Sisteme liniare: amestecuri, doze, bilanțuri (M2, științe ale naturii)

Rația unei crescătorii, coeficienții unei reacții chimice, volumele luate din trei soluții-stoc: trei întrebări din discipline diferite, rezolvate la fel — se scriu ecuațiile mărimilor care se păstrează și se rezolvă sistemul. Lecția aceasta, la clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), e despre drumul de la text la sistem și, înapoi, de la soluție la înțelesul ei fizic. Cerințele scurte, cu sisteme de cel mult trei necunoscute rezolvate cu formulele lui Cramer, sunt în programa de examen a bacalaureatului M2 pentru sesiunile 2027–2029, la capitolul de calcul matriceal și sisteme.

Merită spus cinstit unde stă tema în programe. Modelarea ca atare — competența XII.CS.6.1 din programa nouă (OMEC 6930/2025, anexa 28) — nu e rând de conținut în programa de examen din 2014, care are doar sistemele cu cel mult trei necunoscute, forma matriceală și metoda lui Cramer. De aceea marcajul urmează obiectul: cerințele care se reduc la un sistem de cel mult trei necunoscute cu determinant nenul poartă marcajul obișnuit, celelalte sunt marcate MAT_P2 2030.

Ce vei învăța

• Vei ști să dai fiecărei necunoscute o unitate de măsură și să transformi fiecare lege de conservare din enunț într-o ecuație a sistemului.
• Vei ști să verifici modelul înainte de calcul, comparând unitățile celor doi membri ai fiecărei ecuații.
• Vei ști să echilibrezi o reacție chimică rezolvând un sistem omogen, nu prin încercări.
• Vei ști să citești verdictul — determinat, nedeterminat, incompatibil — în limbajul problemei și să respingi o soluție matematic corectă, dar imposibilă fizic.

Hai să descoperim împreună

1. Cum se naște un sistem dintr-un text?

Un model liniar al unei situații practice este un sistem de ecuații liniare în care fiecare necunoscută reprezintă o mărime căutată, cu unitatea ei de măsură precizată, iar fiecare ecuație exprimă o mărime care se conservă sau o cerință impusă de enunț.

Pe caiet, asta înseamnă două rânduri scrise înainte de orice calcul: rândul notațiilor — „$x$, $y$, $z$ — masele luate din cele trei nutrețuri, în kilograme" —, fiindcă o necunoscută fără unitate nu se poate verifica, și lista mărimilor neschimbate la amestecare (masa totală, masa fiecărei componente urmărite, volumul total, atomii fiecărui element). Câte una din listă, atâtea ecuații.

Urmează proba unităților: pune alături unitatea fiecărui produs din membrul stâng și unitatea numărului din dreapta; toate trebuie să coincidă. O ecuație care adună kilograme cu litri e greșită oricâte cifre corecte ar conține.

2. De ce dă fiecare mărime conservată exact o ecuație?

Ia masa de calciu dintr-un amestec. Fiecare component aduce o cantitate proporțională cu cât ai luat din el: dacă nutrețul întâi are $c_1$ grame de calciu la kilogram și iei $x$ kilograme, el aduce $c_{1}x$ grame. Contribuțiile se adună, iar totalul trebuie să fie cel cerut:

$$c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z=C$$

Ecuația e liniară tocmai fiindcă „de două ori mai mult nutreț aduce de două ori mai mult calciu" — iar acolo unde legătura dintre cantitate și efect nu e proporțională, modelul liniar nu mai descrie situația.

Când mărimile conservate nu sunt tot atâtea câte componente, sistemul nu mai e pătratic, iar verdictul se ia prin ranguri, ca la compatibilitatea prin rang.

3. De ce ies sisteme omogene la reacțiile chimice?

O reacție se echilibrează cerând ca fiecare element să aibă tot atâția atomi în stânga și în dreapta. Toate condițiile fiind egalități între două sume de atomi, trecerea termenilor într-un singur membru lasă zero în celălalt: sistemul e omogen, deci compatibil întotdeauna.

Ia fotosinteza, $\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2+{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}⟶{\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_{12}{\mathrm{O}}_6+{\mathrm{O}}_2$, și caută coeficienții $x$, $y$, $z$, $t$ care o echilibrează. Carbonul dă $x=6z$, hidrogenul $2y=12z$, oxigenul $2x+y=6z+2t$; mutate în stânga, cele trei condiții formează un sistem omogen cu patru necunoscute, deci cu gradul de nedeterminare $1$. Luând $z=\alpha$ iese $S=\{(6\alpha ,6\alpha ,\alpha ,6\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$, iar cei mai mici coeficienți întregi pozitivi se obțin pentru $\alpha =1$:

$$6\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2+6{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}⟶{\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_{12}{\mathrm{O}}_6+6{\mathrm{O}}_2$$

(Reacția aceasta e folosită doar aici, ca să arate drumul.) Familia de soluții nu e un defect al modelului: convenția „cei mai mici întregi pozitivi" alege din ea reprezentantul pe care îl scrie manualul de chimie.

