Rezolvarea triunghiului: cazurile ULU și LLU (M2, științe ale naturii)

Un aspersor de grădină udă un cerc cu raza de câțiva metri, iar o alee dreaptă pornește de la poartă pe lângă el. Grădinarul vrea să știe pe ce porțiune se udă aleea: unde intră jetul pe ea și unde iese. Întrebarea este una de geometrie: câte puncte ale aleii se află la o distanță dată de aspersor și unde sunt ele? În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), lecția tratează cazurile de rezolvare care pornesc de la teorema sinusurilor, inclusiv cazul în care aceleași date descriu două triunghiuri, unul singur sau niciunul. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”; din 2030, la științe ale naturii, matematica este o probă la alegere. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține teorema sinusurilor și rezolvarea triunghiurilor oarecare; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință cu discuția numărului de triunghiuri.

Lecția continuă rezolvarea triunghiului în cazurile LLL și LUL la M2 și folosește, fără să o mai demonstreze, teorema sinusurilor la M2. Pentru a doua cale de lucru avem nevoie de pozițiile relative ale unei drepte și ale unui cerc la M2.

Ce vei învăța

• Vei rezolva un triunghi dat printr-o latură și două unghiuri, începând cu al treilea unghi.
• Vei recunoaște cazul LLU, în care unghiul cunoscut nu este cuprins între laturile cunoscute.
• Vei decide, înainte de calcul, dacă datele LLU descriu zero, unul sau două triunghiuri, comparând latura opusă cu înălțimea $b\sin A$ și cu cealaltă latură.
• Vei păstra sau vei respinge unghiul obtuz care are același sinus ca unghiul ascuțit.
• Vei afla pozițiile vârfului în reper, ca intersecții dintre o semidreaptă și un cerc.
• Vei aplica discuția unor situații din grădinărit, mecanică și tehnică.

Hai să descoperim împreună

1. Ce cazuri rămân după LLL și LUL?

În lecția anterioară datele nu conțineau nicio latură împreună cu unghiul din fața ei. Rămân situațiile în care o astfel de pereche există sau se poate obține imediat. Cazul ULU înseamnă o latură împreună cu unghiurile de la capetele ei; cazul LUU înseamnă o latură, un unghi alăturat și unghiul din fața ei; cazul LLU înseamnă două laturi cunoscute și un unghi cunoscut așezat în fața uneia dintre ele, nu între ele.

La ULU și LUU se cunosc două unghiuri, deci și al treilea. În LLU perechea latură–unghi opus este dată direct, dar al doilea unghi trebuie aflat din sinusul lui, iar de aici vine toată discuția. Distincția nu ține de câte date ai, ci de locul lor pe contur: aceleași trei numere pot forma un caz LUL sau un caz LLU, după cum unghiul stă între laturi sau în fața uneia dintre ele. De aceea primul gest este desenul schematic, cu datele scrise la locul lor.

2. De ce, la ULU, începi cu al treilea unghi?

Fie latura $c=10$, cuprinsă între unghiurile $A=40^{\circ }$ și $B=62^{\circ }$. Latura $c$ stă în fața unghiului $C$, pe care nu îl cunoaștem încă, deci perechea nu e completă. Suma unghiurilor o completează: $C=180^{\circ }-40^{\circ }-62^{\circ }=78^{\circ }$. Abia acum teorema sinusurilor poate porni:

$$a=\frac{c\sin A}{\sin C}\approx \frac{10\cdot 0,6428}{0,9781}\approx 6,57,b=\frac{c\sin B}{\sin C}\approx \frac{10\cdot 0,8829}{0,9781}\approx 9,03.$$

Cazurile ULU și LUU au o singură soluție de fiecare dată când cele două unghiuri date însumează sub $180^{\circ }$; este criteriul de congruență ULU din clasa a VI-a. Aici sinusul se folosește numai pentru laturi, niciodată pentru a afla un unghi, deci nu poate apărea nicio ambiguitate.

3. Câte triunghiuri pot avea aceleași date LLU?

Cunoaștem unghiul $A$, latura $b=AC$ alăturată lui și latura $a=BC$ din fața lui. Desenăm unghiul $A$ și punem pe una dintre laturile lui punctul $C$, la distanța $b$ de $A$. Vârful $B$ trebuie să fie pe cealaltă semidreaptă a unghiului și, în același timp, la distanța $a$ de $C$, adică pe cercul de centru $C$ și rază $a$. Câte triunghiuri există depinde deci de câte ori taie acest cerc semidreapta.

Distanța de la $C$ la dreapta pe care stă $B$ este înălțimea $h=b\sin A$. Luăm $b=6\sqrt{2}$ și $A=\frac{\pi }{4}$, deci $h=6$, și schimbăm raza $a$:

• pentru $a=5<h$, cercul nu ajunge la dreaptă: niciun triunghi;
• pentru $a=6=h$, cercul atinge dreapta într-un punct: un singur triunghi, dreptunghic în $B$;
• pentru $a=8$, cu $h<a<b$, cercul taie semidreapta în două puncte: două triunghiuri;
• pentru $a=9$, mai mare decât $b\approx 8,49$, unul dintre punctele de intersecție cade dincolo de $A$, pe prelungirea semidreptei: un singur triunghi.

