Funcția exponențială: definiție și grafic (M2, științe ale naturii)

Lemnul proaspăt tăiat conține multă apă, iar pentru foc sau pentru mobilă trebuie uscat. Umiditatea lui nu scade până la zero și nici nu coboară în linie dreaptă: partea care depășește umiditatea de echilibru cu aerul din depozit scade cu același factor în fiecare săptămână, iar umiditatea însăși se apropie de acel echilibru fără să îl atingă. Graficul este cel al unei funcții exponențiale, mutat în sus cu valoarea de echilibru. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), exponențiala primește definiția pe toată axa reală, graficul se construiește dintr-un tabel de valori exacte, iar transformările simple ale lui $a^x$ se justifică prin calcul. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține funcția exponențială la conținuturile clasei a X-a; în modelul oficial publicat pentru 2026, exponențiala stă numai în problema de analiză de la Subiectul al III-lea.

Pagina de pornire este lecția M2 despre funcția exponențială din clasa a IX-a: acolo ai citit pe grafic monotonia după bază, baza în dreptul abscisei unu și oglindirea dintre bazele $a$ și $\frac{1}{a}$. Nu reluăm acele citiri, ci le folosim. Radicalii de ordin doi și trei, de care avem nevoie pentru valorile exacte, sunt recapitulați în lecția M2 despre proprietățile radicalilor.

Ce vei învăța

• Vei ști definiția funcției exponențiale pe $\mathbb{R}$ și ce valori exacte poți calcula pentru exponenți de forma $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{3}$.
• Vei ști să construiești graficul dintr-un tabel de valori luate din jumătate în jumătate sau din treime în treime.
• Vei ști să compari pe același reper grafice cu baze diferite, justificând poziția lor prin calcul.
• Vei ști ce se întâmplă cu punctul $(0;1)$, cu asimptota și cu mulțimea valorilor la $a^x+c$ și la $a^{x-c}$.
• Vei ști să desenezi $-a^x$ și $a^{-x}$ și să compui corect mai multe transformări.
• Vei ști să folosești un model exponențial translatat pentru uscarea lemnului, cu unități și interval de lucru.

Hai să descoperim împreună

1. Ce aduce clasa a X-a față de pagina din clasa a IX-a?

Funcția exponențială de bază $a$, unde $a>0$ și $a\ne 1$, este funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=a^x$. Motivul restricțiilor asupra bazei a fost lămurit în clasa a IX-a; aici ne interesează trei lucruri noi. Primul: domeniul este toată axa reală, deci are sens să întrebăm cât valorează funcția și la exponenți care nu sunt întregi. Al doilea: pentru unii dintre acești exponenți, valorile se scriu exact cu radicali. Al treilea: graficele obținute din $a^x$ prin mutări și oglindiri se pot descrie complet prin calcul, fără desen.

Pentru un exponent irațional, de exemplu $\sqrt{2}$, valoarea $a^{\sqrt{2}}$ o dă calculatorul, iar construcția ei prin aproximări este tema lecției de supliment despre puterile cu exponent irațional. În lecția de față folosim acele valori ca pe niște date, la fel cum folosim tasta calculatorului.

2. Cum calculăm exact valorile pentru exponenții $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{3}$?

Convenția de scriere este cea care păstrează regulile de calcul cu puteri: numărul $a^{\frac{1}{2}}$ este acel număr pozitiv care, înmulțit cu el însuși, dă $a$, deci $a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$. La fel, $a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}$, pentru că ridicat la cub dă $a$. De exemplu, $0,49^{\frac{1}{2}}=0,7$ și $0,125^{\frac{1}{3}}=0,5$.

Convenția nu este o alegere la întâmplare. Dacă vrem ca regula „puterea unei puteri înmulțește exponenții” să rămână adevărată, atunci pătratul lui $a^{\frac{1}{2}}$ trebuie să fie $a^1=a$. Două numere au pătratul $a$, unul pozitiv și unul negativ; îl alegem pe cel pozitiv, ca toate valorile exponențialei să rămână pozitive, așa cum le-ai văzut pe grafic.

Din aceste două reguli obții și alți exponenți. Un exponent negativ înseamnă inversul: $a^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{a}}$. Un exponent de forma $\frac{3}{2}$ înseamnă produsul $a\cdot a^{\frac{1}{2}}=a\sqrt{a}$. Regula generală pentru orice exponent rațional $\frac{m}{n}$ se construiește în lecțiile de supliment; aici ne ajung jumătățile și treimile, care dau puncte noi între punctele cu abscise întregi.