4. Ce spune fiecare verdict despre problemă?

Cele trei verdicte din clasificarea sistemelor liniare se traduc, în limbajul problemei, astfel:

• compatibil determinat — datele hotărăsc un singur răspuns; asta cauți într-o rețetă sau într-o dozare;
• compatibil nedeterminat — cerințele sunt îndeplinite de o familie întreagă de variante; enunțul nu fixează una singură, iar alegerea se face cu o condiție suplimentară;
• incompatibil — cerințele nu pot fi îndeplinite toate deodată: ori o măsurătoare e greșită, ori amestecul cerut nu se obține din componentele date.

Ultimul caz pare o veste proastă și e, de fapt, o informație: un bilanț de laborator fără soluții spune că datele se bat cap în cap — exact ce vrei să afli de la un control. Concluzia se scrie ca atare: „valorile măsurate nu sunt compatibile între ele", nu „exercițiul nu are soluție".

5. Ce condiții nu vede sistemul?

Aici e deosebirea dintre un exercițiu de algebră și un model: sistemul știe numai ce i-ai scris, iar realitatea are cerințe pe care ecuațiile nu le cuprind:

• nenegativitatea: masele, volumele, concentrațiile și numerele de bucăți nu pot fi negative;
• caracterul întreg: numărul de flacoane sau de animale e un număr natural, nu unul fracționar;
• intervalul de valabilitate: o concentrație finală stă între cea mai mică și cea mai mare dintre concentrațiile componentelor, iar un procent, între $0$ și $100$.

De aceea răspunsul nu e gata când ai găsit soluția sistemului: mai e un pas, o citești în enunț. O masă de $-3$ kilograme e o soluție corectă a sistemului și un răspuns greșit al problemei. La un sistem nedeterminat, aceleași condiții taie din familie porțiunea cu sens fizic, de obicei un interval pentru $\alpha$.

6. Cum alegi metoda de rezolvare?

La profilul științe ale naturii ai o singură metodă de calcul, cea a determinanților, învățată în clasa a XI-a la metoda lui Cramer, și două întrebări de pus înainte de a porni. Prima: e sistemul pătratic? Dacă da, calculezi $\Delta$, iar dacă e nenul aplici formulele lui Cramer și ai terminat. A doua, când $\Delta =0$ sau sistemul nu e pătratic: care sunt rangurile? Ele dau verdictul, iar reducerea la un sistem de tip Cramer dă mulțimea soluțiilor.

Un pas mic care scutește greșeli: zecimalele și procentele se înmulțesc cu $10$, cu $100$ ori cu numitorul comun înainte de a scrie determinanții.

7. Ce faci când componentele sunt mai multe de patru?

Programa clasei fixează un plafon: cel mult patru ecuații și patru necunoscute. Modelele reale îl depășesc des — o rație de furaj adevărată are șapte-opt componente —, dar atunci crește numai volumul calculului, nu și matematica; la clasă, plafonul se respectă grupând componentele apropiate ca rol, cu prețul unei descrieri mai grosiere.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Rația unei crescătorii

Trei nutrețuri conțin, la kilogram: primul $200$ g proteină brută și $4$ g calciu, al doilea $120$ g și $10$ g, al treilea $80$ g și $2$ g. Se cere un amestec de $25$ kg cu $3240$ g de proteină și $144$ g de calciu. Ce masă se ia din fiecare?

Rezolvare. Fie $x$, $y$, $z$ masele luate, în kilograme. Se conservă masa totală, masa de proteină și masa de calciu:

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=25\\ 200x+120y+80z=3240\\ 4x+10y+2z=144\end{array}$$

Proba unităților: în ecuația a doua, $[\text{g/kg}]\cdot [\text{kg}]=[\text{g}]$ de fiecare parte. Împărțim a doua ecuație la $40$ și pe a treia la $2$: $5x+3y+2z=81$ și $2x+5y+z=72$. Atunci $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 5& 3& 2\\ 2& 5& 1\end{array}\right|=11\ne 0$, iar cu ${\Delta }_1=77$, ${\Delta }_2=110$, ${\Delta }_3=88$ iese $x=7$ kg, $y=10$ kg, $z=8$ kg. Verificare în enunț: $7+10+8=25$ kg, $1400+1200+640=3240$ g de proteină, $28+100+16=144$ g de calciu. Masele ies pozitive, deci rețeta se poate prepara.

