Puteri cu exponent real: reguli de calcul și comparări (M2, științe ale naturii)

Cât de lungă este coasta unei insule stâncoase? Depinde de rigla cu care o măsori. Cu un pas de o sută de kilometri treci peste golfuri întregi, cu un pas de un kilometru le urmărești pe fiecare, iar lungimea măsurată crește. Meteorologul englez Lewis Fry Richardson a observat că, pentru multe coaste, lungimea măsurată depinde de pas printr-o putere cu exponent negativ, iar exponentul, obținut din măsurători, nu este un număr întreg și, în principiu, poate fi orice număr real. Calculul cu asemenea legi cere reguli sigure pentru puteri cu exponent real. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), lecția arată că regulile pe care le știi de la exponenții raționali rămân valabile pentru orice exponent real și adaugă o unealtă nouă: compararea a două puteri care au același exponent, dar baze diferite. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: proprietățile puterilor cu exponent real sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apar ca temă în programa nouă a clasei a X-a (Anexa 28), unde intervin doar prin funcția exponențială. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, programa probei MAT_P2 din 2030 nu conține puterile cu exponent real ca temă de sine stătătoare; ele sunt folosite prin funcția exponențială, din domeniul „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține proprietățile puterilor cu exponent rațional, irațional și real ale unui număr pozitiv nenul; în modelul oficial publicat pentru 2026 nu există însă o cerință dedicată lor.

Lecția continuă direct proprietățile puterilor cu exponent rațional la M2 și puterile cu exponent irațional, construite prin aproximare. Monotonia după bază, adică felul în care o putere cu bază fixă crește sau scade odată cu exponentul, se găsește în lecția M2 cu proprietățile exponențialei, iar folosirea ei ca metodă, în lecția despre puteri cu aceeași bază comparate; aici nu le mai repetăm, ci le folosim.

Ce vei învăța

• Vei ști să aplici cele cinci reguli de calcul și regula exponentului negativ atunci când exponenții sunt numere reale oarecare, atâta timp cât bazele sunt strict pozitive.
• Vei ști să explici, pe un șir de aproximări raționale, de ce o regulă adevărată pentru exponenți raționali rămâne adevărată și pentru un exponent irațional.
• Vei ști să citești fiecare regulă în ambele sensuri: să strângi mai multe puteri într-una singură, dar și să desfaci o putere incomodă în factori cunoscuți.
• Vei ști să ordonezi puteri care au același exponent real și baze diferite, spunând de fiecare dată ce decide sensul: semnul exponentului.
• Vei ști să aduci la același exponent două puteri care diferă și prin bază, și prin exponent, atunci când una dintre baze este o putere a unui număr potrivit.
• Vei ști să folosești regulile într-un model din geografia fizică, cu unități și cu intervalul în care modelul este valabil.

Hai să descoperim împreună

1. Aceleași cinci reguli, pentru orice exponent real

Până acum ai calculat cu puteri al căror exponent era rațional: $a^{m/n}$ înseamnă radicalul de ordin $n$ din $a^m$, iar regulile de calcul s-au verificat pe radicali. Pentru un exponent irațional, cum este $\sqrt{2}$ sau $\pi$, puterea a fost definită altfel: ca numărul prins între puterile cu exponenții raționali care îl aproximează prin lipsă și prin adaos. Întrebarea firească este dacă regulile vechi se aplică și noilor puteri.

Regulile de calcul cu puteri reale sunt egalitățile de mai jos, valabile pentru orice baze strict pozitive $a$ și $b$ și pentru orice exponenți reali $x$ și $y$:

$$a^x\cdot a^y=a^{x+y},\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y},{\left(a^x\right)}^y=a^{xy},(ab{)}^x=a^x\cdot b^x,{\left(\frac{a}{b}\right)}^x=\frac{a^x}{b^x},$$

iar în plus $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$, $a^0=1$ și $a^x>0$. Condiția „baze strict pozitive” este partea regulii, nu un detaliu: fără ea puterile cu exponent irațional nici nu au sens.

Regulile nu spun nimic despre sume: nu există o formulă care să transforme puterea unei sume într-o sumă de puteri. Ele privesc numai produse, câturi și puteri de puteri.

2. Ce arată tabelul aproximărilor pentru bazele 3 și 7?

Urmărim regula puterii unui produs pe un obiect concret: bazele $3$ și $7$ și exponentul $\sqrt{6}$. Numărul $\sqrt{6}$ se aproximează prin lipsă cu numerele raționale $2,4$, apoi $2,44$, apoi $2,449$. Pentru fiecare dintre acești exponenți raționali, regula e deja demonstrată: $3^{2,4}\cdot 7^{2,4}=21^{2,4}$, și la fel pentru ceilalți doi. Tabelul arată ce se întâmplă cu valorile.

