Fișă de exersare: calcule cu unghiuri

Unitatea: Unghiuri: perechi de unghiuri și bisectoarea · Clasa a VI-a · Matematică

Exerciții

Exercițiul 1. Complement și suplement (4 puncte)

Se dă un unghi cu măsura de $37^{\circ }$.

a) Calculați măsura complementului său. (2p) b) Calculați măsura suplementului său. (2p)

Exercițiul 2. Unghiuri opuse la vârf (5 puncte)

Două drepte $AB$ și $CD$ se intersectează în punctul $O$. Se știe că $m(\widehat{AOC})=110^{\circ }$.

a) Calculați $m(\widehat{BOD})$ și justificați. (2p) b) Calculați $m(\widehat{AOD})$ și $m(\widehat{BOC})$. (3p)

Exercițiul 3. Unghiuri în jurul unui punct (5 puncte)

În jurul punctului $O$ sunt trei unghiuri adiacente, fără părți interioare comune, cu măsurile $3x$, $4x$ și $5x$.

a) Scrieți ecuația care exprimă faptul că unghiurile sunt în jurul unui punct și determinați $x$. (3p) b) Calculați măsura fiecărui unghi. (2p)

Exercițiul 4. Unghiuri adiacente (4 puncte)

Unghiurile $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ sunt adiacente (au vârful comun $O$ și latura comună $[OB$), cu $m(\widehat{AOB})=35^{\circ }$ și $m(\widehat{BOC})=48^{\circ }$.

a) Calculați $m(\widehat{AOC})$. (2p) b) Stabiliți dacă unghiul $\widehat{AOC}$ este ascuțit, drept sau obtuz. (2p)

Exercițiul 5. Unghiuri complementare (5 puncte)

Două unghiuri sunt complementare, iar unul dintre ele este de $4$ ori mai mare decât celălalt.

a) Notați cu $x$ unghiul mai mic, scrieți ecuația și determinați $x$. (3p) b) Scrieți măsura fiecăruia dintre cele două unghiuri. (2p)

Exercițiul 6. Unghiuri suplementare (6 puncte)

Două unghiuri sunt suplementare, iar unul este cu $30^{\circ }$ mai mare decât celălalt.

a) Notați cu $x$ unghiul mai mic și scrieți ecuația. (2p) b) Determinați măsura fiecărui unghi. (2p) c) Precizați care dintre unghiuri este ascuțit și care este obtuz. (2p)

Exercițiul 7. Bisectoarea unui unghi (5 puncte)

Semidreapta $[OM$ este bisectoarea unghiului $\widehat{AOB}$, iar $m(\widehat{AOM})=29^{\circ }$.

a) Calculați $m(\widehat{MOB})$ și justificați. (2p) b) Calculați $m(\widehat{AOB})$. (3p)

Exercițiul 8. Două drepte concurente (6 puncte)

Dreptele $AB$ și $CD$ se intersectează în $O$. Măsurile a două unghiuri opuse la vârf sunt $m(\widehat{AOC})=2x+10^{\circ }$ și $m(\widehat{BOD})=x+40^{\circ }$.

a) Folosind congruența unghiurilor opuse la vârf, determinați $x$. (2p) b) Calculați măsurile celor patru unghiuri formate. (3p) c) Scrieți cele două perechi de unghiuri opuse la vârf. (1p)

Exercițiul 9. Bisectoare succesive (6 puncte)

Se dă unghiul $\widehat{AOB}$ cu $m(\widehat{AOB})=124^{\circ }$. Semidreapta $[OC$ este bisectoarea unghiului $\widehat{AOB}$, iar semidreapta $[OD$ este bisectoarea unghiului $\widehat{AOC}$.

a) Calculați $m(\widehat{AOC})$. (2p) b) Calculați $m(\widehat{AOD})$. (2p) c) Calculați $m(\widehat{DOB})$. (2p)

Exercițiul 10. Adevărat sau fals, cu motivare (6 puncte)

Stabiliți dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justificați pe scurt.

a) Două unghiuri opuse la vârf au întotdeauna aceeași măsură. (1,5p) b) Două unghiuri adiacente sunt întotdeauna suplementare. (1,5p) c) Complementul unui unghi ascuțit este tot un unghi ascuțit. (1,5p) d) Un unghi obtuz are complement. (1,5p)

Exercițiul 11. Aplicație — acele ceasului (6 puncte)

Pe cadranul unui ceas, cele $12$ diviziuni împart cercul în unghiuri egale, deci trecerea de la o oră la următoarea corespunde unui unghi de $30^{\circ }$ în centru.

