Rangul unei matrice (M2, științe ale naturii)

Ai văzut, la Sisteme liniare: forma matriceală și soluțiile, că un sistem poate avea ecuații care nu aduc nicio condiție nouă, și că atunci soluția nu mai este unică. Determinantul matricei sistemului răspunde la întrebarea „soluția este unică?" numai când sistemul e pătratic, iar când el se anulează nu mai spune nimic. Lipsește deci o măsură care să funcționeze la orice tablou și să numere câtă informație conține el. Acea măsură, tema lecției de față la clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), se numește rangul unei matrice; la bacalaureatul M2 ea intră odată cu proba MAT_P2, din 2030.

O precizare de generație, spusă cinstit de la început. Rangul este o noțiune nouă la acest profil: el nu apare nicăieri în programa de examen din 2014, pe care o dau elevii din sesiunile 2027, 2028 și 2029. Cine susține Bacalaureatul M2 în acei ani nu are această temă nici la clasă, nici în subiecte; pentru ei, capitolul de sisteme se oprește la metoda determinanților, cu cel mult trei necunoscute. Rangul intră în programă odată cu OMEC 6930/2025 (anexa 28) și va fi evaluat abia la proba MAT_P2, din 2030, în domeniul Algebră. Dacă ești în prima promoție care învață după programa nouă, lecția aceasta este cheia întregului capitol: fără rang, lecția următoare nu se poate scrie.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este un minor de ordinul $k$ al unei matrice și cum se alege corect, păstrând ordinea liniilor și a coloanelor.
• Vei ști să definești rangul unei matrice și să spui între ce limite se află el.
• Vei ști să afli rangul urcând de la un minor nenul, prin bordare, fără să cercetezi toți minorii.
• Vei ști de ce un singur minor nenul nu este de ajuns pentru a încheia și ce mai trebuie arătat.
• Vei ști legătura dintre rang și determinant la o matrice pătratică, în ambele sensuri.
• Vei ști să citești rangul unui tablou de măsurători ca pe numărul de determinări care aduc ceva nou.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este rangul unei matrice?

Pornim de la o observație simplă: o matrice dreptunghiulară nu are determinant, dar conține matrice pătratice. Alegând din ea $k$ linii și $k$ coloane și păstrând doar elementele de la intersecția lor, obții un tablou pătratic de ordinul $k$; determinantul lui se numește minor de ordinul $k$ al matricei. Liniile și coloanele se aleg oricum, dar în ordinea în care apar în matrice.

Ia matricea $A=\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 3& 0\\ 1& 4& -2& 5\\ 3& 0& 1& 2\end{array}\right)$. Liniile $1$, $2$ și coloanele $1$, $3$ dau minorul $\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -2\end{array}\right|=-7$; liniile $1$, $3$ și coloanele $2$, $4$ dau $\left|\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 2\end{array}\right|=-2$. Un minor de ordinul $1$ este un element al matricei, iar minori de ordinul $4$ nu există aici, matricea având numai trei linii.

Rangul unei matrice $A$, notat $\mathrm{rang}A$, este numărul $r$ cu două proprietăți deodată: matricea are măcar un minor de ordinul $r$ diferit de zero, iar toți minorii ei de ordin $r+1$, dacă există, sunt nuli. Prin convenție, matricea nulă are rangul $0$, fiindcă toate tablourile decupate din ea au determinantul zero.

Din definiție ies limitele: un minor de ordinul $k$ are nevoie de $k$ linii și de $k$ coloane, deci $0\le \mathrm{rang}A\le \min (m,n)$. Notăm minorii cu litera $d$ și ordinul ca indice — $d_2$, $d_3$ —, ca să nu se confunde cu determinanții $\Delta$ și ${\Delta }_k$ de la metoda lui Cramer, care sunt legați de un anumit sistem, nu aleși dintr-un tablou oarecare.

2. Cum urci de la un element nenul la rang?

Definiția spune ce este rangul, nu cum se găsește fără să cercetezi toate tablourile. Procedeul practic se numește bordare: pornești de la un element nenul, deci de la un minor de ordinul $1$, apoi îl „bordezi" — îi adaugi încă o linie și încă o coloană dintre cele rămase — până când găsești un minor nenul de ordinul următor. Când niciunul de ordin superior nu mai iese nenul, te oprești.