Pentru un unghi $A$ ascuțit, regula este: zero triunghiuri dacă $a<h$, unul dacă $a=h$, două dacă $h<a<b$ și unul dacă $a\ge b$. Dacă unghiul $A$ este drept sau obtuz, el trebuie să fie cel mai mare unghi, deci latura din fața lui trebuie să fie cea mai lungă: un triunghi dacă $a>b$, niciunul dacă $a\le b$.

4. Ce spune sinusul despre cele două soluții?

Aceeași discuție se vede și în calcul. Teorema sinusurilor pentru perechea $(a,A)$ dă

$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{h}{a}.$$

Dacă $h>a$, raportul depășește $1$ și nu există unghi $B$. Dacă $h=a$, $\sin B=1$ și $B$ este drept. Dacă $h<a$, raportul este între $0$ și $1$ și îi corespund două unghiuri: unul ascuțit, $B_1$, și suplementul lui, $B_2=180^{\circ }-B_1$, fiindcă $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$, cum ai văzut la sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze la M2.

Fiecare candidat se păstrează doar dacă, adunat cu $A$, dă mai puțin de $180^{\circ }$. În exemplul din §3, pentru $a=9$ avem $\sin B=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$, deci $B_1\approx 41,81^{\circ }$, iar $B_2\approx 138,19^{\circ }$ ar da împreună cu $45^{\circ }$ mai mult de $180^{\circ }$: rămâne un singur triunghi, cum arăta și figura cercului.

5. Cum găsești vârfurile în reper?

Așezăm vârful $A$ în origine și semidreapta pe care stă $B$ pe partea pozitivă a axei $Ox$. Punctul $C$ are coordonatele $(b\cos A,b\sin A)$, iar $B$ are forma $(x,0)$, cu $x>0$. Luăm $b=10$, $A=\frac{\pi }{3}$ și $a=9$: atunci $C(5,5\sqrt{3})$, iar înălțimea este $h=5\sqrt{3}\approx 8,66$.

Condiția $BC=9$, scrisă cu ecuația cercului la M2, devine $(x-5{)}^2+75=81$, adică $(x-5{)}^2=6$. Un pătrat egal cu $6$ înseamnă $x-5=\sqrt{6}$ sau $x-5=-\sqrt{6}$, deci

$$x_1=5+\sqrt{6}\approx 7,45,x_2=5-\sqrt{6}\approx 2,55.$$

Ambele valori sunt pozitive, deci ambele puncte sunt pe semidreaptă: două triunghiuri, cu $AB=5+\sqrt{6}$ și $AB=5-\sqrt{6}$. În general $x=b\cos A\pm \sqrt{a^2-h^2}$: numărul de sub radical arată dacă cercul atinge dreapta, iar semnul celor două valori arată câte puncte cad pe semidreaptă. Calea aceasta dă direct a treia latură, fără să treci prin unghiuri.

6. Care este rețeta completă pentru LLU?

1. Identifici perechea completă $(a,A)$ și latura alăturată $b$.
2. Numeri soluțiile: calculezi $h=b\sin A$ și compari $a$ cu $h$ și cu $b$, sau, pentru $A$ obtuz, compari $a$ cu $b$. Dacă nu există triunghi, o scrii și te oprești.
3. Afli $\sin B=\frac{b\sin A}{a}$ și păstrezi numai unghiurile care, adunate cu $A$, dau sub $180^{\circ }$.
4. Pentru fiecare variantă păstrată afli $C$ din sumă și latura $c=\frac{a\sin C}{\sin A}$, apoi faci controlul ordinii laturilor.

Când problema are două soluții, răspunsul complet le conține pe amândouă. Alegerea uneia se poate face numai pe baza unei informații în plus din enunț, de exemplu „unghiul $B$ este obtuz” sau „vârful se află mai aproape de $A$”.

7. Cum verifici o soluție găsită?

Orice triunghi obținut dintr-un caz LLU se poate verifica fără să mai rezolvi nimic: pui laturile găsite în teorema cosinusului scrisă pentru unghiul dat și controlezi că egalitatea are loc. Pentru triunghiul din §5 cu $AB=5+\sqrt{6}$, relația $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ devine

$$100+(5+\sqrt{6}{)}^2-2\cdot 10\cdot (5+\sqrt{6})\cdot \frac{1}{2}=100+31+10\sqrt{6}-50-10\sqrt{6}=81,$$

adică exact $a^2=9^2$. Aceeași verificare, făcută cu $AB=5-\sqrt{6}$, dă tot $81$: ambele soluții sunt bune. Verificarea prin înlocuire nu cere nicio ecuație nouă, ci doar calcul cu radicali.