a) Calculați măsura unghiului mai mic dintre cele două ace la ora $3:00$. (2p) b) Calculați măsura unghiului mai mic dintre cele două ace la ora $5:00$. (2p) c) Pentru ora $5:00$, precizați natura unghiului (ascuțit/drept/obtuz) și calculați suplementul lui. (2p)

Exercițiul 12. Construcția bisectoarei (6 puncte)

Se dă un unghi oarecare $\widehat{AOB}$.

a) Descrieți pașii construcției bisectoarei unghiului $\widehat{AOB}$ cu rigla și compasul. (4p) b) Explicați cum verificați, cu raportorul, că semidreapta construită este într-adevăr bisectoarea. (2p)

Exercițiul 13. Împărțirea unui unghi (6 puncte)

În interiorul unghiului $\widehat{AOB}$ cu $m(\widehat{AOB})=140^{\circ }$ se construiește semidreapta $[OC$ astfel încât $m(\widehat{AOC})=3\cdot m(\widehat{COB})$.

a) Notați $m(\widehat{COB})=x$, scrieți ecuația și determinați $x$. (3p) b) Calculați $m(\widehat{AOC})$. (1p) c) Stabiliți dacă $[OC$ este bisectoarea unghiului $\widehat{AOB}$ și justificați. (2p)

Exercițiul 14. Unghiuri în jurul unui punct cu necunoscută (6 puncte)

În jurul punctului $O$ sunt patru unghiuri adiacente, fără părți interioare comune, cu măsurile $x+10^{\circ }$, $2x$, $x+30^{\circ }$ și $x+20^{\circ }$.

a) Scrieți ecuația și determinați $x$. (3p) b) Calculați măsura fiecărui unghi și verificați că suma lor este $360^{\circ }$. (3p)

Exercițiul 15. Bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare (5 puncte)

Punctele $A$, $O$, $C$ sunt coliniare ($[OA$ și $[OC$ sunt semidrepte opuse), iar $[OB$ este o semidreaptă oarecare de aceeași parte a dreptei $AC$. Astfel, $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ sunt adiacente și suplementare. Se știe că $m(\widehat{AOB})=70^{\circ }$. Semidreapta $[OM$ este bisectoarea unghiului $\widehat{AOB}$, iar $[ON$ este bisectoarea unghiului $\widehat{BOC}$.

a) Calculați $m(\widehat{BOC})$, apoi $m(\widehat{MOB})$ și $m(\widehat{BON})$. (3p) b) Calculați $m(\widehat{MON})$ și explicați de ce bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare formează mereu un unghi de $90^{\circ }$. (2p)

Exercițiul 16. Problemă aplicată — intersecție de drumuri (9 puncte)

Două drumuri drepte se intersectează în punctul $O$. Unul dintre cele patru unghiuri formate, $\widehat{AOC}$, are măsura de $40^{\circ }$.

a) Calculați $m(\widehat{BOD})$ și precizați ce fel de pereche formează cu $\widehat{AOC}$. (2p) b) Calculați $m(\widehat{AOD})$ și $m(\widehat{BOC})$. (2p) c) Verificați că suma măsurilor celor patru unghiuri din jurul lui $O$ este $360^{\circ }$. (2p) d) Semidreapta $[OM$ este bisectoarea unghiului $\widehat{AOD}$. Calculați $m(\widehat{AOM})$ și apoi $m(\widehat{MOC})$. (3p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 100 p = 10 p din oficiu + 90 p pe itemi.

Exercițiul 1 (4p)

a) Complementul: $90^{\circ }-37^{\circ }=53^{\circ }$. (2p) b) Suplementul: $180^{\circ }-37^{\circ }=143^{\circ }$. (2p)

Exercițiul 2 (5p)

a) $\widehat{AOC}$ și $\widehat{BOD}$ sunt opuse la vârf, deci congruente: $m(\widehat{BOD})=110^{\circ }$. (2p) b) $\widehat{AOD}$ este adiacent și suplementar cu $\widehat{AOC}$: $m(\widehat{AOD})=180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }$. La fel, $m(\widehat{BOC})=70^{\circ }$ (opus la vârf cu $\widehat{AOD}$). (3p)

Exercițiul 3 (5p)

a) Suma este $360^{\circ }$: $3x+4x+5x=360^{\circ }\Rightarrow 12x=360^{\circ }\Rightarrow x=30^{\circ }$. (3p) b) Unghiurile sunt $3\cdot 30^{\circ }=90^{\circ }$, $4\cdot 30^{\circ }=120^{\circ }$, $5\cdot 30^{\circ }=150^{\circ }$. (Verificare: $90+120+150=360^{\circ }$ ✓) (2p)

Exercițiul 4 (4p)

a) $m(\widehat{AOC})=m(\widehat{AOB})+m(\widehat{BOC})=35^{\circ }+48^{\circ }=83^{\circ }$. (2p) b) $83^{\circ }<90^{\circ }$ → unghiul $\widehat{AOC}$ este ascuțit. (2p)

