Teorema sinusurilor și raza cercului circumscris (M2, științe ale naturii)

Trei puncte care nu stau pe aceeași dreaptă determină un singur cerc. Un geolog care măsoară trei puncte de pe marginea unui crater și un fizician care vede trei urme lăsate de o particulă pe o traiectorie circulară pun aceeași întrebare: cât este raza acelui cerc? În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), lecția arată că răspunsul stă chiar în teorema sinusurilor: valoarea comună a rapoartelor dintre laturi și sinusurile unghiurilor opuse este diametrul cercului care trece prin cele trei vârfuri. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă de examen cere calcularea razei cercului circumscris, iar modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o cerință cu un triunghi dreptunghic a cărui rază a cercului circumscris este dată. Pentru cei care au început clasa a IX-a în 2026, matematica devine în 2030 o probă la alegere la științe ale naturii, iar cine alege proba MAT_P2 găsește tema în domeniul „Geometrie. Trigonometrie”.

Lecția continuă direct teorema sinusurilor: enunț și aplicații la M2, unde valoarea comună a rapoartelor a rămas fără nume. Folosim și aflarea cosinusului din trei laturi, din teorema cosinusului pentru aflarea unghiurilor la M2, și trecerea de la cosinus la sinus din formula fundamentală a trigonometriei la M2.

Ce vei învăța

• Vei defini cercul care trece prin vârfurile unui triunghi și vei justifica de ce el este unic.
• Vei scrie forma completă a teoremei sinusurilor, în care valoarea comună a rapoartelor este diametrul $2R$.
• Vei explica, prin unghiul la centru, de ce în teoremă apare diametrul și nu raza.
• Vei calcula raza din o latură și unghiul opus ei, iar o latură din rază și unghiul opus.
• Vei calcula raza când cunoști doar cele trei laturi, pe lanțul laturi, cosinus, sinus, rază.
• Vei verifica o rază calculată cu un program de geometrie și vei controla orice rezultat cu regula că nicio latură nu depășește diametrul.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este cercul circumscris unui triunghi?

Cercul circumscris al unui triunghi este unicul cerc pe care se află toate cele trei vârfuri ale triunghiului. Notăm centrul cu $O$ și raza cu $R$.

Existența și unicitatea vin din geometria clasei a VI-a. Centrul trebuie să fie la aceeași distanță de toate vârfurile, deci se află pe mediatoarea fiecărei laturi; două mediatoare ale unui triunghi se taie într-un singur punct, iar a treia trece și ea prin acel punct. Construcția o găsești în lecția de clasa a VI-a despre mediatoarele triunghiului și cercul circumscris.

Poziția centrului depinde de natura triunghiului, pe care o citești din laturi ca în lecția anterioară a traseului: centrul este în interior la triunghiul ascuțitunghic, la mijlocul ipotenuzei la cel dreptunghic și în exterior la cel obtuzunghic. În această lecție nu mai construim centrul; aflăm raza direct din laturi și unghiuri.

2. Ce leagă teorema sinusurilor de acest cerc?

Teorema sinusurilor, forma completă. În orice triunghi $ABC$, cu $R$ raza cercului circumscris,

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R.$$

Valoarea comună a rapoartelor, despre care am spus în lecția trecută că este o lungime, este diametrul cercului circumscris. Diametrul, nu raza: diferența dintre cele două este factorul $2$, iar el trebuie scris de fiecare dată.

Din această egalitate se citesc două formule de lucru. Raza dintr-o pereche latură–unghi opus: $R=\frac{a}{2\sin A}$. Latura dintr-o rază și unghiul opus ei: $a=2R\sin A$. Ambele folosesc o singură pereche, fără nimic altceva din triunghi.

3. De ce apare diametrul?

Pornim de la o proprietate a unghiului înscris, din lecția de clasa a VII-a despre unghiul înscris în cerc: unghiul înscris $A$ este jumătate din unghiul la centru care cuprinde același arc $BC$. Dacă $A$ este ascuțit, unghiul $BOC$ are măsura $2A$.

Triunghiul $BOC$ este isoscel, cu $OB=OC=R$. Perpendiculara din $O$ pe coarda $BC$ o împarte în două jumătăți egale și împarte unghiul de la centru în două unghiuri de câte $A$. În triunghiul dreptunghic format de $O$, $B$ și mijlocul coardei, jumătatea de coardă stă în fața unghiului $A$, iar ipotenuza este $R$. Așadar jumătatea coardei este $R\sin A$, iar coarda întreagă este $a=2R\sin A$.

