Evaluare sumativă — Semestrul I

Matematică · Clasa a VII-a

Exerciții

Exercițiul 1 — Estimarea rădăcinii pătrate (8 puncte)

Se dă numărul $\sqrt{70}$.

a) Între ce două numere naturale consecutive se află $\sqrt{70}$? (2 p)

b) Scrieți aproximarea prin lipsă și aproximarea prin adaos a lui $\sqrt{70}$, cu o zecimală exactă. (3 p)

c) Comparați $\sqrt{70}$ cu $8,5$. (3 p)

Exercițiul 2 — Mulțimea numerelor reale (8 puncte)

Se dă mulțimea de numere: $$-7,0,\frac{4}{9},\sqrt{25},\sqrt{13},-\sqrt{4}.$$

a) Scrieți elementele care sunt numere naturale. (2 p)

b) Scrieți elementele care sunt numere întregi, dar nu naturale. (2 p)

c) Scrieți elementul care este număr rațional, dar nu întreg. (2 p)

d) Scrieți elementul care este număr irațional. (2 p)

Exercițiul 3 — Operații cu radicali (10 puncte)

Calculați:

a) $\sqrt{18}+\sqrt{50}-\sqrt{8}$ (4 p)

b) $\sqrt{3}\cdot \sqrt{12}$ (2 p)

c) $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}$ (2 p)

d) $(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)$ (2 p)

Exercițiul 4 — Raționalizare și comparare de numere reale (10 puncte)

a) Raționalizați numitorul: $\frac{6}{\sqrt{3}}$ (3 p)

b) Raționalizați numitorul: $\frac{6}{2\sqrt{5}}$ (4 p)

c) Comparați numerele $3\sqrt{2}$ și $2\sqrt{5}$. (3 p)

Exercițiul 5 — Ecuație liniară (10 puncte)

Se dă ecuația: $$\frac{2x-1}{3}-\frac{x+2}{2}=1.$$

a) Rezolvați ecuația. (7 p)

b) Verificați soluția obținută. (3 p)

Exercițiul 6 — Sistem de ecuații liniare (12 puncte)

Se dă sistemul: $$\{\begin{array}{l}3x+2y=18\\ x-2y=-2\end{array}$$

a) Rezolvați sistemul prin metoda reducerii. (9 p)

b) Verificați soluția obținută. (3 p)

Exercițiul 7 — Problemă cu ecuație: vârste (12 puncte)

Suma vârstelor a doi frați este de $34$ de ani. Fratele mai mare are cu $6$ ani mai mult decât fratele mai mic.

a) Notați cu $x$ vârsta fratelui mic și scrieți ecuația corespunzătoare problemei. (3 p)

b) Rezolvați ecuația. (5 p)

c) Precizați vârsta fiecărui frate și verificați rezultatul. (4 p)

Exercițiul 8 — Problemă cu sistem: bilete la spectacol (12 puncte)

La un spectacol s-au vândut $120$ de bilete, unele pentru adulți (cu prețul de $35$ de lei) și altele pentru copii (cu prețul de $15$ lei). Suma încasată din vânzarea biletelor a fost de $3000$ de lei.

a) Notați cu $a$ numărul biletelor pentru adulți și cu $c$ numărul biletelor pentru copii, apoi scrieți sistemul corespunzător problemei. (3 p)

b) Rezolvați sistemul obținut. (6 p)

c) Precizați câte bilete de fiecare fel s-au vândut și verificați rezultatul. (3 p)

Exercițiul 9 — Organizarea datelor și reperul cartezian (8 puncte)

Notele obținute de $8$ elevi la un test de matematică au fost: $$6,8,7,9,8,7,8,10.$$

a) Întocmiți tabelul de frecvențe (notă — de câte ori apare) și calculați media aritmetică a notelor. (4 p)

b) În reperul cartezian $xOy$ se dau punctele $M(-3,4)$ și $N(2,4)$. Precizați cadranul în care se află punctul $M$ și calculați lungimea segmentului $MN$. (4 p)

Barem

Exercițiul 1

a) $8^2=64<70<81=9^2$, deci $8<\sqrt{70}<9$. (2 p)

b) $8,3^2=68,89<70$ și $8,4^2=70,56>70$, deci aproximarea prin lipsă este $8,3$, iar aproximarea prin adaos este $8,4$. (3 p)

c) $8,5^2=72,25>70$, deci $\sqrt{70}<8,5$. (3 p)

Exercițiul 2

Se observă că $\sqrt{25}=5$ și $-\sqrt{4}=-2$.