Exemplul 2 — Echilibrarea unei reacții cu trei coeficienți

Echilibrează reacția $\mathrm{KCl}{\mathrm{O}}_3⟶\mathrm{KCl}+{\mathrm{O}}_2$.

Rezolvare. Fie $x$, $y$, $z$ coeficienții celor trei substanțe. Potasiul dă $x=y$, clorul tot $x=y$, oxigenul $3x=2z$; sistemul omogen $x-y=0$, $3x-2z=0$ are gradul de nedeterminare $1$. Luăm $x=2\alpha$, ca să evităm fracțiile: $y=2\alpha$ și $z=3\alpha$, adică $S=\{(2\alpha ,2\alpha ,3\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Pentru $\alpha =1$:

$$2\mathrm{KCl}{\mathrm{O}}_3⟶2\mathrm{KCl}+3{\mathrm{O}}_2$$

Control: $2$ atomi de potasiu, $2$ de clor și $6$ de oxigen de fiecare parte.

Exemplul 3 — Patru coeficienți

(Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.)

Echilibrează reacția $\mathrm{Al}+\mathrm{HCl}⟶\mathrm{AlC}{\mathrm{l}}_3+{\mathrm{H}}_2$, ale cărei necunoscute sunt cei $4$ coeficienți.

Rezolvare. Cu $x$, $y$, $z$, $t$ coeficienții celor patru substanțe, aluminiul dă $x=z$, hidrogenul $y=2t$, clorul $y=3z$. Sistemul omogen $x-z=0$, $y-2t=0$, $y-3z=0$ are patru necunoscute și rangul cel mult $3$; minorul coloanelor lui $x$, $y$, $z$ este $\left|\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 1& -3\end{array}\right|=-3$, nenul, deci rangul e chiar $3$, iar gradul de nedeterminare $1$.

Luăm $z=2\alpha$: $x=2\alpha$, $y=6\alpha$, $t=3\alpha$, deci $S=\{(2\alpha ,6\alpha ,2\alpha ,3\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Pentru $\alpha =1$ iese $2\mathrm{Al}+6\mathrm{HCl}⟶2\mathrm{AlC}{\mathrm{l}}_3+3{\mathrm{H}}_2$; control: $2$ atomi de aluminiu, $6$ de hidrogen, $6$ de clor de fiecare parte.

Exemplul 4 — Când enunțul nu fixează un singur răspuns

(Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.)

Trei sorturi de semințe conțin $20$, $50$ și $80$ de grame de impurități la kilogram. Se cer $30$ kg de amestec cu $1500$ g de impurități. Ce mase se pot lua?

Rezolvare. Cu $x$, $y$, $z$ masele în kilograme, se conservă masa totală și masa de impurități: $x+y+z=30$ și, după împărțirea la $10$, $2x+5y+8z=150$. Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 5\end{array}\right|=3\ne 0$ dă $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=2$: sistem compatibil nedeterminat, de grad $1$. Cu $z=\alpha$ secundară, sistemul redus $x+y=30-\alpha$, $2x+5y=150-8\alpha$ dă $S=\{(\alpha ,30-2\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Condițiile pe care sistemul nu le vede cer mase nenegative: $\alpha \ge 0$ și $30-2\alpha \ge 0$, adică $\alpha \in [0,15]$. Enunțul admite deci o infinitate de rețete, de la $(0,30,0)$ la $(15,0,15)$, în kilograme; pentru una singură mai trebuie fixată o cerință din afara sistemului — „din al doilea sort se iau $10$ kg" dă $\alpha =10$.

Exemplul 5 — Un bilanț care se contrazice

(Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.)

La ieșirea dintr-o instalație de separare, fluxul de $160$ kg pe oră se împarte în două. Fracția de masă a componentului A e $0,3$ în primul flux și $0,8$ în al doilea, iar A însumează $78$ kg pe oră; pentru B fracțiile sunt $0,25$ și $0,15$, cu $36$ kg pe oră. Sunt datele coerente?