Aplică-l pe matricea $M=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 2& 4& 1& 1\\ 3& 6& 0& 4\end{array}\right)$. Elementul din colțul stâng sus este $1\ne 0$, deci $\mathrm{rang}M\ge 1$. Bordăm cu linia a doua și coloana a treia: $d_2=\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right|=3\ne 0$, deci $\mathrm{rang}M\ge 2$. La ordinul $3$, minorii se obțin alegând trei dintre cele patru coloane și sunt patru la număr; toți ies nuli, fiindcă linia a treia este suma primelor două, iar orice tablou decupat din $M$ moștenește legătura. Prin urmare $\mathrm{rang}M=2$.

Reține strategia: pornești de jos și urci. Dacă începi cu minorii de ordin maxim și îi iei pe toți, faci cel mai mult de lucru cu putință.

3. De ce nu ajunge un singur minor nenul?

Aici este greșeala cea mai des întâlnită la această temă. Un minor nenul de ordinul $r$ dă o singură informație: rangul este cel puțin $r$. Ca să încheii cu „rangul este exact $r$" mai ai de arătat o a doua jumătate: că toți minorii de ordinul $r+1$ sunt nuli.

Cele două jumătăți sunt de naturi diferite. Prima se demonstrează cu un exemplu: e de ajuns să arăți un minor de ordinul $r$ care nu e zero. A doua se demonstrează exhaustiv: trebuie trecuți în revistă toți minorii de ordinul $r+1$. Un elev care scrie doar „am găsit un minor de ordinul $2$ nenul, deci rangul este $2$" a rezolvat jumătate din exercițiu.

Există totuși o scurtătură cinstită, folosită mai sus: dacă observi o legătură între linii — o linie care e suma altora sau un multiplu al alteia —, orice minor care le cuprinde pe toate cele implicate se anulează. Scurtătura trebuie însă scrisă, nu doar gândită: „linia a treia este suma primelor două, deci orice minor de ordinul $3$ este nul" este o justificare completă.

4. Ce legătură are rangul cu determinantul?

La o matrice pătratică de ordinul $n$, singurul minor de ordinul $n$ este chiar determinantul ei. De aici iese, direct din definiție, o echivalență pe care o vei folosi tot capitolul: $\mathrm{rang}A=n$ exact atunci când $\det A\ne 0$.

Citește-o în ambele sensuri. Dacă determinantul e nenul, există un minor nenul de ordin maxim, deci rangul e maxim. Dacă e nul, rangul este strict mai mic decât $n$ — dar atât: poate fi $n-1$, poate fi mult mai mic, poate fi chiar $0$, la matricea nulă. Iată deosebirea care contează: „$\det A=0$" nu înseamnă „rangul este $n-1$", ci „rangul nu este $n$".

Se vede și de ce rangul e instrumentul potrivit pentru sisteme: determinantul răspunde la o singură întrebare, „este rangul maxim sau nu?", și numai la tablouri pătratice, pe când rangul răspunde cu un număr, la orice tablou. Cum îl folosești ca să decizi câte soluții are un sistem vei vedea la Compatibilitatea unui sistem, prin rang; până acolo, metoda de rezolvare rămâne cea de la Cramer la sisteme cu patru necunoscute.

5. Câți minori ai de cercetat?

Merită numărați o dată. Ca să alegi un minor de ordinul $k$ dintr-o matrice cu $m$ linii și $n$ coloane, alegi $k$ linii din $m$ și $k$ coloane din $n$, deci numărul lor este $C_m^k\cdot C_n^k$.

O matrice de tip $4\times 4$ are deci $69$ de minori, dintre care $36$ de ordinul $2$. Nimeni nu îi calculează pe toți: odată găsit un minor nenul de ordinul $r$, ai nevoie numai de minorii de ordinul $r+1$ care îl conțin pe el.

6. Ce se întâmplă cu rangul când transpui matricea?

Nu se întâmplă nimic: $\mathrm{rang}{}^{t}A=\mathrm{rang}A$. Orice minor al transpusei se obține dintr-un minor al matricei inițiale prin transpunere — liniile alese devin coloane și invers —, iar un determinant nu se schimbă la transpunere; minorii nuli rămân nuli, cei nenuli rămân nenuli, deci ordinul până la care se urcă este același.