3. Cum construim graficul dintr-un tabel de valori?

Alegem baza $\frac{25}{16}$, pentru care jumătățile ies exacte: ${\left(\frac{25}{16}\right)}^{\frac{1}{2}}=\frac{5}{4}$. Tabelul de mai jos are pasul $\frac{1}{2}$ pe intervalul $[-1,2]$:

Așezăm punctele în reper și le unim printr-o curbă netedă, nu prin segmente, pentru că funcția are valori și între punctele din tabel. Figura D arată curba obținută. Desenul este o fereastră: curba continuă în ambele sensuri.

Tabelul confirmă prin calcul ce știai de pe grafic: valorile sunt pozitive, cresc de la stânga la dreapta, iar la stânga se micșorează spre zero fără să ajungă acolo. Pasul de o jumătate a dublat numărul punctelor sigure; un pas de o treime ar cere o bază al cărei radical de ordinul trei e exact.

Tabelul are și un control intern. Produsul valorilor din $x$ și din $-x$ este mereu $1$: $\frac{16}{25}\cdot \frac{25}{16}=1$ și $\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{4}=1$, pentru că $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$. Dacă o valoare a fost calculată greșit, produsul cu perechea ei nu mai dă unu și greșeala se vede fără să refaci tot tabelul.

4. Cum comparăm pe același reper mai multe baze?

În figura B sunt desenate $2^x$, $4^x$ și $(0,3{)}^x$. Toate trec prin $(0;1)$. Pentru primele două, poziția se justifică printr-un calcul scurt: $4^x={\left(2^2\right)}^x={\left(2^x\right)}^2$. Un număr pozitiv este mai mic decât pătratul lui exact când este mai mare decât unu. Prin urmare $4^x>2^x$ exact când $2^x>1$, adică pentru $x>0$, iar $4^x<2^x$ pentru $x<0$.

Graficul lui $(0,3{)}^x$ coboară, pentru că baza este subunitară. El se întâlnește cu fiecare dintre curbele crescătoare o singură dată, în $(0;1)$: la stânga axei $Oy$ el este deasupra ambelor, iar la dreapta dedesubt. Două curbe dintre care una urcă și cealaltă coboară nu se pot tăia de două ori. Argumentul cu pătratul merge pentru orice pereche de baze în care una este o putere a celeilalte: $8^x={\left(2^x\right)}^3$ stă deasupra lui $2^x$ exact acolo unde $2^x>1$, adică tot pentru $x>0$.

5. Ce se întâmplă cu graficul lui $a^x+c$?

Funcția $g(x)=a^x+c$ adună la fiecare valoare aceeași constantă, deci graficul lui $a^x$ se mută vertical cu $|c|$ unități, în sus dacă $c>0$ și în jos dacă $c<0$. Punctul $(0;1)$ devine $(0;1+c)$, iar asimptota $y=0$ devine dreapta $y=c$. Mulțimea valorilor este $(c,+\infty )$, pentru că $a^x$ ia toate valorile pozitive și numai pe ele. Monotonia rămâne aceeași.

Noutatea importantă este intersecția cu axa $Ox$. Ea există exact când $c<0$: atunci ecuația $a^x=-c$ are membrul drept pozitiv, deci o soluție, iar abscisa se citește ca exponentul la care baza dă $-c$. Pentru $c\ge 0$, toate valorile lui $g$ sunt strict mai mari decât $c$, deci pozitive, iar graficul nu atinge axa $Ox$. De exemplu, la $3^x+1$ asimptota este $y=1$, punctul de pe $Oy$ este $(0;2)$, iar curba stă în întregime deasupra dreptei $y=1$. Funcția urcă, la fel ca $3^x$: o translație nu schimbă sensul de variație.

6. Ce se întâmplă cu graficul lui $a^{x-c}$?

Funcția $h(x)=a^{x-c}$ ia în $x$ valoarea pe care $a^x$ o lua în $x-c$. Tot ce se întâmpla la abscisa $0$ se întâmplă acum la abscisa $c$, deci graficul se mută orizontal cu $|c|$ unități, spre dreapta dacă $c>0$. Punctul $(0;1)$ devine $(c;1)$, asimptota rămâne $y=0$, iar mulțimea valorilor rămâne $(0,+\infty )$.

Aici apare o observație care la alte funcții nu există. Din regulile puterilor, $a^{x-c}=a^x\cdot a^{-c}$, adică o mutare pe orizontală a graficului exponențialei este totuna cu o înmulțire a tuturor valorilor cu aceeași constantă pozitivă $a^{-c}$. Pentru $3^x$, mutarea cu o unitate spre stânga dă $3^{x+1}=3\cdot 3^x$: fiecare valoare se triplează.