Mai sunt două controale rapide. Primul: în fiecare soluție, latura cea mai lungă trebuie să stea în fața unghiului celui mai mare, deci la varianta cu unghiul obtuz latura din fața lui iese cea mai lungă. Al doilea: cele trei laturi respectă inegalitatea triunghiului. Dacă o soluție trece de toate trei controalele, o scrii în răspuns; dacă una dintre ele cade, ai ales greșit un unghi sau ai încurcat perechea.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O latură între două unghiuri

În triunghiul $ABC$, $c=18$, $m(\angle A)=32^{\circ }$ și $m(\angle B)=105^{\circ }$. Rezolvați triunghiul, folosind $\sin 32^{\circ }\approx 0,5299$, $\sin 75^{\circ }\approx 0,9659$ și $\sin 43^{\circ }\approx 0,6820$.

Rezolvare. Latura $c$ este între unghiurile date: caz ULU. Al treilea unghi: $m(\angle C)=180^{\circ }-32^{\circ }-105^{\circ }=43^{\circ }$. Cum $\sin 105^{\circ }=\sin 75^{\circ }$,

$$a\approx \frac{18\cdot 0,5299}{0,6820}\approx 13,99,b\approx \frac{18\cdot 0,9659}{0,6820}\approx 25,49.$$

Controlul ordinii: $13,99<18<25,49$ corespunde ordinii $32^{\circ }<43^{\circ }<105^{\circ }$.

Exemplul 2 — Perechea dată direct

În triunghiul $ABC$, $a=15$, $m(\angle A)=72^{\circ }$ și $m(\angle B)=41^{\circ }$. Rezolvați triunghiul, folosind $\sin 72^{\circ }\approx 0,9511$, $\sin 41^{\circ }\approx 0,6561$ și $\sin 67^{\circ }\approx 0,9205$.

Rezolvare. Perechea $(a,A)$ este completă: caz LUU. Direct, $b\approx \frac{15\cdot 0,6561}{0,9511}\approx 10,35$. Apoi $m(\angle C)=180^{\circ }-72^{\circ }-41^{\circ }=67^{\circ }$ și $c\approx \frac{15\cdot 0,9205}{0,9511}\approx 14,52$. Latura cea mai lungă, $15$, stă în fața unghiului celui mai mare, $72^{\circ }$.

Exemplul 3 — Două triunghiuri, calculate exact

Se dau $a=10$, $b=14$ și $A=\frac{\pi }{6}$. Determinați toate triunghiurile posibile.

Rezolvare. Unghiul $A$ este ascuțit, iar $h=b\sin A=14\cdot \frac{1}{2}=7$. Cum $7<10<14$, există două triunghiuri.

Calea din reper dă direct a treia latură: $b\cos A=14\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=7\sqrt{3}$, iar $a^2-h^2=100-49=51$, deci

$$c_1=7\sqrt{3}+\sqrt{51}\approx 19,27,c_2=7\sqrt{3}-\sqrt{51}\approx 4,98.$$

Unghiurile: $\sin B=\frac{14\cdot \frac{1}{2}}{10}=0,7$, deci $B_1\approx 44,43^{\circ }$ (cu $C_1\approx 105,57^{\circ }$, în fața lui $c_1$) sau $B_2\approx 135,57^{\circ }$ (cu $C_2\approx 14,43^{\circ }$, în fața lui $c_2$). Ambele sume rămân sub $180^{\circ }$. Laturile mari stau în fața unghiurilor mari în fiecare variantă.

Exemplul 4 — Aspersorul și aleea

Un aspersor aflat în punctul $C$ udă un cerc cu raza de $8$ m. De la poarta $A$ până la aspersor sunt $11$ m, iar o alee dreaptă pornește din $A$ sub un unghi de $35^{\circ }$ față de direcția spre aspersor. Între ce distanțe de poartă este udată aleea? Folosiți $\sin 35^{\circ }\approx 0,5736$ și $\cos 35^{\circ }\approx 0,8192$.

Rezolvare. Un punct al aleii este udat exact atunci când se află la cel mult $8$ m de $C$. Capetele porțiunii udate sunt punctele aleii aflate la exact $8$ m, adică vârfurile triunghiurilor LLU cu $AC=11$, raza $8$ și unghiul de $35^{\circ }$ în $A$.

Distanța de la aspersor la alee este $h\approx 11\cdot 0,5736\approx 6,31$ m, mai mică decât $8$, iar $8<11$: două puncte. În reper, cu $A$ în origine și aleea pe $Ox$, aspersorul are abscisa $11\cdot 0,8192\approx 9,01$, iar

$$x\approx 9,01\pm \sqrt{64-39,81}\approx 9,01\pm 4,92.$$

Aleea este udată între aproximativ $4,09$ m și $13,93$ m de poartă, pe o lungime de aproximativ $9,84$ m. Aici cele două soluții nu se exclud: amândouă contează, fiindcă sunt capetele aceluiași segment. Modelul presupune jetul uniform până la marginea cercului.

