Fișă de exersare: procente și mărimi proporționale

Exerciții

Exercițiul 1 (4 puncte)

a) Simplifică raportul $\frac{24}{36}$ . (2p)
b) Scrie sub formă de raport simplificat (cu aceeași unitate de măsură) raportul dintre $750 g$ și $1, 5 kg$ . (2p)

Exercițiul 2 (5 puncte)

a) Scrie sub formă de procent raportul $\frac{3}{4}$ . (2p)
b) Într-o clasă de $25$ de elevi, $7$ au obținut nota $10$ la teză. Ce procent dintre elevi au luat nota $10$ ? (3p)

Exercițiul 3 (5 puncte)

a) Calculează $15%$ din $240$ . (2p)
b) Un depozit are $1280$ de produse, dintre care $35%$ sunt produse alimentare. Câte produse alimentare sunt în depozit? (3p)

Exercițiul 4 (5 puncte)

a) $20%$ dintr-un număr este egal cu $50$ . Află numărul. (2p)
b) Un elev a citit $45$ de pagini dintr-o carte, ceea ce reprezintă $30%$ din numărul total de pagini. Câte pagini are cartea? (3p)

Exercițiul 5 (5 puncte)

Un produs costă $250$ de lei. La casă se aplică o reducere de $18%$ .

a) Cu cât (în lei) se reduce prețul? (2p)
b) Cât plătește clientul după reducere? (3p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Un articol are prețul fără TVA de $400$ de lei, iar cota de TVA este de $21%$ .

a) Care este valoarea TVA-ului, în lei? (2p)
b) Care este prețul cu TVA inclus? (2p)
c) Dacă prețul cu TVA se mărește ulterior cu $5%$ , care devine noul preț? (2p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

O persoană depune $2000$ de lei la bancă, cu o dobândă simplă de $6%$ pe an.

a) Ce dobândă primește după un an? (2p)
b) Ce sumă va avea în cont după un an? (2p)
c) Ce dobândă totală primește după $2$ ani (dobândă simplă)? (2p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

a) Verifică, folosind proprietatea fundamentală a proporțiilor, dacă egalitatea $\frac{6}{15} = \frac{8}{20}$ este o proporție. (2p)
b) Află numărul $x$ din proporția $\frac{x}{12} = \frac{15}{20}$ . (2p)
c) Află numărul $y$ din proporția $\frac{7}{y} = \frac{21}{27}$ . (2p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Numerele $a$ și $b$ verifică proporția $\frac{a}{b} = \frac{9}{5}$ . Folosind proporțiile derivate, calculează:

a) $\frac{a + b}{b}$ ; (3p)
b) $\frac{a + b}{a - b}$ . (3p)

Exercițiul 10 (6 puncte)

Trei numere $a$ , $b$ și $c$ sunt direct proporționale cu $2$ , $3$ și $5$ (adică $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5}$ ), iar suma lor este $120$ .

a) Determină valoarea comună a rapoartelor. (2p)
b) Află numerele $a$ , $b$ și $c$ . (4p)

Exercițiul 11 (6 puncte)

Mărimile $x$ și $y$ sunt direct proporționale. Completează valorile care lipsesc din tabel și precizează coeficientul de proporționalitate.

$x$	$3$	$5$	$8$
$y$	$12$	$?$	$?$

(coeficientul – 2p; cele două valori – câte 2p)

Exercițiul 12 (6 puncte)

$4$ muncitori termină o lucrare în $15$ zile, lucrând în același ritm.

a) Stabilește dacă numărul de muncitori și numărul de zile sunt direct sau invers proporționale și calculează produsul lor constant. (2p)
b) În câte zile ar termina aceeași lucrare $6$ muncitori? (4p)

Exercițiul 13 (6 puncte)

Pentru a zugrăvi un perete cu suprafața de $35 m^{2}$ sunt necesari $7$ litri de vopsea. Folosind regula de trei simplă, află câți litri de vopsea sunt necesari pentru un perete de $60 m^{2}$ (consumul de vopsea este direct proporțional cu suprafața).

