Raza cercului înscris și raza cercului circumscris (M2, științe ale naturii)

Trei microfoane, prinse pe trunchiuri de copaci într-o pădure, înregistrează chemarea unei bufnițe exact în același moment. Sunetul se propagă la fel în toate direcțiile, deci pasărea se află la aceeași distanță de toate trei: în centrul cercului care trece prin microfoane, iar distanța căutată este raza acestui cerc. Într-un laborator de biologie, problema e opusă: dintr-un rest triunghiular de plexiglas trebuie tăiat cel mai mare capac rotund pentru un vas de cultură, adică cercul care atinge toate cele trei margini. Lecția de față, din traseul clasei a IX-a pentru profilul științe ale naturii (M2), leagă ambele raze de aria triunghiului. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 raza cercului circumscris aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”, prin teorema sinusurilor, iar raza cercului înscris nu apare în programa probei. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă cere calcularea ambelor raze; în modelul oficial publicat pentru 2026, o cerință scurtă pornește de la raza cercului circumscris al unui triunghi dreptunghic.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: raza cercului înscris e cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apare în programa nouă a clasei a IX-a (Anexa 28). Raza cercului circumscris apare totuși în Anexa 28, la clasa a IX-a, iar tu ai calculat-o deja în lecția despre teorema sinusurilor și raza cercului circumscris, dintr-o latură și unghiul opus. Aici o legi de arie și adaugi cercul înscris. Folosești aria cu sinus, din aria triunghiului cu formula sinusului, și aria din trei laturi, din formula lui Heron.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este cercul înscris într-un triunghi, unde se află centrul lui și de ce raza lui este distanța până la fiecare latură.
• Vei ști să arăți că aria unui triunghi este $\mathcal{S}=p\cdot r$ și să afli din ea raza cercului înscris.
• Vei ști să obții formula $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$ din aria cu sinus și din teorema sinusurilor.
• Vei ști să alegi drumul cel mai scurt spre raze după datele problemei: trei laturi, două laturi și unghiul dintre ele sau o latură și unghiul opus.
• Vei ști să calculezi lungimile tangentelor duse din vârfuri la cercul înscris și să le folosești în triunghiul dreptunghic.
• Vei ști să controlezi un rezultat fără să refaci calculul, cu două verificări simple legate de laturi și de înălțimi.

Hai să descoperim împreună

1. Care sunt cele două cercuri ale unui triunghi?

Cercul înscris într-un triunghi este cercul din interiorul triunghiului care atinge fiecare dintre cele trei laturi; centrul lui, $I$, se află acolo unde se întâlnesc bisectoarele, iar raza lui, $r$, este distanța de la $I$ la oricare latură. Faptul că bisectoarele se întâlnesc într-un punct egal depărtat de laturi îl știi din gimnaziu, din lecția despre bisectoarele triunghiului și cercul înscris.

Cercul circumscris conține cele trei vârfuri; îl fixează mediatoarele laturilor, care se întâlnesc în centrul $O$, iar raza lui, $R$, apare în teorema sinusurilor, $\frac{a}{\sin A}=2R$. Cele două cercuri răspund la întrebări opuse: cel mai mare cerc care încape în triunghi și cercul care trece prin toate colțurile lui. Pe desen le deosebești ușor: cercul înscris atinge laturile, cel circumscris trece prin vârfuri.

2. De ce este aria egală cu p · r?

Unește centrul $I$ cu cele trei vârfuri. Triunghiul se împarte în trei triunghiuri mai mici, $IBC$, $ICA$ și $IAB$, care nu se suprapun și îl acoperă complet. Fiecare are o latură comună cu triunghiul mare, iar înălțimea dusă din $I$ pe acea latură este chiar raza $r$, fiindcă raza dusă în punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă. Adunând cele trei arii,

$$\mathcal{S}=\frac{a\cdot r}{2}+\frac{b\cdot r}{2}+\frac{c\cdot r}{2}=\frac{a+b+c}{2}\cdot r=p\cdot r,$$

unde $p=\frac{a+b+c}{2}$ este semiperimetrul. Formula se citește în ambele sensuri: $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$ când știi aria, $\mathcal{S}=p\cdot r$ când știi raza. Dimensiunile se potrivesc: o arie, în unități pătrate, împărțită la o lungime dă o lungime.

