 1, 2, 4, 6, 8}$ , există. c) Determinați câte dintre aceste numere conțin cifra $0$ .

Rezolvare. a) $A_{6}^{3} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ și $A_{5}^{2} = 5 \cdot 4 = 20$ , deci diferența este $120 - 20 = 100$ .

b) Mulțimea conține $0$ , deci prima cifră are doar $5$ variante; celelalte două poziții se completează, în ordine, din cele cinci cifre rămase, printre care și $0$ : $5 \cdot A_{5}^{2} = 5 \cdot 20 = 100$ de numere. Altfel spus, din cele $A_{6}^{3}$ coduri scazi cele $A_{5}^{2}$ care încep cu $0$ , adică diferența de la punctul a).

c) Cifra $0$ nu poate sta pe primul loc, deci stă la zeci sau la unități: $2$ variante. Celelalte două poziții se completează, în ordine, din cele cinci cifre nenule: $A_{5}^{2} = 20$ . Rezultă $2 \cdot 20 = 40$ de numere. Control prin complement: numerele fără cifra $0$ sunt $A_{5}^{3} = 60$ , iar $100 - 60 = 40$ .

Exemplul urmează forma cerințelor scurte de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat 2026, unde cerința de numărare lucrează tot cu cifrele unor numere; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Să exersăm

Înainte de calcul, răspunde în scris la trei întrebări: se pot repeta elementele? care poziție are o condiție? formez un număr sau un cod? Apoi alege ordinea în care ocupi pozițiile.

1. Câte numere de cinci cifre distincte se pot forma cu cifrele $1, 2, 3, 4, 5, 6$ ?

2. Câte numere de patru cifre distincte se pot forma cu cifrele $0, 2, 3, 6, 8, 9$ ?

3. Câte numere de trei cifre distincte au cifra unităților egală cu $5$ ?

4. Câte numere impare, cu patru cifre diferite, se pot scrie folosind cifrele $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ ?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dintre toate codurile de trei litere formate numai cu vocalele A, E, I, O, U, în care literele se pot repeta, mai mult de jumătate au cel puțin două litere egale.”

6. Cei $6$ membri ai cercului de ecologie pregătesc o prezentare cu patru roluri diferite: moderator, cronometror, raportor și operator al proiectorului, câte o persoană pe rol. În câte moduri se pot ocupa rolurile, dacă Mihai trebuie să aibă unul dintre ele?

7. Câte numere cu trei cifre diferite, scrise numai cu cifrele $1, 2, \dots, 9$ , sunt mai mari decât $700$ ?

8. Într-o zi de laborator se programează $3$ dintre cele $6$ experimente ale unui curs, câte unul în fiecare dintre cele $3$ intervale orare. Experimentul cu acizi trebuie să fie în primul interval, când nișa de ventilație e liberă, iar experimentul cu flacără deschisă nu are voie în ultimul interval, când sala se aerisește. În câte moduri se poate face programarea?

9. (Problemă aplicată.) Un muzeu de istorie naturală are $20$ de fosile și trei vitrine numerotate la intrare, în care expune câte o fosilă. a) În câte moduri poate alcătui expoziția de la intrare? b) În câte dintre aceste expoziții se află în vitrina 1 cea mai veche dintre cele trei fosile expuse?

10. Câte numere de patru cifre distincte, formate cu cifrele $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ , încep și se termină cu o cifră impară?

11. Se formează etichete de trei litere distincte cu primele $9$ litere ale alfabetului (de la A la I). Câte etichete conțin litera A, dar nu conțin litera B?