Două consecințe. Practic: la o matrice cu multe linii și puține coloane lucrezi cu transpusa. Teoretic: o legătură între coloane scade rangul exact la fel ca una între linii — la matricea $M$ din §2 legătura era între linii, dar a doua coloană este și ea dublul primei.

7. Ce citește rangul dintr-un tabel de măsurători?

Un tabel de date este o matrice, iar rangul lui numără determinările care aduc ceva nou. Într-un montaj cu două surse se fac patru încercări și, la fiecare, se citesc trei aparate: prima numai cu sursa $S_1$, a doua numai cu $S_2$, a treia cu amândouă legate în același sens, a patra cu amândouă, dar cu $S_2$ legată în sens invers. Citirile formează tabloul

$$N=\left(\begin{array}{ccc}3& 4& 5\\ 1& 2& 4\\ 4& 6& 9\\ 2& 2& 1\end{array}\right).$$

Ultimele două linii nu sunt încercări noi: a treia este suma primelor două, a patra este diferența lor. Minorul $\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right|=2$ arată că rangul e cel puțin $2$, iar orice minor de ordinul $3$ cuprinde una dintre liniile a treia și a patra, deci se anulează. Rangul este $2$: din patru încercări, numai două au adus informație.

Aceasta este citirea de reținut: rangul mai mic decât numărul de încercări e semnul că experimentul are determinări redundante, iar rangul egal cu numărul lor înseamnă că fiecare a adus ceva.

8. Cum afli rangul unei matrice în care apare o literă?

Când printre elemente stă un parametru, rangul poate depinde de valoarea lui. Regula de lucru: caută întâi un minor care nu conține parametrul, fiindcă el dă o margine valabilă în toate cazurile.

Fie $P=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 5\\ 6& 2& m\\ 9& 3& 15\end{array}\right)$, cu $m$ număr real. A treia linie este tripla primei, oricare ar fi $m$, deci $\det P=0$ și rangul e cel mult $2$. Minorul din liniile $1$, $2$ și coloanele $1$, $2$, adică $\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 6& 2\end{array}\right|=0$, nu ajută; luăm atunci minorul din primele două linii și coloanele $1$ și $3$, care este $3m-30$.

Pentru $m\ne 10$ minorul este nenul, deci rangul este $2$. Pentru $m=10$ el se anulează, iar linia a doua devine dubla primei; toți minorii de ordinul $2$ au atunci liniile proporționale, deci sunt nuli, iar rangul coboară la $1$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Rangul unei matrice cu două linii

Determinați rangul matricei $\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ 6& -4& 2\end{array}\right)$.

Rezolvare. Matricea nu este nulă, iar elementul $3$ este un minor nenul de ordinul $1$, deci rangul este cel puțin $1$. Minorii de ordinul $2$ sunt $C_2^2\cdot C_3^2=3$ la număr, iar linia a doua fiind dubla primei, fiecare are liniile proporționale și se anulează: $\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ 6& -4\end{array}\right|=-12+12=0$, și tot așa pentru celelalte două. Rangul este $1$.

Exemplul 2 — Rangul unei matrice pătratice cu determinant nul

Determinați rangul matricei $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 5& -1\\ 1& 3& 2\\ 3& 8& 1\end{array}\right)$.

Rezolvare. Linia a treia este suma primelor două: $2+1=3$, $5+3=8$, $-1+2=1$; determinantul este deci nul, iar rangul cel mult $2$. Pentru marginea de jos alegem minorul din liniile $1$, $2$ și coloanele $1$, $2$: $d_2=\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right|=6-5=1\ne 0$, deci rangul este cel puțin $2$ și, din cele două margini, $\mathrm{rang}A=2$. Observă cum s-au folosit amândouă jumătățile din §3: exemplul care ridică, legătura între linii care oprește.

Exemplul 3 — Bordarea, pas cu pas

Determinați rangul matricei $\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 0\\ 2& 1& 3& 5\\ 4& -1& 7& 5\end{array}\right)$.

Rezolvare. Pornim de la elementul $1$ din colț, minor nenul de ordinul $1$, și bordăm cu linia a doua și coloana a doua: $d_2=\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right|=1+2=3\ne 0$, deci rangul e cel puțin $2$. La ordinul $3$, scurtătura ne scutește de patru determinanți: linia a treia este dublul primei plus a doua, fiindcă $2\cdot 1+2=4$, $2\cdot (-1)+1=-1$, $2\cdot 2+3=7$ și $2\cdot 0+5=5$. Orice minor de ordinul $3$ folosește toate cele trei linii, deci se anulează. Rangul este $2$.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev cercetează matricea $A=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 3\\ 1& -2& 4& 1\\ 3& -1& 4& 4\end{array}\right)$ și scrie: „minorul format din primele două linii și primele două coloane este $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -2\end{array}\right|=-5\ne 0$, deci rangul matricei este $2$". Găsiți greșeala și scrieți rezolvarea completă.