3. Cum ajungi la R = abc / (4S)?

Pornești de la aria cu sinus, $\mathcal{S}=\frac{1}{2}bc\sin A$, și de la teorema sinusurilor, din care $\sin A=\frac{a}{2R}$. Înlocuind,

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}bc\cdot \frac{a}{2R}=\frac{abc}{4R},\text{deci}R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}.$$

Nu ai demonstrat nimic nou: ai pus una lângă alta două formule din unitatea de trigonometrie. Câștigul este că unghiul a dispărut. Raza cercului circumscris se află acum din trei laturi și arie, iar aria, la rândul ei, se află din laturi cu formula lui Heron.

4. Ce drum alegi când știi doar laturile?

Cu trei laturi date, drumul spre ambele raze are patru pași: semiperimetrul $p$, aria $\mathcal{S}$ cu formula lui Heron, raza $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$ și raza $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$. În lecția despre teorema sinusurilor ai aflat $R$ din laturi pe un alt drum: cosinusul unui unghi cu teorema cosinusului, sinusul din formula fundamentală, apoi $R=\frac{a}{2\sin A}$.

Programa cere alegerea metodei potrivite, iar regula e simplă. Dacă ai o latură și unghiul opus ei, $R=\frac{a}{2\sin A}$ e o singură împărțire. Dacă ai două laturi și unghiul dintre ele, afli aria cu sinusul și a treia latură cu teorema cosinusului, apoi ambele raze. Dacă ai trei laturi și ai nevoie și de $r$, aria cu Heron le servește pe amândouă, iar drumul prin arie devine cel mai scurt.

5. Cât măsoară tangentele duse din vârfuri?

Cele trei puncte de contact ale cercului înscris împart laturile în șase bucăți, egale două câte două: din același vârf, cele două tangente la cerc au aceeași lungime, cum știi din lecția despre tangentele duse dintr-un punct exterior. Notează cu $x$, $y$, $z$ lungimile tangentelor din $A$, $B$, $C$. Fiecare latură e formată din două astfel de bucăți: $x+y=c$, $y+z=a$, $z+x=b$. Adunând, $x+y+z=p$, iar scăzând pe rând câte o relație,

$$x=p-a,y=p-b,z=p-c.$$

Tangenta din vârful $A$ este semiperimetrul minus latura opusă lui $A$. Pentru un triunghi cu $a=70$, $b=65$, $c=9$, semiperimetrul este $72$, iar tangentele sunt $2$, $7$ și $63$; controlul, $x+y=9=c$, trebuie făcut de fiecare dată.

6. Ce devin formulele în triunghiul dreptunghic?

Fie triunghiul dreptunghic în $A$, cu catetele $b$, $c$ și ipotenuza $a$. La vârful unghiului drept, tangentele din $A$ și razele spre cele două puncte de contact închid un pătrat cu latura $r$, deci tangenta din $A$ este chiar $r$. Din paragraful precedent, ea este $p-a$, așa că

$$r=p-a=\frac{b+c-a}{2}.$$

Pentru cercul circumscris, unghiul drept este înscris într-un semicerc, deci ipotenuza e diametru și $R=\frac{a}{2}$. Pe aceste două formule se sprijină cerințele scurte cu triunghi dreptunghic: în modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, cerința a șasea dă raza cercului circumscris al unui triunghi dreptunghic, iar din ea se află o latură. Atenție: ambele formule sunt valabile numai în triunghiul dreptunghic.

7. Cum verifici un rezultat?

Două controale rapide prind majoritatea greșelilor de calcul. Primul vine din lecția despre teorema sinusurilor: nicio latură nu poate depăși diametrul $2R$, fiindcă o coardă nu e mai lungă decât diametrul. Dacă îți iese o rază circumscrisă mai mică decât jumătatea celei mai lungi laturi, ai greșit.

Al doilea privește cercul înscris: diametrul lui, $2r$, e mai mic decât fiecare înălțime. Într-adevăr, $h_a=\frac{2\mathcal{S}}{a}$ și $2r=\frac{2\mathcal{S}}{p}$, iar $a<p$ din inegalitatea triunghiului, deci $2r<h_a$. Cercul trebuie să încapă între o latură și vârful opus ei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ambele raze din trei laturi

Triunghiul $ABC$ are laturile $39$, $41$ și $50$. Calculați raza cercului înscris și raza cercului circumscris.