Dacă unghiul $A$ este obtuz, unghiul la centru se măsoară pe cealaltă parte și are $2\pi -2A$, jumătatea lui este $\pi -A$, iar $\sin (\pi -A)=\sin A$. Rezultatul rămâne același. Între cele două situații stă unghiul drept: unghiul la centru devine unghi alungit, coarda $BC$ trece prin centru și este chiar un diametru, iar formula dă $a=2R$, pentru că $\sin \frac{\pi }{2}=1$. Programa îți cere să aplici relația; raționamentul de aici îți arată de ce factorul este tocmai diametrul.

4. Cum verifici relația pe un cerc desenat în reper?

Punctele $A(0,5)$, $B(-3,-4)$ și $C(3,-4)$ verifică toate ecuația $x^2+y^2=25$, deci se află pe cercul cu centrul în origine și raza $5$, cum ai văzut la ecuația cercului la M2. Triunghiul $ABC$ are cercul circumscris cunoscut dinainte, așa că putem controla teorema.

Latura $BC$ este orizontală, cu lungimea $6$. Celelalte două laturi sunt egale: $A{B}^2=A{C}^2=9+81=90$. Din teorema cosinusului, $\cos A=\frac{90+90-36}{2\cdot 90}=\frac{144}{180}=\frac{4}{5}$, iar unghiul fiind ascuțit, $\sin A=\frac{3}{5}$. Atunci $\frac{BC}{\sin A}=\frac{6}{\frac{3}{5}}=10$, exact diametrul cercului de rază $5$.

A doua pereche confirmă rezultatul. Unghiul din $C$ are $\cos C=\frac{90+36-90}{2\cdot \sqrt{90}\cdot 6}=\frac{1}{\sqrt{10}}$, deci $\sin C=\frac{3}{\sqrt{10}}$, iar $\frac{AB}{\sin C}=\frac{\sqrt{90}\cdot \sqrt{10}}{3}=\frac{30}{3}=10$. Două perechi diferite, același diametru, cum cere unicitatea cercului.

5. Cum afli raza dintr-o singură pereche?

Fie $a=9$ și $A=\frac{3\pi }{4}$, un unghi obtuz. Cum $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, avem $2R=\frac{9}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=9\sqrt{2}$, deci $R=\frac{9\sqrt{2}}{2}\approx 6,36$.

Restul triunghiului nu contează: toate triunghiurile cu o latură de $9$ și unghiul opus de $\frac{3\pi }{4}$ au același cerc circumscris, fiindcă vârful $A$ se poate plimba pe arcul mic dintre $B$ și $C$ fără ca unghiul să se schimbe. Un unghi opus mare, apropiat de $\pi$, are sinusul mic și dă o rază mare pentru o latură fixată. La fel se întâmplă cu un unghi foarte mic: coarda de $9$ văzută sub un unghi îngust aparține unui cerc foarte mare.

6. Ce faci când știi doar cele trei laturi?

Nicio pereche nu este completă, deci o construim. Pentru triunghiul cu laturile $6$, $7$ și $11$ alegem unghiul din fața laturii de $11$ și îi aflăm cosinusul: $\cos =\frac{36+49-121}{2\cdot 6\cdot 7}=-\frac{36}{84}=-\frac{3}{7}$. Unghiul este obtuz, dar sinusul lui este pozitiv, ca al oricărui unghi de triunghi, iar formula fundamentală dă ${\sin }^2=1-\frac{9}{49}=\frac{40}{49}$, deci $\sin =\frac{2\sqrt{10}}{7}$.

Raza urmează dintr-o împărțire: $R=\frac{11}{2\cdot \frac{2\sqrt{10}}{7}}=\frac{77}{4\sqrt{10}}=\frac{77\sqrt{10}}{40}\approx 6,09$. Același rezultat iese și din unghiul opus laturii de $6$: cosinusul lui este $\frac{49+121-36}{2\cdot 7\cdot 11}=\frac{67}{77}$, sinusul este $\frac{12\sqrt{10}}{77}$, iar $\frac{6}{2\cdot \frac{12\sqrt{10}}{77}}=\frac{77}{4\sqrt{10}}$. Lanțul are patru verigi: laturi, cosinus, sinus, rază. Poți alege oricare unghi, dar unghiul din fața laturii celei mai lungi îți spune în plus natura triunghiului.

