Ecuații și inecuații cu radicali (M2, științe ale naturii)

Suprafața corporală a unui om nu se măsoară cu rigla: medicii și fiziologii o estimează cu formula lui Mosteller, în care înălțimea și masa stau sub un radical. Când întrebarea se întoarce, „ce masă corespunde unei suprafețe date?”, necunoscuta ajunge sub radical și apare o ecuație cu radicali. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), programa cere ecuațiile care conțin radicali de ordinul doi sau trei. Titlul păstrează numele temei din culegeri, dar spunem cinstit de la început: inecuațiile cu radicali nu fac parte din programa acestei clase, iar în lecție inegalitățile apar doar ca observație de domeniu, adică în condițiile de existență ale radicalilor. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține explicit ecuațiile care conțin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3; în modelul oficial publicat pentru 2026, singura cerință de tipul „Rezolvați ecuația” de la Subiectul I este logaritmică, iar radicalul apare numai în funcția de la Subiectul al III-lea.

Graficul funcției radical și citirea lui le-ai întâlnit în pagina M2 a funcției radical de ordinul doi, iar domeniul unei expresii cu radical l-ai stabilit în lecția M2 despre domeniul funcției cu radical. Calculul cu radicali, inclusiv expresiile conjugate, este în lecția M2 despre proprietățile radicalilor. Aici le punem împreună ca să rezolvăm ecuații și, mai ales, ca să știm sigur care dintre numerele găsite sunt soluții.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii condițiile de existență ale unei ecuații cu radicali ca sistem de inegalități și să le folosești ca filtru.
• Vei ști de ce ridicarea la pătrat poate adăuga soluții și cum se vede o soluție străină pe grafic.
• Vei ști să folosești condiția de semn a membrului drept, astfel încât ridicarea la pătrat să nu mai adauge nimic.
• Vei ști să izolezi radicalul înainte de ridicare și să rezolvi ecuații cu doi radicali.
• Vei ști că la radicalul de ordinul trei ridicarea la cub nu pune condiții și nu creează soluții străine.
• Vei ști să rezolvi ecuații cu radicali venite din medicină, chimie și fizică, cu unitățile potrivite.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să rezolvi o ecuație cu radicali?

Ecuația cu radicali este o ecuație în care necunoscuta apare sub un radical. A o rezolva înseamnă a găsi toate numerele reale pentru care ambii membri au sens și sunt egali. Primul pas este, de aceea, mulțimea pe care ecuația are sens: pentru fiecare radical de ordinul doi, expresia de sub el trebuie să fie mai mare sau egală cu zero, iar radicalul de ordinul trei nu cere nimic.

Luăm expresia $\sqrt{x+5}+\sqrt{4-x}$. Primul radical cere $x+5\ge 0$, al doilea cere $4-x\ge 0$, iar cele două condiții trebuie îndeplinite simultan:

$$\{\begin{array}{l}x+5\ge 0\\ 4-x\ge 0\end{array}⟺-5\le x\le 4.$$

Orice ecuație care conține această expresie poate avea soluții doar în intervalul $[-5,4]$. Condițiile acestea sunt singurele inegalități din lecție: ele nu se rezolvă de dragul lor, ci ca să știm unde are voie să stea o soluție. Ai văzut în lecția de domeniu din clasa a IX-a cum se află domeniul și pentru expresii mai complicate de sub radical.

Atenție la ce spune și la ce nu spune domeniul. Un număr din afara lui este eliminat sigur, fără niciun calcul. Un număr din interior are doar dreptul de a fi verificat: faptul că radicalii au sens nu garantează că cei doi membri sunt egali. Domeniul este, așadar, un filtru grosier, primul dintre cele trei pe care le vom folosi; al doilea este condiția de semn, iar al treilea este verificarea prin înlocuire.

2. De ce poate adăuga ridicarea la pătrat soluții?

Considerăm ecuația $\sqrt{12-x}=x$. Ridicând la pătrat obținem $12-x=x^2$, adică $x^2+x-12=0$, cu rădăcinile $3$ și $-4$. Verificăm în ecuația inițială: pentru $x=3$, $\sqrt{9}=3$, bun. Pentru $x=-4$, membrul stâng este $\sqrt{16}=4$, iar membrul drept este $-4$. Cele două numere sunt opuse, nu egale, deci $-4$ nu este soluție.

