Care dintre descrierile de mai jos definește complet un șir?

$$u_1 = 4$$ și $$u_{n+1} = 3u_n - 5$$, pentru $$n \ge 1$$

$$u_{n+1} = 3u_n - 5$$, fără alte date

lista $$4$$, $$7$$, $$16$$, urmată de puncte de suspensie

Cum obțin formula explicită dintr-o recurență uₙ₊₁=quₙ+c?

Diferența față de echilibru formează o progresie geometrică: uₙ-L=(u₁-L)qⁿ⁻¹. Pentru uₙ₊₁=0,5uₙ+6 și u₁=20, uₙ=12+8·0,5ⁿ⁻¹. Verificare: u₂=12+4=16, ca în calculul pas cu pas. Formula arată de ce termenii se apropie de 12: puterile lui 0,5 devin tot mai mici.

Ce recurență are șirul uₙ=2·3ⁿ?

Compari doi termeni vecini: uₙ₊₁=2·3ⁿ⁺¹=3·2·3ⁿ=3uₙ. Recurența este uₙ₊₁=3uₙ, cu termenul inițial u₁=6. Fără termenul inițial, relația ar descrie orice progresie geometrică de rație 3. Proba: u₂=2·9=18=3·6.

Ce este valoarea de echilibru a unei recurențe?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Moduri de definire și recurență

Pentru o recurență $u_{n + 1} = q u_{n} + c$ , cu $q \neq = 1$ , valoarea de echilibru $L$ verifică $L = q L + c$ : un șir care pornește din $L$ rămâne constant. Exemplu: $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 6$ are $L = 12$ . Pornind de la $u_{1} = 20$ , termenii sunt $16$ , $14$ , $13$ , apropiindu-se de $12$ , fiindcă diferența $u_{n} - 12$ se înjumătățește la fiecare pas: $8$ , $4$ , $2$ , $1$ .

Un șir e bine definit abia când o regulă fixează fără echivoc termenul de pe fiecare poziție. Regula poate fi o propoziție în cuvinte, o expresie în $n$ sau o relație care produce termenul următor din cei deja calculați. Câțiva termeni urmați de puncte de suspensie nu ajung: după ei, orice continuare e posibilă.

La o relație de ordinul întâi, de forma $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , ai nevoie de un termen de pornire; la una de ordinul al doilea, de doi termeni de pornire vecini. Când calculezi, pui în relație rangul termenului anterior, nu pe al celui nou.

Relațiile $u_{n + 1} = q u_{n} + c$ , cu $q \neq = 1$ , au un număr special $L$ , cu $L = q L + c$ : dacă pornești din el, șirul stă pe loc. Diferența $u_{n} - L$ se înmulțește cu $q$ la fiecare pas, deci este o progresie geometrică, iar de aici iese formula explicită. Invers, dintr-o formulă explicită obții o relație pas cu pas exprimând partea care se schimbă prin termenul curent.

Pe grafic, un șir apare ca puncte separate, câte unul deasupra fiecărui rang, fără linie între ele. Graficul te ajută să ghicești regula; calculul sau inducția o confirmă.

De reținut

echilibrul $L$ al lui $u_{n + 1} = q u_{n} + c$ verifică $L = q L + c$
$u_{n} - L = (u_{1} - L) q^{n - 1}$
la ordinul întâi se dă $u_{1}$ , la ordinul al doilea $u_{1}$ și $u_{2}$

Greșeala tipică

Se crede că $u_{n + 1} = q u_{n} + c$ fără termen inițial definește un șir; fără $u_{1}$ , aceeași relație se potrivește cu nesfârșit de multe șiruri, iar termenul inițial îl fixează pe cel căutat.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre descrierile de mai jos definește complet un șir?
- a) $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 5$ , fără alte date
- b) $u_{1} = 4$ și $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 5$ , pentru $n \geq 1$
- c) lista $4$ , $7$ , $16$ , urmată de puncte de suspensie
- d) $u_{1} = 4$ și $u_{3} = 16$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $u_{1} = 4$ și $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 5$ , pentru $n \geq 1$

