Cum aflu raza circumscrisă din laturi și arie?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Razele cercurilor unui triunghi

Fiecare triunghi are două cercuri „ale lui”. Cel înscris stă înăuntru și atinge toate laturile; centrul lui se află pe bisectoare, iar raza $r$ este distanța până la fiecare latură. Cel circumscris trece prin vârfuri; centrul lui se află pe mediatoare, iar raza $R$ apare în teorema sinusurilor.

Ambele raze se leagă de arie. Tăind triunghiul în trei bucăți cu vârful comun în centrul cercului înscris, obții $\mathcal{S}=p\cdot r$, cu $p$ semiperimetrul. Punând aria cu sinus lângă teorema sinusurilor, obții $\mathcal{S}=\frac{abc}{4R}$. Dacă știi doar laturile, calculezi aria cu formula lui Heron și de aici ambele raze.

Tangentele duse din vârfuri la cercul înscris măsoară $p-a$, $p-b$ și $p-c$, unde fiecare latură este cea opusă vârfului. Când triunghiul are un unghi drept, de aici rezultă $r=\frac{b+c-a}{2}$, iar cercul circumscris are ipotenuza drept diametru. Două controale rapide prind greșelile: nicio latură nu depășește $2R$, iar diametrul cercului înscris e mai mic decât fiecare înălțime. La profilul științe ale naturii, raza cercului înscris ține de suplimentul pentru examenul 2027–2029.

De reținut

• $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$ și $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$
• în triunghiul dreptunghic: $r=\frac{b+c-a}{2}$, $R=\frac{a}{2}$
• $2r$ este mai mic decât orice înălțime

Greșeala tipică

Se scrie $R=\frac{abc}{4p}$, cu semiperimetrul în loc de arie; la numitor stă de patru ori aria, iar semiperimetrul apare doar în formula razei înscrise.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care formulă dă raza cercului înscris într-un triunghi cu aria $\mathcal{S}$ și laturile $a$, $b$, $c$?

   • a) $r=\frac{\mathcal{S}}{a+b+c}$
   • b) $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$, cu $p=\frac{a+b+c}{2}$
   • c) $r=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$
   • d) $r=\frac{2\mathcal{S}}{p}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$, cu $p=\frac{a+b+c}{2}$

   Din $\mathcal{S}=p\cdot r$, cu $p$ semiperimetrul.

2. Triunghiul cu laturile $21$, $89$ și $100$ are aria $840$. Cât este raza cercului înscris?

   • a) $16$
   • b) $4$
   • c) $\frac{21}{2}$
   • d) $8$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $8$

   $p=\frac{21+89+100}{2}=105$, deci $r=\frac{840}{105}=8$.

3. În triunghiul $ABC$ cu $BC=21$, $CA=85$ și $AB=104$, cât măsoară tangenta dusă din vârful $B$ la cercul înscris?

   • a) $84$
   • b) $1$
   • c) $20$
   • d) $105$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $20$

   $p=105$, iar tangenta din $B$ este $p-CA=105-85=20$; control: tangenta din $A$ este $84$, iar $84+20=104=AB$.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: R egal abc supra 4S · raza cercului circumscris din arie · formula razei circumscrise cu produsul laturilor · raza circumscrisă din trei laturi