12. Câte numere de patru cifre distincte au cifra zecilor egală cu $0$ și sunt pare?

13. Câte numere impare, cu trei cifre diferite, se pot scrie folosind cifrele $0, 2, 3, 4, 6, 7, 9$ ?

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea $M = {0, 1, 4, 5, 9}$ . a) Determinați câte numere naturale de două cifre distincte au ambele cifre în $M$ . b) Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte, cu toate cifrele în $M$ , sunt divizibile cu $5$ . c) Determinați probabilitatea ca, alegând la întâmplare unul dintre numerele de la punctul a), acesta să fie pătrat perfect.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) a) Determinați câte numere naturale de două cifre distincte au ambele cifre impare. b) Determinați câte numere cu trei cifre diferite au cifra sutelor $7$ și cifra unităților pară. c) Determinați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr natural de două cifre distincte, acesta să aibă ambele cifre impare.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) a) Arătați că, folosind cifrele mulțimii ${3, 5, 7, 9}$ , se pot forma $24$ de numere de trei cifre distincte. b) Determinați câte dintre acestea sunt divizibile cu $3$ . c) Determinați probabilitatea ca un astfel de număr, ales la întâmplare, să fie divizibil cu $3$ .

17. Cu $8$ simboluri diferite se formează coduri de lungime $k$ . Completează un tabel cu numărul codurilor cu repetiție și al celor cu simboluri distincte, pentru $k = 1, 2, 3, 4$ , și determină cel mai mic $k$ pentru care codurile cu simboluri distincte sunt mai puțin de jumătate din toate.

18. (Provocare.) Câte numere pare de patru cifre distincte există?

Răspunsuri și explicații

1. Cifra $0$ lipsește din mulțime, așa că prima poziție nu are nicio condiție: $A_{6}^{5} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 720$ .

2. Prima cifră nu poate fi $0$ : $5$ variante. Celelalte trei poziții se completează din cele cinci cifre rămase, inclusiv $0$ : $A_{5}^{3} = 60$ . Total $5 \cdot 60 = 300$ .

3. Unitățile sunt fixate ( $5$ ). Prima cifră nu poate fi nici $0$ , nici $5$ : $8$ variante. Cifra zecilor se alege dintre cele $8$ cifre rămase (inclusiv $0$ ). Total $8 \cdot 8 = 64$ .

4. Poziția restricționată e ultima: $1$ , $3$ , $5$ sau $7$ , adică $4$ variante. Primele trei poziții se completează, în ordine, din cele șapte cifre rămase: $A_{7}^{3} = 210$ . Total $4 \cdot 210 = 840$ .

5. Adevărat. Toate codurile sunt $5^{3} = 125$ , iar cele cu literele toate diferite sunt $A_{5}^{3} = 60$ . Cele cu cel puțin două litere egale sunt $125 - 60 = 65$ , iar $65 > 62, 5$ , adică peste jumătate.

6. Mihai primește unul dintre cele $4$ roluri, iar celelalte trei roluri se completează, în ordine, din ceilalți $5$ membri: $A_{5}^{3} = 60$ . Total $4 \cdot 60 = 240$ . Control prin complement: toate repartizările, $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$ , minus cele fără Mihai, $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$ , dau tot $240$ .

7. Cu cifre de la $1$ la $9$ , cel mai mic număr care începe cu $7$ este $712$ , deci „mai mare decât $700$ ” înseamnă prima cifră $7$ , $8$ sau $9$ : $3$ variante. Celelalte două poziții se completează din cele opt cifre rămase: $A_{8}^{2} = 56$ . Total $3 \cdot 56 = 168$ .

8. Primul interval are o singură variantă, experimentul cu acizi. Ultimul interval nu poate primi nici flacăra, nici experimentul cu acizi, deja programat: $4$ variante. Intervalul din mijloc se completează cu unul dintre cele $4$ experimente rămase, printre care și cel cu flacără. Total $1 \cdot 4 \cdot 4 = 16$ .

9. a) Fosilele sunt distincte, o fosilă nu poate sta în două vitrine, iar vitrina contează: $A_{20}^{3} = 20 \cdot 19 \cdot 18 = 6840$ de expoziții. b) Cea mai veche dintre cele trei fosile expuse stă în vitrina 1, 2 sau 3. Schimbând între ele conținutul vitrinei 1 și al vitrinei 2, o expoziție cu fosila cea mai veche în vitrina 1 devine una cu ea în vitrina 2, și invers; la fel pentru vitrina 3. Cele trei situații au, deci, tot atâtea expoziții, iar convine exact o treime din total: $6840 : 3 = 2280$ .