Rezolvare. Cu $x$ și $y$ debitele celor două fluxuri, în kilograme pe oră: bilanțul total dă $x+y=160$, al componentului A, înmulțit cu $10$, dă $3x+8y=780$, iar al componentului B, înmulțit cu $20$, dă $5x+3y=720$. Din primele două ecuații, $x=100$ și $y=60$ kg pe oră. Înlocuind în a treia: $500+180=680\ne 720$. Rangul matricei sistemului e $2$, fiindcă $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 8\end{array}\right|=5\ne 0$, iar determinantul matricei extinse, $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 160\\ 3& 8& 780\\ 5& 3& 720\end{array}\right|=1(5760-2340)-1(2160-3900)+160(9-40)=3420+1740-4960=200$, e nenul, deci $\mathrm{rang}\overline{A}=3$ și sistemul e incompatibil. În limbajul instalației: cele trei măsurători nu pot fi toate corecte, iar dacă primele două sunt bune, B ar trebui să însumeze $34$ kg pe oră, nu $36$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Un laborator prepară $14$ litri de soluție de lucru din trei soluții-stoc, care conțin, la litru: prima $10$ g din substanța A și $5$ g din B, a doua $25$ g și $5$ g, a treia $40$ g și $20$ g. Soluția de lucru trebuie să aibă $410$ g din A și $175$ g din B.

a) Scrie sistemul, precizând ce reprezintă necunoscutele și în ce unitate. b) Arată că sistemul e de tip Cramer. c) Determină volumele luate din fiecare soluție-stoc.

Rezolvare. a) Fie $x$, $y$, $z$ volumele luate, în litri. Se conservă volumul total și masele celor două substanțe: $x+y+z=14$; $10x+25y+40z=410$, adică $2x+5y+8z=82$; $5x+5y+20z=175$, adică $x+y+4z=35$ (ambele împărțite la $5$).

b) $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 5& 8\\ 1& 1& 4\end{array}\right|=1(20-8)-1(8-8)+1(2-5)=9$, nenul, deci sistemul e de tip Cramer.

c) ${\Delta }_1=27$, ${\Delta }_2=36$ și ${\Delta }_3=63$, deci $x=3$ litri, $y=4$ litri și $z=7$ litri. Verificare în enunț: $3+4+7=14$ litri; $30+100+280=410$ g din A; $15+20+140=175$ g din B. Volumele ies pozitive, deci soluția de lucru se poate prepara.

Să exersăm

Începe fiecare rezolvare cu un rând de notații — ce mărime e $x$, ce mărime e $y$, în ce unitate — și încheie punând numerele găsite înapoi în textul problemei, nu doar în ecuații.

1. Două nutrețuri conțin $180$ g, respectiv $90$ g de proteină brută la kilogram. Se cer $170$ kg de amestec cu $23400$ g de proteină. Ce masă se ia din fiecare?

2. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Echilibrează ecuația globală a reacției $\mathrm{S}+{\mathrm{O}}_2⟶\mathrm{S}{\mathrm{O}}_3$.

3. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Trei soluții-stoc conțin, la litru, $8$ g, $12$ g și $20$ g din substanța A, respectiv $2$ g, $6$ g și $4$ g din substanța B. Se cer $21$ de litri de soluție cu $304$ g din A și $88$ g din B. a) Scrie sistemul. b) Determină volumele luate.

4. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Echilibrează reacția $\mathrm{Mg}+\mathrm{HCl}⟶\mathrm{MgC}{\mathrm{l}}_2+{\mathrm{H}}_2$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă înmulțim fiecare ecuație a unui bilanț cu $100$, ca să scăpăm de zecimale, mulțimea soluțiilor nu se schimbă."

6. Un laborant amestecă o soluție cu $12$ g de sulfat la litru și una cu $30$ g la litru, obținând $9$ litri de soluție cu $198$ g de sulfat. Ce volume a luat?

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Sistemul obținut la echilibrarea unei reacții chimice are întotdeauna toți termenii liberi nuli."

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) O fermă folosește trei furaje cu $6$, $10$ și $18$ g de fibre la kilogram. Se cer $40$ kg de amestec cu $440$ g de fibre. Scrie sistemul, arată că e compatibil nedeterminat și determină între ce valori poate varia masa luată din al treilea furaj.

9. Un elev scrie pentru un amestec ecuația „$3\text{g/L}\cdot x+5\text{kg}\cdot y=40\text{g}$". Explică, fără niciun calcul, de ce modelul e greșit.

10. (Problemă aplicată.) Trei preparate vitaminice conțin, la comprimat: primul $2$ mg din vitamina A și $1$ mg din vitamina C, al doilea $1$ mg și $4$ mg, al treilea $3$ mg și $5$ mg. O cură cere $17$ comprimate, cu $31$ mg de vitamina A și $47$ mg de vitamina C. Câte comprimate din fiecare preparat intră în cură și de ce răspunsul trebuie să fie în numere naturale?

11. Se diluează cu apă distilată o soluție cu $50$ g de sare la litru, ca să se obțină $8$ litri de soluție cu $30$ g de sare la litru. Ce volum de soluție inițială și ce volum de apă se folosesc?