(scrierea schemei – 2p; rezolvarea – 4p)

Exercițiul 14 (6 puncte)

Pe o hartă realizată la scara $1 : 200000$ , distanța dintre două orașe, măsurată pe hartă, este de $9 cm$ .

a) Care este distanța reală dintre cele două orașe, exprimată în kilometri? (3p)
b) Două localități se află, în realitate, la $30 km$ una de cealaltă. Ce distanță le separă pe aceeași hartă? (3p)

Exercițiul 15 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică răspunsul:

a) O reducere de $25%$ înseamnă că noul preț reprezintă $\frac{3}{4}$ din prețul inițial. (2p)
b) Dacă $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , atunci $a \cdot d = b \cdot c$ . (2p)
c) Dacă numărul de muncitori și timpul de lucru sunt invers proporționale, atunci, dublând numărul de muncitori, se dublează și timpul de lucru. (2p)

Exercițiul 16 (6 puncte)

Un magazin cumpără un produs cu $180$ de lei și îl vinde aplicând un adaos comercial de $30%$ .

a) Care este prețul de vânzare (fără TVA)? (2p)
b) La acest preț se adaugă TVA de $21%$ . Care este prețul final afișat clientului? (2p)
c) Un client cu card de fidelitate primește $10%$ reducere din prețul final. Ce sumă plătește el (rotunjit la bani)? (2p)

Barem și răspunsuri

Punctajele parțiale se acordă pentru calcule corecte intermediare, chiar dacă rezultatul final conține o greșeală de calcul izolată.

Exercițiul 1 (4p)

a) $\frac{24}{36} = \frac{24 : 12}{36 : 12} = \frac{2}{3}$ . (2p)
b) Aducem la aceeași unitate: $1, 5 kg = 1500 g$ . Raportul este $\frac{750}{1 500} = \frac{1}{2}$ . (2p)

Exercițiul 2 (5p)

a) $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 75%$ . (2p)
b) $\frac{7}{25} = \frac{28}{100} = 28%$ . (amplificare cu $4$ ). Răspuns: $28%$ . (3p)

Exercițiul 3 (5p)

a) $15% \cdot 240 = \frac{15}{100} \cdot 240 = 36$ . (2p)
b) $35% \cdot 1280 = \frac{35}{100} \cdot 1280 = 448$ produse alimentare. (3p)

Exercițiul 4 (5p)

a) Dacă $20%$ din număr este $50$ , atunci numărul este $\frac{50}{20} \cdot 100 = 250$ (sau $50 : 0, 2 = 250$ ). (2p)
b) $45$ pagini reprezintă $30%$ , deci cartea are $\frac{45}{30} \cdot 100 = 150$ de pagini. (3p)

Exercițiul 5 (5p)

a) Reducerea: $18% \cdot 250 = \frac{18}{100} \cdot 250 = 45$ lei. (2p)
b) Preț după reducere: $250 - 45 = 205$ lei. (Alternativ: $82% \cdot 250 = 205$ lei.) (3p)

Exercițiul 6 (6p)

a) TVA $= 21% \cdot 400 = 84$ lei. (2p)
b) Preț cu TVA $= 400 + 84 = 484$ lei. (2p)
c) Noul preț $= 484 \cdot 1, 05 = 484 + 5% \cdot 484 = 484 + 24, 20 = 508, 20$ lei. (2p)

Exercițiul 7 (6p)

a) Dobânda pe un an $= 6% \cdot 2000 = 120$ lei. (2p)
b) Sumă după un an $= 2000 + 120 = 2120$ lei. (2p)
c) Dobândă simplă pe $2$ ani $= 2 \cdot 120 = 240$ lei. (2p)

Exercițiul 8 (6p)

a) Produsul mezilor = produsul extremilor: $6 \cdot 20 = 120$ și $15 \cdot 8 = 120$ . Cum $120 = 120$ , egalitatea este o proporție. (2p)
b) $x = \frac{12 \cdot 15}{20} = \frac{180}{20} = 9$ . (2p)
c) $y = \frac{7 \cdot 27}{21} = \frac{189}{21} = 9$ . (2p)