Exemplul 5 — Mecanismul bielă–manivelă

La un motor, axul manivelei este în $A$, butonul manivelei în $B$, cu $AB=5$ cm, iar biela $BC=17$ cm leagă butonul de bolțul pistonului $C$, care alunecă pe o dreaptă prin $A$. Când manivela face cu această dreaptă unghiul $A=\frac{\pi }{3}$, cât este $AC$?

Rezolvare. Se cunosc $AB$, $BC$ și unghiul $A$, aflat în fața lui $BC$: caz LLU. Latura din fața unghiului, $BC=17$, este mai lungă decât $AB=5$, deci există un singur triunghi. Cu $A$ în origine și dreapta pistonului pe $Ox$, butonul are coordonatele $\left(\frac{5}{2},\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)$, iar pentru $C(x,0)$ condiția $BC=17$ dă

$${\left(x-\frac{5}{2}\right)}^2+\frac{75}{4}=289,x-\frac{5}{2}=\pm \sqrt{270,25}.$$

Numai valoarea cu plus este pozitivă: $AC=2,5+\sqrt{270,25}\approx 18,94$ cm. Unghiul din $C$, dintre bielă și dreapta pistonului, are $\sin C=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{17}\approx 0,2547$ și este ascuțit, fiindcă stă în fața laturii mai scurte, deci $C\approx 14,76^{\circ }$.

Pentru ca pistonul să aibă, la fiecare poziție a manivelei, o singură poziție pe dreaptă, ajunge ca biela să fie mai lungă decât manivela: atunci $BC>AB$ la orice unghi. În motoarele reale biela este de câteva ori mai lungă și din alte motive, de exemplu ca să împingă pistonul cât mai aproape de direcția în care acesta alunecă. Dacă biela ar fi mai scurtă decât manivela, pentru unele unghiuri pistonul nu ar mai putea ajunge pe dreaptă: datele LLU nu ar mai avea soluție, iar mecanismul s-ar bloca.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=13$, $AC=24$ și $C=\frac{\pi }{6}$. Arătați că $\sin B=\frac{12}{13}$ și că datele descriu două triunghiuri diferite.

Rezolvare. Latura $AB$ stă în fața unghiului $C$, deci perechea completă este $(AB,C)$. Teorema sinusurilor dă

$$\sin B=\frac{AC\cdot \sin C}{AB}=\frac{24\cdot \frac{1}{2}}{13}=\frac{12}{13}.$$

Unghiul $C$ este ascuțit, iar înălțimea din $A$ pe dreapta $BC$ are $AC\sin C=12$. Cum $12<13<24$, suntem în situația cu două soluții. Concret, $B_1\approx 67,38^{\circ }$, cu $\cos B_1=\frac{5}{13}$, și $B_2\approx 112,62^{\circ }$, cu $\cos B_2=-\frac{5}{13}$; ambele dau cu $30^{\circ }$ o sumă sub $180^{\circ }$, deci există două triunghiuri, cu $A_1\approx 82,62^{\circ }$ și $A_2\approx 37,38^{\circ }$. Enunțul este construit de noi în stilul Subiectului I, nu preluat dintr-un subiect oficial.

Să exersăm

La cazul LLU începe cu numărul de soluții. Unghiurile se dau rotunjite la sutimi de grad, iar lungimile la sutimi.

1. În triunghiul $ABC$, $BC=12$, $m(\angle B)=48^{\circ }$ și $m(\angle C)=57^{\circ }$. Calculează $AB$ și $AC$, folosind $\sin 48^{\circ }\approx 0,7431$, $\sin 57^{\circ }\approx 0,8387$, $\sin 75^{\circ }\approx 0,9659$.

2. În triunghiul $ABC$, $a=20$, $A=\frac{2\pi }{3}$ și $m(\angle B)=20^{\circ }$. Calculează $b$ și $c$, folosind $\sin 20^{\circ }\approx 0,3420$ și $\sin 40^{\circ }\approx 0,6428$.

3. În triunghiul $ABC$, $b=9$, $m(\angle B)=50^{\circ }$ și $m(\angle C)=64^{\circ }$. Calculează $a$ și $c$, folosind $\sin 50^{\circ }\approx 0,7660$, $\sin 64^{\circ }\approx 0,8988$ și $\sin 66^{\circ }\approx 0,9135$.

4. Pentru fiecare triunghi $ABC$, așază datele pe contur și numește cazul: a) $BC=9$, $m(\angle B)=38^{\circ }$, $m(\angle C)=77^{\circ }$; b) $AB=6$, $AC=8$, $m(\angle A)=110^{\circ }$; c) $AB=6$, $BC=5$, $m(\angle A)=35^{\circ }$; d) $AC=10$, $m(\angle A)=30^{\circ }$, $m(\angle B)=100^{\circ }$.

5. Se dau $a=4,5$, $b=9$ și $A=\frac{\pi }{6}$. Câte triunghiuri există? Rezolvă-le.

6. Se dau $a=13$, $b=9$ și $m(\angle A)=50^{\circ }$. Justifică unicitatea triunghiului și află elementele lui lipsă, folosind $\sin 50^{\circ }\approx 0,7660$.