Rezolvare. Calculul e corect, iar concluzia „rangul este cel puțin $2$" ar fi fost corectă. Greșită este afirmația „rangul este $2$": un minor nenul de ordinul $2$ nu exclude existența unuia de ordinul $3$.

Rezolvarea completă adaugă a doua jumătate: linia a treia este suma primelor două, fiindcă $2+1=3$, $1-2=-1$, $0+4=4$ și $3+1=4$. Orice minor de ordinul $3$ folosește toate cele trei linii, deci se anulează, iar de ordin mai mare nu există. Abia acum se poate scrie $\mathrm{rang}A=2$. Reține: un minor nenul de ordin $r$ dă „cel puțin", nu „exact".

Exemplul 5 — Patru filtre care nu sunt patru informații

Un laborator de optică măsoară atenuarea, în decibeli, a patru filtre, pentru trei lungimi de undă luate în aceeași ordine. Primele două filtre sunt de sine stătătoare, al treilea este format din primele două suprapuse, iar al patrulea este primul filtru în grosime dublă. Valorile măsurate sunt trecute în matricea $\left(\begin{array}{ccc}5& 2& 3\\ 3& 4& 1\\ 8& 6& 4\\ 10& 4& 6\end{array}\right)$. Determinați rangul ei și spuneți ce înseamnă rezultatul.

Rezolvare. Minorul din liniile $1$, $2$ și coloanele $1$, $2$ este $d_2=\left|\begin{array}{cc}5& 2\\ 3& 4\end{array}\right|=20-6=14\ne 0$, deci rangul este cel puțin $2$. Mai departe, a treia linie este suma primelor două, iar a patra este dubla primei, deci orice minor de ordinul $3$ are liniile legate și se anulează. Rangul este $2$.

Citirea în context: din patru filtre, numai două aduc informație nouă. Al treilea confirmă că atenuările se adună la suprapunere, al patrulea că ele cresc proporțional cu grosimea; amândouă sunt utile ca verificare, dar nu adaugă nimic. Dacă măsurătoarea urmărea trei comportări independente, mai trebuie ales un filtru de alt fel.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.)

(Model construit de noi: pentru proba MAT_P2 nu există încă subiecte oficiale publicate, ci doar programa de examen. Formatul — o problemă cu trei cerințe legate — urmează structura probei actuale de la științe ale naturii.)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 2& -1& 5& 3\\ 3& 1& 5& 4\end{array}\right)$.

a) Calculați minorul format din liniile $1$, $2$ și coloanele $1$, $2$.

b) Arătați că toți minorii de ordinul $3$ ai matricei $A$ sunt nuli.

c) Determinați $\mathrm{rang}A$.

Rezolvare. a) Minorul cerut este $d_2=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right|=-1-4=-5$.

b) Linia a treia este suma primelor două: $1+2=3$, $2-1=1$, $0+5=5$ și $1+3=4$. Un minor de ordinul $3$ se obține alegând toate cele trei linii și trei dintre cele patru coloane; în fiecare astfel de tablou, linia a treia rămâne suma primelor două, deci determinantul este nul. Cei patru minori de ordinul $3$ sunt, prin urmare, toți nuli.

c) De la punctul a) avem $\mathrm{rang}A\ge 2$, iar de la punctul b) rangul nu poate fi $3$; minori de ordin mai mare nu există. Așadar $\mathrm{rang}A=2$.

De la examen la lecție. Împărțirea cerințelor — un minor nenul, anularea celor de ordin superior, apoi concluzia — este chiar structura unei demonstrații complete de rang. Punctul c) e cel care se uită ușor, pentru că elevul îl consideră de la sine înțeles și nu îl scrie.

Să exersăm

1. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{cc}4& -6\\ -6& 9\end{array}\right)$.

2. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 2& 5& 1\end{array}\right)$.

3. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 2& 4& 7\\ 3& 6& 12\end{array}\right)$, arătând întâi de ce determinantul ei este nul.

4. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{ccc}1& 5& -2\\ 3& 0& 2\\ 2& -1& 4\end{array}\right)$, știind că determinantul ei este $-32$.

5. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 3& 1\\ 4& -2& 6& 2\\ 1& 0& 2& 3\end{array}\right)$.

6. Care este rangul matricei nule de tip $3\times 4$? Justifică pornind de la definiție.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o matrice pătratică de ordinul $3$ are determinantul nul, atunci rangul ei este $2$."

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{cccc}1& 3& -2& 4\\ 2& 1& 5& 0\\ 3& 4& 3& 4\end{array}\right)$ și scrie complet amândouă jumătățile justificării.

9. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 14& 6\\ 21& 9\end{array}\right)$ și verifică rezultatul calculând rangul transpusei ei.

10. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{ccc}1& -5& 3\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 5\end{array}\right)$.

11. Câte minori de ordinul $2$ are o matrice de tip $3\times 3$? Dar de ordinul $1$? Scrie apoi rangul matricei $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 2& 4& 8\\ 3& 6& 12\end{array}\right)$.

12. (Problemă aplicată.) La patru fire metalice se măsoară, în aceeași ordine, lungimea (în centimetri), masa (în grame) și rezistența electrică (în ohmi); rezultatele formează matricea $\left(\begin{array}{ccc}10& 2& 3\\ 15& 3& 4\\ 25& 5& 7\\ 20& 6& 5\end{array}\right)$. Al treilea fir a fost obținut legând cap la cap primele două. Determină rangul matricei și spune câte dintre cele patru fire aduc o informație pe care celelalte nu o conțin.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră matricea $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 3\\ 2& 3& 1& 0\\ 3& 4& 3& 3\end{array}\right)$. a) Găsește un minor nenul de ordinul $2$. b) Determină rangul matricei.

14. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 1& -1& 2\\ 4& 1& 5\end{array}\right)$, observând întâi o legătură între liniile ei.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră matricea $\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 4\\ 1& 3& m\\ 3& 4& 9\end{array}\right)$, cu $m$ număr real. a) Arată că determinantul ei este $25-5m$. b) Determină rangul matricei, discutând după valorile lui $m$.

16. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{ccc}1& 4& -2\\ 3& 1& 5\\ 2& -3& 7\end{array}\right)$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{cccc}2& 3& 1& 4\\ 4& 6& 2& 8\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right)$.

18. (Provocare.) Fie o matrice cu trei linii și patru coloane, la care a treia linie este suma primelor două. Arată, fără să folosești numere, că rangul ei este cel mult $2$, și dă un exemplu în care rangul este exact $1$.

Răspunsuri și explicații

1. Matricea nu e nulă, deci rangul e cel puțin $1$. Determinantul ei, singurul minor de ordinul $2$, este $4\cdot 9-(-6)\cdot (-6)=36-36=0$. Rangul este $1$; se vede și direct, a doua linie fiind prima înmulțită cu $-\frac{3}{2}$.

2. Minorul din coloanele $1$ și $2$ este $\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 5\end{array}\right|=5\ne 0$, deci rangul este cel puțin $2$. Cum matricea are două linii, minori de ordinul $3$ nu există, iar rangul nu poate depăși $\min (2,3)=2$. Rangul este $2$.

3. Coloana a doua este dubla primei, deci determinantul este nul și rangul este cel mult $2$. Minorul din liniile $1$, $2$ și coloanele $1$, $3$ este $\left|\begin{array}{cc}1& 5\\ 2& 7\end{array}\right|=7-10=-3\ne 0$, deci rangul este cel puțin $2$. Rangul este $2$.

4. Matricea este pătratică de ordinul $3$, iar $-32\ne 0$; determinantul fiind singurul minor de ordinul $3$, el este un minor nenul de ordin maxim. Rangul este $3$.

5. A doua linie e dubla primei, deci orice minor de ordinul $3$ are două linii proporționale și se anulează. Minorul din liniile $1$, $3$ și coloanele $1$, $2$ este $\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right|=0+1=1\ne 0$, deci rangul este $2$.

6. Rangul este $0$: toți minorii ei sunt determinanți de tablouri cu elementele zero, deci nu există niciun minor nenul, de niciun ordin. Matricea nulă este singura matrice de rang $0$.