7. Cât de lungă poate fi o latură?

Din $a=2R\sin A$ și $\sin A\le 1$ rezultă $a\le 2R$: nicio latură a triunghiului nu depășește diametrul cercului circumscris. Egalitatea are loc doar când $\sin A=1$, adică atunci când unghiul opus este drept; atunci latura este chiar un diametru, iar triunghiul este dreptunghic, cazul pe care l-ai întâlnit în recapitularea trigonometriei în triunghiul dreptunghic la M2.

Același fapt, spus despre cerc, îl știi din clasa a VI-a: dintre toate coardele unui cerc, cea mai lungă este diametrul. Inegalitatea este un control foarte ieftin. În exemplul din §6, latura cea mai lungă, $11$, trebuie să fie cel mult $2R\approx 12,17$, și este. O rază calculată mai mică decât jumătatea celei mai lungi laturi arată sigur o greșeală: fie ai uitat factorul $2$, fie ai folosit alt unghi decât cel opus laturii.

8. Cum verifici raza cu un program de geometrie?

Programa clasei cere ca raza cercului circumscris să fie aflată prin metoda cea mai potrivită datelor și verificată cu aplicații digitale. Într-un program de geometrie dinamică introduci cele trei vârfuri, desenezi cercul prin trei puncte, apoi citești în fereastra algebrică ecuația lui, de forma $(x-p{)}^2+(y-q{)}^2=r^2$. Raza este rădăcina pătrată a numărului din dreapta, nu numărul însuși.

Verificarea are sens doar dacă datele sunt aceleași: coordonatele introduse trebuie să fie exact cele din problemă, iar rezultatul programului, dat cu zecimale, se compară cu valoarea exactă aproximată la același număr de zecimale. Programul nu înlocuiește calculul, ci îl confirmă sau îți arată că ai greșit o pereche.

Ce înseamnă „metoda cea mai potrivită”? Depinde de date. Dacă enunțul îți dă o latură și unghiul opus ei, raza iese dintr-o singură împărțire. Dacă îți dă trei laturi, parcurgi lanțul cu cosinusul. Dacă îți dă vârfurile în reper, poți calcula laturile cu formula distanței și apoi cosinusul unui unghi, sau poți căuta centrul ca punct egal depărtat de vârfuri; primul drum cere mai puține ecuații, al doilea îți dă și centrul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Raza dintr-o latură și unghiul opus

În triunghiul $ABC$, $BC=15$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. Calculează raza cercului circumscris.

Rezolvare. Latura $BC$ stă în fața unghiului $A$, deci perechea $(BC,A)$ este completă:

$$2R=\frac{BC}{\sin A}=\frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3},R=5\sqrt{3}\approx 8,66.$$

Control: $BC=15$ este mai mică decât diametrul $10\sqrt{3}\approx 17,32$. Celelalte laturi și unghiuri nu au fost necesare: orice alt triunghi cu o latură de $15$ și unghiul opus de $60^{\circ }$ are un cerc circumscris de aceeași rază.

Exemplul 2 — Laturi din rază

Vârfurile triunghiului $ABC$ se află pe un cerc cu raza $R=6$, iar unghiurile lui au $A=\frac{\pi }{3}$ și $B=\frac{7\pi }{12}$. Calculează $BC$ și, folosind $\sin 75^{\circ }\approx 0,9659$, latura $AC$.

Rezolvare. Fiecare latură se obține din unghiul opus ei: $BC=2R\sin A=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\approx 10,39$. Unghiul $B$ are $105^{\circ }$, iar $\sin 105^{\circ }=\sin 75^{\circ }$, deci $AC=2R\sin B=12\sin 75^{\circ }\approx 11,59$.

Al treilea unghi este $C=\pi -\frac{\pi }{3}-\frac{7\pi }{12}=\frac{\pi }{12}$, foarte mic, iar latura $AB$ din fața lui iese scurtă: $AB=12\sin 15^{\circ }\approx 3,11$, cu $\sin 15^{\circ }\approx 0,2588$ din tabel. Ordinea $3,11<10,39<11,59$ respectă ordinea unghiurilor $\frac{\pi }{12}<\frac{\pi }{3}<\frac{7\pi }{12}$, iar toate trei laturile rămân sub diametrul $12$.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AC=12$, $m(\angle A)=28^{\circ }$ și $m(\angle B)=112^{\circ }$, cu $\sin 28^{\circ }\approx 0,4695$ și $\sin 68^{\circ }\approx 0,9272$. Un elev scrie: „$R=\frac{AC}{2\sin A}\approx \frac{12}{0,939}\approx 12,78$”. Unde greșește și cât este raza?