7. Se dau $a=12$, $b=20$ și $m(\angle A)=25^{\circ }$. Câte triunghiuri există? Calculează unghiul $B$ și latura $c$ pentru fiecare, folosind $\sin 25^{\circ }\approx 0,4226$.

8. Se dau $a=9$, $b=11$ și $A=\frac{2\pi }{3}$. Există vreun triunghi cu aceste date?

9. Se dau $a=14$, $b=6$ și $A=\frac{3\pi }{4}$. Rezolvă triunghiul.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Datele $a=6$, $b=9$ și $m(\angle A)=40^{\circ }$ descriu două triunghiuri diferite.” Folosește $\sin 40^{\circ }\approx 0,6428$.

11. Se dau $a=\sqrt{59}$, $b=10$ și $A=\frac{\pi }{4}$. Așază $A$ în origine și semidreapta $AB$ pe $Ox$, apoi află toate valorile posibile ale lui $AB$.

12. (Problemă aplicată.) Un robot de tuns iarba pleacă din colțul $A$ al unei peluze și merge în linie dreaptă, pe o direcție care face $26^{\circ }$ cu bordura $AC$, lungă de $14$ m. Senzorul lui detectează stâlpul din $C$ numai de la cel mult $6$ m. Va detecta robotul stâlpul pe acest drum? Folosește $\sin 26^{\circ }\approx 0,4384$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AC=6$, $BC=\sqrt{43}$ și $A=\frac{\pi }{3}$. Arătați că $AB=7$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $BC=10$, $AC=6\sqrt{2}$ și $A=\frac{3\pi }{4}$. Arătați că $\sin B=\frac{3}{5}$ și calculați $\cos B$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că nu există niciun triunghi $ABC$ cu $AC=3$, $BC=8$ și $B=\frac{\pi }{6}$.

16. Pentru $b=16$ și $A=\frac{\pi }{6}$, află toate valorile lui $a$ pentru care datele LLU descriu exact două triunghiuri.

17. Se dau $a=6$, $b=2$ și $A=\frac{2\pi }{3}$. Așază $A$ în origine și semidreapta $AB$ pe $Ox$, află valorile posibile ale lui $x$ pentru vârful $B(x,0)$ și explică de ce rămâne una singură.

18. (Provocare.) Pentru un unghi $A$ ascuțit și $b\sin A<a<b$, fie $B_1$ și $B_2$ cele două poziții posibile ale vârfului $B$. Arată că $B_1{B}_2=2\sqrt{a^2-b^2{\sin }^{2}A}$. Pentru ce valoare a lui $a$ este $B_1{B}_2=a$ și ce fel de triunghi este atunci $C{B}_1{B}_2$? Arată că acest caz poate apărea numai dacă $A<\frac{\pi }{3}$.

Răspunsuri și explicații

1. Latura $BC$ e între unghiurile date: $m(\angle A)=180^{\circ }-48^{\circ }-57^{\circ }=75^{\circ }$. Atunci $AB\approx \frac{12\cdot 0,8387}{0,9659}\approx 10,42$ (în fața lui $C$) și $AC\approx \frac{12\cdot 0,7431}{0,9659}\approx 9,23$ (în fața lui $B$).

2. Perechea $(a,A)$ e completă; $m(\angle C)=180^{\circ }-120^{\circ }-20^{\circ }=40^{\circ }$ și $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Atunci $b\approx \frac{40\cdot 0,3420}{\sqrt{3}}\approx 7,90$ și $c\approx \frac{40\cdot 0,6428}{\sqrt{3}}\approx 14,84$. Latura $a=20$, cea mai lungă, stă în fața unghiului obtuz.

3. Cazul este LUU: perechea $(b,B)$ e completă, iar $m(\angle A)=180^{\circ }-50^{\circ }-64^{\circ }=66^{\circ }$. Atunci $a\approx \frac{9\cdot 0,9135}{0,7660}\approx 10,73$ și $c\approx \frac{9\cdot 0,8988}{0,7660}\approx 10,56$.

4. a) $BC$ este între unghiurile $B$ și $C$: ULU. b) Unghiul $A$ este între $AB$ și $AC$: LUL, din lecția anterioară. c) $BC$ stă în fața lui $A$, iar $AB$ este alăturată lui: LLU; aici $h=6\sin 35^{\circ }\approx 3,44<5<6$, deci chiar sunt două triunghiuri. d) $AC$ stă în fața lui $B$, care e dat: LUU.

5. $h=9\cdot \frac{1}{2}=4,5=a$: cercul atinge dreapta, deci un singur triunghi, dreptunghic în $B$. Într-adevăr, $\sin B=\frac{9\cdot \frac{1}{2}}{4,5}=1$, $B=\frac{\pi }{2}$, $C=\frac{\pi }{3}$, iar $c=\frac{9\sqrt{3}}{2}\approx 7,79$, cateta alăturată unghiului $A$.