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră sistemul $x+y+z=18$, $2x+3y+z=35$, $x+2y+5z=47$, care descrie un amestec de trei componente, în kilograme. a) Calculează $\det A$. b) Rezolvă-l și spune dacă rețeta se poate prepara.

13. Un tehnician cere $6$ litri de soluție cu $45$ g de acid la litru, amestecând o soluție cu $20$ g/L și una cu $35$ g/L. Rezolvă sistemul și explică de ce răspunsul nu are sens fizic.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Echilibrează reacția ${\mathrm{N}}_2+{\mathrm{O}}_2⟶\mathrm{NO}$ și explică de ce mulțimea soluțiilor conține o infinitate de triplete, deși reacția e una singură.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Trei tipuri de îngrășământ granulat au masele pe granulă de $2$, $3$ și $5$ grame și conținutul de sulf de $1$, $2$ și $2$ miligrame pe granulă. Un eșantion are $60$ de granule, cântărește $196$ de grame și conține $102$ mg de sulf. Câte granule sunt din fiecare tip?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Scrie și rezolvă sistemul unui amestec de patru componente cu masa totală de $50$ kg, în care a doua are masa dublă față de prima, a treia e cu $4$ kg mai grea decât a patra, iar primele două însumează $26$ kg.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Pentru un bilanț de masă cu trei componente s-au scris patru ecuații, iar rangurile au ieșit $\mathrm{rang}A=3$ și $\mathrm{rang}\overline{A}=4$. Ce i-ai spune tehnicianului care a făcut măsurătorile?

18. (Provocare.) Două soluții conțin $c_1$ și $c_2$ grame de substanță la litru, cu $c_1<c_2$, și se amestecă până la $V$ litri de soluție cu $c$ grame la litru. Arată că sistemul e de tip Cramer pentru $c_1\ne c_2$ și determină condiția pe care trebuie să o îndeplinească $c$ ca ambele volume să fie nenegative.

Răspunsuri și explicații

1. Cu $x$ și $y$ masele în kilograme: $x+y=170$ și $180x+90y=23400$, adică $2x+y=260$. Scăzând, $x=90$ kg și $y=80$ kg. Verificare: $90+80=170$ kg și $180\cdot 90+90\cdot 80=23400$ g de proteină.

2. Cu $x$, $y$, $z$ coeficienții, sulful dă $x=z$, oxigenul $2y=3z$; sistemul omogen $x-z=0$, $2y-3z=0$ are gradul de nedeterminare $1$. Cu $z=2\alpha$: $S=\{(2\alpha ,3\alpha ,2\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$, iar pentru $\alpha =1$, $2\mathrm{S}+3{\mathrm{O}}_2⟶2\mathrm{S}{\mathrm{O}}_3$, cu $2$ atomi de sulf și $6$ de oxigen de fiecare parte.

3. a) Cu $x$, $y$, $z$ volumele în litri: $x+y+z=21$; $8x+12y+20z=304$, adică $2x+3y+5z=76$; $2x+6y+4z=88$, adică $x+3y+2z=44$. b) $\det A=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 5\\ 1& 3& 2\end{array}\right|=1(6-15)-1(4-5)+1(6-3)=-5$, nenul; cu ${\Delta }_1=-25$, ${\Delta }_2=-35$, ${\Delta }_3=-45$ iese $x=5$ litri, $y=7$ litri, $z=9$ litri. Verificare: $5+7+9=21$ litri, $40+84+180=304$ g din A și $10+42+36=88$ g din B.

4. Magneziul dă $x=z$, hidrogenul $y=2t$, clorul $y=2z$; sistemul omogen $x-z=0$, $y-2t=0$, $y-2z=0$ are patru necunoscute și rangul $3$. Cu $z=\alpha$: $S=\{(\alpha ,2\alpha ,\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$, iar pentru $\alpha =1$, $\mathrm{Mg}+2\mathrm{HCl}⟶\mathrm{MgC}{\mathrm{l}}_2+{\mathrm{H}}_2$.

5. Adevărat. O ecuație înmulțită cu un număr nenul are aceeași mulțime de soluții, deci nici soluțiile sistemului nu se schimbă. Se schimbă doar determinanții: și $\Delta$, și fiecare ${\Delta }_k$ se înmulțesc cu produsul acelorași factori, deci rapoartele din formulele lui Cramer rămân neatinse.