Rezolvare. Latura $AC$ stă în fața unghiului $B$, nu a unghiului $A$. Elevul a împerecheat o latură cu un unghi care o atinge. Greșeala se vede și fără formulă: cu raza lui, latura din fața unghiului $A$ ar avea lungimea $2\cdot 12,78\cdot 0,4695\approx 12$, egală cu $AC$, deși unghiul $A$ este mult mai mic decât $B$.

Corect, perechea este $(AC,B)$, cu $\sin 112^{\circ }=\sin 68^{\circ }$: $R=\frac{AC}{2\sin B}\approx \frac{12}{2\cdot 0,9272}\approx 6,47$. Controlul: $AC=12\le 2R\approx 12,94$, iar latura din fața lui $A$ iese acum $2R\sin A\approx 6,08$, mai scurtă decât $AC$, cum cere ordinea unghiurilor.

Exemplul 4 — Raza unui crater

Pe marginea unui crater de impact, aproape circulară, se măsoară trei puncte $A$, $B$ și $C$, aflate la aceeași altitudine: $AB=0,9$ km, $BC=1,1$ km și $AC=1,3$ km. Estimează raza craterului.

Rezolvare. Latura cea mai lungă, $AC$, stă în fața unghiului $B$. Cosinusul lui: $\cos B=\frac{0,81+1,21-1,69}{2\cdot 0,9\cdot 1,1}=\frac{0,33}{1,98}=\frac{1}{6}$. Unghiul este ascuțit, iar $\sin B=\sqrt{1-\frac{1}{36}}=\frac{\sqrt{35}}{6}$.

$$R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{1,3}{2\cdot \frac{\sqrt{35}}{6}}=\frac{3,9}{\sqrt{35}}\approx 0,66\text{km}.$$

Unghiul din fața laturii celei mai lungi este ascuțit, deci triunghiul măsurat este ascuțitunghic, iar centrul craterului cade în interiorul lui, ceea ce face estimarea mai stabilă decât pentru trei puncte înghesuite pe un arc scurt. Craterul ar avea un diametru de aproximativ $1,32$ km, ordinul de mărime al craterului Barringer din Arizona, de aproximativ $1,2$ km. Modelul presupune că marginea este un cerc și că cele trei puncte sunt la aceeași înălțime; cu mai multe puncte măsurate, geologii compară razele obținute din triplete diferite.

Exemplul 5 — Verificarea cu GeoGebra

Un elev introduce într-un program de geometrie punctele $A(1,2)$, $B(7,2)$ și $C(3,6)$, desenează cercul prin cele trei puncte și citește ecuația $(x-4{)}^2+(y-3{)}^2=10$. Verifică prin calcul raza cercului circumscris triunghiului $ABC$.

Rezolvare. Latura $AB$ este orizontală, cu $AB=6$, și stă în fața unghiului $C$. Celelalte laturi: $CA=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$ și $CB=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$. Teorema cosinusului pentru unghiul $C$ dă $\cos C=\frac{20+32-36}{2\cdot 2\sqrt{5}\cdot 4\sqrt{2}}=\frac{16}{16\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$, iar $\sin C=\sqrt{1-\frac{1}{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$.

Atunci $R=\frac{AB}{2\sin C}=\frac{6}{\frac{6}{\sqrt{10}}}=\sqrt{10}\approx 3,16$. Ecuația afișată are în dreapta $10=R^2$, deci raza programului este tot $\sqrt{10}$: calculul și programul coincid. Dacă programul afișează raza cu zecimale, vei vedea $3,16$, iar comparația se face cu aproximarea valorii exacte la două zecimale. Punctul $(4,3)$ este la distanța $\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ de $A$, confirmarea finală.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=2$, $AC=11$ și $A=\frac{2\pi }{3}$. Arătați că $BC=7\sqrt{3}$ și calculați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$.

Rezolvare. Unghiul $A$ este cuprins între laturile date, deci pornim cu teorema cosinusului la M2: $B{C}^2=4+121-2\cdot 2\cdot 11\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=125+22=147$, deci $BC=\sqrt{147}=7\sqrt{3}$. Acum perechea $(BC,A)$ este completă, iar $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=7.$$

Control: latura cea mai lungă, $BC\approx 12,12$, stă în fața unghiului obtuz și nu depășește diametrul, egal cu $14$. Modelul oficial din 2026 folosește raza cercului circumscris într-un triunghi dreptunghic; aici triunghiul este obtuzunghic, iar lanțul are doi pași: latura lipsă, apoi raza. Enunțul este construit de noi în stilul Subiectului I, nu preluat dintr-un subiect oficial.