6. $a=13>b=9$, deci un singur triunghi. $\sin B\approx \frac{9\cdot 0,7660}{13}\approx 0,5303$, $B\approx 32,03^{\circ }$; varianta obtuză, $\approx 147,97^{\circ }$, ar depăși $180^{\circ }$ împreună cu $50^{\circ }$. Apoi $C\approx 97,97^{\circ }$ și $c\approx \frac{13\sin 97,97^{\circ }}{0,7660}\approx 16,81$.

7. $h=20\cdot 0,4226=8,452$, iar $8,452<12<20$: două triunghiuri. $\sin B\approx \frac{8,452}{12}\approx 0,7043$, deci $B_1\approx 44,78^{\circ }$, $C_1\approx 110,22^{\circ }$, $c_1\approx 26,64$, sau $B_2\approx 135,22^{\circ }$, $C_2\approx 19,78^{\circ }$, $c_2\approx 9,61$.

8. Unghiul $A$ este obtuz, deci ar trebui să fie cel mai mare, iar latura din fața lui cea mai lungă. Dar $a=9<b=11$: nu există niciun triunghi. Calculul confirmă: $\sin B=\frac{11\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{9}\approx 1,0585>1$.

9. $A$ obtuz și $a>b$: un singur triunghi. $\sin B=\frac{6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{14}=\frac{3\sqrt{2}}{14}\approx 0,3030$, $B\approx 17,64^{\circ }$, $C\approx 180^{\circ }-135^{\circ }-17,64^{\circ }=27,36^{\circ }$ și $c=\frac{14\sin C}{\sin 135^{\circ }}\approx 9,10$.

10. Adevărat. $h=9\cdot 0,6428\approx 5,785$. Unghiul de $40^{\circ }$ este ascuțit și $5,785<6<9$, deci cercul de rază $6$ taie semidreapta în două puncte. Diferența dintre $a$ și $h$ este mică, așa că cele două vârfuri sunt apropiate.

11. $C(5\sqrt{2},5\sqrt{2})$, iar $h=5\sqrt{2}\approx 7,07<\sqrt{59}\approx 7,68<10$. Din $(x-5\sqrt{2}{)}^2+50=59$ rezultă $(x-5\sqrt{2}{)}^2=9$, deci $x=5\sqrt{2}\pm 3$: $AB\approx 10,07$ sau $AB\approx 4,07$. Ambele sunt pozitive, deci două triunghiuri.

12. Punctele drumului aflate la exact $6$ m de stâlp ar fi vârfurile unor triunghiuri LLU cu $AC=14$, unghiul de $26^{\circ }$ în $A$ și latura $6$ în fața lui. Distanța de la stâlp la drum este $h\approx 14\cdot 0,4384\approx 6,14$ m, mai mare decât $6$: cercul de rază $6$ m din jurul stâlpului nu atinge drumul, deci nu există niciun triunghi și robotul nu detectează stâlpul. Trece pe lângă el la cel puțin aproximativ $6,14$ m, adică la limită; o bordură mai scurtă de aproximativ $13,69$ m ar fi schimbat răspunsul.

13. Datele sunt LLU: $BC$ stă în fața lui $A$. Cu $A$ în origine și $AB$ pe $Ox$, punctul $C$ este $(3,3\sqrt{3})$, iar $B(x,0)$ trebuie să verifice $(x-3{)}^2+27=43$, adică $(x-3{)}^2=16$, deci $x=7$ sau $x=-1$. Numai $x=7$ este pozitiv, așa că $AB=7$ și triunghiul este unic, cum cere și regula: $BC=\sqrt{43}\approx 6,56>AC=6$. Verificare cu teorema cosinusului: $36+49-2\cdot 6\cdot 7\cdot \frac{1}{2}=43$.

14. Perechea completă este $(BC,A)$: $\sin B=\frac{AC\sin A}{BC}=\frac{6\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$. Unghiul $A$ este obtuz, deci $B$ este ascuțit și $\cos B>0$: $\cos B=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$. Datele descriu un singur triunghi, fiindcă $BC=10>AC=6\sqrt{2}$; un cosinus negativ ar fi însemnat al doilea unghi obtuz în același triunghi, ceea ce e imposibil.

15. Latura $AC$ stă în fața lui $B$. Din teorema sinusurilor, $\sin A=\frac{BC\sin B}{AC}=\frac{8\cdot \frac{1}{2}}{3}=\frac{4}{3}>1$, imposibil. Geometric, distanța de la $C$ la dreapta $BA$ este $4$, mai mare decât $AC=3$: niciun punct al acelei drepte nu e la distanța $3$ de $C$.

16. $h=16\cdot \frac{1}{2}=8$. Două triunghiuri există exact când $8<a<16$. Pentru $a=8$ există unul singur, dreptunghic, pentru $a<8$ niciunul, iar pentru $a\ge 16$ din nou unul singur.

