Fișă de exersare: ecuații și probleme în ℚ

Disciplina: Matematică · Clasa: a VI-a · Unitatea: Mulțimea numerelor raționale ℚ

Exerciții

Exercițiul 1. (6 puncte)

Efectuează calculele, scriind rezultatul ca fracție ireductibilă:

• a) $\frac{3}{4}+\left(-\frac{5}{6}\right)$
• b) $-\frac{2}{3}-\left(-\frac{7}{12}\right)$

Exercițiul 2. (6 puncte)

Calculează:

• a) $\left(-\frac{2}{5}\right)\cdot \frac{15}{8}$
• b) $\left(-\frac{9}{14}\right):\left(-\frac{3}{7}\right)$

Exercițiul 3. (5 puncte)

Respectând ordinea efectuării operațiilor, calculează: $$-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\cdot \left(\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\right)$$

Exercițiul 4. (9 puncte)

Calculează puterile cu exponent întreg:

• a) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}$
• b) ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^{-3}$
• c) $(-3{)}^0+{\left(\frac{1}{5}\right)}^{-1}$

Exercițiul 5. (5 puncte)

Fie numărul rațional $-2,5$.

• a) Scrie opusul său.
• b) Calculează $\left|-\frac{3}{4}\right|-\left|\frac{1}{4}\right|$.

Exercițiul 6. (5 puncte)

Ordonează crescător numerele raționale: $$-\frac{3}{4},\frac{2}{3},-\frac{5}{6},\frac{1}{2},-1$$

Exercițiul 7. (6 puncte)

Pe axa numerelor de mai jos, fiecare diviziune reprezintă $\frac{1}{4}$.

• a) Scrie numerele raționale corespunzătoare punctelor A, B și C.
• b) Care dintre punctele A, B, C este cel mai apropiat de 0? Justifică folosind modulul.

Exercițiul 8. (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică răspunsul:

• a) Orice număr rațional negativ este mai mic decât opusul său.
• b) $(-2{)}^{-2}=-\frac{1}{4}$.
• c) Modulul oricărui număr rațional este un număr strict pozitiv.
• d) Câtul a două numere raționale negative este un număr pozitiv.

Exercițiul 9. (6 puncte)

Rezolvă ecuațiile:

• a) $x+\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$
• b) $\frac{2}{3}\cdot x=-\frac{4}{9}$

Exercițiul 10. (5 puncte)

Rezolvă în ℚ ecuația: $$3x-\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$$

Exercițiul 11. (5 puncte)

Rezolvă ecuația, desfăcând mai întâi paranteza: $$2\left(x-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}$$

Exercițiul 12. (5 puncte)

Rezolvă în ℚ ecuația: $$\frac{x}{2}-\frac{x}{3}=\frac{5}{6}$$

Exercițiul 13. (7 puncte)

Pentru achiziții, o persoană cheltuiește $\frac{2}{5}$ din suma de bani pe o carte și $\frac{1}{3}$ din suma inițială pe un caiet. După aceste cumpărături îi rămân 16 lei.

• a) Notează cu $S$ suma inițială și scrie ecuația care modelează situația.
• b) Determină suma inițială $S$.

Exercițiul 14. (6 puncte)

La ora 6 dimineața, temperatura aerului era de $-3,5^{\circ }\text{C}$. Până la prânz a crescut cu $7,2^{\circ }\text{C}$, iar până seara a scăzut cu $4,3^{\circ }\text{C}$. Ce temperatură s-a înregistrat seara? Scrie calculul ca o singură expresie cu numere raționale.

Exercițiul 15. (6 puncte)

Un comerciant a vândut $\frac{1}{4}$ din cantitatea de marfă dimineața și $\frac{3}{8}$ din cantitatea inițială după-amiaza. Au rămas nevândute 45 kg.

• a) Scrie ecuația cu necunoscuta $c$ = cantitatea inițială.
• b) Câtă marfă a avut comerciantul la început?