Să exersăm

Scrie de fiecare dată perechea latură–unghi opus pe care o folosești și verifică la final că latura cea mai lungă nu depășește $2R$. Rezultatele iraționale rămân în formă exactă.

1. În triunghiul $ABC$, $a=13$ și $m(\angle A)=40^{\circ }$. Calculează $R$, folosind $\sin 40^{\circ }\approx 0,6428$.

2. Ce rază are cercul care trece prin vârfurile triunghiului $ABC$, dacă $BC=14$ și $m(\angle A)=100^{\circ }$? Folosește $\sin 80^{\circ }\approx 0,9848$.

3. Un triunghi isoscel are laturile $17$, $17$ și $16$. Calculează raza cercului circumscris.

4. Cercul circumscris triunghiului $ABC$ are raza $R=7$, iar $m(\angle A)=70^{\circ }$. Calculează $a$, folosind $\sin 70^{\circ }\approx 0,9397$.

5. Cercul circumscris triunghiului $ABC$ are raza $R=2,5$, iar $m(\angle A)=115^{\circ }$. Calculează $a$, folosind $\sin 65^{\circ }\approx 0,9063$.

6. Un triunghi echilateral are latura de $10$. Ce rază are cercul care trece prin vârfurile lui?

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Centrul cercului circumscris triunghiului cu laturile $4$, $6$ și $9$ se află în interiorul triunghiului.”

8. Calculează raza cercului circumscris triunghiului cu laturile $5$, $8$ și $9$.

9. Un triunghi dreptunghic are catetele de $39$ și $80$. Calculează raza cercului circumscris.

10. În triunghiul $ABC$, $a=6$ și $\sin A=\frac{3}{4}$. Calculează $R$.

11. (Problemă aplicată.) Într-un detector, urma unei particule încărcate este un arc de cerc pe care se înregistrează trei puncte $A$, $B$ și $C$, cu $B$ între celelalte două. Se măsoară $AC=7,5$ cm și $m(\angle B)=130^{\circ }$. Folosind $\sin 50^{\circ }\approx 0,7660$, calculează raza traiectoriei.

12. Triunghiul isoscel $ABC$, cu $AB=AC$ și $A=\frac{5\pi }{6}$, are cercul circumscris de rază $R=4$. Calculează $BC$ și, folosind $\sin 15^{\circ }\approx 0,2588$, latura $AB$.

13. Triunghiurile $ABC$ și $DEF$ sunt înscrise în același cerc. În $ABC$, $BC=7$ și $A=\frac{3\pi }{4}$; în $DEF$, $E=\frac{\pi }{3}$. Calculează latura $DF$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AC=3$ și $B=\frac{2\pi }{3}$. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este egală cu $\sqrt{3}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$, cu $B=\frac{3\pi }{4}$, a cărui rază a cercului circumscris este $R=9$. Arătați că $AC=9\sqrt{2}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $BC=14\sqrt{3}$, $A=\frac{\pi }{3}$ și $AB=22$. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este egală cu $14$ și calculați $\sin C$.

17. Arată că, dacă într-un triunghi $ABC$ are loc ${\sin }^{2}A={\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C$, atunci triunghiul este dreptunghic.

18. (Provocare.) O coardă $AB$ de lungime $8$ se vede dintr-un punct $M$ al cercului sub un unghi de $\frac{\pi }{3}$. Calculează raza cercului și unghiul sub care se vede coarda dintr-un punct $N$ aflat pe celălalt arc determinat de $A$ și $B$.

Răspunsuri și explicații

1. $2R=\frac{a}{\sin A}\approx \frac{13}{0,6428}\approx 20,22$, deci $R\approx 10,11$. Control: $a=13$ este sub diametru.

2. $\sin 100^{\circ }=\sin 80^{\circ }\approx 0,9848$, deci $2R=\frac{BC}{\sin A}\approx \frac{14}{0,9848}\approx 14,22$ și $R\approx 7,11$. Unghiul obtuz are aici sinusul aproape de $1$, deci diametrul abia depășește latura.

3. Alegem unghiul din fața unei laturi de $17$: $\cos =\frac{289+256-289}{2\cdot 17\cdot 16}=\frac{256}{544}=\frac{8}{17}$, deci $\sin =\sqrt{1-\frac{64}{289}}=\frac{15}{17}$. Atunci $R=\frac{17}{2\cdot \frac{15}{17}}=\frac{289}{30}\approx 9,63$. Alegerea unghiului a scurtat calculul: numărătorul a ieșit chiar $16^2$.