7. Ce fac minusurile: $-a^x$ și $a^{-x}$?

Funcția $-a^x$ schimbă semnul fiecărei valori, deci graficul lui $a^x$ se oglindește față de axa $Ox$. Toate valorile devin negative, mulțimea valorilor este $(-\infty ,0)$, asimptota rămâne $y=0$, iar monotonia se inversează. Funcția $a^{-x}$ ia în $x$ valoarea lui $a^x$ din $-x$, deci graficul se oglindește față de axa $Oy$; ea este chiar ${\left(\frac{1}{a}\right)}^x$, perechea pe care ai întâlnit-o în clasa a IX-a. Oglinda față de $Oy$ păstrează punctul $(0;1)$ și asimptota $y=0$, dar schimbă partea pe care curba se lipește de axă: pentru $a>1$, graficul lui $a^{-x}$ se apropie de $Ox$ spre dreapta.

Când transformările se combină, ordinea contează și se citește din formulă, dinspre $x$ spre exterior. Pentru $3-2^x$ pornești de la $2^x$, îl oglindești față de $Ox$ și abia apoi urci cu trei unități. Asimptota ajunge la $y=3$, iar valorile sunt toate sub $3$. Dacă ai urca întâi și ai oglindi după, ai obține $-(2^x+3)$, o cu totul altă funcție.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un tabel din treime în treime

Completați tabelul funcției $f(x)=27^x$ pentru $x\in \left\{-1,-\frac{2}{3},-\frac{1}{3},0,\frac{1}{3},\frac{2}{3},1\right\}$ și calculați $f\left(\frac{1}{2}\right)$, exact și aproximativ.

Rezolvare. Baza $27$ are radicalul de ordinul trei exact: $27^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3$. De aici $27^{\frac{2}{3}}=3\cdot 3=9$, iar exponenții negativi dau inversele.

Pentru $x=\frac{1}{2}$ avem $27^{\frac{1}{2}}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\approx 5,196$. Valoarea se așază, cum trebuie, între $f\left(\frac{1}{3}\right)=3$ și $f\left(\frac{2}{3}\right)=9$. Tabelul arată cât de repede urcă o bază mare: pe un singur interval de lungime unu, valorile trec de la $\frac{1}{27}$ la $27$.

Exemplul 2 — Găsește greșeala

Un elev scrie despre funcția $g(x)=5^{x+2}$: „Graficul se obține din cel al lui $5^x$ mutând curba cu două unități spre dreapta, deci taie axa $Oy$ în punctul $(0;2)$.” Corectați ambele afirmații.

Rezolvare. În formă $a^{x-c}$ avem $x+2=x-(-2)$, deci $c=-2$: mutarea se face cu două unități spre stânga. Punctul $(0;1)$ al lui $5^x$ ajunge în $(-2;1)$; într-adevăr, $g(-2)=5^0=1$.

Intersecția cu $Oy$ se calculează, nu se ghicește: $g(0)=5^2=25$, deci punctul este $(0;25)$. Numărul $2$ din exponent nu este o ordonată. Mai simplu, $5^{x+2}=25\cdot 5^x$, deci fiecare valoare a lui $5^x$ se înmulțește cu $25$, inclusiv cea din $x=0$.

Exemplul 3 — Formula citită din grafic

Figura E3 arată graficul unei funcții de forma $g(x)=a^x+c$, cu $a>1$. Asimptota orizontală, desenată punctat, este $y=-2$, iar graficul trece prin punctul $(1;4)$. Determinați $a$ și $c$, apoi intersecțiile cu axele.

Rezolvare. Asimptota lui $a^x+c$ este $y=c$, deci $c=-2$. Din $g(1)=4$ rezultă $a-2=4$, adică $a=6$, o bază admisă. Punctul de abscisă unu dă baza direct, ca la $a^x$, doar că ordonata trebuie citită de la asimptotă, nu de la axa $Ox$. Funcția este $g(x)=6^x-2$.

Intersecția cu $Oy$: $g(0)=1-2=-1$, deci punctul $(0;-1)$. Intersecția cu $Ox$ există, pentru că $c<0$: ea cere $6^x=2$, iar cum $6^0=1<2<6=6^1$ și funcția crește, abscisa se află între $0$ și $1$. Pe figură, curba taie axa puțin înainte de abscisa $0,4$; calculatorul confirmă $6^{0,39}\approx 2,01$.

Exemplul 4 — Trei transformări, în ordinea bună

Se consideră $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=4-2^{x-1}$. Descrieți cum se obține graficul din cel al lui $2^x$ și precizați asimptota, mulțimea valorilor, monotonia și intersecțiile cu axele.