17. $C(2\cos 120^{\circ },2\sin 120^{\circ })=(-1,\sqrt{3})$. Din $(x+1{)}^2+3=36$ rezultă $x=-1\pm \sqrt{33}$. Doar $x=\sqrt{33}-1\approx 4,74$ este pozitiv; cealaltă valoare, $\approx -6,74$, e pe prelungirea semidreptei. Un singur triunghi, cu $AB\approx 4,74$, cum cere regula pentru $A$ obtuz și $a>b$.

18. În reper, cele două poziții au abscisele $b\cos A\pm \sqrt{a^2-b^2{\sin }^{2}A}$, ambele pozitive în acest caz, deci distanța dintre ele este diferența lor, $2\sqrt{a^2-b^2{\sin }^{2}A}$. Egalitatea $B_1{B}_2=a$ înseamnă $4(a^2-h^2)=a^2$, cu $h=b\sin A$, adică $3a^2=4h^2$ și $a=\frac{2h}{\sqrt{3}}$. Atunci $C{B}_1=C{B}_2=a$, fiind raze ale aceluiași cerc, și $B_1{B}_2=a$: triunghiul $C{B}_1{B}_2$ este echilateral. Condiția $a>h$ are loc mereu, fiindcă $\frac{2}{\sqrt{3}}>1$. Condiția $a<b$ devine $\frac{2b\sin A}{\sqrt{3}}<b$, adică $\sin A<\frac{\sqrt{3}}{2}$; pentru un unghi ascuțit, sinusul crește, deci $A<\frac{\pi }{3}$.

De reținut

• La ULU afli întâi al treilea unghi din sumă, apoi laturile cu teorema sinusurilor; ULU și LUU au o singură soluție când suma unghiurilor date e sub $180^{\circ }$.
• Cazul LLU are unghiul cunoscut în fața uneia dintre laturile cunoscute și poate avea zero, una sau două soluții.
• Pentru $A$ ascuțit și $h=b\sin A$: zero dacă $a<h$, una dacă $a=h$, două dacă $h<a<b$, una dacă $a\ge b$; pentru $A$ drept sau obtuz: una dacă $a>b$, zero altfel.
• Din $\sin B=\frac{b\sin A}{a}$ iei ambii candidați, $B$ și $180^{\circ }-B$, și îl păstrezi pe fiecare care lasă suma sub $180^{\circ }$.
• În reper, cu $A$ în origine și $B$ pe $Ox$, $x=b\cos A\pm \sqrt{a^2-h^2}$, iar fiecare valoare pozitivă este un triunghi.

Greșeli frecvente

• Regula unghiului ascuțit aplicată unui unghi obtuz. Pentru $b=18$, $a=11$ și $A=\frac{5\pi }{6}$, elevul calculează $h=9$, vede că $9<11<18$ și anunță două triunghiuri. Comparația cu înălțimea este numai pentru $A$ ascuțit; la $A$ obtuz decide doar dacă $a>b$, iar aici $11<18$: niciun triunghi.
• Înălțimea calculată cu latura greșită. În $h=b\sin A$ intră latura alăturată unghiului $A$, nu cea din fața lui. Cu latura opusă, comparația cu $a$ nu mai are sens.
• Egalitatea $a=b$ tratată ca două soluții. Pentru $A$ ascuțit și $a=b$ triunghiul este isoscel și unic: a doua intersecție a cercului cu dreapta cade chiar în $A$ și nu formează triunghi.
• Valoarea negativă a lui $x$ păstrată ca lungime. În calculul din reper, un $x$ negativ înseamnă un punct pe prelungirea semidreptei, dincolo de $A$. Nu se ia în modul și nu devine o latură.
• A doua soluție completată cu datele primei. După ce găsește $B_1$ și $B_2$, elevul calculează o singură dată unghiul $C$ și latura $c$ și le trece la ambele variante. Fiecare unghi $B$ are propriul $C=180^{\circ }-A-B$ și propria latură $c$: în Exemplul 3, $c_1\approx 19,27$, dar $c_2\approx 4,98$.