4. $a=2R\sin A=14\sin 70^{\circ }\approx 13,16$, mai puțin decât diametrul $14$, cum trebuie pentru un unghi care nu este drept.

5. $\sin 115^{\circ }=\sin 65^{\circ }\approx 0,9063$, deci $a=2R\sin A\approx 5\cdot 0,9063\approx 4,53$, sub diametrul $5$.

6. Toate unghiurile au $\frac{\pi }{3}$, deci $2R=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{20}{\sqrt{3}}$ și $R=\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}\approx 5,77$. În triunghiul echilateral centrul cercului circumscris este și centrul de greutate, aflat la două treimi din mediană; mediana are $5\sqrt{3}$, iar două treimi din ea dau aceeași rază.

7. Fals. Latura cea mai lungă este $9$, iar $4^2+6^2=52<81$, deci triunghiul este obtuzunghic. Centrul cercului circumscris unui triunghi obtuzunghic se află în exteriorul triunghiului, de partea laturii celei mai lungi.

8. Unghiul din fața laturii de $9$ are $\cos =\frac{25+64-81}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{8}{80}=\frac{1}{10}$, deci $\sin =\sqrt{1-\frac{1}{100}}=\frac{3\sqrt{11}}{10}$. Atunci $R=\frac{9}{2\cdot \frac{3\sqrt{11}}{10}}=\frac{15}{\sqrt{11}}=\frac{15\sqrt{11}}{11}\approx 4,52$. Control: $9\le 2R\approx 9,05$.

9. Ipotenuza este $\sqrt{39^2+80^2}=\sqrt{1521+6400}=\sqrt{7921}=89$. Unghiul opus ei este drept, deci $2R=89$ și $R=44,5$: teorema regăsește faptul din recapitularea trigonometriei în triunghiul dreptunghic la M2.

10. $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{6}{2\cdot \frac{3}{4}}=4$. Nu ai nevoie de măsura unghiului $A$: sinusul lui este suficient, iar diametrul $8$ depășește, cum trebuie, latura $6$.

11. Latura $AC$ stă în fața unghiului $B$, iar $\sin 130^{\circ }=\sin 50^{\circ }\approx 0,7660$. Raza traiectoriei este $R=\frac{AC}{2\sin B}\approx \frac{7,5}{1,532}\approx 4,90$ cm. Pentru fizician, o rază mai mare înseamnă, în același câmp magnetic și pentru aceeași sarcină, o particulă cu impuls mai mare.

12. $BC=2R\sin A=8\cdot \frac{1}{2}=4$. Unghiurile de la bază au câte $\frac{\pi }{12}$, adică $15^{\circ }$, deci $AB=2R\sin 15^{\circ }=8\sin 15^{\circ }\approx 2,07$. Latura din fața unghiului obtuz este cea mai lungă, iar laturile egale sunt scurte, fiindcă se opun unor unghiuri foarte mici.

13. Cercul comun dă același diametru pentru ambele triunghiuri. Din $ABC$: $2R=\frac{BC}{\sin A}=\frac{7}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=7\sqrt{2}$. În $DEF$, latura $DF$ stă în fața unghiului $E$: $DF=2R\sin E=7\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{6}}{2}\approx 8,57$, sub diametrul $7\sqrt{2}\approx 9,90$.

14. Latura $AC$ stă în fața unghiului $B$, iar $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$: $R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\approx 1,73$. Control: $AC=3$, latura din fața unghiului obtuz, este sub diametrul $2\sqrt{3}\approx 3,46$.

15. Latura $AC$ stă în fața unghiului $B$, iar $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$: $AC=2R\sin B=18\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}$. Latura din fața unghiului obtuz este cea mai lungă a triunghiului și rămâne sub diametrul $18$.

16. Latura $BC$ stă în fața unghiului $A$, deci perechea $(BC,A)$ este completă: $R=\frac{14\sqrt{3}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=14$. Latura $AB$ stă în fața unghiului $C$, deci $\sin C=\frac{AB}{2R}=\frac{22}{28}=\frac{11}{14}$. Spre deosebire de Exemplul 6, aici nu e nevoie de teorema cosinusului: perechea completă este dată direct.

17. Din $a=2R\sin A$, $b=2R\sin B$ și $c=2R\sin C$, egalitatea dată, înmulțită cu $4R^2$, devine $a^2=b^2+c^2$. Prin reciproca teoremei lui Pitagora, unghiul $A$ este drept, deci triunghiul este dreptunghic.