Figura A arată ce s-a întâmplat. Ecuația $12-x=y^2$ descrie în reper o parabolă culcată, cu vârful în $(12;0)$. Ea are două ramuri: ramura de sus este graficul lui $\sqrt{12-x}$, iar ramura de jos este graficul lui $-\sqrt{12-x}$. Dreapta $y=x$ taie ramura de sus în $(3;3)$ și ramura de jos în $(-4;-4)$. Ridicarea la pătrat a „lipit” cele două ramuri, așa că ecuația nouă găsește ambele puncte, deși numai primul aparține graficului radicalului.

Pe scurt, o soluție străină este un număr care verifică ecuația obținută prin ridicare la pătrat, dar nu și ecuația inițială; pentru el, cei doi membri inițiali au valori opuse. Ridicarea la pătrat nu pierde niciodată soluții, dar poate adăuga soluții străine.

3. Cum oprim soluțiile străine de la început?

Membrul stâng al ecuației $\sqrt{A}=B$ este mereu mai mare sau egal cu zero, deci și membrul drept trebuie să fie. Dacă adăugăm această cerință, ridicarea la pătrat devine o transformare echivalentă:

$$\sqrt{A}=B⟺\{\begin{array}{l}B\ge 0\\ A=B^2.\end{array}$$

Motivul este scurt: pentru $B\ge 0$, egalitatea $A=B^2$ face ca $A$ să fie nenegativ și $\sqrt{A}=\sqrt{B^2}=B$. Revenim la ecuația din secțiunea precedentă. Condiția de semn este $x\ge 0$, iar rădăcinile ecuației de gradul al doilea sunt $3$ și $-4$. Filtrul $x\ge 0$ o păstrează doar pe prima, deci $S=\{3\}$. Pe figură, condiția de semn înseamnă exact „rămânem pe ramura de sus”.

Ecuația de gradul al doilea care apare după ridicare se rezolvă cu formula rădăcinilor, dedusă în lecția M2 despre ecuația de gradul al doilea, sau prin descompunere în factori, când se vede. Verificarea finală în ecuația inițială rămâne recomandată și după ce ai folosit echivalența: ea prinde greșelile de calcul.

4. De ce izolăm radicalul înainte de ridicare?

Dacă ecuația conține radicalul și alți termeni în același membru, ridicarea la pătrat produce un termen dublu care conține tot radicalul. Ecuația $\sqrt{x+7}-x=1$ arată ordinea bună. Mutăm întâi termenul $-x$ în dreapta și obținem $\sqrt{x+7}=x+1$. Abia acum scriem condiția $x+1\ge 0$ și ridicăm la pătrat: $x+7=x^2+2x+1$, adică $x^2+x-6=0$, cu rădăcinile $2$ și $-3$.

Condiția $x\ge -1$ elimină valoarea $x=-3$, iar verificarea confirmă $x=2$: $\sqrt{9}-2=1$. Mulțimea soluțiilor este $S=\{2\}$. Izolarea transformă o ecuație greu de ridicat la pătrat într-una de forma $\sqrt{A}=B$, pentru care avem deja echivalența.

5. Când ambii membri sunt radicali

Pentru doi radicali de ordinul doi, egalitatea $\sqrt{A}=\sqrt{B}$ are loc exact când $A=B$ și expresiile au sens. Ajunge să ceri ca una dintre ele să fie nenegativă, pentru că sunt egale. Considerăm $\sqrt{x^2-3}=\sqrt{x+3}$. Din $x^2-3=x+3$ rezultă $x^2-x-6=0$, cu rădăcinile $3$ și $-2$.

Pentru $x=3$, expresia $x+3$ este $6$, iar pentru $x=-2$ este $1$; ambele sunt pozitive, deci ambele numere sunt soluții: $\sqrt{6}=\sqrt{6}$ și $\sqrt{1}=\sqrt{1}$. Mulțimea soluțiilor este $S=\{-2;3\}$. Remarcă importantă: un număr negativ poate fi foarte bine soluția unei ecuații cu radicali. Condiția privește expresia de sub radical, nu semnul necunoscutei.