Rezolvare. Semiperimetrul este $p=\frac{39+41+50}{2}=65$, iar diferențele sunt $26$, $24$ și $15$. Cu formula lui Heron,

$$\mathcal{S}=\sqrt{65\cdot 26\cdot 24\cdot 15}=\sqrt{608400}=780.$$

Atunci $r=\frac{780}{65}=12$ și $R=\frac{39\cdot 41\cdot 50}{4\cdot 780}=\frac{79950}{3120}=\frac{205}{8}$. Controale: latura cea mai lungă, $50$, este mai mică decât $2R=\frac{205}{4}=51,25$; cea mai mică înălțime, $\frac{2\cdot 780}{50}=31,2$, este mai mare decât $2r=24$.

Exemplul 2 — Capacul din restul de plexiglas

Un rest de plexiglas are forma unui triunghi dreptunghic cu catetele de $12$ cm și $35$ cm. Care este raza celui mai mare capac rotund care se poate tăia din el și ce parte din suprafața plăcii folosește capacul?

Rezolvare. Ipotenuza este $\sqrt{144+1225}=\sqrt{1369}=37$ cm. Cel mai mare capac este discul înscris, cu $r=\frac{12+35-37}{2}=5$ cm, deci capacul are diametrul de $10$ cm. Pe drumul general, $\mathcal{S}=\frac{12\cdot 35}{2}=210$ cm² și $p=42$ cm, iar $\frac{210}{42}=5$ cm confirmă. Capacul are aria $\pi \cdot 25\approx 78,54$ cm², adică aproximativ $37,4\%$ din placă; restul devine deșeu, oricât de atent s-ar tăia, pentru că niciun disc mai mare nu încape. Unitățile ies corect: aria, în centimetri pătrați, împărțită la semiperimetru, în centimetri, dă o rază în centimetri.

Exemplul 3 — A treia latură, din rază și arie

Un triunghi are două laturi de $68$ și $75$, aria $2310$, iar raza cercului circumscris este $\frac{85}{2}$. a) Calculați a treia latură. b) Calculați raza cercului înscris.

Rezolvare. a) Relația $\mathcal{S}=\frac{abc}{4R}$ se poate rezolva după oricare latură: produsul celor trei laturi este $4R\mathcal{S}=4\cdot \frac{85}{2}\cdot 2310=392700$, iar a treia latură este $\frac{392700}{68\cdot 75}=\frac{392700}{5100}=77$. b) Semiperimetrul este $\frac{68+75+77}{2}=110$, deci $r=\frac{2310}{110}=21$. Controlul cu formula lui Heron: $\sqrt{110\cdot 42\cdot 35\cdot 33}=\sqrt{5336100}=2310$, aceeași arie, deci datele sunt coerente.

Exemplul 4 — Găsește greșeala: perimetrul în loc de semiperimetru

Triunghiul $ABC$ are laturile $19$, $60$ și $73$, iar aria lui este $456$. Un elev scrie $r=\frac{\mathcal{S}}{a+b+c}=\frac{456}{152}=3$. Găsiți greșeala și dați valoarea corectă.

Rezolvare. Împărțirea este corectă, dar formula nu: în $\mathcal{S}=p\cdot r$ intră semiperimetrul, fiindcă fiecare dintre cele trei triunghiuri din descompunere are aria egală cu jumătate din latură înmulțită cu $r$. Cu $p=76$, $r=\frac{456}{76}=6$. Greșeala înjumătățește întotdeauna raza, așa că ea nu se vede la controlul cu înălțimile, care rămâne satisfăcut: cea mai mică înălțime este $\frac{2\cdot 456}{73}\approx 12,49$, mai mare și decât $6$, și decât $12$. Singura apărare este formula scrisă corect, înainte de numere.

Exemplul 5 — Bufnița și cele trei microfoane

Trei microfoane sunt fixate în punctele $A$, $B$, $C$ ale unei păduri, cu $AB=46$ m, $BC=75$ m și $CA=109$ m. Toate trei înregistrează chemarea unei bufnițe în același moment. La ce distanță de fiecare microfon se află bufnița? Este ea în interiorul triunghiului $ABC$?