Numai varianta cu termenul inițial și relația fixează fiecare termen: $u_{2} = 7$ , $u_{3} = 16$ , $u_{4} = 43$ și tot așa. Relația singură descrie o infinitate de șiruri, iar o listă sau doi termeni izolați nu spun ce urmează.
Se dau $a_{1} = 3$ și $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 5$ . Cât este $a_{4}$ ?
- a) $- 3$
- b) $- 11$
- c) $1$
- d) $- 19$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 11$

Calculezi pas cu pas: $a_{2} = 2 \cdot 3 - 5 = 1$ , $a_{3} = 2 \cdot 1 - 5 = - 3$ , $a_{4} = 2 \cdot (- 3) - 5 = - 11$ .
Se dau $b_{1} = 2$ , $b_{2} = 5$ și $b_{n + 2} = b_{n + 1} - 2 b_{n}$ . Cât este $b_{4}$ ?
- a) $1$
- b) $9$
- c) $- 9$
- d) $- 11$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 9$

Relația are nevoie de doi termeni vecini: $b_{3} = 5 - 2 \cdot 2 = 1$ , apoi $b_{4} = 1 - 2 \cdot 5 = - 9$ .

Întrebări conexe

Cum obțin formula explicită dintr-o recurență $u_{n + 1} = q u_{n} + c$ ?

Diferența față de echilibru formează o progresie geometrică: $u_{n} - L = (u_{1} - L) q^{n - 1}$ . Pentru $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 6$ și $u_{1} = 20$ , $u_{n} = 12 + 8 \cdot 0, 5^{n - 1}$ . Verificare: $u_{2} = 12 + 4 = 16$ , ca în calculul pas cu pas. Formula arată de ce termenii se apropie de $12$ : puterile lui $0, 5$ devin tot mai mici.

Câți termeni inițiali cere o recurență de ordinul al doilea?

Doi termeni vecini. Pentru $u_{n + 2} = u_{n + 1} + 2 u_{n}$ cu $u_{1} = 1$ și $u_{2} = 1$ , obții $u_{3} = 1 + 2 = 3$ , $u_{4} = 3 + 2 = 5$ și $u_{5} = 5 + 6 = 11$ . Cu un singur termen dat, relația nu poate calcula nimic, fiindcă cere doi termeni anteriori.

Ce recurență are șirul $u_{n} = 2 \cdot 3^{n}$ ?

Compari doi termeni vecini: $u_{n + 1} = 2 \cdot 3^{n + 1} = 3 \cdot 2 \cdot 3^{n} = 3 u_{n}$ . Recurența este $u_{n + 1} = 3 u_{n}$ , cu termenul inițial $u_{1} = 6$ . Fără termenul inițial, relația ar descrie orice progresie geometrică de rație $3$ . Proba: $u_{2} = 2 \cdot 9 = 18 = 3 \cdot 6$ .

Ce se întâmplă cu un șir recurent care pornește chiar din echilibru?

Rămâne constant. Pentru $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 6$ și $u_{1} = 12$ , $u_{2} = 0, 5 \cdot 12 + 6 = 12$ , și tot așa la fiecare pas. Echilibrul este singura valoare de pornire care dă un șir constant pentru această recurență.

Cum modelez cu o recurență cantitatea unui medicament luat zilnic?

Dacă organismul elimină $30%$ pe zi și se adaugă zilnic $14$ mg, cantitatea verifică $u_{n + 1} = 0, 7 u_{n} + 14$ . Echilibrul este $\frac{14}{0 , 3} \approx 46, 7$ mg: după multe zile, cantitatea se stabilizează în jurul acestei valori.

Oamenii mai întreabă și: echilibrul unui șir recurent · punctul fix al recurenței · valoarea spre care tinde un șir recurent · L egal qL plus c