6. Cu $x$ și $y$ volumele în litri: $x+y=9$ și $12x+30y=198$, adică $2x+5y=33$. Din prima, $x=9-y$, deci $18-2y+5y=33$, $y=5$ litri și $x=4$ litri. Verificare: $12\cdot 4+30\cdot 5=198$ g de sulfat, iar $198:9=22$ g la litru — între $12$ și $30$, cum era de așteptat.

7. Adevărat. Fiecare ecuație egalează numărul de atomi ai unui element din cele două părți; trecut totul într-un membru, în celălalt rămâne zero. Sistemul omogen e mereu compatibil și are măcar soluția banală — „nu reacționează nimic" —, de aceea se caută cele nebanale.

8. Cu $x$, $y$, $z$ masele în kilograme: $x+y+z=40$ și $6x+10y+18z=440$, adică $3x+5y+9z=220$. Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 5\end{array}\right|=2\ne 0$ dă $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=2$: sistem compatibil nedeterminat, de grad $1$. Cu $z=\alpha$: $S=\{(-10+2\alpha ,50-3\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Nenegativitatea cere $-10+2\alpha \ge 0$ și $50-3\alpha \ge 0$, deci masa din al treilea furaj variază între $5$ kg și $\frac{50}{3}$ kg, adică circa $16,67$ kg.

9. Pentru că cei doi termeni din stânga nu au aceeași unitate: primul pornește de la grame pe litru, al doilea de la kilograme, iar membrul drept e în grame. O sumă are sens numai între mărimi de aceeași natură, deci ecuația e greșită oricare ar fi numerele.

10. Cu $x$, $y$, $z$ numerele de comprimate: $x+y+z=17$, $2x+y+3z=31$, $x+4y+5z=47$. Avem $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1& 3\\ 1& 4& 5\end{array}\right|=1(5-12)-1(10-3)+1(8-1)=-7$, iar ${\Delta }_1=-56$, ${\Delta }_2=-42$, ${\Delta }_3=-21$, deci $x=8$, $y=6$, $z=3$ comprimate. Verificare: $8+6+3=17$ comprimate, $16+6+9=31$ mg de vitamina A, $8+24+15=47$ mg de vitamina C. Numerele trebuie să fie naturale fiindcă un comprimat nu se împarte: la valori fracționare, cura n-ar fi realizabilă.

11. Cu $x$ volumul de soluție inițială și $y$ volumul de apă, în litri: $x+y=8$ și $50x=240$, fiindcă apa distilată nu aduce sare, iar soluția finală conține $30\cdot 8=240$ g. De aici $x=4,8$ litri și $y=3,2$ litri. Verificare: $4,8+3,2=8$ litri și $50\cdot 4,8=240$ g de sare.

12. a) $\det A=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 1\\ 1& 2& 5\end{array}\right|=1(15-2)-1(10-1)+1(4-3)=5$. b) Cu ${\Delta }_1=35$, ${\Delta }_2=25$ și ${\Delta }_3=30$ obținem $x=7$ kg, $y=5$ kg și $z=6$ kg. Verificare în enunț: $7+5+6=18$ kg, $14+15+6=35$ și $7+10+30=47$; masele fiind pozitive, rețeta se poate prepara.

13. Cu $x$ și $y$ volumele în litri: $x+y=6$ și $20x+35y=270$, adică $4x+7y=54$. Din prima, $x=6-y$, deci $24-4y+7y=54$, $y=10$ litri și $x=-4$ litri. Un volum negativ nu există: sistemul are soluție, problema nu. Dintr-o soluție de $20$ g/L și una de $35$ g/L nu se poate obține una de $45$ g/L, fiindcă orice amestec are concentrația cuprinsă între cele ale componentelor.

14. Cu $x$, $y$, $z$ coeficienții, azotul dă $2x=z$, oxigenul $2y=z$; sistemul omogen $2x-z=0$, $2y-z=0$ are rangul $2$. Cu $z=2\alpha$: $S=\{(\alpha ,\alpha ,2\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$, iar pentru $\alpha =1$ iese ${\mathrm{N}}_2+{\mathrm{O}}_2⟶2\mathrm{NO}$. Infinitatea de triplete nu înseamnă infinitate de reacții: toate sunt proporționale între ele și descriu aceeași transformare, scrisă pentru cantități diferite.

15. Cu $x$, $y$, $z$ numerele de granule: $x+y+z=60$, $2x+3y+5z=196$, $x+2y+2z=102$. Avem $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 5\\ 1& 2& 2\end{array}\right|=1(6-10)-1(4-5)+1(4-3)=-2$, iar ${\Delta }_1=-36$, ${\Delta }_2=-50$, ${\Delta }_3=-34$, deci $x=18$, $y=25$, $z=17$ granule. Verificare: $18+25+17=60$ de granule, $36+75+85=196$ g și $18+50+34=102$ mg de sulf.