Pe fiecare rând, ultimele două coloane sunt egale, pentru că exponentul e rațional. Când exponentul se apropie de $\sqrt{6}$, coloana produselor se apropie de $3^{\sqrt{6}}\cdot 7^{\sqrt{6}}$, iar ultima coloană se apropie de $21^{\sqrt{6}}$. Două coloane egale rând cu rând, care se îndreaptă fiecare spre câte un număr, se îndreaptă spre același număr. Rezultă egalitatea $3^{\sqrt{6}}\cdot 7^{\sqrt{6}}=21^{\sqrt{6}}$, iar calculatorul dă $21^{\sqrt{6}}\approx 1732,86$.

Ideea care face argumentul să funcționeze se numește, la acest nivel, continuitate intuitivă: dacă exponentul se schimbă foarte puțin, puterea se schimbă foarte puțin. Nu o demonstrăm aici: justificarea riguroasă folosește limitele, studiate mai târziu. O acceptăm așa cum a fost acceptată și definiția puterii cu exponent irațional. Același raționament, cu alte baze și alte reguli, transferă toate egalitățile din secțiunea 1 de la exponenții raționali la cei reali.

3. Calculezi în exponent ca într-o expresie cu radicali

Odată acceptate regulile, calculul cu puteri reale devine calcul cu exponenți. Strângi toate puterile cu aceeași bază într-una singură, iar exponentul rezultat îl simplifici cu tot ce știi despre radicali: scoaterea factorilor de sub radical, produsul unor radicali, formulele de calcul prescurtat.

Iată drumul pe un obiect care nu va mai apărea în lecție. În produsul $5^{\sqrt{12}}\cdot 5^{-\sqrt{3}}$ aduni exponenții și scrii $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$; rămâne $5^{2\sqrt{3}-\sqrt{3}}=5^{\sqrt{3}}$. Exponentul final este irațional, și e în regulă: răspunsul este o putere scrisă exact, nu un număr cu virgulă.

Alteori partea irațională dispare cu totul. Aceasta se întâmplă când exponenții se adună la un număr rațional, când unul se scade din celălalt și rămâne o diferență rațională, sau când produsul lor este rațional, ca $(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=4$. Ordinea de lucru rămâne aceeași: întâi simplifici exponentul, abia apoi te uiți la bază. Dacă scrii cu calculatorul valori aproximative pe parcurs, pierzi exactitatea tocmai acolo unde ea se putea păstra.

4. Cum citești regulile de la dreapta la stânga?

Fiecare regulă e o egalitate, deci se poate folosi în ambele sensuri. De la stânga la dreapta, regula puterii unui produs desface: $(ab{)}^x$ devine $a^x{b}^x$. De la dreapta la stânga, strânge: două puteri cu același exponent se înmulțesc înmulțind bazele. Același lucru e valabil pentru putere de putere: $a^{2x}$ se poate citi ca ${\left(a^2\right)}^x$, dar și ca ${\left(a^x\right)}^2$, după cum te ajută.

Citirea inversă e utilă când o bază mare se descompune în factori mici. De exemplu, $12=2^2\cdot 3$, deci

$$12^{\sqrt{5}}={\left(2^2\cdot 3\right)}^{\sqrt{5}}=2^{2\sqrt{5}}\cdot 3^{\sqrt{5}}.$$

Scrierea aceasta nu e mai scurtă, dar leagă puterea de puterile lui $2$ și $3$: dacă o problemă ți-a dat deja valorile lui $2^{\sqrt{5}}$ și $3^{\sqrt{5}}$, poți obține $12^{\sqrt{5}}$ fără alt calcul cu exponenți iraționali.

5. Ce decide ordinea când exponentul e același?

La două puteri cu aceeași bază decide poziția bazei față de unu; asta e regula lecției despre compararea puterilor cu aceeași bază. Acum situația e oglindită: exponentul e același, iar bazele diferă. Compararea puterilor cu același exponent spune că, pentru $0<a<b$ și un exponent real $x$: dacă $x>0$, atunci $a^x<b^x$; dacă $x<0$, atunci $a^x>b^x$; dacă $x=0$, ambele puteri sunt egale cu $1$. Pe scurt, un exponent pozitiv păstrează ordinea bazelor, iar unul negativ o răstoarnă.

Justificarea folosește regula câtului cu același exponent. Împarți puterea cu baza mai mare la cealaltă:

$$\frac{b^x}{a^x}={\left(\frac{b}{a}\right)}^x,$$

iar $\frac{b}{a}$ este o bază mai mare decât unu. O bază supraunitară ridicată la un exponent pozitiv dă un număr mai mare decât unu, iar ridicată la un exponent negativ dă inversul unui asemenea număr, adică un număr subunitar. Raportul arată deci dacă $b^x$ întrece sau nu numărul $a^x$.

