Evaluare sumativă — Semestrul al II-lea

Matematică · Clasa a VII-a

Exerciții

Exercițiul 1 — Patrulaterul convex și paralelogramul (8 puncte)

În paralelogramul $ABCD$, diagonalele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$.

a) Măsura unghiului $A$ este $72°$. Calculează măsurile unghiurilor $B$, $C$ și $D$. (4 p)

b) Se știe că $OA=2x+1$ (cm) și $OC=3x-2$ (cm). Determină $x$ și calculează lungimea diagonalei $AC$. (4 p)

Exercițiul 2 — Romb — paralelogram particular (9 puncte)

O placă decorativă are forma unui romb $ABCD$ cu diagonalele $d_1=16$ cm și $d_2=12$ cm.

a) Calculează lungimea laturii rombului. (3 p)

b) Calculează aria plăcii. (3 p)

c) Calculează perimetrul plăcii. (3 p)

Exercițiul 3 — Trapezul (9 puncte)

Un blat de masă are forma unui trapez isoscel $ABCD$, cu $AB\parallel DC$, $AB=20$ cm (baza mare), $DC=8$ cm (baza mică) și laturile laterale $AD=BC=10$ cm.

a) Calculează lungimea liniei mijlocii a trapezului. (2 p)

b) Calculează înălțimea trapezului. (4 p)

c) Calculează aria trapezului. (3 p)

Exercițiul 4 — Aria și perimetrul unei grădini paralelogram (10 puncte)

O grădină are forma unui paralelogram $ABCD$ cu latura $AB=24$ m, latura $AD=15$ m, iar înălțimea corespunzătoare laturii $AB$ este $h=9$ m.

a) Calculează aria grădinii. (5 p)

b) Calculează perimetrul grădinii. (5 p)

Exercițiul 5 — Terenul triunghiular (10 puncte)

Un teren are forma unui triunghi dreptunghic $ABC$, dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=12$ m și $AC=9$ m.

a) Calculează aria terenului. (4 p)

b) Calculează perimetrul terenului (ai nevoie și de lungimea ipotenuzei $BC$). (6 p)

Exercițiul 6 — Cercul: aleea din jurul unei alei circulare (11 puncte)

O fântână circulară are raza $r=6$ m. În jurul ei se amenajează o alee pavată, până la un cerc concentric cu raza $R=9$ m. Lasă rezultatele în funcție de $\pi$, apoi calculează și valoarea aproximativă, cu $\pi \approx 3,14$.

a) Calculează lungimea cercului interior (marginea fântânii). (3 p)

b) Calculează aria aleii pavate (coroana circulară dintre cele două cercuri). (4 p)

c) O parte din alee, corespunzătoare unui unghi la centru de $60°$ (măsurat pe cercul mare), se pavează cu alt tip de piatră. Calculează aria sectorului de cerc de $60°$ din cercul mare (raza $R$). (4 p)

Exercițiul 7 — Asemănarea triunghiurilor (11 puncte)

În triunghiul $ABC$, punctul $M$ se află pe latura $AB$, iar $N$ pe latura $AC$, astfel încât $MN\parallel BC$. Se știe că $AM=6$ cm, $AB=15$ cm și $AN=8$ cm.

a) Calculează lungimea segmentului $NC$. (4 p)

b) Știind că $BC=20$ cm, calculează lungimea segmentului $MN$. (4 p)

c) Calculează raportul dintre aria triunghiului $AMN$ și aria triunghiului $ABC$. (3 p)

Exercițiul 8 — Relații metrice în triunghiul dreptunghic (11 puncte)

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, iar $AD$ este înălțimea din $A$ pe ipotenuza $BC$. Se știe că $BD=4$ cm și $DC=9$ cm.

a) Calculează lungimea înălțimii $AD$. (3 p)

b) Calculează lungimile catetelor $AB$ și $AC$ (rezultate cu radicali). (4 p)

c) Calculează aria triunghiului $ABC$. (4 p)

Exercițiul 9 — Trigonometrie în triunghiul dreptunghic (11 puncte)

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$, cu catetele $CA=9$ cm și $CB=12$ cm.

a) Calculează lungimea ipotenuzei $AB$. (3 p)

b) Calculează $\sin A$, $\cos A$ și $\mathrm{tg}A$ (ca fracție și ca număr zecimal). (4 p)

c) O scară sprijinită de un perete are lungimea de $6$ m și formează cu solul un unghi de $30°$. La ce înălțime de sol ajunge vârful scării?

