Care sunt formulele de calcul prescurtat?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Calcul algebric: formule și descompuneri

Trei la număr, iar toate se citesc în ambele sensuri: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ și $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ . De la stânga spre dreapta desfaci parantezele, de la dreapta spre stânga strângi termenii într-un produs. Primele două au trei termeni, a treia doar doi. Cea mai des uitată bucată este dublul produsului de la mijloc, care face diferența dintre o dezvoltare corectă și una greșită.

Tot calculul algebric de clasa a VIII-a se sprijină pe o singură idee: aceleași formule se citesc în ambele sensuri. Cele trei formule de calcul prescurtat,

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}, (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}, (a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2},$

servesc și la dezvoltare (desfaci paranteza), și la descompunere (strângi termenii într-un produs). La descompunere respecți mereu ordinea: întâi factorul comun, apoi formulă sau grupare, și duci lucrul până la capăt — de exemplu $2 x^{3} - 18 x = 2 x (x^{2} - 9) = 2 x (x - 3) (x + 3)$ , nu te oprești la primul pas. Nu uita niciodată dublul produs $2 ab$ : $(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ . Stăpânind aceste automatisme recunoști rapid tiparul potrivit la orice exercițiu și câștigi puncte sigure la examen.

De reținut

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ și $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$
$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$
descompunerea merge: factor comun, apoi formulă sau grupare, până la capăt

Greșeala tipică

Se aplică formulele doar într-un sens, de la paranteză spre desfășurare. Ele se citesc și invers, iar tocmai citirea inversă rezolvă descompunerile și simplificările din exercițiile de examen.

Exerciții din această mini-lecție

Dezvoltă: $(3 x - 4)^{2}$
- a) $9 x^{2} - 24 x + 16$
- b) $9 x^{2} - 12 x + 16$
- c) $3 x^{2} - 24 x + 16$
- d) $9 x^{2} + 24 x + 16$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $9 x^{2} - 24 x + 16$

$(3 x - 4)^{2} = (3 x)^{2} - 2 \cdot 3 x \cdot 4 + 4^{2} = 9 x^{2} - 24 x + 16$ . Ridici la pătrat tot termenul $3 x$ (nu doar coeficientul), iar dublul produs $2 \cdot 3 x \cdot 4 = 24 x$ apare cu minus, ca la orice diferență.
Restrânge la o formă cât mai simplă expresia $(x + 6)^{2} - (x - 6)^{2}$ .
- a) $24 x$
- b) $12 x$
- c) $72$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $24 x$

Este o diferență de pătrate cu $a = x + 6$ și $b = x - 6$ : $((x + 6) - (x - 6)) ((x + 6) + (x - 6)) = 12 \cdot 2 x = 24 x$ . Nu era nevoie să dezvolți pe brute fiecare pătrat.
Dezvoltă: $(2 x + 5)^{2}$
- a) $4 x^{2} + 20 x + 25$
- b) $4 x^{2} + 10 x + 25$
- c) $2 x^{2} + 20 x + 25$
- d) $4 x^{2} + 25$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $4 x^{2} + 20 x + 25$

$(2 x + 5)^{2} = (2 x)^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot 5 + 5^{2} = 4 x^{2} + 20 x + 25$ . Ridici la pătrat tot termenul $2 x$ , iar dublul produs $2 \cdot 2 x \cdot 5 = 20 x$ apare cu plus, ca la orice sumă.

Întrebări conexe

Ce pași urmez la un exercițiu de examen cu calcul algebric?

Citești toată expresia, scrii condițiile dacă apar fracții, desfaci sau restrângi după formule, reduci termenii asemenea și abia apoi descompui. La final verifici cu o valoare simplă. Ordinea aceasta te scutește de refaceri.

Cum leg formulele de calcul prescurtat de fracțiile algebrice?

Le folosești ca să descompui numărătorul sau numitorul și să poți simplifica. O expresie ca $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - 6 x + 9}$ devine $\frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ^{2}}$ , deci $\frac{x + 3}{x - 3}$ . Fără formule, simplificarea nu s-ar vedea.

Cum îmi verific rapid o dezvoltare la examen?

Înlocuiești litera cu un număr mic, de obicei $1$ sau $2$ , și calculezi ambele forme. Dacă rezultatele coincid, dezvoltarea este aproape sigur corectă. Verificarea durează câteva secunde și prinde greșelile de semn.

Ce formule trebuie știute pe de rost pentru evaluarea națională?

Cele trei de calcul prescurtat, în ambele sensuri, plus regulile de descompunere prin factor comun și prin grupare. La geometrie se adaugă teorema lui Pitagora și formulele de arie. Restul se deduc din acestea.

Cum recunosc dintr-o privire ce metodă se potrivește?

Numeri termenii după ce ai scos factorul comun: doi termeni trimit la scăderea de pătrate, trei la un pătrat sau la perechea sumă și produs, patru la grupare. Numărătoarea aceasta înlocuiește orice ghicit.

Cât timp merită să aloc unui exercițiu de calcul algebric la examen?

Câteva minute, fiindcă astfel de cerințe sunt printre cele mai rapide dacă știi formulele. Dacă te blochezi mai mult, treci mai departe și revii la sfârșit. Punctele sigure se strâng întâi.

Oamenii mai întreabă și: formulele de calcul prescurtat · cele trei formule din clasa a opta · formule de calcul prescurtat recapitulare · a plus b la pătrat și a minus b la pătrat · formule pentru evaluarea națională