Figura A urmărește raportul pentru bazele $4$ și $5$: el este puterea lui $\frac{5}{4}$, reprezentată ca funcție de exponent. În dreptul exponentului $\sqrt{11}$ curba e deasupra orizontalei de nivel unu, deci $4^{\sqrt{11}}<5^{\sqrt{11}}$. În dreptul exponentului $-\sqrt{11}$ e dedesubt, deci $4^{-\sqrt{11}}>5^{-\sqrt{11}}$.

Pentru exponenți întregi ai văzut deja această regulă, în secțiunea despre baze fără putere comună a lecției despre compararea puterilor cu aceeași bază, iar pe grafic, pentru baze de forma $2$ și $4$, în lecția despre funcția exponențială la M2. Noutatea de aici este că exponentul comun poate fi orice număr real, iar justificarea nu mai cere ca o bază să fie putere a celeilalte.

6. Ce faci când diferă și baza, și exponentul?

Niciuna dintre cele două reguli de comparare nu se aplică direct. Uneori însă o regulă de calcul aduce numerele la același exponent. Compară $5^{2\sqrt{3}}$ cu $24^{\sqrt{3}}$: primul număr se scrie ${\left(5^2\right)}^{\sqrt{3}}=25^{\sqrt{3}}$, iar acum exponentul $\sqrt{3}$ e comun și pozitiv. Din $24<25$ rezultă $24^{\sqrt{3}}<5^{2\sqrt{3}}$.

Semnalul de căutat este un exponent care e multiplu al celuilalt: factorul în plus se mută în bază prin regula puterii unei puteri. Dacă nici bazele nu sunt puteri ale aceluiași număr, nici exponenții nu sunt multipli unul al altuia, regulile din această lecție nu mai ajung. Asemenea comparări se fac cu logaritmi, din lecția M2 despre logaritmul unui număr, sau prin încadrarea ambelor numere între valori cunoscute.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Regula folosită la fiecare pas

Calculați $N=\frac{{\left(6^{\sqrt{10}}\right)}^{\sqrt{10}}\cdot 7^{10}}{42^9}$ și numiți, la fiecare pas, regula folosită.

Rezolvare. Primul pas lucrează la numărător, pe factorul cu exponent irațional. Regula puterii unei puteri înmulțește exponenții, iar $\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}=10$:

$${\left(6^{\sqrt{10}}\right)}^{\sqrt{10}}=6^{10}.$$

Al doilea pas observă că factorii $6^{10}$ și $7^{10}$ au același exponent. Regula puterii unui produs, citită de la dreapta la stânga, îi strânge: $6^{10}\cdot 7^{10}=42^{10}$.

Al treilea pas împarte două puteri cu aceeași bază, prin regula câtului:

$$N=\frac{42^{10}}{42^9}=42^1=42.$$

Niciun pas nu a cerut calculul lui $6^{10}$, un număr de opt cifre: regulile au lucrat direct pe exponenți. Numirea regulilor nu e o formalitate: ea arată că nicăieri nu s-a lucrat cu valori aproximative.

Exemplul 2 — O putere desfăcută în factori cunoscuți

Știind că $2^{\sqrt{2}}\approx 2,665$ și $3^{\sqrt{2}}\approx 4,729$, scrieți $18^{\sqrt{2}}$ ca produs de puteri ale lui $2$ și $3$ și estimați-l cu o zecimală.

Rezolvare. Descompunem baza: $18=2\cdot 3^2$. Aplicăm regula puterii unui produs, apoi pe cea a puterii unei puteri, citită ca pătrat:

$$18^{\sqrt{2}}=2^{\sqrt{2}}\cdot {\left(3^2\right)}^{\sqrt{2}}=2^{\sqrt{2}}\cdot {\left(3^{\sqrt{2}}\right)}^2.$$

Abia acum folosim aproximările date: $2,665\cdot 4,729^2\approx 59,6$. Păstrăm o singură zecimală, pentru că datele de pornire sunt ele însele rotunjite. Calculatorul, pe numărul inițial, dă tot $18^{\sqrt{2}}\approx 59,6$. Metoda contează când nu ai calculator la îndemână, dar ai un tabel cu puterile unor baze mici.

Exemplul 3 — Același exponent, sensuri diferite

Comparați: a) $1,8^{\sqrt{5}}$ și $2,4^{\sqrt{5}}$; b) $0,3^{-\sqrt{2}}$ și $0,45^{-\sqrt{2}}$; c) $0,6^{\pi }$ și $0,75^{\pi }$.

Rezolvare. La fiecare pereche scriem întâi semnul exponentului comun, apoi ordinea bazelor.

a) Exponentul $\sqrt{5}$ este pozitiv: bazele își păstrează ordinea. Din $1,8<2,4$ rezultă $1,8^{\sqrt{5}}<2,4^{\sqrt{5}}$.

b) Exponentul $-\sqrt{2}$ este negativ, deci ordinea bazelor se răstoarnă. Din $0,3<0,45$ rezultă $0,3^{-\sqrt{2}}>0,45^{-\sqrt{2}}$. Cu calculatorul: aproximativ $5,49$ față de $3,09$.

c) Exponentul $\pi$ este pozitiv, iar bazele sunt amândouă subunitare; faptul că bazele sunt mai mici decât unu nu schimbă nimic, pentru că aici nu compari exponenți, ci baze. Din $0,6<0,75$ rezultă $0,6^{\pi }<0,75^{\pi }$.

