La ce folosește rangul unei matrice?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Rangul unei matrice

Rangul arată câte linii ale matricei aduc informație independentă, adică nu se obțin din celelalte. La un sistem, el spune câte ecuații sunt cu adevărat diferite, decide dacă sistemul are soluții și câte necunoscute rămân libere. Exemplu: în $121240361$ linia a doua este dublul primei, deci determinantul e $0$ , dar minorul $1120 = - 2$ e nenul: rangul este $2$ , adică două linii independente din trei.

Dintr-un tablou dreptunghiular, care n-are determinant, se pot decupa tablouri pătratice. Alegi $k$ rânduri și $k$ coloane, păstrezi ordinea în care apar și iei elementele de la încrucișarea lor: determinantul obținut este un minor de ordinul $k$ .

Rangul este acel număr $r$ la care se găsește cel puțin un minor nenul, în timp ce niciun minor cu ordinul mai mare cu o unitate nu scapă de zero. Singura matrice cu rangul $0$ e cea nulă, iar la un tablou cu $m$ rânduri și $n$ coloane rangul nu urcă peste cel mic dintre aceste două numere.

Ca să scrii un rang îți trebuie două afirmații, cu logici diferite: găsești un minor nenul și îi dai valoarea, unde e de ajuns un exemplu, apoi arăți că niciunul cu ordinul imediat superior nu se abate de la zero, unde e nevoie de toate cazurile. Partea a doua vine ieftin dacă între rânduri se vede o legătură: unul care e suma sau multiplul celorlalte face nuli, dintr-o mișcare, minorii ce le cuprind.

Metoda practică se numește bordare: începi de la un element nenul și lărgești încadrarea cu câte un rând și câte o coloană. La un tablou pătratic de ordinul $n$ , rangul atinge $n$ exact dacă determinantul nu se anulează; un determinant nul arată doar că rangul a coborât, fără să spună cât. Transpunerea nu schimbă nimic, iar cu parametru se caută întâi un minor fără literă.

De reținut

rangul = ordinul maxim al unui minor nenul
rangul numără liniile independente ale matricei
o linie proporțională cu alta sau suma altora nu mărește rangul
matrice nenulă cu toate liniile proporționale: rang $1$

Greșeala tipică

Din $det A = 0$ la o matrice $3 \times 3$ se trage concluzia că rangul este $2$ ; corect, se caută un minor nenul de ordinul $2$ , iar dacă toți sunt nuli, rangul coboară la $1$ sau chiar la $0$ .

Exerciții din această mini-lecție

Câți minori de ordinul $2$ are o matrice de tip $2 \times 4$ ?
- a) $6$
- b) $8$
- c) $12$
- d) $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $6$

Un minor de ordinul $2$ se obține alegând $2$ linii din cele $2$ (o singură posibilitate) și $2$ coloane din cele $4$ ( $6$ perechi, fiindcă ordinea coloanelor nu se schimbă): $1 \cdot 6 = 6$ . Varianta b) numără elementele matricei, adică minorii de ordinul $1$ ; c) numără perechile ordonate de coloane, $4 \cdot 3 = 12$ , deși o pereche de coloane se ia o singură dată; d) numără coloanele.
Care este rangul matricei $(2 - 3 - 6 9 8 - 12)$ ?
- a) $0$
- b) $2$
- c) $1$
- d) $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $1$

Matricea nu este nulă, iar elementul $2$ este un minor nenul de ordinul $1$ , deci rangul este cel puțin $1$ . Cei trei minori de ordinul $2$ se anulează toți, fiindcă a doua linie este prima înmulțită cu $- \frac{3}{2}$ : $2 - 3 - 6 9 = 0$ , $2 - 3 8 - 12 = 0$ și $- 6 9 8 - 12 = 0$ . Rangul este $1$ . Varianta a) e rezervată matricei nule; b) ar cere un minor nenul de ordinul $2$ ; d) depășește $min (2, 3) = 2$ .
Se consideră matricea $132014201 5 - 2 3$ , la care minorul format din primele trei coloane este $21$ . Care este rangul ei?
- a) $4$
- b) $3$
- c) $2$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $3$

Minorul din primele trei coloane este nenul, deci rangul este cel puțin $3$ . Pe de altă parte, un minor de ordinul $4$ ar avea nevoie de patru linii, iar matricea are trei: rangul nu poate depăși $min (3, 4) = 3$ . Marginea de sus fiind atinsă, rangul este exact $3$ și nu mai rămâne nimic de verificat. Varianta a) confundă rangul cu numărul de coloane; c) și d) ar cere ca minorul de ordinul $3$ găsit să fie nul.

Întrebări conexe

Cum se schimbă rangul dacă adaug o linie nouă matricei?

Rămâne același sau crește cu $1$ , niciodată mai mult. Matricea $(12)$ are rangul $1$ ; adăugând linia $(2, 4)$ , rangul rămâne $1$ , fiindcă linia nouă e proporțională; adăugând linia $(0, 1)$ , rangul devine $2$ .

Ce rang are o matrice nenulă cu toate liniile proporționale?

Rangul $1$ . De exemplu, în $3 - 6 9 - 1 2 - 3 2 - 4 6$ a doua linie este prima înmulțită cu $- 2$ , iar a treia, prima înmulțită cu $3$ , deci toți minorii de ordinul $2$ se anulează, iar un element nenul arată că rangul nu e $0$ .

Cum aflu rangul unei matrice care conține un parametru?

La $(12 2 m 12)$ minorii de ordinul $2$ sunt $m - 4$ , $0$ și $4 - m$ . Pentru $m \neq = 4$ unul e nenul, deci rangul este $2$ ; pentru $m = 4$ toți sunt nuli, iar rangul este $1$ . Răspunsul se scrie pe cazuri.

Ce arată rangul la echilibrarea unei reacții chimice?

Din numărul coeficienților scazi rangul matricei atomilor și afli câți coeficienți sunt liberi. La $x H_{2} + y O_{2} \to z H_{2} O$ , hidrogenul dă $2 x - 2 z = 0$ , oxigenul $2 y - z = 0$ ; rangul e $2$ , rămâne un coeficient liber, iar alegerea minimă este $(2, 1, 2)$ .

Poate o matrice $3 im es 3$ cu determinantul nul să aibă rangul $1$ ?

Da. La $123123123$ toate liniile sunt multipli ai primei, deci orice minor de ordinul $2$ este zero, iar rangul este $1$ . Determinantul nul spune doar că rangul e mai mic decât $3$ .

Se schimbă rangul dacă înmulțesc o linie cu un număr nenul?

Nu. Fiecare minor care conține linia respectivă se înmulțește cu același număr nenul, deci un minor nenul rămâne nenul, iar unul nul rămâne nul. Din acest motiv poți înmulți o linie cu $10$ ca să scapi de zecimale fără să schimbi rangul.

Oamenii mai întreabă și: ce arată rangul unei matrice · la ce e bun rangul · semnificația rangului unei matrice · ce măsoară rangul