Exercițiul 5 (5p)

a) Unghiul mai mic $=x$, cel mare $=4x$. Complementare: $x+4x=90^{\circ }\Rightarrow 5x=90^{\circ }\Rightarrow x=18^{\circ }$. (3p) b) Unghiurile sunt $18^{\circ }$ și $4\cdot 18^{\circ }=72^{\circ }$. (Verificare: $18+72=90^{\circ }$ ✓) (2p)

Exercițiul 6 (6p)

a) Unghiul mai mic $=x$, cel mare $=x+30^{\circ }$. Suplementare: $x+(x+30^{\circ })=180^{\circ }$. (2p) b) $2x+30^{\circ }=180^{\circ }\Rightarrow 2x=150^{\circ }\Rightarrow x=75^{\circ }$. Unghiurile sunt $75^{\circ }$ și $105^{\circ }$. (2p) c) $75^{\circ }<90^{\circ }$ → ascuțit; $105^{\circ }>90^{\circ }$ → obtuz. (2p)

Exercițiul 7 (5p)

a) Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente, deci $m(\widehat{MOB})=m(\widehat{AOM})=29^{\circ }$. (2p) b) $m(\widehat{AOB})=2\cdot 29^{\circ }=58^{\circ }$. (3p)

Exercițiul 8 (6p)

a) Unghiurile opuse la vârf sunt congruente: $2x+10^{\circ }=x+40^{\circ }\Rightarrow x=30^{\circ }$. (2p) b) $m(\widehat{AOC})=2\cdot 30^{\circ }+10^{\circ }=70^{\circ }$; deci $m(\widehat{BOD})=70^{\circ }$. Celelalte două (suplementare cu acestea): $m(\widehat{AOD})=m(\widehat{BOC})=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$. (3p) c) Perechile opuse la vârf: $\{\widehat{AOC},\widehat{BOD}\}$ și $\{\widehat{AOD},\widehat{BOC}\}$. (1p)

Exercițiul 9 (6p)

a) $[OC$ bisectoarea lui $\widehat{AOB}$: $m(\widehat{AOC})=124^{\circ }:2=62^{\circ }$. (2p) b) $[OD$ bisectoarea lui $\widehat{AOC}$: $m(\widehat{AOD})=62^{\circ }:2=31^{\circ }$. (2p) c) $m(\widehat{DOB})=m(\widehat{AOB})-m(\widehat{AOD})=124^{\circ }-31^{\circ }=93^{\circ }$. (2p)

Exercițiul 10 (6p)

a) A. Unghiurile opuse la vârf sunt întotdeauna congruente (au aceeași măsură). (1,5p) b) F. Unghiurile adiacente sunt suplementare doar dacă laturile necomune sunt semidrepte opuse (formează o dreaptă). În general, suma lor poate fi orice valoare (ex.: $35^{\circ }$ și $48^{\circ }$ din Exercițiul 4). (1,5p) c) A. Dacă unghiul are măsura $x$ cu $0^{\circ }<x<90^{\circ }$, atunci complementul său $90^{\circ }-x$ este tot între $0^{\circ }$ și $90^{\circ }$, deci ascuțit. (1,5p) d) F. Un unghi obtuz are măsura mai mare de $90^{\circ }$, deci $90^{\circ }-x$ ar fi negativ — complementul nu există. (1,5p)

Exercițiul 11 (6p)

a) La ora $3:00$ acele sunt despărțite de $3$ diviziuni: $3\cdot 30^{\circ }=90^{\circ }$. (2p) b) La ora $5:00$ sunt $5$ diviziuni: $5\cdot 30^{\circ }=150^{\circ }$. (2p) c) $150^{\circ }>90^{\circ }$ → unghi obtuz; suplementul: $180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$. (2p)

Exercițiul 12 (6p)

a) Pași (bisectoarea cu rigla și compasul): (4p — câte 1p pe pas)

1. Cu vârful compasului în $O$ și o deschidere oarecare, se trasează un arc care taie latura $[OA$ în punctul $P$ și latura $[OB$ în punctul $Q$.
2. Cu vârful compasului în $P$ și o deschidere mai mare decât jumătatea distanței $PQ$, se trasează un arc în interiorul unghiului.
3. Cu aceeași deschidere și vârful în $Q$, se trasează un al doilea arc, care taie primul în punctul $R$.
4. Se trasează semidreapta $[OR$ — aceasta este bisectoarea unghiului $\widehat{AOB}$. b) Cu raportorul se măsoară $\widehat{AOR}$ și $\widehat{ROB}$; dacă au aceeași măsură (fiecare jumătate din $\widehat{AOB}$), semidreapta $[OR$ este bisectoarea. (2p)