Exercițiul 9 (6p)

Din $\frac{a}{b} = \frac{9}{5}$ rezultă $a = 9 k$ , $b = 5 k$ .

a) $\frac{a + b}{b} = \frac{9 + 5}{5} = \frac{14}{5}$ . (3p)
b) $\frac{a + b}{a - b} = \frac{9 + 5}{9 - 5} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$ . (3p)

Exercițiul 10 (6p)

a) Din șirul de rapoarte egale: $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5} = \frac{a + b + c}{2 + 3 + 5} = \frac{120}{10} = 12$ . (2p)
b) $a = 2 \cdot 12 = 24$ , $b = 3 \cdot 12 = 36$ , $c = 5 \cdot 12 = 60$ . (Verificare: $24 + 36 + 60 = 120$ .) (4p)

Exercițiul 11 (6p)

Coeficient de proporționalitate: $\frac{12}{3} = 4$ (deci $y = 4 x$ ). (2p)

pentru $x = 5$ : $y = 5 \cdot 4 = 20$ ; (2p)
pentru $x = 8$ : $y = 8 \cdot 4 = 32$ . (2p)

$x$	$3$	$5$	$8$
$y$	$12$	$20$	$32$

Exercițiul 12 (6p)

a) Cu cât sunt mai mulți muncitori, cu atât mai puține zile, deci mărimile sunt invers proporționale. Produsul constant: $4 \cdot 15 = 60$ . (2p)
b) $6$ muncitori: numărul de zile $= \frac{60}{6} = 10$ zile. (4p)

Exercițiul 13 (6p)

Schema regulii de trei simplă (direct proporțional):

$35 m^{2} ⟶ 7 l$ $60 m^{2} ⟶ x l$

(scrierea schemei – 2p)

$x = \frac{60 \cdot 7}{35} = \frac{420}{35} = 12 litri .$ (4p)

Exercițiul 14 (6p)

Scara $1 : 200000$ înseamnă că $1 cm$ pe hartă corespunde la $200000 cm = 2 km$ în realitate.

a) $9 cm \cdot 200000 = 1800000 cm = 18 km$ . (3p)
b) $30 km = 3000000 cm$ ; pe hartă: $\frac{3 000 000}{200 000} = 15 cm$ . (3p)

Exercițiul 15 (6p)

a) A. O reducere de $25%$ lasă $100% - 25% = 75% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$ din prețul inițial. (2p)
b) A. Este chiar proprietatea fundamentală a proporțiilor: produsul extremilor este egal cu produsul mezilor. (2p)
c) F. La mărimi invers proporționale, dublând numărul de muncitori, timpul se înjumătățește, nu se dublează (produsul rămâne constant). (2p)

Exercițiul 16 (6p)

a) Preț de vânzare $= 180 \cdot 1, 30 = 180 + 30% \cdot 180 = 180 + 54 = 234$ lei. (2p)
b) Preț cu TVA $= 234 \cdot 1, 21 = 234 + 49, 14 = 283, 14$ lei. (2p)
c) Reducere de fidelitate $10%$ : clientul plătește $283, 14 \cdot 0, 90 = 254, 826 \approx 254, 83$ lei. (2p)

Total: 90 de puncte + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți

Această fișă consolidează unitatea „Rapoarte, proporții și procente" prin exerciții suplimentare în contexte realiste: reduceri, scumpiri, TVA și dobândă, mărimi direct și invers proporționale, regula de trei simplă și scara hărții.

Punctaj total: 100 de puncte (din care 10 puncte se acordă din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute, în condiții de lucru independent.
Cum se aplică: elevul rezolvă pe foaie separată, scriind toate calculele și justificările. La final, comparați cu baremul de la sfârșitul fișei. Un rezultat corect, dar fără calcule sau justificare, primește doar o parte din punctaj, exact ca la evaluările școlare.
Interpretare: peste 85 de puncte = stăpânire foarte bună; 70–85 = bine, cu mici corecturi; sub 70 = recomandăm reluarea itemilor 5–13 înainte de a continua.

Se acordă 10 puncte din oficiu.