10. Cifrele impare disponibile sunt $1, 3, 5, 7$ . Prima și ultima cifră se aleg, în ordine, dintre ele: $A_{4}^{2} = 12$ . Cele două poziții din mijloc se completează din cele cinci cifre rămase: $A_{5}^{2} = 20$ . Total $12 \cdot 20 = 240$ .

11. Direct: litera A stă pe una dintre cele $3$ poziții, iar celelalte două se completează, în ordine, din cele $7$ litere care nu sunt nici A, nici B: $A_{7}^{2} = 42$ . Total $3 \cdot 42 = 126$ . Control: etichetele care conțin A sunt $3 \cdot A_{8}^{2} = 3 \cdot 56 = 168$ , iar dintre ele conțin și B $3 \cdot 2 \cdot 7 = 42$ (locurile lui A și B, apoi a treia literă); $168 - 42 = 126$ .

12. Cifra zecilor este $0$ , deci cifra unităților, pară, poate fi doar $2$ , $4$ , $6$ sau $8$ : $4$ variante. Cifra miilor nu poate fi $0$ și nici cifra unităților: $8$ variante. Cifra sutelor se alege dintre cele $7$ cifre rămase. Total $4 \cdot 8 \cdot 7 = 224$ .

13. Unitățile sunt impare: $3$ , $7$ sau $9$ ( $3$ variante). Prima cifră nu poate fi $0$ și nici cifra de la unități: $5$ variante. Cifra din mijloc se alege dintre cele $5$ cifre rămase, inclusiv $0$ . Total $3 \cdot 5 \cdot 5 = 75$ .

14. a) Prima cifră nu poate fi $0$ : $4$ variante; a doua, oricare dintre celelalte $4$ cifre, inclusiv $0$ : $4 \cdot 4 = 16$ numere. b) Ultima cifră este $0$ sau $5$ . Dacă este $0$ , primele două poziții se completează din ${1, 4, 5, 9}$ : $A_{4}^{2} = 12$ . Dacă este $5$ , prima cifră nu poate fi nici $0$ , nici $5$ ( $3$ variante), iar cifra din mijloc se alege dintre cele $3$ rămase: $9$ . Total $12 + 9 = 21$ . c) Pătratele perfecte de două cifre sunt $16, 25, 36, 49, 64, 81$ ; dintre ele, doar $49$ are ambele cifre în $M$ . Probabilitatea este $\frac{1}{16}$ .

15. a) Cifrele impare sunt $1, 3, 5, 7, 9$ , niciuna nu e $0$ : $A_{5}^{2} = 20$ de numere. b) Sutele sunt $7$ ; unitățile, pare: $0, 2, 4, 6, 8$ ( $5$ variante); cifra zecilor, oricare dintre cele $8$ cifre rămase. Total $5 \cdot 8 = 40$ . c) Numerele de două cifre distincte sunt $9 \cdot 9 = 81$ (prima cifră fără $0$ , a doua diferită de prima, dar putând fi $0$ ). Probabilitatea este $\frac{20}{81}$ .

16. a) Mulțimea are $4$ cifre, niciuna $0$ , deci $A_{4}^{3} = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ . b) Un număr se divide cu $3$ când suma cifrelor se divide cu $3$ . Grupurile de trei cifre din mulțime au sumele $3 + 5 + 7 = 15$ , $3 + 5 + 9 = 17$ , $3 + 7 + 9 = 19$ și $5 + 7 + 9 = 21$ ; doar primul și ultimul convin. Fiecare grup se ordonează în $3! = 6$ feluri, deci sunt $2 \cdot 6 = 12$ numere. c) Probabilitatea este $\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ .

17. Cu repetiție: $8^{1} = 8$ , $8^{2} = 64$ , $8^{3} = 512$ , $8^{4} = 4096$ . Cu simboluri distincte: $A_{8}^{1} = 8$ , $A_{8}^{2} = 56$ , $A_{8}^{3} = 336$ , $A_{8}^{4} = 1680$ . Rapoartele sunt $1$ , $\frac{56}{64} = \frac{7}{8}$ , $\frac{336}{512} = \frac{21}{32}$ și $\frac{1 680}{4 096} = \frac{105}{256}$ . Doar ultimul este sub jumătate, deci primul raport sub jumătate apare la $k = 4$ .