16. Cu $x$, $y$, $z$, $t$ masele în kilograme: $x+y+z+t=50$, $y-2x=0$, $z-t=4$, $x+y=26$. Din $y=2x$ și $x+y=26$ iese $3x=26$; masele nu sunt întregi, dar nici nu li se cere, fiindcă se cântăresc, nu se numără: $x=\frac{26}{3}$ kg, $y=\frac{52}{3}$ kg. Apoi $z+t=24$ și $z-t=4$ dau $z=14$ kg, $t=10$ kg. Verificare: $\frac{26}{3}+\frac{52}{3}+14+10=50$ kg.

17. Că datele se contrazic: rangul matricei extinse fiind mai mare, cele patru bilanțuri nu pot fi respectate toate deodată. Concluzia nu e „calculul e greșit", ci „măsurătorile nu sunt coerente" — o analiză trebuie refăcută, iar dacă toate se confirmă, modelul a uitat o ieșire din instalație.

18. Cu $x$ și $y$ volumele în litri: $x+y=V$ și $c_{1}x+c_{2}y=cV$. Determinantul $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ c_1& c_2\end{array}\right|=c_2-c_1$ e nenul exact când $c_1\ne c_2$, deci atunci sistemul e de tip Cramer. Din ${\Delta }_1=V(c_2-c)$ și ${\Delta }_2=V(c-c_1)$ iese $x=\frac{V(c_2-c)}{c_2-c_1}$ și $y=\frac{V(c-c_1)}{c_2-c_1}$. Cum $c_2-c_1>0$ și $V>0$, ambele volume sunt nenegative exact când $c\in [c_1,c_2]$: concentrația amestecului stă întotdeauna între cele două concentrații de pornire.

De reținut

• Necunoscuta fără unitate nu se poate verifica: unitatea se scrie de la început, iar ecuațiile se numără după mărimile care se păstrează — masa totală, masa unei componente, atomii unui element.
• Proba unităților se face înainte de calcul: dacă cei doi membri ai unei ecuații nu au aceeași unitate, greșeala e în model.
• Echilibrarea unei reacții duce la un sistem omogen, deci compatibil; soluția căutată e cea cu cei mai mici coeficienți întregi pozitivi.
• Verdictul se traduce în limbajul problemei: determinat = o singură rețetă, nedeterminat = o familie de rețete, incompatibil = date care se contrazic.
• Soluția se citește în enunț: masele și volumele sunt nenegative, numerele de obiecte sunt naturale, iar concentrația unui amestec stă între concentrațiile componentelor.

Greșeli frecvente

• Indicele confundat cu coeficientul. Într-o formulă chimică indicele e fixat de substanță — ${\mathrm{O}}_2$ are întotdeauna doi atomi —, iar necunoscuta e numărul din față. „Echilibrarea" prin schimbarea indicelui nu rezolvă sistemul, ci schimbă substanța.
• Procentele folosite ca atare, fără raportare. „$30\%$" nu e o cantitate, ci o fracțiune din altceva; până nu scrii din ce anume, ecuația nu are înțeles.
• Amestecarea unităților în aceeași ecuație. Grame pe kilogram înmulțite cu kilograme dau grame, iar grame pe litru înmulțite cu litri tot grame; înmulțirea cu mărimea greșită trece neobservată, fiindcă rezultatul e tot un număr.
• Soluția banală luată drept răspuns la o reacție. Sistemul omogen al unei reacții are întotdeauna soluția cu toți coeficienții nuli; ea spune doar că nimic nu reacționează, deci se caută cea cu întregi pozitivi minimi.
• Concentrația amestecului luată ca medie aritmetică. Concentrația finală e media concentrațiilor ponderată cu volumele; coincide cu media simplă doar la volume egale.

Aplică acasă

1. Eticheta a două produse. Ia de pe ambalaje conținutul de proteină și de grăsimi la $100$ g pentru două alimente și stabilește ce mase se amestecă pentru $200$ g cu un conținut de proteină ales de tine. Verifică dacă ambele mase ies pozitive; dacă nu, spune ce ținte sunt realizabile.

2. Trei reacții din manualul de chimie. Alege trei reacții neechilibrate cu cel mult patru substanțe, scrie pentru fiecare sistemul omogen al atomilor și rezolvă-l cu determinanți; compară numărul de pași cu metoda prin încercări.

