Câtă apă are un bol semisferic umplut parțial?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Sfera, cilindrul, conul

Se rotește profilul cercului, $f (x) = R^{2} - x^{2}$ , doar pe porțiunea ocupată de apă. Pentru un bol cu raza $R = 10$ cm umplut până la $4$ cm, apa corespunde intervalului $[6, 10]$ , iar volumul este $π \int_{6}^{10} (100 - x^{2}) d x = \frac{416 π}{3} \approx 435, 6$ cm³. Rezultatul coincide cu formula calotei, $\frac{π h ^{2} ( 3 R - h )}{3}$ , pentru $h = 4$ . Bolul plin ar avea $\frac{2000 π}{3} \approx 2094$ cm³.

Cele trei formule de volum învățate pe de rost în gimnaziu se obțin acum din aceeași integrală. Pentru fiecare corp rămâne de aflat conturul care îl naște și intervalul pe care lucrează: valoarea constantă $r$ pe $[0, h]$ naște cilindrul; segmentul $\frac{r}{h} x$ pe $[0, h]$ , pornit din vârful reperului, naște conul; arcul superior al cercului cu centrul acolo, $r^{2} - x^{2}$ pe $[- r, r]$ , naște bila.

A treia parte a conului se naște din primitiva puterii a doua, care poartă un $3$ dedesubt — aceeași fracție pe care o are piramida față de prismă, și tot pentru că tăietura scade proporțional cu pătratul depărtării de vârf.

La bilă radicalul se pierde singur, pentru că ridicarea la a doua îl desface; rămâne un polinom, citit din tabel fără nicio tehnică specială. Conturul iese din teorema lui Pitagora, scrisă în planul care taie corpul.

Ce s-a dovedit și ce s-a primit. Cilindrul a stat la temelia formulei generale, așa că reapariția lui e o potrivire, nu o demonstrație; conul și bila sunt, în schimb, dovedite cu adevărat, de vreme ce formulele lor din gimnaziu n-au intrat în raționament. O emisferă sau o porțiune tăiată de două plane cer același contur, doar cu alte limite. Așezarea față de reper se alege liber, dar se ține până la capăt.

De reținut

bila: profilul $r^{2} - x^{2}$ pe $[- r, r]$ ; conul: $\frac{r}{h} x$ pe $[0, h]$
o felie de bilă folosește același profil, pe alt interval
rezultatele se verifică pe formulele din gimnaziu

Greșeala tipică

La bilă se ia intervalul $[0, r]$ și se obține doar jumătate din volum; profilul $r^{2} - x^{2}$ acoperă toată bila numai pe $[- r, r]$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care este volumul conului circular drept cu raza bazei $12$ și înălțimea $8$ ?
- a) $384 π$
- b) $1152 π$
- c) $576 π$
- d) $256 π$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $384 π$

Cu vârful în origine, profilul este $f (x) = \frac{3 x}{2}$ pe $[0, 8]$ , iar $π \int_{0}^{8} \frac{9 x ^{2}}{4} d x = \frac{9 π}{4} \cdot \frac{512}{3} = 384 π$ ; formula $\frac{π r ^{2} h}{3}$ confirmă. Varianta b) este volumul cilindrului cu aceeași bază și aceeași înălțime, adică a uitat treimea; c) împarte la $2$ în loc de $3$ ; d) schimbă raza cu înălțimea.
Care este volumul bilei de rază $15$ ?
- a) $900 π$
- b) $1125 π$
- c) $4500 π$
- d) $300 π$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $4500 π$

Cu profilul $f (x) = 225 - x^{2}$ pe $[- 15, 15]$ , pătratul desființează radicalul și rămâne $π \int_{- 15}^{15} (225 - x^{2}) d x = \frac{4 π \cdot 3375}{3} = 4500 π$ . Varianta b) este aria sferei, $4 π r^{2}$ , adică învelișul, nu materia dinăuntru; c) uită factorul $4$ ; d) folosește $r^{2}$ în loc de $r^{3}$ .
O bilă de rază $7$ , așezată cu centrul în origine, este tăiată de planele perpendiculare pe axa $O x$ duse prin punctele de abscise $- 3$ și $1$ . Care este volumul feliei dintre ele?
- a) $\frac{560 π}{3}$
- b) $196 π$
- c) $\frac{1120 π}{3}$
- d) $\frac{560 π}{9}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{560 π}{3}$

Același profil al bilei, $f (x) = 49 - x^{2}$ , pe alt interval: $π \int_{- 3}^{1} (49 - x^{2}) d x = π (49 x - \frac{x ^{3}}{3})_{- 3}^{1} = π (\frac{146}{3} + 138) = \frac{560 π}{3}$ . Varianta b) uită termenul $\frac{x ^{3}}{3}$ , c) dublează rezultatul, iar d) împarte încă o dată la $3$ . Pentru o bucată de bilă nu e nevoie de nicio formulă nouă.

Întrebări conexe

Cum verific formula $\frac{4}{3} π r^{3}$ pe o bilă de rază $3$ ?

Rotești $9 - x^{2}$ pe $[- 3, 3]$ : $π \int_{- 3}^{3} (9 - x^{2}) d x = π (54 - 18) = 36 π$ . Formula dă $\frac{4}{3} π \cdot 27 = 36 π$ , același număr. Pătratul face radicalul să dispară, deci calculul rămâne unul cu polinoame. Metoda arată de unde vine formula, nu doar că ea dă rezultatul corect.

Cum obțin volumul unui con cu raza $5$ și înălțimea $12$ ?

Pui vârful în origine și rotești segmentul $f (x) = \frac{5 x}{12}$ pe $[0, 12]$ : $π \int_{0}^{12} \frac{25 x ^{2}}{144} d x = π \cdot \frac{25 \cdot 1728}{432} = 100 π$ . Formula $\frac{1}{3} π r^{2} h$ dă tot $100 π$ . Treimea din formulă vine din primitiva lui $x^{2}$ , care are $3$ la numitor.

Ce volum are un trunchi de con obținut prin rotație?

Segmentul de la $(0, 2)$ la $(6, 5)$ are ecuația $f (x) = 2 + \frac{x}{2}$ , iar $π \int_{0}^{6} (2 + \frac{x}{2})^{2} d x = \frac{2 π}{3} (125 - 8) = 78 π$ . Formula trunchiului, $\frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2})$ , dă $2 π \cdot 39 = 78 π$ . Trunchiul apare când segmentul rotit nu trece prin origine, deci raza nu pornește de la zero.

De ce volumul semisferei este jumătate din volumul bilei?

Profilul $r^{2} - x^{2}$ este simetric față de axa $O y$ , deci integrala pe $[0, r]$ este jumătate din cea pe $[- r, r]$ . La raza $3$ , semisfera are $18 π$ , jumătate din $36 π$ .

Cât cântărește o bilă de oțel cu raza de $1$ cm?

Volumul bilei este $\frac{4}{3} π \approx 4, 19$ cm³. Cu densitatea oțelului de aproximativ $7, 85$ g/cm³, masa este aproximativ $4, 19 \cdot 7, 85 \approx 32, 9$ g. Volumul se poate obține și prin integrala profilului $1 - x^{2}$ .

Oamenii mai întreabă și: volumul apei dintr-un bol semisferic · volumul unei calote sferice cu integrala · cât lichid e într-o emisferă umplută parțial · volumul unei felii de sferă