7. Fals. Determinantul nul spune doar că rangul este strict mai mic decât $3$: poate fi $2$, $1$ sau chiar $0$. Contraexemplu: matricea cu toate cele nouă elemente egale cu $1$ are determinantul nul, dar și toți minorii de ordinul $2$ nuli, deci rangul $1$.

8. Prima jumătate: $\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 1\end{array}\right|=1-6=-5\ne 0$, deci rangul este cel puțin $2$. A doua: linia a treia este suma primelor două, fiindcă $1+2=3$, $3+1=4$, $-2+5=3$ și $4+0=4$, deci orice minor de ordinul $3$ se anulează. Rangul este $2$.

9. Elementul $7$ e nenul, deci rangul e cel puțin $1$. Cei trei minori de ordinul $2$ se anulează, a doua linie fiind dubla primei și a treia tripla ei: de pildă $\left|\begin{array}{cc}7& 3\\ 14& 6\end{array}\right|=42-42=0$. Rangul este $1$. Transpusa are a doua linie proporțională cu prima, deci rangul ei este tot $1$ — cum trebuia.

10. Determinantul este $1\cdot 1\cdot 5=5\ne 0$, fiindcă matricea are toate elementele de sub diagonala principală nule. Fiind un minor nenul de ordin maxim, rangul este $3$.

11. Are $C_3^2\cdot C_3^2=3\cdot 3=9$ minori de ordinul $2$ și tot $9$ de ordinul $1$, adică elementele ei. La matricea dată, a doua linie e dubla primei și a treia tripla ei, deci toți cei nouă minori de ordinul $2$ sunt nuli; matricea nefiind nulă, rangul este $1$.

12. Matricea are patru linii și trei coloane, deci rangul ei nu poate trece de $\min (4,3)=3$. Minorul din liniile $1$, $2$, $4$ este $\left|\begin{array}{ccc}10& 2& 3\\ 15& 3& 4\\ 20& 6& 5\end{array}\right|=10(15-24)-2(75-80)+3(90-60)=-90+10+90=10\ne 0$, deci rangul este cel puțin $3$. Marginea de sus fiind atinsă, rangul este exact $3$ și nu mai rămâne nimic de verificat: minori de ordinul $4$ nici nu există. Trei fire aduc o informație pe care celelalte nu o conțin; al treilea nu, fiindcă citirile lui sunt sumele citirilor de la primele două, $10+15=25$, $2+3=5$ și $3+4=7$ — exact ce se întâmplă la legarea cap la cap.

13. a) De pildă $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right|=3-2=1\ne 0$, deci rangul este cel puțin $2$. b) Linia a treia este suma primelor două: $1+2=3$, $1+3=4$, $2+1=3$ și $3+0=3$. Orice minor de ordinul $3$ se anulează, deci rangul este $2$.

14. Linia a treia este prima plus dubla celei de-a doua: $2+2=4$, $3-2=1$ și $1+4=5$. Determinantul este deci nul, iar rangul cel mult $2$. Minorul din primele două linii și primele două coloane este $\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -1\end{array}\right|=-2-3=-5\ne 0$, deci rangul este $2$.

15. a) Dezvoltăm după prima linie: $2(3\cdot 9-m\cdot 4)-1(1\cdot 9-m\cdot 3)+4(1\cdot 4-3\cdot 3)=2(27-4m)-(9-3m)+4(4-9)=54-8m-9+3m-20=25-5m$. b) Pentru $m\ne 5$ determinantul este nenul, deci rangul este $3$, cât ordinul matricei. Pentru $m=5$ el se anulează, iar a treia linie devine suma primelor două: $2+1=3$, $1+3=4$ și $4+5=9$. Rangul coboară atunci la $2$, fiindcă minorul care nu conține parametrul, $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right|=6-1=5\ne 0$, ridică marginea de jos.

16. Linia a treia este diferența dintre a doua și prima: $3-1=2$, $1-4=-3$ și $5+2=7$. Determinantul este nul, deci rangul este cel mult $2$; minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 4\\ 3& 1\end{array}\right|=1-12=-11\ne 0$ arată că rangul este $2$.

17. A doua linie este dubla primei, deci orice minor de ordinul $3$ are două linii proporționale și se anulează: rangul este cel mult $2$. Minorul din liniile $1$, $3$ și coloanele $1$, $2$ este $\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 1\end{array}\right|=2-3=-1\ne 0$. Rangul este $2$.