Rezolvare. Sosirea simultană înseamnă distanțe egale, deci bufnița este centrul cercului circumscris, iar distanța este $R$. Semiperimetrul este $115$ m, diferențele sunt $69$, $40$ și $6$, iar

$$\mathcal{S}=\sqrt{115\cdot 69\cdot 40\cdot 6}=\sqrt{1904400}=1380{\text{ m}}^2.$$

Atunci $R=\frac{46\cdot 75\cdot 109}{4\cdot 1380}=\frac{376050}{5520}=\frac{545}{8}$ m, adică $68,125$ m. Pentru a doua întrebare compari pătratele laturilor: $109^2=11881$, mai mult decât $46^2+75^2=7741$, deci unghiul din $B$ este obtuz, iar centrul cercului circumscris se află în afara triunghiului. Bufnița nu stă între microfoane, ci dincolo de latura $CA$. Controlul: latura cea mai lungă, $109$, este mai mică decât $2R=136,25$. Modelul presupune sunet cu aceeași viteză în toate direcțiile și microfoane la aceeași înălțime.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $m(\angle B)=\frac{\pi }{3}$ și $AC=6$. a) Arătați că $BC=4\sqrt{3}$. b) Calculați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$. c) Arătați că raza cercului înscris în triunghiul $ABC$ este egală cu $3-\sqrt{3}$.

Rezolvare. a) În triunghiul dreptunghic, $\sin B=\frac{AC}{BC}$, deci $BC=\frac{6}{\sin \frac{\pi }{3}}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$.

b) Ipotenuza este diametru, deci $R=\frac{BC}{2}=2\sqrt{3}$.

c) Cateta $AB=BC\cos B=4\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=2\sqrt{3}$. Atunci $r=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{2\sqrt{3}+6-4\sqrt{3}}{2}=3-\sqrt{3}$. Verificare prin arie: $\mathcal{S}=\frac{2\sqrt{3}\cdot 6}{2}=6\sqrt{3}$, iar $p=3+3\sqrt{3}$, deci $\frac{6\sqrt{3}}{3+3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=3-\sqrt{3}$.

Să exersăm

Scrie întâi formula, apoi numerele. Rezultatele iraționale se lasă exacte; la problemele cu context se scrie și unitatea de măsură, iar aproximările se rotunjesc la ultima zecimală cerută.

1. Calculează raza cercului înscris în triunghiul cu laturile $25$, $51$ și $74$.

2. Calculează raza cercului circumscris triunghiului cu laturile $26$, $51$ și $55$.

3. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza $73$ și o catetă de $48$. Află cealaltă catetă, apoi razele $r$ și $R$.

4. Un triunghi echilateral are raza cercului înscris egală cu $3$. Calculează latura lui și raza cercului circumscris.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă toate laturile unui triunghi se triplează, atunci aria lui, raza cercului înscris și raza cercului circumscris se triplează.”

6. Aria unui triunghi este $112$, iar raza cercului înscris este $\frac{7}{2}$. Calculează perimetrul triunghiului.

7. Triunghiul cu laturile $38$, $65$ și $87$ are aria $1140$. Calculează $r$ și $R$.

8. Cercul înscris în triunghiul $ABC$ cu $AB=35$, $BC=75$ și $CA=44$ atinge laturile. Calculează lungimile tangentelor duse din fiecare vârf.

9. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza $257$, iar raza cercului înscris este $15$. Arată că suma catetelor este $287$ și verifică faptul că catetele $32$ și $255$ se potrivesc cu datele.

10. (Problemă aplicată.) Pe acoperișul plat, triunghiular, al unui spital se amenajează un heliport: o platformă circulară care atinge toate cele trei margini. Muncitorii măsoară, de la fiecare colț, distanța până la punctele în care cercul platformei atinge marginile: $51$ m de la colțul $A$, $24$ m de la colțul $B$ și $10$ m de la colțul $C$. Află lungimile marginilor și raza platformei.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=17$, $BC=87$ și $CA=100$. a) Arătați că aria triunghiului este $510$. b) Determinați $r$. c) Arătați că $R=\frac{145}{2}$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=3\sqrt{2}$, $AC=7$ și $m(\angle A)=\frac{\pi }{4}$. a) Arătați că $BC=5$. b) Calculați raza cercului circumscris. c) Arătați că raza cercului înscris este $\frac{4-\sqrt{2}}{2}$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=2\sqrt{2}$, $AC=3$ și $m(\angle A)=\frac{3\pi }{4}$. a) Arătați că aria triunghiului este $3$. b) Calculați $BC$. c) Calculați raza cercului circumscris pe două căi, cu $R=\frac{a}{2\sin A}$ și cu $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$.