Rezolvare. Pornim de la $2^x$ și îl mutăm cu o unitate spre dreapta ($2^{x-1}$), apoi îl oglindim față de $Ox$ ($-2^{x-1}$), apoi îl urcăm cu patru unități. Asimptota este $y=4$, iar valorile sunt toate sub ea: mulțimea valorilor este $(-\infty ,4)$. Funcția $2^{x-1}$ crește, deci $h$ descrește strict.

Cu $Oy$: $h(0)=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$, deci punctul $\left(0;\frac{7}{2}\right)$. Cu $Ox$: intersecția există, pentru că asimptota $y=4$ este deasupra axei, iar valorile coboară sub orice nivel. Verificăm abscisa $3$: $h(3)=4-2^2=0$. Funcția fiind strict descrescătoare, alt zero nu există, deci punctul este $(3;0)$. Figura E4 confirmă: curba pornește din stânga lipită de dreapta $y=4$, trece prin $\left(0;\frac{7}{2}\right)$ și coboară, tot mai abrupt, prin $(3;0)$.

Exemplul 5 — Uscarea lemnului de foc

Umiditatea unor bușteni de fag puși la uscat sub un șopron este $U(t)=12+48\cdot 0,75^t$ procente, la $t$ săptămâni de la tăiere, pentru $t\in [0,20]$. a) Care este umiditatea inițială și spre ce valoare se apropie umiditatea? b) Calculați $U(2)$. c) Lemnul arde bine când umiditatea scade sub $20$ %. Între ce săptămâni întregi se întâmplă asta?

Rezolvare. a) $U(0)=12+48=60$ %. Asimptota graficului este $y=12$: partea $48\cdot 0,75^t$ scade spre zero, deci umiditatea se apropie de $12$ %, umiditatea de echilibru cu aerul din depozit, fără să ajungă la ea.

b) $0,75^2=0,5625$, deci $U(2)=12+48\cdot 0,5625=39$ %. În două săptămâni lemnul a pierdut $21$ de puncte procentuale, dar partea care se mai poate pierde s-a micșorat și ea.

c) Calculăm două valori: $U(6)=12+48\cdot 0,75^6\approx 20,5$ % și $U(7)=12+48\cdot 0,75^7\approx 18,4$ %. Funcția scade, deci după săptămâna a șasea valorile rămân tot mai mici, iar umiditatea trece sub $20$ % între săptămânile $6$ și $7$. Pe figură, orizontala punctată de $20$ % taie curba chiar în acel interval.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=9^x$. a) Arătați că $f\left(\frac{1}{2}\right)=3$. b) Verificați că punctul $A\left(\frac{1}{2};0\right)$ se află pe graficul funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=9^x-3$, apoi justificați că graficul lui $g$ nu mai are alt punct pe axa $Ox$.

Rezolvare. a) $f\left(\frac{1}{2}\right)=9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3$.

b) Din a), $g\left(\frac{1}{2}\right)=9^{\frac{1}{2}}-3=3-3=0$, deci $A$ este pe grafic. Funcția $g$ este strict crescătoare, ca și $9^x$, deci nu poate lua valoarea $0$ de două ori: $A$ este singurul punct al graficului aflat pe axa $Ox$. Enunțul este un antrenament propriu, construit în stilul cerințelor scurte din lucrarea de bacalaureat, nu un subiect oficial.

Să exersăm

Scrie valorile exacte cu radicali acolo unde se poate și rotunjește doar la final.

1. Calculează exact $81^{\frac{1}{2}}$, $1000^{\frac{1}{3}}$, $0,25^{-\frac{1}{2}}$ și ${\left(\frac{27}{8}\right)}^{-\frac{1}{3}}$.

2. Graficul unei funcții exponențiale $f(x)=a^x$ trece prin punctul $\left(\frac{1}{2};6\right)$. Află baza, apoi verifică dacă punctul $\left(\frac{3}{2};216\right)$ se află pe același grafic.

3. Știind că $\sqrt{2}\approx 1,414$, scrie exact și aproximativ valorile lui $2^x$ pentru $x=\frac{1}{2}$, $x=\frac{3}{2}$ și $x=-\frac{1}{2}$, apoi așază cele trei puncte într-o schiță a graficului.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Graficul funcției $g(x)=2^{x+2}-8$ intersectează axa $Ox$ în punctul $(1;0)$.

5. Funcția $h(x)=1000\cdot 10^x$ înmulțește cu $1000$ fiecare valoare a lui $10^x$. Scrie-o în forma $10^{x-c}$, spune în ce punct ajunge punctul $(0;1)$ al lui $10^x$ și precizează intersecția graficului cu axa $Oy$.