Exercițiul 13 (6p)

a) $m(\widehat{COB})=x$, $m(\widehat{AOC})=3x$. Suma: $3x+x=140^{\circ }\Rightarrow 4x=140^{\circ }\Rightarrow x=35^{\circ }$. (3p) b) $m(\widehat{AOC})=3\cdot 35^{\circ }=105^{\circ }$. (1p) c) Nu este bisectoare: bisectoarea ar împărți unghiul în două părți egale ($70^{\circ }$ și $70^{\circ }$), dar aici părțile sunt $105^{\circ }$ și $35^{\circ }$, diferite. (2p)

Exercițiul 14 (6p)

a) $(x+10^{\circ })+2x+(x+30^{\circ })+(x+20^{\circ })=360^{\circ }\Rightarrow 5x+60^{\circ }=360^{\circ }\Rightarrow 5x=300^{\circ }\Rightarrow x=60^{\circ }$. (3p) b) Unghiurile: $x+10^{\circ }=70^{\circ }$; $2x=120^{\circ }$; $x+30^{\circ }=90^{\circ }$; $x+20^{\circ }=80^{\circ }$. Verificare: $70+120+90+80=360^{\circ }$ ✓ (3p)

Exercițiul 15 (5p)

a) $m(\widehat{BOC})=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$ (suplementare). Bisectoarele: $m(\widehat{MOB})=70^{\circ }:2=35^{\circ }$ și $m(\widehat{BON})=110^{\circ }:2=55^{\circ }$. (3p) b) $m(\widehat{MON})=m(\widehat{MOB})+m(\widehat{BON})=35^{\circ }+55^{\circ }=90^{\circ }$. Justificare generală: dacă $m(\widehat{AOB})=2a$ și $m(\widehat{BOC})=2b$ cu $2a+2b=180^{\circ }$, atunci $a+b=90^{\circ }$; cum $m(\widehat{MON})=a+b$, rezultă mereu $90^{\circ }$. (2p)

Exercițiul 16 (9p)

a) $\widehat{BOD}$ este opus la vârf cu $\widehat{AOC}$, deci $m(\widehat{BOD})=40^{\circ }$. (2p) b) $\widehat{AOD}$ și $\widehat{BOC}$ sunt suplementare cu $\widehat{AOC}$: $m(\widehat{AOD})=m(\widehat{BOC})=180^{\circ }-40^{\circ }=140^{\circ }$. (2p) c) Suma în jurul lui $O$: $40^{\circ }+140^{\circ }+40^{\circ }+140^{\circ }=360^{\circ }$ ✓ (2p) d) $[OM$ bisectoarea lui $\widehat{AOD}$: $m(\widehat{AOM})=140^{\circ }:2=70^{\circ }$. $\widehat{AOC}$ și $\widehat{AOM}$ sunt adiacente (latura comună $[OA$, iar $[OM$ și $[OC$ de o parte și de alta), deci $m(\widehat{MOC})=m(\widehat{AOM})+m(\widehat{AOC})=70^{\circ }+40^{\circ }=110^{\circ }$. (3p)

Total: 90 p pe itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Pentru părinți

Această fișă consolidează capitolul despre perechi de unghiuri: unghiuri opuse la vârf, unghiuri în jurul unui punct, unghiuri adiacente, unghiuri complementare și suplementare și bisectoarea unui unghi (inclusiv construcția ei). Itemii combină calculul direct cu raționamentul, justificarea și probleme aplicate.

• Punctaj total: 100 de puncte (10 puncte din oficiu + 90 de puncte pe itemi).
• Timp recomandat: 80–90 de minute, de lucru continuu.
• Materiale necesare: riglă gradată, raportor și compas (itemul de construcție se rezolvă pe hârtie, cu instrumente).
• Cum se aplică: elevul lucrează singur, fără ajutor, ca la o evaluare. La sfârșit verificați împreună cu Baremul și răspunsurile. Punctaje orientative pe note: 45–59 p ≈ nota 6; 60–74 p ≈ nota 7–8; 75–89 p ≈ nota 9; 90–100 p ≈ nota 10.
• Sfat: la itemii cu „justificați" sau „A/F cu motivare", răspunsul fără explicație nu primește punctaj integral.

Notație folosită: $\widehat{AOB}$ sau $m(\widehat{AOB})$ înseamnă „măsura unghiului $AOB$". Reține: două unghiuri sunt complementare dacă suma măsurilor lor este $90^{\circ }$ și suplementare dacă suma este $180^{\circ }$; unghiurile opuse la vârf sunt congruente; suma măsurilor unghiurilor din jurul unui punct este $360^{\circ }$; bisectoarea împarte un unghi în două unghiuri congruente.