14. Cercul înscris în triunghiul $ABC$ atinge latura $BC$ în $D$, cu $BD=4$ și $DC=9$. Știind că $AB=10$, calculează $AC$ și semiperimetrul triunghiului.

15. Poate avea triunghiul cu laturile $25$, $52$ și $63$ raza cercului circumscris egală cu $30$? Răspunde fără să calculezi aria, apoi calculează $R$.

16. Vârfurile triunghiului $ABC$ sunt $A(0,0)$, $B(8,0)$ și $C(2,6)$. Calculează aria și raza cercului circumscris, apoi verifică faptul că punctul $(4,2)$ este egal depărtat de cele trei vârfuri.

17. Pentru triunghiul cu laturile $45$, $85$ și $104$, calculează raza cercului înscris și cea mai mică înălțime, apoi verifică faptul că cercul înscris încape între latura cea mai lungă și vârful opus ei.

18. (Provocare.) Laturile unui triunghi sunt în progresie aritmetică, iar $b$ este latura din mijloc. Demonstrează că raza cercului înscris este o treime din înălțimea dusă pe latura $b$.

Răspunsuri și explicații

1. $p=75$, diferențele sunt $50$, $24$ și $1$, deci $\mathcal{S}=\sqrt{75\cdot 50\cdot 24\cdot 1}=\sqrt{90000}=300$ și $r=\frac{300}{75}=4$.

2. $p=66$, iar $\mathcal{S}=\sqrt{66\cdot 40\cdot 15\cdot 11}=\sqrt{435600}=660$. Atunci $R=\frac{26\cdot 51\cdot 55}{4\cdot 660}=\frac{72930}{2640}=\frac{221}{8}$.

3. Cealaltă catetă este $\sqrt{5329-2304}=\sqrt{3025}=55$. Atunci $r=\frac{48+55-73}{2}=15$ și $R=\frac{73}{2}$.

4. Pentru latura $\ell$, aria este $\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}$ și semiperimetrul $\frac{3\ell }{2}$, deci $r=\frac{\ell \sqrt{3}}{6}$. Din $\frac{\ell \sqrt{3}}{6}=3$ rezultă $\ell =\frac{18}{\sqrt{3}}=6\sqrt{3}$. Atunci $R=\frac{{\ell }^3}{4\mathcal{S}}=\frac{\ell }{\sqrt{3}}=6$: în triunghiul echilateral, centrele coincid, iar raza cercului circumscris iese dublul celei a cercului înscris.

5. Fals. Laturile și semiperimetrul se triplează, dar aria se înmulțește cu $9$, ca orice arie la o mărire de $3$ ori. Atunci $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$ se înmulțește cu $\frac{9}{3}=3$, iar $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$ se înmulțește cu $\frac{27}{9}=3$. Razele se triplează, aria nu.

6. Din $\mathcal{S}=p\cdot r$, semiperimetrul este $\frac{112}{\frac{7}{2}}=32$, deci perimetrul este $64$.

7. $p=95$, deci $r=\frac{1140}{95}=12$, iar $R=\frac{38\cdot 65\cdot 87}{4\cdot 1140}=\frac{214890}{4560}=\frac{377}{8}$.

8. $p=77$. Tangenta din $A$ este $p-BC=2$, din $B$ este $p-CA=33$, din $C$ este $p-AB=42$. Control: $2+33=35=AB$, $33+42=75=BC$, $42+2=44=CA$.

9. Din $r=\frac{b+c-a}{2}$ rezultă $b+c=a+2r=257+30=287$. Catetele $32$ și $255$ au suma $287$ și verifică $32^2+255^2=1024+65025=66049=257^2$, deci triunghiul e dreptunghic cu ipotenuza $257$ și raza $\frac{32+255-257}{2}=15$.