6. Ce se schimbă la radicalul de ordinul trei?

Radicalul de ordinul trei este definit pentru orice număr real, iar funcția care ridică la cub este strict crescătoare, deci două numere cu același cub sunt egale. De aceea

$$\sqrt[3]{A}=B⟺A=B^3,$$

fără nicio condiție suplimentară și fără soluții străine. Pe grafic, explicația este vizibilă: curba lui $\sqrt[3]{x}$ are o singură ramură, care urcă pe toată axa, deci nu există o „ramură de jos” pe care o dreaptă să producă puncte false. Ridicarea la cub păstrează semnul, pe când ridicarea la pătrat îl șterge. Pentru ecuația $\sqrt[3]{x^2+7}=2$ obținem $x^2+7=8$, adică $x^2=1$, cu soluțiile $-1$ și $1$. Ambele verifică: $\sqrt[3]{8}=2$. Graficul funcției radical de ordin trei, care explică de ce nu apar probleme de semn, este în pagina M2 a funcției radical de ordinul trei.

7. Când radicalul apare de două ori, o notăm

Ecuația $x+2+8\sqrt{x+2}-20=0$ conține atât expresia $x+2$, cât și radicalul ei. Notăm $t=\sqrt{x+2}$, cu condiția $t\ge 0$, deci $x+2=t^2$, iar ecuația devine $t^2+8t-20=0$, cu rădăcinile $t=2$ și $t=-10$. Rădăcina negativă se respinge, fiindcă un radical de ordinul doi nu poate fi negativ.

Rămâne $\sqrt{x+2}=2$, adică $x+2=4$ și $x=2$. Verificare: $4+8\cdot 2-20=0$. Condiția $t\ge 0$ joacă aici același rol ca în secțiunea 3 condiția de semn a membrului drept.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Protocolul complet, confirmat pe grafic

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{2x+9}=x-3$ și confirmați rezultatul pe figura E1.

Rezolvare. Condiția de existență este $2x+9\ge 0$, adică $x\ge -\frac{9}{2}$, iar condiția de semn este $x-3\ge 0$, adică $x\ge 3$. A doua o include pe prima, deci lucrăm cu $x\ge 3$. Ridicăm la pătrat: $2x+9=x^2-6x+9$, adică $x^2-8x=0$, sau $x(x-8)=0$. Rădăcinile sunt $0$ și $8$.

Condiția $x\ge 3$ păstrează doar $x=8$: $\sqrt{25}=5=8-3$. Valoarea $x=0$ este străină: pentru ea membrul stâng este $\sqrt{9}=3$, iar membrul drept este $-3$. Mulțimea soluțiilor este $S=\{8\}$.

Pe figura E1, dreapta $y=x-3$ taie graficul lui $\sqrt{2x+9}$ într-un singur punct, $(8;5)$. Ramura de jos a parabolei culcate, desenată punctat, este atinsă în $(0;-3)$: acolo se află soluția străină.

Exemplul 2 — Găsește greșeala

Un elev rezolvă ecuația $\sqrt{x-1}+3=x$ astfel: „Ridic totul la pătrat și obțin $x-1+9=x^2$, adică $x^2-x-8=0$.” Unde greșește și care este mulțimea soluțiilor?

Rezolvare. Elevul a ridicat la pătrat o sumă ca și cum pătratul ei ar fi suma pătratelor. În realitate ${\left(\sqrt{x-1}+3\right)}^2=x-1+6\sqrt{x-1}+9$, iar termenul din mijloc păstrează radicalul. Drumul corect începe cu izolarea: $\sqrt{x-1}=x-3$, cu condiția $x\ge 3$.

Ridicăm la pătrat: $x-1=x^2-6x+9$, adică $x^2-7x+10=0$, cu rădăcinile $2$ și $5$. Condiția $x\ge 3$ o păstrează doar pe $5$, iar verificarea dă $\sqrt{4}+3=5$. Valoarea $x=2$ este străină, pentru că $\sqrt{1}+3=4$, nu $2$. Mulțimea soluțiilor este $S=\{5\}$.

Exemplul 3 — Diferența a doi radicali, două soluții bune

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{2x+1}-\sqrt{x-3}=2$.

Rezolvare. Condițiile de existență sunt $2x+1\ge 0$ și $x-3\ge 0$, adică $x\ge 3$. Izolăm primul radical: $\sqrt{2x+1}=2+\sqrt{x-3}$. Membrul drept e o sumă de numere nenegative, așa că pătratele celor doi membri sunt egale exact când membrii sunt egali: $2x+1=4+4\sqrt{x-3}+x-3$, adică $x=4\sqrt{x-3}$.