18. Triunghiul $ABM$ are cercul dat drept cerc circumscris, deci $2R=\frac{AB}{\sin \frac{\pi }{3}}=\frac{16}{\sqrt{3}}$ și $R=\frac{8\sqrt{3}}{3}\approx 4,62$. Unghiul din $M$ este jumătate din arcul $AB$ pe care nu se află $M$, iar unghiul din $N$ este jumătate din celălalt arc. Cele două arce formează împreună tot cercul, deci unghiul din $N$ este $\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$. Același sinus dă aceeași rază, cum trebuie.

De reținut

• Prin vârfurile oricărui triunghi trece un singur cerc, cel circumscris; centrul lui este punctul comun al mediatoarelor.
• Valoarea comună a rapoartelor din teorema sinusurilor este $2R$: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, adică diametrul, explicat prin unghiul la centru, dublul unghiului înscris.
• Din o singură pereche: $R=\frac{a}{2\sin A}$ și, invers, $a=2R\sin A$; când știi doar laturile, parcurgi lanțul laturi, cosinus, sinus, rază.
• Controlul de bază: $a\le 2R$ pentru orice latură, cu egalitate doar în fața unui unghi drept; unghiurile suplementare dau aceeași rază pentru aceeași latură.
• Raza citită dintr-o ecuație de cerc $(x-p{)}^2+(y-q{)}^2=r^2$ este rădăcina numărului din dreapta; verificarea digitală confirmă calculul, nu îl înlocuiește.

Greșeli frecvente

• Cosinusul pus în locul sinusului. După ce teorema cosinusului a dat $\cos B=\frac{1}{6}$, unii elevi scriu direct $R=\frac{AC}{2\cos B}$. Pasul prin formula fundamentală, care dă sinusul, nu se poate sări: în formula razei intră numai sinusul.
• Numărul din ecuația cercului luat drept rază. Din $(x-4{)}^2+(y-3{)}^2=10$ nu rezultă $R=10$, ci $R=\sqrt{10}$. Numărul din dreapta ecuației este pătratul razei.
• Originea luată drept centru. Când vârfurile sunt date în reper, raza nu este distanța de la origine la un vârf decât dacă centrul chiar este originea. Pentru $A(1,2)$, distanța până la origine este $\sqrt{5}$, fără legătură cu raza $\sqrt{10}$ a cercului prin $A$, $B$ și $C$.
• Media a două raze diferite. Dacă două perechi latură–unghi dau raze diferite pentru același triunghi, una dintre ele este greșită, pentru că cercul circumscris este unic. Media celor două valori ascunde greșeala în loc s-o repare.
• Unghiul pereche citit din poziția literelor. Unghiul care se împerechează cu latura $AC$ este $B$, cel din fața ei. Cine împerechează latura cu unul dintre unghiurile de la capetele ei, $A$ sau $C$, obține o rază care nu aparține triunghiului.

