Ce este elementul absorbant al unei legi?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Proprietățile legii

Cele patru întrebări. Unei legi interne $\ast$ i se cer, pe rând: asociativitatea, $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$; comutativitatea, $x\ast y=y\ast x$; un element neutru $e$ cu $x\ast e=e\ast x=x$; și simetricul $x^{\prime }$ al fiecărui element, cu $x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=e$. Prima mută parantezele, a doua schimbă între ele literele, iar de la una la cealaltă nu trece nicio implicație.

Scurtătura de examen. La o lege de tipul $x\ast y=k(x-a)(y-a)+a$ totul se citește din forma factorizată: $x\ast y-a=k(x-a)(y-a)$, deci compunerea a trei elemente dă $k^2(x-a)(y-a)(z-a)+a$ — expresie care nu vede gruparea, adică legea e asociativă. Numărul $a$ înghite tot ce compui cu el, iar elementul neutru iese din $k(e-a)=1$.

Ce se dovedește și ce se dărâmă. Asociativitatea și comutativitatea se afirmă numai după un calcul cu litere; se dărâmă cu un singur triplet, respectiv cu o singură pereche, scrise complet. Un candidat la element neutru care depinde de $x$ nu e element neutru, iar un simetric care iese din mulțime nu e simetric.

Din tablă se citesc comutativitatea, elementul neutru și simetricii; asociativitatea nu, fiindcă ea leagă trei elemente deodată, nu două.

De reținut

• absorbant: $a\ast y=y\ast a=a$ pentru orice $y$
• la $(x-a)(y-a)+a$: $a$ este absorbant, iar $a+1$ este neutru
• elementul absorbant nu are simetric, dacă e diferit de neutru

Greșeala tipică

Se caută simetricul lui $3$ la legea $(x-3)(y-3)+3$; $3$ este absorbant, compus cu orice dă $3$, deci nu poate da niciodată elementul neutru $4$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\ast y=2xy-18x-18y+171$. Valoarea lui $8\ast 10$ este:

   • a) $7$
   • b) $9$
   • c) $11$
   • d) $-7$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $7$

   Direct din formulă: $2\cdot 8\cdot 10-18\cdot 8-18\cdot 10+171=160-144-180+171=7$. Control cu forma factorizată $2(x-9)(y-9)+9$: $2\cdot (-1)\cdot 1+9=7$. Varianta b) e numărul $9$, adică elementul care înghite orice compunere; c) și d) nu se obțin din niciun calcul corect.

2. Elementul neutru al legii $x\ast y=2xy-18x-18y+171$, definită pe $\mathbb{R}$, este:

   • a) $9$
   • b) $10$
   • c) $\frac{19}{2}$
   • d) legea nu are element neutru
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{19}{2}$

   Scriem legea factorizat, $x\ast y=2(x-9)(y-9)+9$. Condiția $x\ast e=x$ devine $2(x-9)(e-9)=x-9$; pentru $x\ne 9$ împărțim la $x-9$ și rămâne $2(e-9)=1$, deci $e=9+\frac{1}{2}=\frac{19}{2}$. Valoarea nu depinde de $x$ și e număr real. Varianta a) e elementul care înghite, iar b) ar fi răspunsul dacă factorul $2$ ar lipsi.

3. Pentru care dintre legile de mai jos, definite pe $\mathbb{R}$, avem $2\ast 5\ne 5\ast 2$?

   • a) $x\ast y=x+y-xy$
   • b) $x\ast y=x^2-y$
   • c) $x\ast y=\frac{xy}{5}$
   • d) $x\ast y=x^2+y^2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $x\ast y=x^2-y$

   La b): $2\ast 5=4-5=-1$, iar $5\ast 2=25-2=23$, deci cele două rezultate diferă. Celelalte trei formule rămân aceleași după ce interschimbăm literele, deci dau legi comutative: a) $2\ast 5=2+5-10=-3=5\ast 2$; c) $\frac{10}{5}=2$ și într-un fel, și în celălalt; d) $4+25=29$ și într-un fel, și în celălalt.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: element absorbant · ce înseamnă element absorbant la o lege · elementul care înghite tot la o lege de compoziție · absorbant și neutru la legi