Partea c) arată de ce e bine să spui ce comparație faci. Cine confundă cele două reguli se uită la poziția bazelor față de unu și răstoarnă greșit semnul.

Exemplul 4 — Găsește greșeala: exponenții înmulțiți

Un elev scrie: „$10^{\sqrt{6}}\cdot 10^{\sqrt{24}}=10^{12}$, pentru că $\sqrt{6}\cdot \sqrt{24}=12$.” Rezultatul „frumos” l-a convins. Unde greșește? Scrieți rezultatul corect.

Rezolvare. La produsul a două puteri cu aceeași bază exponenții se adună, nu se înmulțesc; înmulțirea exponenților aparține regulii puterii unei puteri, ${\left(a^x\right)}^y=a^{xy}$. Elevul a folosit a doua regulă într-o situație în care se aplică prima. Corect, cu $\sqrt{24}=2\sqrt{6}$:

$$10^{\sqrt{6}}\cdot 10^{\sqrt{24}}=10^{\sqrt{6}+2\sqrt{6}}=10^{3\sqrt{6}}.$$

Rezultatul corect rămâne o putere cu exponent irațional, iar faptul că varianta greșită dădea un număr natural nu dovedește nimic. Un control rapid cu calculatorul arată diferența: $10^{3\sqrt{6}}$ are exponentul $3\sqrt{6}\approx 7,35$, deci e cam de ordinul zecilor de milioane, nu $10^{12}$.

Exemplul 5 — Râul și bazinul lui

Geologii au observat că, într-o regiune dată, lungimea râului principal al unui bazin hidrografic crește cu suprafața bazinului după o lege de putere, numită legea lui Hack. Pentru o regiune, legea este aproximativ $L=1,5\cdot A^{0,6}$, cu lungimea $L$ în kilometri și suprafața $A$ în kilometri pătrați, pentru bazine între $10$ și $10000$ km². a) Calculați lungimea râului principal al unui bazin de $1024$ km². b) Care dintre două bazine vecine, de $150$ și de $180$ km², are râul principal mai lung?

Rezolvare. Exponentul $0,6$ este măsurat, nu dedus dintr-o formulă; el spune că lungimea crește mai încet decât suprafața.

a) Scriem $0,6=\frac{3}{5}$ și $1024=4^5$; cu regula puterii unei puteri,

$$1024^{0,6}={\left(4^5\right)}^{\frac{3}{5}}=4^3=64,$$

deci $L(1024)=1,5\cdot 64=96$ km. Suprafața a fost aleasă ca putere de ordinul cinci, ca exponentul să se simplifice; pentru o suprafață oarecare, valoarea se aproximează cu calculatorul.

b) Lungimile sunt $1,5\cdot 150^{0,6}$ și $1,5\cdot 180^{0,6}$. Exponentul comun $0,6$ e pozitiv, așa că ordinea bazelor rămâne aceeași; cum $150<180$, avem $150^{0,6}<180^{0,6}$, iar înmulțirea cu $1,5$ nu schimbă sensul. Bazinul mai mare are râul mai lung, lucru previzibil; regula arată însă că nu e nevoie de calculator ca să-l afirmi. Figura B arată legea pe o parte a intervalului de valabilitate, cu punctul de la partea a).

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

a) Arătați că ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{\sqrt{3}}\cdot {\left(\frac{5}{2}\right)}^{\sqrt{3}-2}=\frac{4}{25}$. b) Comparați numerele $0,4^{\sqrt{3}}$ și $0,5^{\sqrt{3}}$.

Rezolvare. a) Bazele sunt inverse una alteia. Scriem $\frac{5}{2}$ ca ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{-1}$ și folosim regula puterii unei puteri: ${\left(\frac{5}{2}\right)}^{\sqrt{3}-2}={\left(\frac{2}{5}\right)}^{2-\sqrt{3}}$. Acum bazele sunt egale și exponenții se adună:

$${\left(\frac{2}{5}\right)}^{\sqrt{3}}\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^{2-\sqrt{3}}={\left(\frac{2}{5}\right)}^2=\frac{4}{25}.$$

b) Exponentul comun $\sqrt{3}$ este pozitiv, iar $0,4<0,5$, deci $0,4^{\sqrt{3}}<0,5^{\sqrt{3}}$. Observă legătura cu partea a): $0,4=\frac{2}{5}$, deci primul număr este chiar factorul de la care a pornit calculul. Am compus cerința în maniera celor scurte, de calcul numeric; ea nu provine dintr-un subiect oficial.