10. Fiecare margine e formată din două tangente: $AB=51+24=75$ m, $BC=24+10=34$ m, $CA=10+51=61$ m. Semiperimetrul este suma tangentelor, $p=85$ m, iar diferențele $p-a$, $p-b$, $p-c$ sunt chiar tangentele, deci $\mathcal{S}=\sqrt{85\cdot 51\cdot 24\cdot 10}=\sqrt{1040400}=1020$ m² și $r=\frac{1020}{85}=12$ m.

11. a) $p=102$, iar $\sqrt{102\cdot 85\cdot 15\cdot 2}=\sqrt{260100}=510$. b) $r=\frac{510}{102}=5$. c) $R=\frac{17\cdot 87\cdot 100}{4\cdot 510}=\frac{147900}{2040}=\frac{145}{2}$.

12. a) Teorema cosinusului: $B{C}^2=18+49-2\cdot 3\sqrt{2}\cdot 7\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=67-42=25$, deci $BC=5$. b) $R=\frac{5}{2\sin \frac{\pi }{4}}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$. c) $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{2}\cdot 7\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{21}{2}$ și $p=\frac{12+3\sqrt{2}}{2}$, deci $r=\frac{21}{12+3\sqrt{2}}=\frac{7}{4+\sqrt{2}}=\frac{4-\sqrt{2}}{2}$.

13. a) $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\cdot \sin \frac{3\pi }{4}=3\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3$. b) $B{C}^2=8+9-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=17+12=29$, deci $BC=\sqrt{29}$. c) Prima cale: $R=\frac{\sqrt{29}}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{58}}{2}$. A doua: $R=\frac{\sqrt{29}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{\sqrt{58}}{2}$. Aici prima cale e mai scurtă, fiindcă unghiul opus lui $BC$ era dat.

14. Tangenta din $B$ este $BD=4$, deci tangenta din $A$ este $AB-4=6$. Tangenta din $C$ este $DC=9$, deci $AC=6+9=15$. Semiperimetrul este suma celor trei tangente, $4+9+6=19$; control: $\frac{10+13+15}{2}=19$.

15. Nu: diametrul ar fi $60$, mai mic decât latura de $63$, iar o coardă nu depășește diametrul. Calculul: $p=70$, $\mathcal{S}=\sqrt{70\cdot 45\cdot 18\cdot 7}=\sqrt{396900}=630$ și $R=\frac{25\cdot 52\cdot 63}{4\cdot 630}=\frac{65}{2}$; controlul, $63<2R=65$, este îndeplinit.

16. Baza $AB=8$ și înălțimea $6$ dau $\mathcal{S}=24$. Laturile sunt $AB=8$, $AC=\sqrt{40}$, $BC=\sqrt{72}$, deci $R=\frac{8\cdot \sqrt{40}\cdot \sqrt{72}}{4\cdot 24}=\frac{8\cdot 24\sqrt{5}}{96}=2\sqrt{5}$. Punctul $(4,2)$ este la distanța $\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$ de $A$, $\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$ de $B$ și $\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$ de $C$, adică la $2\sqrt{5}$ de fiecare: el este centrul cercului circumscris.

17. $p=117$, iar $\mathcal{S}=\sqrt{117\cdot 72\cdot 32\cdot 13}=\sqrt{3504384}=1872$, deci $r=\frac{1872}{117}=16$. Cea mai mică înălțime cade pe latura cea mai lungă: $\frac{2\cdot 1872}{104}=36$. Diametrul cercului înscris, $32$, este mai mic decât $36$, deci cercul încape.

18. Scrie laturile $b-d$, $b$, $b+d$. Semiperimetrul este $\frac{3b}{2}$, deci $r=\frac{\mathcal{S}}{p}=\frac{2\mathcal{S}}{3b}$. Înălțimea pe latura $b$ este $h_b=\frac{2\mathcal{S}}{b}$, prin urmare $r=\frac{h_b}{3}$. Verificare pe triunghiul cu laturile $3$, $4$, $5$: $r=1$, iar înălțimea pe latura $4$ este $3$.