18. Un minor de ordinul $3$ al unei matrice cu trei linii le folosește pe toate trei, iar în orice astfel de tablou linia a treia rămâne suma primelor două; un determinant cu o linie egală cu suma celorlalte este nul. Minori de ordinul $4$ nu există, deci rangul e cel mult $2$. Rangul este exact $1$ când, în plus, primele două linii sunt proporționale: de pildă la matricea cu liniile $1$, $1$, $1$, $1$; $2$, $2$, $2$, $2$; $3$, $3$, $3$, $3$.

De reținut

• Un minor de ordinul $k$ se obține alegând $k$ linii și $k$ coloane, în ordinea din matrice, și calculând determinantul tabloului rămas.
• Rangul este ordinul $r$ pentru care matricea are măcar un minor nenul, iar toți minorii de ordin $r+1$ se anulează; matricea nulă are rangul $0$, iar pentru orice matrice cu $m$ linii și $n$ coloane avem $0\le \mathrm{rang}A\le \min (m,n)$.
• Un minor nenul de ordinul $r$ arată numai că $\mathrm{rang}A\ge r$; pentru „exact $r$" trebuie arătat și că toți minorii de ordinul $r+1$ sunt nuli.
• La o matrice pătratică de ordinul $n$, $\mathrm{rang}A=n$ exact atunci când $\det A\ne 0$; un determinant nul spune doar că rangul nu este $n$, nu că este $n-1$.
• Rangul nu se schimbă la transpunere, iar o linie care este suma sau un multiplu al altora nu îl ridică — de aceea el numără determinările care aduc ceva nou.

Greșeli frecvente

• Te oprești la primul minor nul de ordinul $r+1$. Un singur minor nul nu spune nimic: pentru „rangul este $r$" trebuie ca toți minorii de ordinul $r+1$ să fie nuli. Un exemplu ridică marginea de jos, un contraexemplu nu o coboară pe cea de sus.
• Confunzi rangul cu ordinul matricei. La o matrice de tip $3\times 4$ rangul nu poate fi $4$, oricât de „plină" ar părea matricea, fiindcă un minor de ordinul $4$ ar avea nevoie de patru linii. Marginea $\min (m,n)$ se verifică întotdeauna prima.
• Cauți minorii începând de la ordinul cel mai mare. Este drumul cel mai lung: la o matrice $4\times 4$ sunt $36$ de minori numai de ordinul $2$. Pornește de la un element nenul și bordează în sus.
• Spui că rangul unei matrice cu elemente mari este mare. Rangul nu depinde de mărimea numerelor, ci de legăturile dintre linii: o matrice cu elemente de ordinul miilor poate avea rangul $1$, dacă toate liniile ei sunt proporționale.
• Uiți cazul matricei nule. Este singura matrice de rang $0$, iar la un exercițiu cu parametru se întâmplă ca o anumită valoare să anuleze toate elementele; atunci răspunsul nu este $1$, ci $0$.

Aplică acasă

1. Tabloul care coboară. Scrie o matrice $3\times 3$ cu numere întregi al cărei determinant să nu fie zero, deci de rang $3$. Schimbă apoi un singur element astfel încât rangul să coboare la $2$, și încă unul astfel încât să coboare la $1$. Notează, de fiecare dată, ce legătură între linii ai creat.

2. Rangul unui orar. Scrie într-un tabel numărul de ore de sport, de matematică și de limba română din patru zile ale săptămânii tale. Adaugă o a cincea linie care să fie suma a două dintre ele și află rangul exact al tabloului obținut, apoi compară-l cu $3$. Explică în două fraze două lucruri deosebite: de ce rangul nu putea trece de $3$ nici înainte de a adăuga linia și ce a schimbat, de fapt, linia adăugată.

3. Litera care schimbă rangul. Scrie o matrice de tip $3\times 3$ în care a treia linie este un multiplu al primei și în care apare o literă pe poziția din mijloc. Află valoarea literei pentru care rangul scade și verifică-ți răspunsul calculând doi minori diferiți de ordinul $2$.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul formează corect un minor, păstrând ordinea liniilor și a coloanelor; dacă scrie amândouă jumătățile justificării; și dacă folosește legăturile dintre linii ca să evite calculul minorilor unu câte unu. A doua e cea care se uită cel mai des și se prinde ușor acasă: cereți-i să spună, după ce a găsit un minor nenul de ordinul $2$, ce anume a demonstrat.