Să exersăm

Lucrează cu exponenții exacți. La comparări, scrie întâi ce este comun celor două numere, baza sau exponentul, apoi regula care decide.

1. Scrieți ca o singură putere: a) $6^{\sqrt{2}}\cdot 6^{\sqrt{8}}$; b) ${\left(0,5^{\sqrt{3}}\right)}^2$, cu baza $0,25$; c) $\frac{11^{\sqrt{20}}}{11^{\sqrt{5}}}$.

2. Calculați: a) $2^{\sqrt{11}+4}\cdot 2^{-\sqrt{11}}$; b) ${\left(3^{1+\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}-1}$; c) $\frac{0,1^{\sqrt{6}}}{0,1^{\sqrt{6}+2}}$.

3. Scrieți $45^{\sqrt{3}}$ ca produs de puteri cu bazele $3$ și $5$.

4. Calculați, folosind regula puterii unui produs: a) ${\left(\frac{3}{7}\right)}^{\sqrt{2}}\cdot {\left(\frac{14}{3}\right)}^{\sqrt{2}}$, cu rezultatul scris ca o singură putere; b) $4^{\sqrt{5}}\cdot 0,25^{\sqrt{5}}$.

5. Comparați numerele $1,3^{\sqrt{7}}$ și $1,25^{\sqrt{7}}$.

6. Comparați numerele $0,8^{-\sqrt{3}}$ și $0,9^{-\sqrt{3}}$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) $3^{\sqrt{2}}\cdot 3^{\sqrt{2}}=9^{\sqrt{2}}$.

8. Știind că $3^{\sqrt{5}}\approx 11,665$, aproximați cu o zecimală $9^{\sqrt{5}}$ și cu trei zecimale ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{\sqrt{5}}$.

9. Un elev scrie „${\left(7^{\sqrt{3}}\right)}^{\sqrt{12}}=7^{3\sqrt{3}}$”. Găsiți greșeala și calculați corect.

10. Ordonați crescător numerele $2,5^{-\sqrt{2}}$, $0,4^{-\sqrt{2}}$ și $1^{-\sqrt{2}}$.

11. Comparați numerele $3^{-2\sqrt{2}}$ și $8^{-\sqrt{2}}$.

12. (Problemă aplicată.) Când măsori o porțiune de coastă stâncoasă pe hartă, cu un compas deschis la pasul $s$, obții o lungime cu atât mai mare cu cât pasul e mai mic, fiindcă prinzi mai multe golfuri. Pentru o anumită coastă, lungimea măsurată este aproximativ $L(s)=1500\cdot s^{-1/4}$ kilometri, pentru un pas $s$ între $1$ și $100$ km. a) Calculați $L(16)$ și $L(81)$. b) Comparați, fără calculator, lungimile măsurate cu pașii de $5$ km și de $7$ km.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că ${\left(\sqrt{5}\right)}^{\sqrt{3}}\cdot {\left(\sqrt{5}\right)}^{4-\sqrt{3}}=25$.

14. Se notează $a=2^{\sqrt{2}}$. Scrieți în funcție de $a$ numerele $4^{\sqrt{2}}$, $0,5^{\sqrt{2}}$ și $\frac{16^{\sqrt{2}}}{2^{\sqrt{2}}}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Comparați numerele $0,7^{\sqrt{6}}$ și $0,75^{\sqrt{6}}$.

16. Calculați $\frac{55^{\sqrt{7}}}{5^{\sqrt{7}}}\cdot 11^{2-\sqrt{7}}$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $12^{\sqrt{2}}\cdot 3^{-\sqrt{2}}\cdot 2^{2-2\sqrt{2}}=4$.

18. (Provocare.) Arătați că $12^{\sqrt{3}}+35^{\sqrt{3}}>37^{\sqrt{3}}$. Indicație: $12^2+35^2=37^2$.

Răspunsuri și explicații

1. a) Exponenții se adună, iar $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$: $6^{\sqrt{2}}\cdot 6^{\sqrt{8}}=6^{3\sqrt{2}}$. b) Exponenții se înmulțesc: ${\left(0,5^{\sqrt{3}}\right)}^2=0,5^{2\sqrt{3}}={\left(0,5^2\right)}^{\sqrt{3}}=0,25^{\sqrt{3}}$. c) Exponenții se scad, iar $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$: $\frac{11^{\sqrt{20}}}{11^{\sqrt{5}}}=11^{\sqrt{5}}$.

2. a) $2^{\sqrt{11}+4}\cdot 2^{-\sqrt{11}}=2^4=16$. b) Produsul exponenților este $(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)=2-1=1$, deci ${\left(3^{1+\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}-1}=3^1=3$. c) $\frac{0,1^{\sqrt{6}}}{0,1^{\sqrt{6}+2}}=0,1^{-2}=100$.

3. $45=3^2\cdot 5$, deci $45^{\sqrt{3}}={\left(3^2\right)}^{\sqrt{3}}\cdot 5^{\sqrt{3}}=3^{2\sqrt{3}}\cdot 5^{\sqrt{3}}$.