6. Pentru $g(x)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x-6$, precizează monotonia, asimptota, mulțimea valorilor și intersecția cu axa $Oy$, apoi arată că graficul taie axa $Ox$ și încadrează abscisa punctului de intersecție între două numere întregi consecutive.

7. Pentru $u(x)=-4^x$, precizează mulțimea valorilor, monotonia și punctul de pe grafic cu abscisa $\frac{1}{2}$.

8. Graficul unei funcții se obține din graficul lui $3^x$ prin oglindire față de axa $Ox$, urmată de o urcare cu trei unități. Scrie formula funcției, asimptota, mulțimea valorilor și intersecția cu axa $Oy$, apoi verifică faptul că punctul $(1;0)$ se află pe grafic.

9. Figura X9 arată graficul unei funcții de forma $a^{x-c}$, cu punctele marcate $(2;1)$ și $(3;4)$. Determină $c$ și $a$, apoi scrie ordonata punctului de abscisă $1$.

10. Scrie funcția al cărei grafic se obține mutând graficul lui $2^x$ cu două unități spre dreapta și cu trei unități în jos. Precizează asimptota, intersecția cu $Oy$ și între ce numere întregi consecutive se află abscisa intersecției cu $Ox$.

11. (Problemă aplicată.) Într-un model didactic, biomasa unei specii invazive de ctenofor dintr-un golf este $B(t)=2^{t-3}$ mii de tone, la $t$ ani de la prima observare, pentru $t\in [0,6]$. Calculează $B(0)$ și $B(6)$, explică ce înseamnă, în timp, mutarea graficului lui $2^t$ cu trei unități spre dreapta și scrie $B$ ca produs dintre o constantă și $2^t$.

12. Determină mulțimea valorilor funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3^x-2,5$, și cel mai mic număr întreg care aparține acestei mulțimi.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5^{x-1}$. Calculați $f(0)+f(1)+f(2)$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2^x+c$, unde $c$ este un număr real. Determinați numărul real $c$ pentru care punctul $A(3;5)$ aparține graficului funcției $f$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x+1$. Calculați coordonatele punctelor în care graficul funcției $f$ întâlnește axa $Oy$ și dreapta de ecuație $x=-3$.

16. Figura X16 arată cinci curbe notate A, B, C, D și E. Potrivește-le cu funcțiile $2^x+1$, $2^{x+1}$, $-2^x$, $2^{-x}$ și $2^x-1$, folosind doar punctul de pe axa $Oy$ și asimptota fiecărei curbe.

17. Pentru $p(x)=2^{1-x}$ și $q(x)=2^{-x-1}$, precizează punctul de pe axa $Oy$ și descrie transformările care duc de la graficul lui $2^x$ la fiecare dintre ele, în ordinea bună.

18. (Provocare.) Verifică faptul că punctul $(1;2)$ se află atât pe graficul lui $2^x$, cât și pe graficul lui $4-2^x$, arată că alt punct comun nu există și explică de ce cele două curbe sunt simetrice față de dreapta $y=2$.

Răspunsuri și explicații

1. $81^{\frac{1}{2}}=\sqrt{81}=9$; $1000^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{1000}=10$; $0,25^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{0,25}}=\frac{1}{0,5}=2$; ${\left(\frac{27}{8}\right)}^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$.

2. Din $a^{\frac{1}{2}}=6$ rezultă $\sqrt{a}=6$, deci $a=36$, o bază admisă. Apoi $36^{\frac{3}{2}}=36\cdot 36^{\frac{1}{2}}=36\cdot 6=216$, deci și al doilea punct este pe grafic. Baza se putea afla și din al doilea punct, dar calculul cu jumătatea de exponent e mai scurt.

3. $2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\approx 1,414$, $2^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}\approx 2,828$ și $2^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707$. Punctele $\left(-\frac{1}{2};0,707\right)$, $\left(\frac{1}{2};1,414\right)$ și $\left(\frac{3}{2};2,828\right)$ se așază între punctele cu abscise întregi, iar curba trece prin toate.

4. Adevărat. Calculăm $g(1)=2^3-8=0$, deci punctul $(1;0)$ este pe grafic. Funcția $2^{x+2}$ este strict crescătoare, deci $g$ ia valoarea $0$ o singură dată: $(1;0)$ este singurul punct comun al graficului cu axa $Ox$.