A rămas un radical, deja izolat. Membrul stâng este pozitiv pentru $x\ge 3$, deci ridicăm din nou: $x^2=16(x-3)$, adică $x^2-16x+48=0$, cu rădăcinile $4$ și $12$. Ambele respectă $x\ge 3$. Verificăm: $\sqrt{9}-\sqrt{1}=3-1=2$ și $\sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2$. Mulțimea soluțiilor este $S=\{4;12\}$. Două ridicări la pătrat nu înseamnă automat soluții străine; când fiecare ridicare este făcută între membri nenegativi, nu apare niciuna.

Exemplul 4 — Ordinul trei, cu cuburi care se reduc

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt[3]{x^3+6x^2-8}=x+2$.

Rezolvare. La ordinul trei nu punem condiții și ridicăm direct la cub: $x^3+6x^2-8=(x+2{)}^3=x^3+6x^2+12x+8$. Termenii $x^3$ și $6x^2$ se reduc și rămâne $-8=12x+8$, adică $x=-\frac{4}{3}$.

Verificăm prin înlocuire. Membrul drept este $-\frac{4}{3}+2=\frac{2}{3}$, al cărui cub este $\frac{8}{27}$. Sub radical avem $-\frac{64}{27}+\frac{288}{27}-\frac{216}{27}=\frac{8}{27}$, iar $\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}$. Mulțimea soluțiilor este $S=\left\{-\frac{4}{3}\right\}$. O ecuație care arată de gradul al treilea s-a redus la una de gradul întâi, pentru că membrul drept avea exact aceiași primi termeni la cub.

Exemplul 5 — Suprafața corporală după formula lui Mosteller

Suprafața corporală a unei persoane, în metri pătrați, se estimează cu formula $S=\sqrt{\frac{hm}{3600}}$, unde $h$ este înălțimea în centimetri, iar $m$ este masa în kilograme. a) Calculați suprafața pentru $h=180$ cm și $m=80$ kg. b) Ce masă corespunde unei suprafețe de $1$ m² la un copil cu înălțimea de $120$ cm? c) Ce masă corespunde unei suprafețe de $1,8$ m² la un adult cu înălțimea de $160$ cm?

Rezolvare. a) Avem $\frac{180\cdot 80}{3600}=\frac{14400}{3600}=4$, deci suprafața este $\sqrt{4}=2$ m².

b) Ecuația este $\sqrt{\frac{120m}{3600}}=1$, cu $m>0$. Membrul drept este pozitiv, deci ridicăm la pătrat: $\frac{120m}{3600}=1$, adică $m=30$ kg.

c) Ecuația $\sqrt{\frac{160m}{3600}}=1,8$ devine, după ridicarea la pătrat, $\frac{160m}{3600}=3,24$, de unde $m=\frac{3,24\cdot 3600}{160}=72,9$ kg. Formula este o estimare empirică, folosită pentru copii și adulți; rezultatele se rotunjesc la precizia cântarului, nu la a calculatorului.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+16}=x+2$.

Rezolvare. Expresia de sub radical este pozitivă pentru orice $x$, deci rămâne doar condiția de semn $x+2\ge 0$. Ridicăm la pătrat: $x^2+16=x^2+4x+4$. Termenii $x^2$ se reduc și obținem $4x=12$, adică $x=3$, care respectă condiția. Verificare: $\sqrt{25}=5=3+2$. Mulțimea soluțiilor este $S=\{3\}$. Enunțul este un antrenament propriu, construit în stilul cerințelor scurte din lucrarea de bacalaureat, nu un subiect oficial.

Să exersăm

La fiecare ecuație scrie întâi condițiile, apoi rezolvă și verifică în ecuația inițială.

1. Scrie domeniul ecuației $\sqrt{12-2x}+\sqrt{x+1}=3$ ca interval. Fără să rezolvi ecuația, explică de ce numerele $7$ și $-2$ nu pot fi soluții.

2. Rezolvă ecuațiile: a) $\sqrt{3x^2+1}=7$; b) $\sqrt{x^2-6x}=0$. Unde se află soluțiile de la b) față de domeniul ecuației?

3. Arată, fără să ridici la pătrat, că ecuația $\sqrt{x+3}=-x-5$ nu are soluții reale.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Ecuația $\sqrt{x+26}=x+6$ are două soluții reale.

5. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{4x+5}=x-2$. Soluția nu va fi un număr întreg.

6. Un coleg a rezolvat ecuația $\sqrt{20-x}=x-8$ și a obținut, după ridicarea la pătrat, candidații $4$ și $11$. Stabilește, prin înlocuire, care dintre ei este soluție și ce se întâmplă cu celălalt.

7. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{x^2-33}=\sqrt{-8x}$.

8. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{3x+10}-x+6=0$.

9. Arată că ecuația $\sqrt[3]{x^2+4}=1$ nu are soluții reale, deși la radicalul de ordinul trei nu scriem nicio condiție.

10. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt[3]{x-3}=\sqrt[3]{9-x}$ și spune de ce nu ai pus nicio condiție.

11. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $2x-7\sqrt{x}+3=0$, folosind notația $t=\sqrt{x}$.

12. Un rezistor disipă puterea $P$, în wați, când prin el trece curentul $I=\sqrt{\frac{P}{R}}$ amperi, unde $R$ este rezistența în ohmi. Pentru $P=10$ W, ce rezistență dă un curent de $0,5$ A? Dar un curent de $0,2$ A?

13. (Problemă aplicată.) După legea lui Graham, raportul vitezelor de efuziune a două gaze la aceeași temperatură este egal cu radicalul raportului invers al maselor lor molare. Pentru heliu, cu masa molară de $4$ g/mol, raportul dintre viteza lui și viteza unui gaz necunoscut este $\sqrt{\frac{M}{4}}$, unde $M$ este masa molară a gazului, în g/mol. a) Heliul iese de $4$ ori mai repede decât gazul necunoscut. Află $M$ și spune ce gaz ar putea fi. b) Calculează de câte ori iese hidrogenul, cu $2$ g/mol, mai repede decât oxigenul, cu $32$ g/mol.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{10x-24}=x$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt[3]{x^2+6x+35}=3$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{3x^2+4}=2x$.

17. Figura X17 arată graficul funcției $f(x)=\sqrt{x+6}$, dreapta $y=2x-3$ și, punctat, ramura de jos a parabolei culcate. Citește pe figură punctele în care dreapta taie cele două ramuri, apoi rezolvă ecuația $\sqrt{x+6}=2x-3$ și explică ce reprezintă fiecare punct citit.

18. (Provocare.) Determină numărul real $m$ pentru care $x=9$ este soluție a ecuației $\sqrt{x+m}=x-1$. Pentru valoarea găsită, rezolvă ecuația complet.

Răspunsuri și explicații

1. Condițiile sunt $12-2x\ge 0$ și $x+1\ge 0$, adică $x\le 6$ și $x\ge -1$, deci domeniul este $[-1,6]$. Numărul $7$ face ca expresia $12-2x$ să fie $-2$, iar $-2$ face ca $x+1$ să fie $-1$; în ambele cazuri un radical nu are sens, deci niciunul nu poate fi soluție.

2. a) Membrul drept este pozitiv, deci $3x^2+1=49$, adică $x^2=16$, cu soluțiile $-4$ și $4$; verificare: pentru amândouă, $\sqrt{49}=7$, deci $S=\{-4;4\}$. b) Un radical este zero exact când expresia de sub el este zero: $x^2-6x=0$, adică $x(x-6)=0$, deci $S=\{0;6\}$. Domeniul ecuației este $(-\infty ,0]\cup [6,+\infty )$, iar cele două soluții sunt chiar capetele lui.

3. Pe domeniul ecuației avem $x\ge -3$, deci $-x\le 3$ și $-x-5\le -2$. Membrul drept este negativ pentru orice $x$ din domeniu, în timp ce membrul stâng este mai mare sau egal cu zero. Egalitatea este imposibilă, deci $S=\varnothing$.

4. Fals. Condiția de semn este $x\ge -6$. După ridicarea la pătrat, $x+26=x^2+12x+36$, adică $x^2+11x+10=0$, cu rădăcinile $-1$ și $-10$. Doar $-1$ respectă condiția: $\sqrt{25}=5=-1+6$. Valoarea $x=-10$ este străină, fiindcă membrul drept devine $-4$, iar $\sqrt{16}=4$. Așadar $S=\{-1\}$, o singură soluție.

5. Condiția de semn este $x\ge 2$. Ridicăm la pătrat: $4x+5=x^2-4x+4$, adică $x^2-8x-1=0$, cu discriminantul $68$ și rădăcinile $4\pm \sqrt{17}$. Cum $\sqrt{17}\approx 4,12$, avem $4+\sqrt{17}\approx 8,12$, care respectă condiția, și $4-\sqrt{17}\approx -0,12$, care nu o respectă. Valoarea $x=4-\sqrt{17}$ este străină, iar $S=\left\{4+\sqrt{17}\right\}$. Verificarea cu aproximări: $\sqrt{4\cdot 8,12+5}\approx 6,12\approx 8,12-2$.