Dificultatea nu este aritmetica — minorii sunt determinanți de ordinul $2$ sau $3$ —, ci faptul că răspunsul cere o demonstrație în doi pași, cu structuri logice diferite: „există unul" și „toți sunt nuli". Este, pentru mulți elevi, primul loc din liceu unde se vede deosebirea dintre a da un exemplu și a epuiza cazurile.

Întrebări de control: „Poate o matrice cu trei linii să aibă rangul $4$?"; „Ce ai demonstrat când ai găsit un minor nenul de ordinul $2$?"; „Determinantul unei matrice de ordinul $3$ este zero — cât poate fi rangul?"; „Se schimbă rangul la transpunere?". Semn bun: înainte de a calcula, elevul se uită dacă vreo linie nu e suma sau multiplul altora.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28); tema este în domeniul Algebră, unitatea XII.1. Sisteme de ecuații liniare, la conținutul „Rangul unei matrice", iar matricele se iau cu cel mult patru linii și patru coloane, potrivit notei care limitează capitolul la sisteme cu cel mult $4$ ecuații și $4$ necunoscute. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde rangul nu apare deloc: programa de examen (OMEN 4430/2014) nu îl conține la niciun capitol, iar pentru acei elevi lecția rămâne lectură suplimentară utilă, nu materie de examen. Tema intră în probă abia din 2030, la MAT_P2. Structura acelei probe nu a fost încă publicată, așa că exemplul 6 din lecție este construit, nu preluat dintr-un model oficial. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Cele trei ore pe săptămână pe care se sprijină planificarea vin din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Se studiază rangul unei matrice și la mate-info (M1)?

Da, dar în clasa a XI-a și cu un instrument în plus: acolo rangul se calculează și prin transformări elementare asupra liniilor. Pentru comparație, vezi Rangul unei matrice, la mate-info (M1). La științe ale naturii transformările elementare nu intră în programă, iar singura metodă e cea prin minori.

La ce subiect apare rangul la bacalaureatul M2?

La proba MAT_P2, din 2030, în domeniul Algebră, ca pas într-o problemă despre sisteme: un minor nenul, anularea minorilor de ordin superior, apoi concluzia. În sesiunile 2027–2029 rangul nu apare deloc, fiindcă programa de examen din 2014 nu îl conține; cine dă examenul în acei ani rezolvă sistemele numai cu metoda determinanților.

Cum aflu rangul fără să calculez toți minorii?

Pornești de la un element nenul și bordezi: adaugi câte o linie și câte o coloană, urcând ordinul, până când niciun minor nu mai iese nenul. În plus, cauți legături între linii — o linie egală cu suma altora anulează dintr-o dată toți minorii care o cuprind.

Poate rangul să fie mai mare decât numărul de linii?

Nu. Un minor de ordinul $k$ are nevoie de $k$ linii și de $k$ coloane, deci rangul nu poate depăși nici numărul de linii, nici numărul de coloane: $\mathrm{rang}A\le \min (m,n)$. O matrice de tip $2\times 7$ are rangul cel mult $2$, oricât de diferite ar fi coloanele ei.

Ce înseamnă că o matrice are rangul $0$?

Că toate elementele ei sunt nule. Dacă măcar un element ar fi diferit de zero, el singur ar fi un minor nenul de ordinul $1$, iar rangul ar fi cel puțin $1$. Prin urmare matricea nulă este singura de rang $0$, iar aceasta este și singura situație în care nu se caută niciun minor.

De ce nu e de ajuns un singur minor nenul?

Pentru că el arată doar că rangul este cel puțin cât ordinul lui. Definiția cere însă două lucruri deodată, așa că, pentru „exact $r$", mai ai de arătat că niciun minor de ordinul $r+1$ nu se abate de la zero. Fără a doua jumătate, afirmația rămâne o inegalitate, nu un rezultat.

Se schimbă rangul dacă schimb matricea cu transpusa ei?

Nu. Orice minor al transpusei este transpusul unui minor al matricei inițiale, iar transpunerea nu schimbă valoarea unui determinant, deci minorii nuli rămân nuli și cei nenuli rămân nenuli. Practic, poți lucra cu oricare dintre cele două, iar la o matrice cu multe linii și puține coloane e mai comod cu transpusa ei.