3. Bilanțul unei diluții făcute în bucătărie. Prepară o soluție de sare cu o concentrație cunoscută, apoi adaugă o cantitate măsurată de apă. Scrie bilanțul masei de sare și al masei totale, calculează concentrația finală și compar-o cu cea obținută prin cântărire după evaporare.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul definește necunoscutele cu unitatea de măsură, dacă justifică fiecare ecuație printr-o mărime care se conservă și dacă, la final, întoarce soluția în enunț. Partea de calcul e deja învățată; aici se antrenează traducerea.

Dificultatea reală nu e matematica, ci obișnuința de a trata rezultatul ca pe un răspuns final: un elev bun la calcul poate da „$-4$ litri" fără să clipească. Semnul că a înțeles e că se oprește, spune că volumul nu poate fi negativ și caută motivul în enunț.

Întrebări de control: „Ce unitate are membrul drept al ecuației a doua?"; „De ce sistemul unei reacții chimice e omogen?"; „Ce înseamnă, pentru laborator, că sistemul e incompatibil?". În caiet se verifică notarea necunoscutelor cu unitate, justificarea fiecărei ecuații și verificarea finală făcută în enunț.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), unde modelarea apare ca competență specifică XII.CS.6.1, „Modelarea în limbajul sistemelor de ecuații liniare a unor contexte din geometrie sau din alte discipline", la unitatea XII.1, cu plafonul de cel mult $4$ ecuații și $4$ necunoscute. Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014) nu are un rând despre modelare, dar are capitolul „Sisteme de ecuații liniare", cu sistemele de cel mult trei necunoscute și metoda lui Cramer: de aceea cerințele care se reduc la un astfel de sistem sunt marcate ca exerciții de bacalaureat M2, iar cele cu patru necunoscute sau cu necunoscute secundare, MAT_P2 2030. Din 2030, la științe ale naturii, matematica e probă la alegere (OME 4138/2026), nu obligatorie; cele trei ore pe săptămână vin din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Trebuie să scriu de fiecare dată ecuația masei totale?

Numai când enunțul chiar fixează masa sau volumul întregului amestec. Ecuațiile se iau din mărimile pe care problema le dă, nu dintr-o listă învățată pe de rost: dacă știi cât cântărește amestecul, ai o ecuație în plus. O ecuație fără acoperire în enunț face sistemul incompatibil din vina ta.

De ce se echilibrează reacțiile chimice cu sisteme omogene?

Fiindcă fiecare condiție compară numărul de atomi ai unui element din cele două părți ale săgeții. Adusă cu toți termenii într-un singur membru, condiția are zero în celălalt, deci toți termenii liberi sunt nuli. Un sistem omogen e compatibil oricum, iar cum are mai multe necunoscute decât ecuații independente, soluțiile lui formează o familie.

Ce condiție adaug ca să rămână o singură rețetă?

Una care să nu decurgă din ecuațiile deja scrise, altfel familia de soluții nu se micșorează cu nimic. În practică fixezi o cantitate sau un raport între două componente — „din primul se ia de două ori cât din al doilea". Condiția se declară în rezolvare, fiindcă ea, nu enunțul, alege răspunsul dintre variantele posibile.

Se face modelarea cu sisteme și la mate-info (M1)?

Da, dar cu exemple de altă natură: acolo contextele sunt mai ales economice — prețuri, resurse, costuri — și se folosesc metode pe care programa de la științe nu le cuprinde. La științe ale naturii, exemplele firești sunt cele din chimie și biologie: Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: modelarea cu sisteme de ecuații liniare.

La ce subiect apare tema la Bacalaureatul M2?

Locul firesc e prima problemă a Subiectului al II-lea, cea de calcul matriceal; în modelul oficial publicat pentru proba actuală, enunțurile de acolo sunt scrise abstract, nu ca probleme de amestec. Sistemele stau, în programa de examen din 2014, la același capitol cu matricele și determinanții. Din 2030, la MAT_P2, modelarea e cerută de programă în domeniul „Algebră", iar plafonul urcă la patru necunoscute.

De ce înmulțesc ecuațiile cu $10$ sau cu $100$?

Ca să scap de zecimale înainte de a calcula determinanți. O ecuație înmulțită cu un număr nenul are aceeași mulțime de soluții, deci nu se pierde nimic, iar coeficienții întregi mici fac calculul verificabil dintr-o privire. Procentele se transformă la fel: $30\%$ dintr-o masă se scrie $0,3$ înmulțit cu masa.

Pot să grupez două componente într-una singură?

Da, când au compoziții apropiate sau intră într-o proporție fixată dinainte. Gruparea coboară numărul necunoscutelor sub plafonul de patru al programei și păstrează modelul liniar. Prețul plătit e o descriere mai grosieră a realității, așa că gruparea se declară în rezolvare, ca cititorul să știe ce s-a simplificat.