6. Pentru $11$: $\sqrt{9}=3$ și $11-8=3$, deci $11$ este soluție. Pentru $4$: $\sqrt{16}=4$, dar $4-8=-4$, deci valoarea $x=4$ este străină; membrii ei sunt opuși, semn tipic al unei soluții adăugate de ridicarea la pătrat. Ecuația are $S=\{11\}$, iar condiția de semn $x\ge 8$ ar fi eliminat-o pe $4$ de la început.

7. Egalitatea radicalilor cere $x^2-33=-8x$, adică $x^2+8x-33=0$, cu rădăcinile $3$ și $-11$. Pentru $x=3$ expresia $-8x$ este $-24$, deci valoarea $x=3$ iese din domeniu. Pentru $x=-11$ avem $\sqrt{88}=\sqrt{88}$. Mulțimea soluțiilor este $S=\{-11\}$.

8. Izolăm radicalul: $\sqrt{3x+10}=x-6$, cu condiția $x\ge 6$. Ridicăm la pătrat: $3x+10=x^2-12x+36$, adică $x^2-15x+26=0$, cu rădăcinile $2$ și $13$. Valoarea $x=2$ este străină, deoarece $\sqrt{16}=4$, iar $2-6=-4$. Pentru $x=13$: $\sqrt{49}-13+6=0$. Deci $S=\{13\}$.

9. Ridicarea la cub este o echivalență, deci ecuația are aceleași soluții ca $x^2+4=1$, adică $x^2=-3$. Un pătrat nu poate fi negativ, așa că $S=\varnothing$. Lipsa soluțiilor nu vine aici dintr-o condiție de existență, ci din ecuația obținută.

10. Doi radicali de ordinul trei sunt egali exact când expresiile de sub ei sunt egale: $x-3=9-x$, deci $x=6$ și $S=\{6\}$. Nu apare nicio condiție: sub un radical de ordinul trei poate sta orice număr, iar două numere cu același cub sunt egale.

11. Cu $t=\sqrt{x}$, $t\ge 0$, ecuația devine $2t^2-7t+3=0$, cu rădăcinile $t=3$ și $t=\frac{1}{2}$, ambele nenegative. Obținem $x=9$ și $x=\frac{1}{4}$. Verificare: $18-21+3=0$ și $\frac{1}{2}-\frac{7}{2}+3=0$. Deci $S=\left\{\frac{1}{4};9\right\}$.

12. Ecuația $\sqrt{\frac{10}{R}}=0,5$ dă $\frac{10}{R}=0,25$, deci $R=40$ Ω. Pentru $0,2$ A, $\frac{10}{R}=0,04$, deci $R=250$ Ω. La aceeași putere, un curent mai mic cere o rezistență mai mare.

13. a) Ecuația $\sqrt{\frac{M}{4}}=4$ dă $\frac{M}{4}=16$, deci $M=64$ g/mol, masa molară a dioxidului de sulf. b) Raportul este $\sqrt{\frac{32}{2}}=\sqrt{16}=4$: hidrogenul iese de patru ori mai repede. Legea este valabilă pentru gaze la aceeași temperatură și presiune, care ies printr-un orificiu foarte mic.

14. Condiția de semn este $x\ge 0$. Ridicăm la pătrat: $10x-24=x^2$, adică $x^2-10x+24=0$, cu rădăcinile $4$ și $6$. Ambele respectă condiția, iar verificarea le confirmă: $\sqrt{16}=4$ și $\sqrt{36}=6$. Deci $S=\{4;6\}$; de data aceasta ridicarea la pătrat nu a adus nicio soluție străină.

15. Ridicăm la cub: $x^2+6x+35=27$, adică $x^2+6x+8=0$, cu rădăcinile $-4$ și $-2$. Verificare: pentru $x=-4$, $16-24+35=27$, iar pentru $x=-2$, $4-12+35=27$; în ambele cazuri $\sqrt[3]{27}=3$. Deci $S=\{-4;-2\}$.

16. Condiția de semn este $x\ge 0$. Ridicăm la pătrat: $3x^2+4=4x^2$, adică $x^2=4$, cu rădăcinile $2$ și $-2$. Valoarea $x=-2$ este străină, iar pentru $x=2$ avem $\sqrt{16}=4=2\cdot 2$. Deci $S=\{2\}$.