Exercițiul 16. (6 puncte)

Un elev își planifică economiile lunare. Triplul unei sume, micșorat cu $\frac{1}{2}$ lei, este egal cu $\frac{5}{2}$ lei.

• a) Scrie ecuația, notând suma cu $x$.
• b) Rezolvă ecuația și verifică soluția prin înlocuire în enunț.

Exercițiul 17. (4 puncte)

Arată, prin verificare, că $x=5$ este soluția ecuației: $$\frac{x-1}{2}=\frac{x+3}{4}$$ Apoi precizează: ecuația are o singură soluție sau mai multe? Justifică pe scurt.

Barem și răspunsuri

Total: 100 de puncte. Se acordă punctaj parțial pentru pașii corecți de calcul.

1. (6 p) — câte 3 p pentru fiecare subpunct.

• a) $\frac{3}{4}-\frac{5}{6}=\frac{9}{12}-\frac{10}{12}=\boxed{-\frac{1}{12}}$
• b) $-\frac{2}{3}+\frac{7}{12}=-\frac{8}{12}+\frac{7}{12}=\boxed{-\frac{1}{12}}$

2. (6 p) — câte 3 p.

• a) $\left(-\frac{2}{5}\right)\cdot \frac{15}{8}=-\frac{30}{40}=\boxed{-\frac{3}{4}}$
• b) Împărțirea = înmulțire cu inversul: $\left(-\frac{9}{14}\right)\cdot \left(-\frac{7}{3}\right)=\frac{63}{42}=\boxed{\frac{3}{2}}$ (semne negative → rezultat pozitiv).

3. (5 p) — paranteza întâi (2 p), apoi înmulțirea (1 p), apoi adunarea (2 p). $\frac{2}{3}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}-\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$; $\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8}$; $-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}=-\frac{4}{8}+\frac{3}{8}=\boxed{-\frac{1}{8}}$

4. (9 p) — câte 3 p.

• a) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\boxed{\frac{9}{4}}$
• b) ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^{-3}=(-2{)}^3=\boxed{-8}$
• c) $(-3{)}^0+{\left(\frac{1}{5}\right)}^{-1}=1+5=\boxed{6}$

5. (5 p)

• a) (2 p) Opusul lui $-2,5$ este $\boxed{2,5}$ (adică $\frac{5}{2}$).
• b) (3 p) $\left|-\frac{3}{4}\right|-\left|\frac{1}{4}\right|=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\boxed{\frac{1}{2}}$

6. (5 p) — 2 p transformarea în formă comparabilă, 3 p ordonarea. Valori aproximative: $-1$; $-\frac{5}{6}\approx -0,83$; $-\frac{3}{4}=-0,75$; $\frac{1}{2}=0,5$; $\frac{2}{3}\approx 0,67$. Ordinea crescătoare: $\boxed{-1<-\frac{5}{6}<-\frac{3}{4}<\frac{1}{2}<\frac{2}{3}}$

7. (6 p)

• a) (3 p) Fiecare diviziune = $\frac{1}{4}$. A la 3 diviziuni la stânga: $A=-\frac{3}{4}$; B la 5 diviziuni la dreapta: $B=\frac{5}{4}$; C la 6 diviziuni la stânga: $C=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}$.
• b) (3 p) Distanța față de 0 = modulul: $|A|=\frac{3}{4}$, $|B|=\frac{5}{4}$, $|C|=\frac{3}{2}$. Cum $\frac{3}{4}$ este cel mai mic, A este cel mai apropiat de 0.

8. (8 p) — câte 2 p (1 p A/F + 1 p justificare).

• a) A. Dacă $x<0$, atunci opusul $-x>0$, deci $x<0<-x$, adică $x<-x$.
• b) F. $(-2{)}^{-2}=\frac{1}{(-2{)}^2}=\frac{1}{4}$ (pozitiv), nu $-\frac{1}{4}$.
• c) F. Modulul lui 0 este 0, care nu este strict pozitiv; modulul este $\ge 0$.
• d) A. Câtul a două numere de același semn (negativ : negativ) este pozitiv.