18. Unitățile sunt $0$ : primele trei poziții din cele nouă cifre rămase, $A_{9}^{3} = 504$ . Unitățile sunt $2$ , $4$ , $6$ sau $8$ ( $4$ variante): prima cifră fără $0$ și fără cifra de la unități, $8$ variante; cele două poziții din mijloc, din cele opt cifre rămase, $A_{8}^{2} = 56$ . Acest caz dă $4 \cdot 8 \cdot 56 = 1792$ . Total $504 + 1792 = 2296$ .

De reținut

În fiecare problemă stabilește ce e poziție și ce e element: fiecare dintre cele $k$ poziții primește un element diferit dintre cele $n$ , deci $A_{n}^{k}$ , cu $k \leq n$ .
„Se pot repeta” înseamnă putere ( $n^{k}$ ), „distincte” înseamnă aranjament ( $A_{n}^{k}$ ); cuvântul decisiv trebuie găsit în enunț înainte de orice calcul.
Poziția cu cea mai strictă condiție se ocupă prima; restul pozițiilor se completează cu aranjamente din elementele rămase.
„Conține obligatoriu” se numără fie direct (poziția elementului, apoi restul), fie ca total minus șirurile care nu îl conțin.
Când aceeași cifră intră sub două condiții (ca $0$ , par și interzis la început), împarte în cazuri disjuncte și adună; la coduri, $0$ nu are nicio restricție.

Greșeli frecvente

Locurile luate drept ocupanți. La „trei mașini, șapte locuri”, calculul „ $A_{3}^{7}$ ” sau „ $3^{7}$ ” inversează rolurile. Întreabă-te cine trebuie servit și din ce mulțime se servește: mașinile primesc locuri, deci $A_{7}^{3}$ .
Complementul greșit. Pentru „conține proba-martor”, unii scad din totalul încărcărilor doar pe cele care au martorul pe prima poziție. Complementul corect al lui „conține martorul” este „nu îl conține deloc”, adică încărcările formate numai din celelalte probe.
Cazuri care se suprapun. La numerele pare cu cifra $0$ disponibilă, un caz „se termină în $0$ ” și un altul „se termină într-o cifră pară” numără de două ori numerele cu $0$ la final. Cazurile trebuie să se excludă: „ $0$ ” și „pară, diferită de $0$ ”.
Mulțimea disponibilă neactualizată. După ce ai fixat cifra unităților la $4$ , prima cifră nu mai poate fi $4$ . Cine uită scăderea numără și șiruri cu cifra repetată, iar rezultatul iese prea mare.
Adunare în loc de înmulțire la părțile unui cod. O parolă cu litere urmate de cifre are partea de litere și partea de cifre completate împreună, deci numerele se înmulțesc: $56 \cdot 5040$ , nu $56 + 5040$ .

Aplică acasă

Tabelul periodic. Caută tabelul periodic în manualul de chimie. Numără simbolurile de o literă și pe cele de două litere, apoi compară cu cele $676$ de simboluri de două litere posibile. Caută și câte litere ale alfabetului nu apar deloc ca prima literă a unui simbol și gândește-te de ce.
Orarul tău ca problemă. Ia orarul unei zile de școală și transformă-l într-o problemă: câte orare ar exista dacă materiile acelei zile s-ar putea așeza oricum în intervale, și câte dacă o materie ar avea un interval fix? Calculează ambele variante și explică de ce ai început cu intervalul fix.
Cazul mic, pe hârtie. Scrie toate numerele de trei cifre distincte care se pot forma cu cifrele $0, 1, 2$ și numără-le. Aplică apoi regula „întâi prima cifră” pe aceleași cifre și verifică dacă obții același număr.

Pentru părinți și profesori

Lecția mută accentul de pe formulă pe modelare. În probleme cu context, dificultatea nu mai e să calculezi $A_{n}^{k}$ , ci să decizi ce reprezintă $n$ și $k$ , dacă repetiția e permisă și în ce ordine se ocupă pozițiile. Programa cere explicit, la competența de modelare, „simularea unor scenarii multiple” — aceeași problemă cu și fără repetiție —, iar exemplele lecției (simbolurile chimice, filtrele fotometrului, parola) sunt construite tocmai pe comparația aceasta.