17. Pe figură, dreapta taie ramura de sus în $(3;3)$ și ramura de jos într-un punct cu abscisa între $0$ și $0,5$ și ordonata în jur de $-2,5$. Algebric: condiția $2x-3\ge 0$, adică $x\ge \frac{3}{2}$, apoi $x+6=4x^2-12x+9$, adică $4x^2-13x+3=0$, cu rădăcinile $3$ și $\frac{1}{4}$. Punctul de pe ramura de sus dă soluția: $\sqrt{9}=3=2\cdot 3-3$. Valoarea $x=\frac{1}{4}$ este străină: ea corespunde punctului $\left(\frac{1}{4};-\frac{5}{2}\right)$ de pe ramura de jos, unde $-\sqrt{\frac{25}{4}}=-\frac{5}{2}$. Deci $S=\{3\}$.

18. Pentru $x=9$ ecuația devine $\sqrt{9+m}=8$, deci $9+m=64$ și $m=55$. Ecuația $\sqrt{x+55}=x-1$ cere $x\ge 1$; ridicând la pătrat, $x+55=x^2-2x+1$, adică $x^2-3x-54=0$, cu rădăcinile $9$ și $-6$. Valoarea $x=-6$ este străină, deoarece $\sqrt{49}=7$, iar $-6-1=-7$. Deci $S=\{9\}$.

De reținut

• Condițiile de existență ale radicalilor de ordinul doi sunt inegalități; ele dau mulțimea în care poate sta o soluție, iar radicalul de ordinul trei nu cere nicio condiție.
• Orice soluție a ecuației inițiale verifică și ecuația ridicată la pătrat, dar reciproca e falsă: numerele în plus sunt soluții străine, pentru care membrii inițiali sunt opuși.
• Echivalența de lucru este $\sqrt{A}=B⟺B\ge 0$ și $A=B^2$; pe grafic, condiția de semn înseamnă „rămânem pe ramura de sus”.
• Înainte de ridicare, radicalul se izolează; la doi radicali, se izolează pe rând, iar fiecare ridicare se face între membri nenegativi.
• La ordinul trei, $\sqrt[3]{A}=B⟺A=B^3$, iar orice soluție se verifică prin înlocuire în ecuația inițială.

Greșeli frecvente

• Verifici soluția în ecuația de după ridicare. Acolo soluția străină trece fără probleme, pentru că exact acea ecuație a produs-o. Verificarea are sens numai în ecuația inițială, cu radicalul.
• Împarți prin necunoscută după ridicare. Din $x^2=5x$ nu rezultă doar $x=5$; împărțind prin $x$ pierzi valoarea zero, care trebuie și ea verificată. Aduci totul într-un membru și dai factor comun.
• Respingi o valoare doar pentru că este negativă. Condiția privește expresia de sub radical și membrul drept, nu semnul necunoscutei. O valoare negativă este soluție dacă verifică ecuația inițială.
• Scrii din reflex „$x\ge 0$” ca domeniu. Sub radical nu stă neapărat $x$. Condiția se scrie pentru expresia întreagă de sub radical, de pildă $5-x\ge 0$, care dă $x\le 5$.
• Dezvolți greșit pătratul unei diferențe. $(x-3{)}^2$ este $x^2-6x+9$, nu $x^2-9$. Termenul din mijloc lipsă schimbă ecuația de gradul al doilea și, odată cu ea, toate rădăcinile.

Aplică acasă

1. Cu acordul unui adult din familie, notează-i înălțimea și masa și calculează-i suprafața corporală cu formula lui Mosteller. Apoi rezolvă problema inversă: ce masă ar corespunde, la aceeași înălțime, unei suprafețe mai mari cu o zecime de metru pătrat? Scrie ecuația cu radical și verifică soluția prin înlocuire.
2. Într-o aplicație de grafice, scrie $y=\sqrt{10-x}$, $y=-\sqrt{10-x}$ și o dreaptă aleasă de tine, de exemplu $y=x-4$. Notează punctele de intersecție de pe fiecare ramură, rezolvă ecuația $\sqrt{10-x}=x-4$ pe caiet și spune care dintre puncte dă soluția și care dă valoarea străină.
3. Umflă un balon cu heliu și unul cu aer, la aceeași mărime, și fotografiază-le la fiecare câteva ore, lângă o riglă. Aerul are masa molară medie de aproximativ $29$ g/mol. Calculează cu legea lui Graham de câte ori ar trebui să iasă heliul mai repede și compară cu ce ai observat.