De reținut

• Cercul înscris atinge fiecare latură, are centrul acolo unde se întâlnesc bisectoarele, iar aria triunghiului este $\mathcal{S}=p\cdot r$, deci $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$, cu $p$ semiperimetrul.
• Din aria cu sinus și teorema sinusurilor rezultă $\mathcal{S}=\frac{abc}{4R}$, adică $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$; când ai o latură și unghiul opus, $R=\frac{a}{2\sin A}$ e mai scurt.
• Cu trei laturi date, drumul este semiperimetrul, aria cu formula lui Heron, apoi $r$ și $R$ din aceeași arie.
• Tangentele din vârfuri la cercul înscris au lungimile $p-a$, $p-b$, $p-c$; în triunghiul dreptunghic ele dau $r=\frac{b+c-a}{2}$, iar ipotenuza este diametrul cercului circumscris, $R=\frac{a}{2}$.
• Un rezultat se controlează fără să refaci calculul: nicio latură nu depășește $2R$, iar $2r$ este mai mic decât fiecare înălțime.

Greșeli frecvente

• Centrul cercului înscris confundat cu centrul de greutate. Punctul în care se întâlnesc medianele e ales drept centru al capacului sau al platformei. Centrul cercului înscris se află la intersecția bisectoarelor; cele două puncte coincid numai în triunghiul echilateral.
• Tangenta luată din vârful greșit. Se scrie că tangenta din $A$ este $p-b$. Tangenta dintr-un vârf este semiperimetrul minus latura opusă acelui vârf; controlul prin suma a două tangente, care trebuie să dea latura dintre ele, prinde imediat greșeala.
• Unitatea pierdută pe drum. Aria în metri pătrați împărțită la semiperimetrul în metri dă o rază în metri, dar în lucrare apare „$r=12$ m²”. Scrie unitatea la fiecare rezultat și verifică dimensiunea: o rază este o lungime.
• Ipotenuza pusă diametru la orice triunghi. Formula $R=\frac{a}{2}$ se aplică și unui triunghi fără unghi drept, cu $a$ latura cea mai lungă. Ea e valabilă numai când unghiul opus lui $a$ este drept; altfel se folosește $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$ sau $R=\frac{a}{2\sin A}$.
• Aria rotunjită prea devreme. Radicalul din formula lui Heron se aproximează la o zecimală, iar abia apoi se împarte la $p$. Rezultatul final pierde precizie; păstrează valoarea exactă sau mai multe zecimale până la ultimul pas.

Aplică acasă

1. Verificarea digitală. Într-un program de geometrie dinamică (GeoGebra are comenzile pentru cercul înscris și pentru cercul prin trei puncte) construiește un triunghi cu vârfuri mobile și afișează $r$, $R$, aria și semiperimetrul. Verifică pentru trei forme diferite că $\frac{\mathcal{S}}{p}$ coincide cu $r$ și că $\frac{abc}{4\mathcal{S}}$ coincide cu $R$, apoi trage un vârf până când centrul cercului circumscris iese din triunghi și notează ce fel de unghi ai obținut.

2. Același perimetru, raze diferite. Pentru triunghiurile cu perimetrul $24$ și laturile $8,8,8$; $6,8,10$; $4,10,10$; $2,11,11$, calculează aria și raza cercului înscris. Ordonează-le după $r$ și explică, folosind $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$, de ce ordinea razelor este chiar ordinea ariilor.

3. Razele în foaia de calcul. Într-o foaie de calcul, pentru triunghiurile isoscele cu baza de $10$ cm și înălțimea $h=1,2,\dots ,30$ cm, calculează latura egală, aria, $r$ și $R$. Desenează cele două raze în funcție de $h$. Pentru ce înălțime este $R$ cel mai mic și ce unghi are atunci triunghiul în vârf?

Pentru părinți și profesori

Lecția adună într-o singură idee trei formule din unitatea de trigonometrie: aria cu sinus, teorema sinusurilor și formula lui Heron. Pentru elevul de științe ale naturii, cele două raze sunt mărimi cu sens fizic imediat — cea mai mare piesă rotundă dintr-o placă, punctul egal depărtat de trei senzori — iar lecția le tratează ca atare, cu unități de măsură și cu interpretarea poziției centrului. Accentul cade pe alegerea drumului potrivit datelor, cerută de competența IX.CS.5.7, și pe controlul rezultatului prin verificări simple; o inegalitate generală între cele două raze nu face parte din lecție.