(4 p)

Barem

Punctaj: 90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Exercițiul 1 (8 p)

a) Unghiuri consecutive suplementare, unghiuri opuse congruente: $B=180°-72°=108°$; $C=A=72°$; $D=B=108°$. (4 p)

b) Diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc: $OA=OC\Rightarrow 2x+1=3x-2\Rightarrow x=3$. Atunci $OA=OC=7$ cm, deci $AC=OA+OC=14$ cm. (4 p)

Exercițiul 2 (9 p)

Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc: jumătățile lor sunt $8$ cm și $6$ cm.

a) Latura rombului este ipotenuza triunghiului dreptunghic format de jumătățile diagonalelor: $\ell =\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ cm. (3 p)

b) $A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}=\frac{16\cdot 12}{2}=96$ cm². (3 p)

c) $P=4\cdot \ell =4\cdot 10=40$ cm. (3 p)

Exercițiul 3 (9 p)

a) Linia mijlocie $=\frac{AB+DC}{2}=\frac{20+8}{2}=14$ cm. (2 p)

b) Proiecția laturii laterale pe bază: $\frac{AB-DC}{2}=\frac{20-8}{2}=6$ cm. Înălțimea este cateta unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza $10$ cm și cealaltă catetă $6$ cm: $h=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$ cm. (4 p)

c) $A=\frac{(AB+DC)}{2}\cdot h=14\cdot 8=112$ cm². (3 p)

Exercițiul 4 (10 p)

a) $A=AB\cdot h=24\cdot 9=216$ m². (5 p)

b) $P=2\cdot (AB+AD)=2\cdot (24+15)=78$ m. (5 p)

Exercițiul 5 (10 p)

a) $A=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{12\cdot 9}{2}=54$ m². (4 p)

b) Ipotenuza: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ m. Perimetrul: $P=AB+AC+BC=12+9+15=36$ m. (6 p)

Exercițiul 6 (11 p)

a) $L=2\pi r=2\pi \cdot 6=12\pi$ m $\approx 12\cdot 3,14=37,68$ m. (3 p)

b) $A_{\text{coroana˘}}=\pi R^2-\pi r^2=\pi (81-36)=45\pi$ m² $\approx 45\cdot 3,14=141,3$ m². (4 p)

c) Aria discului mare este $\pi R^2=81\pi$. Sectorul de $60°$ reprezintă $\frac{60}{360}=\frac{1}{6}$ din disc: $A_{\text{sector}}=\frac{81\pi }{6}=13,5\pi$ m² $\approx 13,5\cdot 3,14=42,39$ m². (4 p)

Exercițiul 7 (11 p)

a) $MB=AB-AM=15-6=9$ cm. Din Thales, $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\Rightarrow \frac{6}{9}=\frac{8}{NC}\Rightarrow NC=\frac{8\cdot 9}{6}=12$ cm. (4 p)

b) $\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$, deci $MN=\frac{2}{5}\cdot 20=8$ cm. (4 p)

c) Triunghiurile $AMN$ și $ABC$ sunt asemenea cu raportul $k=\frac{AM}{AB}=\frac{2}{5}$; raportul ariilor este $k^2=\frac{4}{25}$. (3 p)

Exercițiul 8 (11 p)

a) Teorema înălțimii: $AD=\sqrt{BD\cdot DC}=\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6$ cm. (3 p)

b) $BC=BD+DC=4+9=13$ cm. Teorema catetei: $AB=\sqrt{BD\cdot BC}=\sqrt{4\cdot 13}=2\sqrt{13}$ cm; $AC=\sqrt{DC\cdot BC}=\sqrt{9\cdot 13}=3\sqrt{13}$ cm. (4 p)

c) $A=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{2\sqrt{13}\cdot 3\sqrt{13}}{2}=\frac{6\cdot 13}{2}=39$ cm² (verificare: $\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{13\cdot 6}{2}=39$). (4 p)

Exercițiul 9 (11 p)

a) $AB=\sqrt{C{A}^2+C{B}^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ cm. (3 p)

b) Față de unghiul $A$: opusă $=CB=12$, alăturată $=CA=9$, ipotenuza $=AB=15$. $$\sin A=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}=0,8;\cos A=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}=0,6;\mathrm{tg}A=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\approx 1,33.$$ (4 p)

c) Înălțimea la care ajunge vârful scării este cateta opusă unghiului de $30°$: $h=6\cdot \sin 30°=6\cdot \frac{1}{2}=3$ m. (4 p)

Total: 90 de puncte + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți

Acest test verifică, la final de semestru, principalele teme de geometrie parcurse în semestrul al II-lea al clasei a VII-a: patrulaterul convex și paralelogramul, paralelograme particulare (romb) și trapezul, perimetre și arii ale patrulaterelor și triunghiului, cercul, asemănarea triunghiurilor și relații metrice în triunghiul dreptunghic împreună cu trigonometria. Itemii sunt așezați în ordinea crescătoare a dificultății și folosesc atât figuri abstracte, cât și contexte aplicative (grădini, terenuri, alei).

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu instrumente de geometrie (riglă, echer, raportor) și fără calculator. Se admit aproximările $\pi \approx 3,14$ și valorile trigonometrice remarcabile ($30°$, $45°$, $60°$). Notarea: împărțiți punctajul obținut la 10 (ex.: 86 de puncte → nota 8,6 ≈ 9).
• Sfat: după corectare, reluați împreună doar itemii greșiți, folosind explicațiile din barem. La fiecare problemă de geometrie, elevul ar trebui să deseneze figura și să noteze datele pe ea înainte de a calcula.