Pentru părinți și profesori

Lecția tratează ecuațiile cu radicali de ordinul doi și trei, singurul tip cerut de programa clasei a X-a la acest profil. Firul roșu este întrebarea „de unde știu că numărul găsit este soluție?”, cu trei răspunsuri complementare: condițiile de existență, condiția de semn care face ridicarea la pătrat echivalentă și verificarea finală. Lectura grafică, parabola culcată cu cele două ramuri, dă un sens vizibil noțiunii de soluție străină și răspunde cerinței din programă de a verifica mulțimea soluțiilor pe reprezentarea grafică. Inecuațiile cu radicali nu se predau; inegalitățile apar doar în condițiile de existență, ca observație de domeniu.

De urmărit în caiet: dacă elevul scrie condițiile înainte de calcul, dacă izolează radicalul, dacă verifică în ecuația inițială și nu în cea ridicată la pătrat. O întrebare bună de control este „pe care ramură a parabolei culcate se află soluția străină?”; răspunsul „pe cea de jos, unde radicalul are semnul minus” arată că elevul a legat calculul de desen. Contextele din medicină, chimie și fizică arată că ecuațiile de acest tip apar ori de câte ori o formulă cunoscută conține un radical și întrebarea se pune invers.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028: unitatea de funcții numește radicalii de ordin 2 și 3, funcția radical și „ecuații ce conțin radicali de ordinul 2 sau 3”, fără inecuații cu radicali. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care conține, la rezolvările de ecuații folosind proprietățile funcțiilor, „ecuații care conțin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3”. În modelul oficial publicat pentru 2026, singura cerință de tipul „Rezolvați ecuația” de la Subiectul I este logaritmică, iar radicalul apare doar la Subiectul al III-lea; exercițiile marcate aici sunt antrenamente proprii.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: ecuații și inecuații cu radicali. Lecția următoare a traseului este funcția exponențială: definiție și grafic, la M2, iar recapitularea unității se face cu testul M2 de rată a creșterii, compunere și inversare.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre ecuații cu radicali?

Varianta M1 tratează și inecuațiile cu radicali, cu scheme pe cazuri, și insistă pe demonstrarea echivalențelor. Varianta M2 se oprește la ecuații, cum cere programa de științe, și adaugă lectura grafică a soluțiilor străine, cu parabola culcată și cele două ramuri. Contextele sunt din medicină, chimie și fizică, cu unități de măsură.

În ce subiect al probei M2 intră ecuațiile cu radicali?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 le numește explicit, la rezolvările de ecuații folosind proprietățile funcțiilor, fără să precizeze subiectul la care se evaluează. În modelul oficial publicat pentru 2026, cerința „Rezolvați ecuația” de la Subiectul I conține logaritmi, iar un radical apare doar în funcția de la Subiectul al III-lea. Pentru MAT_P2 din 2030, tema este în domeniul „Algebră”.

De ce titlul spune „și inecuații”, dacă lecția nu le rezolvă?

Titlul păstrează numele sub care tema apare în culegeri și în programa de matematică-informatică. Programa de științe pentru clasa a X-a cere numai ecuațiile care conțin radicali de ordinul doi sau trei. Inegalitățile rămân prezente doar în condițiile de existență, unde stabilesc intervalul în care poate sta o soluție.

Pot rezolva o ecuație cu radicali doar cu o aplicație de grafice?

Aplicația îți arată câte puncte de intersecție există și unde se află aproximativ, deci e un control foarte bun. Nu îți dă însă valoarea exactă, de pildă o fracție sau un radical, și nu înlocuiește justificarea. Folosește desenul ca să anticipezi numărul soluțiilor și calculul ca să le afli exact și să le verifici.

Ce fac dacă după o ridicare la pătrat tot rămâne un radical?

Izolezi radicalul rămas și ridici din nou, cu grijă ca ambii membri să fie nenegativi înainte de fiecare ridicare. Dacă nu poți garanta semnul, ridici oricum, dar verifici la final fiecare candidat în ecuația inițială. Exemplul cu diferența a doi radicali din lecție arată cum arată o asemenea rezolvare în doi pași.

De unde știu că am găsit toate soluțiile?

Ridicarea la pătrat și ridicarea la cub nu pierd soluții: orice soluție a ecuației inițiale verifică și ecuația obținută. Prin urmare, rădăcinile ecuației transformate sunt toți candidații posibili. Dacă i-ai verificat pe fiecare în ecuația inițială, mulțimea celor care trec este mulțimea completă a soluțiilor.