Aplică acasă

1. Coarda fixă și vârful mobil. Într-un program de geometrie dinamică, desenează un cerc, două puncte fixe $B$ și $C$ pe el și un punct $A$ care se mișcă pe cerc. Afișează lungimea $BC$, măsura unghiului din $A$ și raportul $\frac{BC}{\sin A}$. Mută $A$ pe arcul mare, apoi pe arcul mic, și notează ce se schimbă și ce rămâne constant.
2. Raza unui curcubeu din fotografie. Alege o fotografie cu un curcubeu întreg sau cu un arc mare din el. Marchează trei puncte pe arc, măsoară în pixeli distanțele dintre ele și calculează raza cercului circumscris, în pixeli, pe lanțul laturi, cosinus, sinus, rază. Suprapune apoi un cerc de această rază peste imagine și vezi cât de bine urmărește arcul.
3. Aceeași rază pe trei drumuri. Pentru triunghiul cu laturile $5$, $8$ și $9$ din exercițiul 8, calculează raza pornind, pe rând, de la fiecare dintre cele trei unghiuri. Cele trei rezultate trebuie să coincidă; dacă nu coincid, caută perechea greșită.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie tema teoremei sinusurilor, dând valorii comune a rapoartelor înțelesul ei geometric: diametrul cercului circumscris. La profilul științe ale naturii, raza cercului circumscris este cerută chiar de programa clasei a IX-a, printre activitățile competenței IX.CS.5.7, cu verificare prin aplicații digitale; de aceea lecția are o verificare în reper și un exemplu lucrat cu un program de geometrie. Raza cercului înscris și formula razei din arie aparțin suplementului pentru bacalaureatul M2 din 2027–2029 și nu apar aici. Întrebări bune de control: „Cu ce unghi se împerechează latura $AC$?”; „De ce în formulă apare $2R$?”; „Ce faci dacă știi doar laturile?”; „Cum îți dai seama, fără să refaci calculul, că o rază este prea mică?”. Un elev care a înțeles scrie perechea înainte de formulă, nu sare peste pasul de la cosinus la sinus și controlează fiecare rezultat cu $a\le 2R$. Două dificultăți apar des la această temă. Prima este factorul $2$, pierdut între diametru și rază; ajută să ceri elevului să spună cu voce tare ce număr a obținut, diametrul sau raza. A doua este pasul de la cosinus la sinus, sărit din grabă când datele sunt trei laturi; o schemă scrisă pe margine, laturi, cosinus, sinus, rază, previne aproape toate aceste greșeli.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030, unde competența IX.CS.5.7 cere determinarea lungimii razei cercului circumscris unui triunghi prin metoda potrivită datelor, cu verificare digitală. Pentru generația care a început liceul în 2026, matematica este din 2030 o probă la alegere la științe ale naturii (OME 4138/2026); cine o alege dă proba MAT_P2 (programa din anexa 4.2 la OMEC 5077/2026), unde tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cere explicit calcularea razei cercului circumscris. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I, cerința 6, un triunghi dreptunghic în care raza cercului circumscris este dată și se cere o catetă; exercițiile marcate aici folosesc raza și în triunghiuri oarecare, construite în stilul Subiectului I, nu preluate dintr-un subiect oficial.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: teorema sinusurilor și raza cercului circumscris are alt parcurs și alte exerciții. Pe traseul M2 urmează rezolvarea triunghiului în cazurile LLL și LUL la M2, iar exercițiile de sinteză ale unității sunt în testul M2 de trigonometrie și aplicații în geometrie.

Întrebări frecvente

Ce este diferit la raza cercului circumscris în varianta M2 față de M1?

La științe ale naturii, tema se învață în clasa a IX-a, iar programa cere explicit ca raza să fie verificată cu aplicații digitale. Lecția M2 explică factorul doi prin unghiul la centru, lucrează în reper cu ecuația cercului și aplică raza unor situații din geologie și fizică, cu un exemplu lucrat într-un program de geometrie.

La ce subiect al bacalaureatului M2 apare raza cercului circumscris?

În modelul oficial publicat pentru 2026, cerința a șasea de la Subiectul I dă raza cercului circumscris unui triunghi dreptunghic și cere lungimea unei catete. Programa de examen pentru 2027–2029 cere calcularea razei cercului circumscris în general, deci exercițiile noastre marcate folosesc și triunghiuri oarecare, construite în același stil.

Cum verific raza cu un program de geometrie dinamică?

Introduci exact vârfurile din problemă, desenezi cercul prin trei puncte și citești ecuația lui în fereastra algebrică. Numărul din dreapta ecuației este pătratul razei. Compari rădăcina lui cu valoarea calculată de tine, rotunjită la același număr de zecimale. Dacă diferă, cauți perechea latură–unghi folosită greșit.

Ce fac dacă unghiul opus laturii are 135 sau 150 de grade?

Formula razei rămâne aceeași; ai nevoie doar de sinusul unghiului obtuz, pe care îl afli cu relația $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$ din lecția despre unghiurile obtuze, fără să cauți unghiul în vreun tabel special. Astfel, $\sin 135^{\circ }=\sin 45^{\circ }$ și $\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }$: pentru $135^{\circ }$, raza este aceeași ca pentru un unghi de $45^{\circ }$ opus aceleiași laturi.

De ce nu calculez la această lecție raza din aria triunghiului?

Formula care leagă raza de arie și de produsul laturilor face parte, la științe ale naturii, din suplimentul pentru bacalaureatul M2 din 2027–2029, iar aria cu sinus vine abia peste câteva lecții. Aici lucrezi numai cu teorema sinusurilor, care îți ajunge: o pereche latură–unghi opus dă direct raza.

Cum îmi dau seama că am greșit raza?

Primul control este $a\le 2R$ pentru latura cea mai lungă: o rază mai mică decât jumătate din ea este sigur greșită. Al doilea este să calculezi raza din altă pereche și să obții același număr. Al treilea, pentru date în reper, este să verifici că un punct găsit drept centru este la distanța $R$ de toate vârfurile.