5. Cum $1000=10^3$, avem $h(x)=10^3\cdot 10^x=10^{x+3}=10^{x-(-3)}$, deci $c=-3$: înmulțirea cu $1000$ este totuna cu mutarea graficului cu trei unități spre stânga. Punctul $(0;1)$ ajunge în $(-3;1)$, pentru că $h(-3)=10^0=1$. Pe $Oy$, $h(0)=1000$, deci punctul $(0;1000)$.

6. Baza $\frac{1}{3}$ este subunitară, deci $g$ este strict descrescătoare. Asimptota este $y=-6$, iar mulțimea valorilor este $(-6,+\infty )$. Pe $Oy$: $g(0)=1-6=-5$, punctul $(0;-5)$. Mulțimea valorilor conține $0$, deci graficul taie axa $Ox$, o singură dată, fiindcă $g$ este strict descrescătoare. Cum $g(-1)=3-6=-3<0$ și $g(-2)=9-6=3>0$, abscisa punctului de intersecție se află între $-2$ și $-1$.

7. Valorile lui $4^x$ acoperă $(0,+\infty )$, deci ale lui $u$ acoperă $(-\infty ,0)$. Funcția $4^x$ crește, deci $u$ descrește strict. Pentru $x=\frac{1}{2}$: $u\left(\frac{1}{2}\right)=-\sqrt{4}=-2$, punctul $\left(\frac{1}{2};-2\right)$.

8. Funcția este $3-3^x$. Asimptota este $y=3$, iar mulțimea valorilor este $(-\infty ,3)$. Pe $Oy$: $3-1=2$, punctul $(0;2)$. Pentru $x=1$ obținem $3-3^1=0$, deci $(1;0)$ este pe grafic; funcția fiind strict descrescătoare, acesta este singurul ei punct de pe axa $Ox$.

9. La $a^{x-c}$, valoarea $1$ se atinge în $x=c$, deci din punctul $(2;1)$ rezultă $c=2$. Apoi $a^{3-2}=a=4$. Funcția este $4^{x-2}$, iar ordonata punctului de abscisă $1$ este $4^{-1}=\frac{1}{4}$.

10. Funcția este $2^{x-2}-3$. Asimptota este $y=-3$, iar pe $Oy$ avem $2^{-2}-3=\frac{1}{4}-3=-\frac{11}{4}$. Pe $Ox$ trebuie $2^{x-2}=3$; cum $2^1=2<3<4=2^2$, exponentul $x-2$ este între $1$ și $2$, deci abscisa este între $3$ și $4$.

11. $B(0)=2^{-3}=\frac{1}{8}$ mii de tone, adică $125$ de tone, iar $B(6)=2^3=8$ mii de tone. Mutarea cu trei unități spre dreapta înseamnă că evoluția este cea a lui $2^t$ întârziată cu trei ani. Algebric, $B(t)=\frac{1}{8}\cdot 2^t$: la orice moment biomasa este o optime din valoarea modelului neîntârziat. Modelul descrie doar primii ani ai invaziei, pe intervalul declarat.

12. Valorile lui $3^x$ acoperă $(0,+\infty )$, deci ale lui $f$ acoperă $(-2,5;+\infty )$, iar asimptota este $y=-2,5$. Numărul $-2,5$ nu este atins, așa că cel mai mic întreg din mulțime este $-2$: $f(x)=-2$ cere $3^x=0,5$, valoare pozitivă, deci atinsă.

13. $f(0)=5^{-1}=\frac{1}{5}$, $f(1)=5^0=1$ și $f(2)=5^1=5$, deci suma este $\frac{1}{5}+1+5=\frac{31}{5}$.

14. Punctul $A$ este pe grafic exact când $f(3)=5$, adică $2^3+c=5$, deci $c=-3$. Funcția este $f(x)=2^x-3$, cu asimptota $y=-3$; controlul pe $Oy$ dă $f(0)=1-3=-2$.

15. Pe axa $Oy$, $x=0$ și $f(0)=1+1=2$, deci punctul $(0;2)$. Pe dreapta $x=-3$, $f(-3)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}+1=8+1=9$, deci punctul $(-3;9)$. Exponentul negativ inversează baza: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=2^3$.

16. Cele cinci funcții au pe $Oy$ valorile $2$, $2$, $-1$, $1$, $0$ și asimptotele $y=1$, $y=0$, $y=0$, $y=0$, $y=-1$. Curba cu asimptota $y=1$ este $2^x+1$, iar cea cu asimptota $y=-1$ este $2^x-1$. Dintre cele cu asimptota $y=0$, cea de sub axă este $-2^x$, cea descrescătoare este $2^{-x}$, iar cea care taie $Oy$ în $2$ este $2^{x+1}$. Pe figură: A este $2^{x+1}$, B este $2^x+1$, C este $2^{-x}$, D este $2^x-1$, iar E este $-2^x$.