Ce merită urmărit în caiet: dacă elevul scrie, înainte de calcul, ce e poziție și ce e element; dacă ocupă întâi poziția cu condiție; dacă își verifică rezultatul și pe un al doilea drum. O întrebare utilă: „Numeri numere sau coduri?”. Semn că a înțeles: la o problemă nouă, propune singur două drumuri și le compară.

Problemele de așezare cu vecini lipiți sau separați aparțin lecției despre permutări cu restricții și nu sunt reluate aici. Un detaliu de programă, util la clasă: Anexa 28 trece exemplul parcării (patru autoturisme, șase locuri) la permutări, deși așezarea a patru mașini pe șase locuri numerotate este un aranjament de $6$ luate câte $4$ ; lecția o tratează ca aranjament, cu alte numere. Lecția următoare introduce combinările, în care ordinea nu mai contează. Ideea de complement — „nu conține” ca negație a lui „conține” — are rădăcina în clasa a IX-a, la negația unei propoziții. Pentru recapitulare, testul de metode de numărare are probleme de același tip. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: probleme rezolvate cu aranjamente.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Metode de numărare” de clasa a X-a, unde nota programei cere abordarea „prin contexte practice”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) conține aranjamentele la capitolul „Metode de numărare”. În modelul oficial publicat pentru 2026, cerința de numărare de la Subiectul I cere o probabilitate calculată pe numerele de două cifre, iar exercițiile marcate aici cu Bacalaureat M2 folosesc același tip de date. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Întrebări frecvente

Ce diferă între problemele cu aranjamente de la M2 și cele de la mate-info (M1)? Schemele de lucru sunt aceleași, dar la științe ale naturii contextele vin din laborator, din chimie și de pe teren, iar programa cere explicit comparația „cu repetiție — fără repetiție”. Numărarea funcțiilor între două mulțimi finite, prezentă în lecția de la mate-info, apare la M2 doar în suplimentul pentru bacalaureatul 2027–2029, într-o lecție separată.

La ce subiect apar problemele cu aranjamente la bacalaureatul M2? Programa de examen nu împarte temele pe subiecte. În modelul oficial 2026, numărarea apare într-o cerință scurtă a Subiectului I: o probabilitate pe numerele de două cifre, adică tocmai o numărare pe cifrele unor numere. Pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat, deci forma cerințelor ei nu se poate anticipa.

Ce formulă folosesc când elementele se pot repeta? Nu aranjamentele, ci regula produsului: fiecare dintre cele $k$ poziții are $n$ variante, independent de celelalte, deci $n^{k}$ șiruri. Simbolurile chimice de două litere posibile, de exemplu, sunt $2 6^{2} = 676$ . Aranjamentele numără doar șirurile cu elemente distincte, sunt o parte din acestea și, prin urmare, sunt întotdeauna cel mult $n^{k}$ .

Ce fac dacă restricția privește două poziții deodată? Le ocupi pe amândouă înaintea celorlalte. Dacă ambele primesc elemente din aceeași mulțime permisă, le completezi împreună, ca pe un aranjament din acea mulțime. Dacă au mulțimi permise diferite, începi cu poziția care are mai puține variante și, la a doua, scazi elementul deja folosit, dacă era permis și acolo. Abia apoi completezi restul pozițiilor.

Cum număr șirurile care conțin sigur un anumit element? Două drumuri. Direct: alegi poziția elementului, apoi completezi restul pozițiilor cu aranjamente din elementele rămase. Prin complement: din toate șirurile scazi pe cele care nu conțin elementul deloc. Cele două rezultate trebuie să coincidă, deci unul îl verifică pe celălalt.

Ce fac când aceeași cifră intră sub două condiții? Împarți în cazuri care nu se suprapun. La numerele pare, cifra $0$ e și pară, și interzisă pe primul loc: tratezi separat cazul „unitățile sunt $0$ ” și cazul „unitățile sunt o cifră pară nenulă”, apoi aduni. Suma cazurilor trebuie să poată fi verificată și pe altă cale.