9. (6 p) — câte 3 p.

• a) $x=\frac{1}{2}-\frac{3}{4}=\frac{2}{4}-\frac{3}{4}=\boxed{-\frac{1}{4}}$
• b) $x=-\frac{4}{9}:\frac{2}{3}=-\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{2}=-\frac{12}{18}=\boxed{-\frac{2}{3}}$

10. (5 p) $3x=\frac{5}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}+\frac{2}{4}=\frac{7}{4}$; $x=\frac{7}{4}:3=\boxed{\frac{7}{12}}$

11. (5 p) $2x-\frac{2}{3}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2x=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{3}{6}+\frac{4}{6}=\frac{7}{6}$; $x=\frac{7}{6}:2=\boxed{\frac{7}{12}}$ (Acceptă și metoda: împărțire cu 2 mai întâi → $x-\frac{1}{3}=\frac{1}{4}$, $x=\frac{7}{12}$.)

12. (5 p) Aducere la numitor comun 6: $\frac{3x}{6}-\frac{2x}{6}=\frac{x}{6}=\frac{5}{6}\Rightarrow \boxed{x=5}$

13. (7 p)

• a) (3 p) $S-\frac{2}{5}S-\frac{1}{3}S=16$.
• b) (4 p) Partea cheltuită: $\frac{2}{5}+\frac{1}{3}=\frac{6}{15}+\frac{5}{15}=\frac{11}{15}$. Partea rămasă: $1-\frac{11}{15}=\frac{4}{15}$. Deci $\frac{4}{15}S=16\Rightarrow S=16\cdot \frac{15}{4}=\boxed{60\text{ lei}}$.

14. (6 p) — 3 p expresia, 3 p rezultatul. $-3,5+7,2-4,3=3,7-4,3=\boxed{-0,6^{\circ }\text{C}}$ (echivalent: $-\frac{35}{10}+\frac{72}{10}-\frac{43}{10}=-\frac{6}{10}=-\frac{3}{5}$).

15. (6 p)

• a) (3 p) $c-\frac{1}{4}c-\frac{3}{8}c=45$.
• b) (3 p) Vândut: $\frac{1}{4}+\frac{3}{8}=\frac{2}{8}+\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$. Rămas: $\frac{3}{8}c=45\Rightarrow c=45\cdot \frac{8}{3}=\boxed{120\text{ kg}}$.

16. (6 p)

• a) (2 p) $3x-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$.
• b) (4 p) $3x=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=\frac{6}{2}=3\Rightarrow x=\boxed{1\text{ leu}}$. Verificare: $3\cdot 1-\frac{1}{2}=3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$ ✓.

17. (4 p) — 2 p verificarea, 2 p justificarea. Înlocuim $x=5$: membrul stâng $\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2$; membrul drept $\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2$. Cum $2=2$, $x=5$ este soluție. Ecuația este de gradul I (după desfacerea numitorilor: $2(x-1)=x+3\Rightarrow x=5$), deci are o singură soluție.

Pentru părinți

Această fișă consolidează tot ce a învățat copilul în unitatea „Mulțimea numerelor raționale ℚ": forme de scriere, axă, opus și modul, comparare, cele patru operații, puteri cu exponent întreg, ordinea operațiilor și — în prim-plan — ecuațiile și problemele rezolvabile cu ecuații.

• Punctaj total: 100 de puncte (vezi punctajul fiecărui item).
• Timp recomandat: 50–60 de minute, de lucru individual, fără calculator.
• Cum se aplică: copilul rezolvă pe o foaie separată, scriind toți pașii (la ecuații se cere desfășurarea calculului, nu doar răspunsul). După rezolvare, comparați cu secțiunea Barem și răspunsuri.
• Cum se interpretează: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = reluați tipurile de itemi greșiți.

Sfat: la probleme, cereți-i copilului să noteze necunoscuta (de obicei „fie x …") și să verifice soluția la final, înlocuind-o în enunț.