4. a) Exponentul e comun, deci bazele se înmulțesc: $\frac{3}{7}\cdot \frac{14}{3}=2$, iar produsul este $2^{\sqrt{2}}$. b) $4\cdot 0,25=1$, deci $4^{\sqrt{5}}\cdot 0,25^{\sqrt{5}}=1^{\sqrt{5}}=1$.

5. Exponentul comun $\sqrt{7}$ este pozitiv, iar $1,25<1,3$, deci $1,25^{\sqrt{7}}<1,3^{\sqrt{7}}$. Calculatorul dă aproximativ $1,80$ și $2,00$.

6. Exponentul comun $-\sqrt{3}$ este negativ, deci ordinea bazelor se răstoarnă: din $0,8<0,9$ rezultă $0,8^{-\sqrt{3}}>0,9^{-\sqrt{3}}$.

7. Adevărat. În stânga bazele sunt egale, deci exponenții se adună: $3^{\sqrt{2}}\cdot 3^{\sqrt{2}}=3^{2\sqrt{2}}$. Apoi $3^{2\sqrt{2}}={\left(3^2\right)}^{\sqrt{2}}=9^{\sqrt{2}}$. Egalitatea poate fi citită și ca regula puterii unui produs: $3^{\sqrt{2}}\cdot 3^{\sqrt{2}}=(3\cdot 3{)}^{\sqrt{2}}$.

8. $9^{\sqrt{5}}={\left(3^{\sqrt{5}}\right)}^2$, iar cu valoarea dată $11,665^2\approx 136,1$. Apoi ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{\sqrt{5}}=\frac{1}{3^{\sqrt{5}}}\approx 0,086$. A doua cerință cere trei zecimale: $\frac{1}{11,665}\approx 0,0857$, rotunjit $0,086$.

9. Elevul a adunat exponenții, $\sqrt{3}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}$, deși la putere de putere exponenții se înmulțesc. Corect: $\sqrt{3}\cdot \sqrt{12}=\sqrt{36}=6$, deci ${\left(7^{\sqrt{3}}\right)}^{\sqrt{12}}=7^6=117649$.

10. Exponentul comun $-\sqrt{2}$ este negativ, deci ordinea bazelor $0,4<1<2,5$ se răstoarnă: $2,5^{-\sqrt{2}}<1^{-\sqrt{2}}<0,4^{-\sqrt{2}}$. Numărul din mijloc este $1$, iar primul este inversul ultimului, fiindcă $0,4=\frac{1}{2,5}$.

11. $3^{-2\sqrt{2}}={\left(3^2\right)}^{-\sqrt{2}}=9^{-\sqrt{2}}$. Exponentul comun $-\sqrt{2}$ este negativ, iar $8<9$, deci $9^{-\sqrt{2}}<8^{-\sqrt{2}}$, adică $3^{-2\sqrt{2}}<8^{-\sqrt{2}}$.

12. a) $L(16)=1500\cdot 16^{-1/4}=\frac{1500}{2}=750$ km și $L(81)=\frac{1500}{3}=500$ km. Pasul mai mare dă lungimea mai mică, cum spune regula exponentului negativ. b) Exponentul comun $-\frac{1}{4}$ este negativ, deci ordinea bazelor se răstoarnă: din $5<7$ rezultă $5^{-1/4}>7^{-1/4}$, iar înmulțirea cu $1500$ păstrează sensul. Deci $L(5)>L(7)$: pasul mai mic prinde mai multe golfuri.

13. Bazele sunt egale, deci exponenții se adună: ${\left(\sqrt{5}\right)}^{\sqrt{3}+4-\sqrt{3}}={\left(\sqrt{5}\right)}^4=25$.

14. $4^{\sqrt{2}}={\left(2^{\sqrt{2}}\right)}^2=a^2$; $0,5^{\sqrt{2}}=\frac{1}{2^{\sqrt{2}}}=\frac{1}{a}$; $\frac{16^{\sqrt{2}}}{2^{\sqrt{2}}}=8^{\sqrt{2}}={\left(2^{\sqrt{2}}\right)}^3=a^3$.

15. Exponentul comun $\sqrt{6}$ este pozitiv, iar $0,7<0,75$, deci $0,7^{\sqrt{6}}<0,75^{\sqrt{6}}$.

16. $\frac{55^{\sqrt{7}}}{5^{\sqrt{7}}}=11^{\sqrt{7}}$, apoi $11^{\sqrt{7}}\cdot 11^{2-\sqrt{7}}=11^2=121$.

17. $12^{\sqrt{2}}\cdot 3^{-\sqrt{2}}=4^{\sqrt{2}}=2^{2\sqrt{2}}$, iar $2^{2\sqrt{2}}\cdot 2^{2-2\sqrt{2}}=2^2=4$.