De urmărit în caiet: semiperimetrul, nu perimetrul; formula scrisă înainte de numere; unitatea la fiecare rezultat; controlul cu latura cea mai lungă și cu înălțimea cea mai mică. Întrebări de control: „Ce punct al triunghiului este egal depărtat de laturi și ce punct este egal depărtat de vârfuri?”; „Când e mai scurt $R=\frac{a}{2\sin A}$ decât $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$?”; „Cât măsoară tangenta dusă din vârful $A$?”; „De ce poate fi centrul cercului circumscris în afara triunghiului, dar centrul cercului înscris niciodată?”. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: raza cercului înscris și raza cercului circumscris are alt parcurs și alte exerciții. Lecția vine pe traseul M2 după perpendicularitatea cu produsul scalar, iar pasul următor al unității este teorema bisectoarei și lungimi în triunghi. Unitatea se verifică cu testul de supliment despre produsul scalar și formulele trigonometrice.

Programa și examenul. Raza cercului înscris nu se află în programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027; raza cercului circumscris apare însă în anexa 28, la clasa a IX-a, printre activitățile competenței IX.CS.5.7, iar la proba MAT_P2 de la bacalaureatul 2030 ea ține de domeniul „Geometrie. Trigonometrie”, prin teorema sinusurilor. Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: elevii aflați acum în clasele X–XII învață după programa veche și dau proba M_șt-nat pe programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014), care cere la clasa a IX-a „calcularea razei cercului înscris și a razei cercului circumscris în triunghi”. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, cerința a șasea de la Subiectul I dă raza cercului circumscris al unui triunghi dreptunghic și cere o latură; raza cercului înscris nu apare în model, iar exercițiile marcate aici sunt construite după programa de examen. Programa de examen din 2014 prevedea patru ore de matematică pe săptămână la clasa a IX-a, iar planurile-cadru actuale (OMEC 4350/2025) prevăd trei. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Întrebări frecvente

Ce diferă la razele cercurilor între M2 și mate-info (M1)? La mate-info (M1), ambele raze fac parte din programa clasei a IX-a. La științe ale naturii (M2), raza cercului circumscris e în programa nouă, prin teorema sinusurilor, iar raza cercului înscris rămâne doar în programa de examen pentru 2027–2029, de aceea lecția e în supliment. Lecția M2 insistă pe alegerea drumului și pe controlul rezultatului, cu contexte din științe.

La ce subiect apar razele cercurilor la bacalaureatul M2? Programa de examen le cere la clasa a IX-a, printre aplicațiile trigonometriei în geometrie, iar subiectul I are cerințe scurte de geometrie. În modelul oficial publicat pentru 2026, cerința a șasea dă raza cercului circumscris al unui triunghi dreptunghic și cere o latură. Raza cercului înscris nu apare în acel model; exercițiile marcate în lecție sunt construite după programă.

Ce se întâmplă cu razele când triunghiul devine foarte turtit? Dacă un unghi se apropie de $180^{\circ }$, vârful lui ajunge aproape pe latura opusă, iar aria scade spre $0$, deși laturile rămân de mărime obișnuită. Atunci $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$ scade și el spre $0$, iar $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$ crește oricât de mult: cercul care trece prin trei puncte aproape coliniare este uriaș, iar controlul „nicio latură nu depășește $2R$” rămâne adevărat.

Când folosesc R = a / (2 sin A) și când R = abc / (4S)? După date. Când cunoști o latură împreună cu unghiul din fața ei, prima formulă e o singură împărțire. Dacă știi cele trei laturi, calculezi aria cu formula lui Heron și folosești a doua formulă, care îți servește și pentru raza cercului înscris. Dacă știi două laturi și unghiul dintre ele, afli întâi a treia latură și aria.

Ce sunt lungimile p − a, p − b și p − c? Sunt lungimile tangentelor duse din vârfuri la cercul înscris: din vârful $A$ pleacă două tangente egale, de lungime $p-a$, unde $a$ este latura opusă lui $A$, iar la fel pentru $B$ și $C$. Suma a două tangente vecine dă latura dintre ele, iar în triunghiul dreptunghic tangenta din vârful unghiului drept este chiar raza $r$.

Unde se află centrul cercului circumscris al unui triunghi obtuzunghic? În afara triunghiului, de partea laturii celei mai lungi, opusă unghiului obtuz. În triunghiul ascuțitunghic centrul e în interior, iar în cel dreptunghic se află chiar la mijlocul ipotenuzei. Centrul cercului înscris, în schimb, este întotdeauna în interior, fiindcă cercul trebuie să atingă toate cele trei laturi dinăuntru.