Aplică acasă

1. Mecanismul din benzi de carton. Decupează două benzi de carton, o „manivelă” de $10$ cm și o „bielă” de $6$ cm, și prinde-le între ele cu o piuneză, în $B$. Celălalt capăt al manivelei, $A$, îl fixezi cu o piuneză pe o foaie pe care ai trasat o dreaptă prin $A$. Rotește manivela și notează unghiurile la care capătul liber al bielei nu mai ajunge la dreaptă și pe cele la care o atinge în două locuri. Compară cu calculul: biela ajunge la dreaptă exact când distanța de la $B$ la dreaptă, $10\sin A$, nu depășește $6$.
2. Ușa și dulapul. Măsoară lățimea $w$ a unei uși de cameră și distanța $d$ de la balama până la fața unui dulap aflat în calea ușii, pe perpendiculară. Marginea ușii descrie un arc de cerc cu raza $w$: ușa atinge dulapul numai dacă $d<w$, iar punctele de atingere posibile sunt la $\sqrt{w^2-d^2}$ de o parte și de alta a piciorului perpendicularei. Contează doar punctele de pe arcul pe care îl parcurge efectiv ușa până se oprește; o intersecție din afara acestui arc nu este atinsă niciodată. Verifică deschizând ușa încet.
3. Tabelul de cazuri. Alcătuiește un tabel cu șase seturi de date LLU inventate de tine, câte unul pentru fiecare rând al regulii de numărare. Dă tabelul unui coleg fără ultima coloană și verifică dacă ajunge la același număr de triunghiuri.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie rezolvarea triunghiurilor oarecare cu cazurile care pornesc de la teorema sinusurilor. Cazul ULU e simplu, dacă elevul nu uită primul pas, al treilea unghi. Cazul LLU este singurul din unitate în care datele corecte pot descrie mai multe triunghiuri sau niciunul, iar lecția îl prezintă ca pe o întrebare geometrică: de câte ori taie un cerc o semidreaptă. La științe ale naturii am evitat calea algebrică prin formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea și prin discriminant, care sunt materie de clasa a X-a; în locul ei, pozițiile vârfului se găsesc în reper, cu ecuația cercului din clasa a IX-a, dintr-o egalitate de forma $(x-p{)}^2=k$ rezolvată cu un radical, ca în gimnaziu. Întrebări bune de control: „Care latură intră în înălțime?”; „Ce îți spune un sinus mai mare decât $1$?”; „Când păstrezi unghiul obtuz?”; „Ce înseamnă un $x$ negativ?”. Un elev care a înțeles numără soluțiile înainte de calcul și nu renunță la a doua soluție fără motiv.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030, unde unitatea IX.7 numește „Teorema sinusurilor” și „Rezolvarea triunghiurilor oarecare”. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 (programa din anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) conține „teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor oarecare”. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință cu discuția numărului de triunghiuri; exercițiile marcate aici sunt construite în stilul Subiectului I.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: rezolvarea triunghiului în cazurile ULU și LLU are alt parcurs și alte exerciții. Pe traseul M2 urmează lecția despre aria triunghiului cu formula sinusului la M2, iar exercițiile de sinteză ale unității sunt în testul M2 de trigonometrie și aplicații în geometrie.

Întrebări frecvente

Ce este diferit la cazurile ULU și LLU în varianta M2 față de M1?

La științe ale naturii tema se învață în clasa a IX-a, fără formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea și fără discriminant, care vin în clasa a X-a. De aceea numărul de triunghiuri se discută cu înălțimea și cu cercul, iar pozițiile vârfului se găsesc în reper, cu ecuația cercului. Aplicațiile vin din grădinărit, mecanică și tehnică.

La ce subiect al bacalaureatului M2 apare cazul LLU?

Programa de examen pentru 2027–2029 conține teorema sinusurilor și rezolvarea triunghiurilor oarecare, deci și acest caz. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I, cerința 6, o problemă cu un triunghi dreptunghic, fără discuția soluțiilor. Exercițiile noastre marcate sunt scurte, în același stil.

De ce contează că $B$ trebuie să fie pe semidreaptă, nu pe dreaptă?

Pentru că unghiul $A$ al triunghiului este format de semidreptele $AC$ și $AB$. Un punct de pe prelungirea semidreptei, dincolo de $A$, ar forma cu $A$ și $C$ un triunghi cu alt unghi în $A$, suplementul celui dat. De aceea, în reper, păstrezi numai valorile pozitive ale lui $x$.

Ce înseamnă concret cele două soluții într-o problemă practică?

Depinde de situație. La aspersor, cele două puncte sunt capetele porțiunii udate și contează amândouă. La mecanismul bielă–manivelă, construcția exclude una dintre ele. Înainte să alegi, întreabă-te ce reprezintă fiecare vârf posibil în problema reală și dacă enunțul dă o informație care o exclude pe una dintre ele.

Cum compar latura $a$ cu înălțimea când $h$ iese cu radical?

Compari pătratele, fiindcă ambele numere sunt pozitive: $a>h$ exact când $a^2>b^2{\sin }^{2}A$. De exemplu, pentru $a=6$, $b=6\sqrt{3}$ și $A=\frac{\pi }{4}$, înălțimea este $h=3\sqrt{6}$, iar $a^2=36<h^2=54$: niciun triunghi. Așa nu mai ai nevoie de aproximări și nu ratezi cazul de la limită, $a=h$, pe care o rotunjire l-ar putea ascunde.

Ce legătură are cazul LLU cu pozițiile unei drepte față de un cerc?

Este aceeași întrebare, citită altfel. Cercul are centrul în $C$ și raza $a$, iar dreapta pe care stă $B$ se află la distanța $h=b\sin A$ de centru. Distanța mai mare decât raza înseamnă dreaptă exterioară cercului, egală înseamnă tangentă, mai mică înseamnă secantă. Singura diferență față de lecția despre cerc: triunghiul cere puncte pe semidreaptă, nu pe toată dreapta.