a) Numere naturale: $\{0,5\}$. (2 p)

b) Numere întregi, dar nu naturale: $\{-7,-2\}$. (2 p)

c) Număr rațional, dar nu întreg: $\frac{4}{9}$. (2 p)

d) Număr irațional: $\sqrt{13}$ (13 nu este pătrat perfect). (2 p)

Exercițiul 3

a) $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, deci $3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$. (4 p)

b) $\sqrt{3}\cdot \sqrt{12}=\sqrt{36}=6$. (2 p)

c) $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\sqrt{9}=3$. (2 p)

d) $(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)=7-4=3$. (2 p)

Exercițiul 4

a) $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$. (3 p)

b) $\frac{6}{2\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{2\cdot 5}=\frac{6\sqrt{5}}{10}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$. (4 p)

c) $(3\sqrt{2}{)}^2=9\cdot 2=18$ și $(2\sqrt{5}{)}^2=4\cdot 5=20$. Cum $20>18$, rezultă $2\sqrt{5}>3\sqrt{2}$. (3 p)

Exercițiul 5

a) Amplificăm ecuația cu $6$ (c.m.m.m.c. al numitorilor $3$ și $2$): $$2(2x-1)-3(x+2)=6$$ $$4x-2-3x-6=6$$ $$x-8=6$$ $$x=14.$$ (7 p)

b) Verificare: $\frac{2\cdot 14-1}{3}-\frac{14+2}{2}=\frac{27}{3}-\frac{16}{2}=9-8=1$ ✓ (3 p)

Exercițiul 6

a) Adunăm cele două ecuații (coeficienții lui $y$ sunt opuși): $$(3x+2y)+(x-2y)=18+(-2)$$ $$4x=16\Rightarrow x=4.$$ Înlocuim în a doua ecuație: $4-2y=-2\Rightarrow -2y=-6\Rightarrow y=3.$ (9 p)

b) Verificare: $3\cdot 4+2\cdot 3=12+6=18$ ✓; $4-2\cdot 3=4-6=-2$ ✓. (3 p)

Exercițiul 7

a) Fie $x$ vârsta fratelui mic; vârsta fratelui mare este $x+6$. Ecuația: $x+(x+6)=34$. (3 p)

b) $2x+6=34\Rightarrow 2x=28\Rightarrow x=14$. (5 p)

c) Fratele mic are $14$ ani, fratele mare are $14+6=20$ ani. Verificare: $14+20=34$ ✓, iar $20-14=6$ ✓. (4 p)

Exercițiul 8

a) Fie $a$ numărul biletelor pentru adulți și $c$ numărul biletelor pentru copii. Sistemul: $$\{\begin{array}{l}a+c=120\\ 35a+15c=3000\end{array}$$ (3 p)

b) Din prima ecuație: $c=120-a$. Înlocuim în a doua: $$35a+15(120-a)=3000$$ $$35a+1800-15a=3000$$ $$20a=1200\Rightarrow a=60.$$ Atunci $c=120-60=60$. (6 p)

c) S-au vândut $60$ de bilete pentru adulți și $60$ de bilete pentru copii. Verificare: $60+60=120$ ✓; $35\cdot 60+15\cdot 60=2100+900=3000$ ✓. (3 p)

Exercițiul 9

a) Tabelul de frecvențe: (2 p)

Suma notelor $=6+8+7+9+8+7+8+10=63$; media $=63:8=7,875$. (2 p)

b) Punctul $M(-3,4)$ are abscisa negativă și ordonata pozitivă, deci se află în cadranul al II-lea. (2 p) Punctele $M$ și $N$ au aceeași ordonată ($y=4$), deci segmentul $MN$ este paralel cu axa $Ox$, iar lungimea lui este $|2-(-3)|=5$. (2 p)

Total: 90 de puncte + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți

Acest test verifică, la final de semestru, principalele teme parcurse în semestrul I al clasei a VII-a: rădăcina pătrată (estimări și aproximări), mulțimea numerelor reale $\mathbb{R}$, operații cu numere reale și radicali, ecuații liniare, sisteme de două ecuații liniare, probleme rezolvate cu ecuații și sisteme și organizarea datelor împreună cu reperul cartezian. Itemii sunt așezați în ordinea crescătoare a dificultății și folosesc contexte variate (vârste, bilete, note școlare, geometrie).

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, fără calculator, cu toate calculele scrise. Notarea: împărțiți punctajul obținut la 10 (ex.: 87 de puncte → nota 8,7 ≈ 9).
• Sfat: după corectare, reluați împreună doar itemii greșiți, folosind explicațiile din barem. Greșelile la simplificarea radicalilor și la scrierea sistemului dintr-o problemă sunt cele mai frecvente la această vârstă.