17. $p(0)=2^1=2$ și $q(0)=2^{-1}=\frac{1}{2}$. Scriem $p(x)=2^{-(x-1)}$: pornim de la $2^x$, îl oglindim față de $Oy$ și obținem $2^{-x}$, apoi îl mutăm cu o unitate spre dreapta. Scriem $q(x)=2^{-(x+1)}$: aceeași oglindire, apoi mutarea cu o unitate spre stânga. Ambele sunt strict descrescătoare, cu asimptota $y=0$; mai mult, $p(x)=2\cdot 2^{-x}$ și $q(x)=\frac{1}{2}\cdot 2^{-x}$, deci $p(x)=4q(x)$ pentru orice $x$.

18. Pentru $x=1$, $2^1=2$ și $4-2^1=2$, deci $(1;2)$ este pe ambele grafice. Alt punct comun nu există, pentru că prima funcție crește strict, iar a doua descrește strict: la stânga lui $1$ prima curbă este sub a doua, iar la dreapta deasupra. Suma celor două valori este $4$ pentru orice $x$, deci media lor este $2$: la fiecare abscisă, punctele celor două grafice sunt la aceeași distanță de dreapta $y=2$, de o parte și de alta.

De reținut

• Funcția exponențială $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=a^x$, cu $a>0$ și $a\ne 1$, are sens pe toată axa; pentru exponenți $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{3}$, valorile sunt $\sqrt{a}$ și $\sqrt[3]{a}$.
• Graficul se construiește dintr-un tabel cu valori exacte, iar punctele se unesc printr-o curbă netedă care nu atinge axa $Ox$.
• La $a^x+c$, asimptota devine $y=c$, mulțimea valorilor $(c,+\infty )$, iar intersecția cu $Ox$ există numai pentru $c<0$.
• La $a^{x-c}$, punctul $(0;1)$ ajunge în $(c;1)$, asimptota rămâne $y=0$, iar $a^{x-c}=a^{-c}\cdot a^x$.
• Graficul lui $-a^x$ este oglinda față de $Ox$, al lui $a^{-x}$ oglinda față de $Oy$; la transformări combinate, ordinea se citește din formulă.

Greșeli frecvente

• Calculezi $a^{\frac{1}{2}}$ ca jumătate din bază. $16^{\frac{1}{2}}$ este $\sqrt{16}=4$, nu $8$. Exponentul $\frac{1}{2}$ cere rădăcina pătrată, nu împărțirea la doi.
• Pui în tabel numai abscise pozitive. Cu $x=0,1,2,3$ desenezi doar ramura care urcă și nu vezi apropierea de asimptotă. Adaugă $x=-1$ și $x=-2$: pentru $2^x$ valorile $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{4}$ arată cum curba se lipește de axa $Ox$ fără s-o atingă.
• Urci graficul înainte să-l oglindești. Pentru $1-3^x$ ordinea bună este oglindirea lui $3^x$ față de $Ox$, apoi urcarea cu o unitate, iar asimptota ajunge la $y=1$. Dacă urci întâi și oglindești după, desenezi $-3^x-1$, cu asimptota $y=-1$ și toate valorile sub ea.
• Citești $c$ ca ordonată la origine pentru $a^x+c$. Pe $Oy$ valoarea este $a^0+c=1+c$, nu $c$. Numărul $c$ este ordonata asimptotei, nu a punctului de pe grafic.
• Închizi mulțimea valorilor la capătul asimptotei. Pentru $-a^x$ mulțimea este $(-\infty ,0)$, cu paranteză rotundă la zero: nicio valoare nu este chiar zero.

Aplică acasă

1. Desenează pe hârtie milimetrică graficul lui $1,5^x$ pe $[-3,3]$, apoi copiază-l pe o foaie de hârtie de calc, împreună cu axele. Glisează foaia de calc cu trei unități în jos, apoi cu două spre dreapta, și de fiecare dată notează unde a ajuns punctul $(0;1)$ și unde a ajuns asimptota. Scrie formula fiecărei curbe obținute și verifică un punct prin calcul.
2. Într-o aplicație de grafice, scrie pe rând $2^x$, $2^x-3$, $2^{x-3}$, $-2^x$ și $2^{-x}$. Pentru fiecare notează într-un tabel punctul de pe $Oy$, asimptota și mulțimea valorilor, apoi verifică fiecare rând prin calcul, fără desen.
3. Pe hârtie milimetrică, marchează punctele graficului lui $2^x$ cu abscisele $-2$, $-1$, $0$, $1$ și $2$, apoi, cu altă culoare, punctele cu aceleași abscise, dar cu ordonatele dublate. Desenează separat graficul lui $2^x$ mutat cu o unitate spre stânga și verifică, punct cu punct, că se suprapune peste punctele colorate. Scrie în două propoziții ce ai arătat.