18. Împărțim prin $37^{\sqrt{3}}>0$ și, cu regula câtului, cerința devine ${\left(\frac{12}{37}\right)}^{\sqrt{3}}+{\left(\frac{35}{37}\right)}^{\sqrt{3}}>1$. Bazele sunt subunitare, iar $\sqrt{3}<2$, deci exponentul mai mic dă puterea mai mare: ${\left(\frac{12}{37}\right)}^{\sqrt{3}}>{\left(\frac{12}{37}\right)}^2$ și ${\left(\frac{35}{37}\right)}^{\sqrt{3}}>{\left(\frac{35}{37}\right)}^2$. Adunând, suma este mai mare decât $\frac{144+1225}{1369}=1$, cum trebuia. Numeric, suma este aproximativ $1,050$.

De reținut

• Pentru baze strict pozitive și exponenți reali oarecare rămân valabile regulile produsului, câtului și puterii unei puteri cu aceeași bază, regulile puterii unui produs și a unui cât, plus $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ și $a^x>0$.
• Regulile trec de la exponenții raționali la cei reali prin continuitate intuitivă: o egalitate adevărată la fiecare aproximare rațională rămâne adevărată pentru exponentul aproximat.
• Fiecare regulă se citește în ambele sensuri; calculezi întâi în exponent, cu tot ce știi despre radicali, și abia la final treci, dacă e nevoie, la o valoare aproximativă.
• Pentru $0<a<b$, un exponent comun pozitiv păstrează ordinea bazelor, unul negativ o răstoarnă, iar exponentul zero dă $1$ în ambele părți; motivul este raportul ${\left(\frac{b}{a}\right)}^x$ comparat cu $1$.
• Când diferă și baza, și exponentul, cauți o regulă care aduce numerele la același exponent sau la aceeași bază; dacă nu există una, ai nevoie de logaritmi.

Greșeli frecvente

• Ridici la putere doar un factor. $(3\cdot 5{)}^{\sqrt{2}}$ nu este $3\cdot 5^{\sqrt{2}}$: exponentul se aplică fiecărui factor, $3^{\sqrt{2}}\cdot 5^{\sqrt{2}}$.
• Scazi exponenții la un cât cu baze diferite. În $\frac{15^{\sqrt{3}}}{5^{\sqrt{3}}}$ exponenții sunt egali, nu bazele; se împart bazele și rămâne $3^{\sqrt{3}}$, nu $15^0$.
• Întorci baza fără să schimbi semnul exponentului. ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-\sqrt{2}}$ este ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{\sqrt{2}}$; dacă întorci fracția, exponentul își schimbă semnul, altfel scrii inversul numărului.
• Desfaci o bază pozitivă în factori negativi. $6=(-2)\cdot (-3)$ e adevărat, dar $(-2{)}^{\sqrt{2}}$ nu are sens, așa că regula puterii unui produs se aplică numai cu factori pozitivi.
• Confunzi puterea unei puteri cu o putere în etaj. ${\left(6^2\right)}^{\sqrt{7}}=6^{2\sqrt{7}}=36^{\sqrt{7}}$: exponenții se înmulțesc; nu obții $6$ ridicat la puterea «$2$ la puterea $\sqrt{7}$», care ar fi cu totul alt număr.

Aplică acasă

1. Râurile de pe harta ta. Caută, pe un atlas sau pe o pagină oficială de hidrologie, suprafața bazinului și lungimea pentru două râuri din aceeași regiune a țării. Calculează raportul suprafețelor ridicat la puterea $0,6$ și compară-l cu raportul lungimilor. Scrie ce ar putea explica o potrivire slabă: altă regiune, altă formă a bazinului, altă rocă.
2. Aproximările, pe caiet și pe calculator. Scrie pe caiet un tabel cu aproximările $1,4$; $1,41$; $1,414$; $1,4142$ ale lui $\sqrt{2}$ și completează, cu calculatorul telefonului, coloanele $5^r$, $11^r$, produsul lor și $55^r$. Observă că ultimele două coloane sunt egale pe fiecare rând și că cifrele se stabilizează. Explică într-o frază ce legătură are tabelul cu ideea de continuitate intuitivă.
3. Cine e mai mare? Joc de comparare. Cu un membru al familiei, scrieți pe rând perechi de puteri cu același exponent, de exemplu $1,7^{\pi }$ și $1,9^{\pi }$, apoi perechi cu exponent negativ. Celălalt spune, fără calculator, care număr e mai mare și numește regula folosită; verificați apoi la calculator. Notați la ce perechi ați greșit și de ce.

Pentru părinți și profesori

Lecția leagă două lucruri pe care elevul le folosește des fără să le justifice: regulile puterilor aplicate la exponenți iraționali și compararea a două puteri cu același exponent. Pentru primul, argumentul de la clasă este tabelul aproximărilor raționale, pe care elevul îl poate reface singur cu calculatorul; pentru al doilea, raportul ${\left(\frac{b}{a}\right)}^x$ comparat cu $1$. Ambele sunt argumente scurte, fără limite, potrivite pentru profilul de științe.

De urmărit în caiet: elevul scrie condiția de bază strict pozitivă înainte de a desface o bază în factori; la fiecare comparare spune ce este comun, baza sau exponentul; lasă aproximările la sfârșit și le rotunjește corect. Întrebări bune de control: „Ce regulă folosești aici și de ce are voie?”; „Ce se schimbă dacă exponentul comun devine negativ?”; „Cum ai putea aduce aceste două numere la același exponent?”. Semnul că tema e stăpânită este că elevul poate explica greșeala din Exemplul 4 numind regula confundată, fără să calculeze nimic.

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029. Programa de examen (OMEN 4430/2014) cere, la capitolul „Mulțimi de numere” al clasei a X-a, „proprietăți ale puterilor cu exponent rațional, irațional și real ale unui număr pozitiv nenul”, de aceea exercițiile de calcul și de comparare poartă marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)”. În modelul oficial publicat pentru 2026 nu există o cerință dedicată puterilor cu exponent real; exercițiile marcate sunt compuse pentru pregătire și nu reproduc subiecte date. Programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028, nu mai numește puterile cu exponent real ca temă: ele intervin numai prin funcția exponențială din capitolul de funcții al clasei a X-a, iar funcția putere apare doar cu exponent întreg, la clasa a IX-a. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, programa probei MAT_P2 din 2030 nu conține tema ca atare; funcția exponențială face parte din domeniul „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Programa de examen din 2014 prevede patru ore de matematică pe săptămână la clasa a X-a, iar planurile-cadru noi (OMEC 4350/2025) prevăd trei.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: regulile de calcul cu puteri reale, mate-info (M1). Lecția următoare a suplimentului este funcția putere cu exponent real la M2; puterile cu bază fixă și exponent variabil au fost desenate, în clasa a IX-a, în lecția M2 despre exponențiala citită pe grafic. Pentru recapitulare, unitatea are testul M2 cu puteri reale și funcții bijective.

Întrebări frecvente

Ce este diferit la această temă între M1 și M2? Regulile sunt aceleași, dar locul lor diferă. În lecțiile M1 ale site-ului, puterile reale deschid un capitol întreg, cu ecuații, inecuații și funcții studiate complet. Programa de examen 2014 le cere ca proprietăți de calcul, iar programa nouă de științe ale naturii nu le mai numește; de aceea tema intră în suplimentul M2, cu accent pe calcul exact și pe comparare.

La ce subiect al bacalaureatului M2 pot fi folosite aceste reguli? Programa de examen 2014 le include la „Mulțimi de numere”, materia clasei a X-a, deci pot sta la baza unui calcul cerut la examen. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință dedicată lor. Ele apar însă ca pași în orice calcul cu puteri, radicali sau logaritmi, deci le folosești și când enunțul nu le numește.

Ce se întâmplă la comparare când exponentul comun este foarte aproape de zero? Ordinea se decide tot după semnul exponentului, dar cele două puteri devin foarte apropiate de $1$. De exemplu, $2^{0,01}\approx 1,0070$ și $3^{0,01}\approx 1,0110$: exponentul pozitiv păstrează ordinea bazelor, deci $2^{0,01}<3^{0,01}$, chiar dacă diferența apare abia la a treia zecimală. Cu calculatorul, o asemenea comparare cere multe zecimale; cu regula, nu cere niciuna.

De ce trebuie ca bazele să fie pozitive și în regula puterii unui produs? Pentru că toate puterile din regulă trebuie să aibă sens. Un exponent irațional e aproximat de fracții cu numitori pari, iar printre numerele reale nu găsești radicali de ordin par din numere negative. Chiar dacă produsul a două numere negative e pozitiv, factorii negativi nu pot fi ridicați separat la un exponent irațional.

Cum aleg între a strânge și a desface o putere? Te uiți la ce îți dă problema. Dacă ai deja valori pentru puterile unor baze mici, desfaci baza mare în factori, ca $12^{\sqrt{5}}=2^{2\sqrt{5}}\cdot 3^{\sqrt{5}}$. Dacă ai mai multe puteri cu același exponent, le strângi într-una singură, ca în Exemplul 1. Scopul este același de fiecare dată: să ajungi la puteri pe care le poți calcula sau compara.

Ce se întâmplă dacă una dintre baze este chiar 1? Puterile lui $1$ sunt toate egale cu $1$, oricare ar fi exponentul real, iar regulile rămân adevărate, doar că devin banale: $1^x\cdot 1^y=1=1^{x+y}$. La comparare, baza $1$ e un reper util: pentru un exponent pozitiv, bazele mai mari decât $1$ dau puteri peste $1$, iar cele mai mici dau puteri sub $1$; pentru un exponent negativ, invers.