Pentru părinți și profesori

Lecția aduce funcția exponențială la nivelul clasei a X-a, pornind explicit de la pagina din clasa a IX-a, unde elevul a citit graficul. Aici graficul se construiește: din tabele cu valori exacte pentru exponenți de forma $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{3}$, cu radicali, și din transformări justificate prin calcul. Monotonia după bază și oglindirea dintre bazele inverse sunt considerate cunoscute. Puterile cu exponent irațional se folosesc cu calculatorul, iar construcția lor rămâne în lecțiile de supliment ale programei de examen.

De urmărit: dacă elevul unește punctele tabelului printr-o curbă, nu prin segmente; dacă scrie asimptota după fiecare translație; dacă citește corect ordinea transformărilor dintr-o formulă ca $4-2^{x-1}$. O întrebare bună de control este „unde ajunge punctul $(0;1)$ și unde ajunge asimptota?”; elevul care răspunde separat pentru fiecare transformare a înțeles lecția. Proprietățile algebrice ale funcției urmează în lecția următoare.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028: unitatea de funcții numește funcția exponențială $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=a^x$, cu $a>0$ și $a\ne 1$, și monotonia ei. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care conține funcția exponențială, reprezentarea grafică prin puncte și lectura grafică a proprietăților. În modelul oficial publicat pentru 2026, exponențiala apare numai în problema de analiză a Subiectului al III-lea; exercițiile marcate aici sunt antrenamente proprii.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: funcția exponențială, definiție și reprezentare grafică. Pagina precedentă a traseului este ecuațiile cu radicali, la M2, iar cea următoare este proprietățile funcției exponențiale, la M2. Recapitularea unității se face cu testul M2 de rată a creșterii, compunere și inversare.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre definiția și graficul exponențialei?

Varianta M1 construiește puterile cu exponent real și demonstrează fiecare trăsătură a graficului. Varianta M2 pornește de la lectura grafică din clasa a IX-a, calculează exact valorile pentru exponenții $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{3}$ cu radicali și pune accentul pe transformări: translații, oglindiri și ordinea lor, cu un model de uscare a lemnului.

În ce subiect al probei M2 se poate cere graficul exponențialei?

Pentru sesiunile 2027–2029, programa M_șt-nat trece funcția exponențială la clasa a X-a și cere reprezentarea ei grafică prin puncte, fără să împartă temele pe subiecte. Modelul oficial din 2026 o folosește numai în problema de analiză de la Subiectul al III-lea. Pentru MAT_P2 din 2030, tema este în domeniul „Algebră”.

Ce aduce lecția aceasta față de pagina de funcție exponențială din clasa a IX-a?

În clasa a IX-a ai citit proprietățile pe grafice date și ai confirmat citirile cu calculatorul. Acum construiești graficul din valori exacte, inclusiv la exponenți fracționari, justifici prin calcul poziția a două curbe cu baze diferite și descrii complet, fără desen, graficele obținute prin mutări și oglindiri.

De ce graficul lui $10^{x+1}$ este și o mutare pe orizontală, și o întindere pe verticală?

Pentru că $10^{x+1}=10\cdot 10^x$. Citită ca $10^{x-(-1)}$, formula mută curba cu o unitate spre stânga; citită ca produs, înmulțește fiecare valoare cu zece. Cele două descrieri dau aceeași curbă, o proprietate specială a exponențialei, pe care nici dreptele, nici parabolele nu o au în general.

Cum îmi dau seama dacă am schițat corect graficul lui $a^x+c$?

Fă trei controale scurte. Asimptota punctată trebuie să fie dreapta $y=c$, iar curba să stea toată de aceeași parte a ei. Punctul de pe axa $Oy$ trebuie să fie la înălțimea $1+c$. Sensul de variație trebuie să fie cel al lui $a^x$, pentru că adunarea unei constante nu schimbă monotonia. Dacă un control nu iese, refă desenul înainte să citești ceva de pe el.

De ce folosim tabele cu exponenți fracționari, dacă avem calculator?

Pentru că dau puncte exacte, pe care le poți verifica fără aparat, și pentru că arată legătura dintre puteri și radicali. Un tabel cu pasul $\frac{1}{2}$ dublează numărul punctelor sigure și face curba mai ușor de desenat corect. Calculatorul rămâne util pentru exponenții iraționali și pentru verificare.