Simularea 11 — Evaluarea Națională la clasa a VI-a (accent pe organizarea datelor și elemente de probabilități)

Disciplina: Matematică · Clasa a VI-a · Simulare în formatul Evaluării Naționale (partea de matematică)

Aceasta este o simulare completă, în formatul Evaluării Naționale de la clasa a VI-a. Accentul acestei simulări cade pe organizarea datelor și elementele de probabilități — citirea și interpretarea tabelelor și diagramelor, frecvența absolută și procentuală, media aritmetică a unei serii de date și calculul probabilității unui eveniment ca raport între cazurile favorabile și cazurile posibile — alături de recapitulare din celelalte domenii ale programei (mulțimi și divizibilitate, numere întregi și raționale, rapoarte și procente, ecuații, unghiuri și triunghiuri). Itemii sunt formulați în contexte practice (model PISA) și gradați de la simplu la complex.

Testul este împărțit în două părți, ca la examen:

• Subiectul I — 12 itemi cu rezolvare scurtă (se cere rezultatul corect, cu calcul justificat).
• Subiectul II — 6 probleme cu subpuncte, care cer raționament și justificare.

Exerciții

Subiectul I (60 de puncte)

La acești itemi se cere rezultatul corect, însoțit de calculul care îl justifică. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră mulțimile $A=\{$ divizorii naturali ai lui $20\}$ și $B=\{$ divizorii naturali ai lui $30\}$. Determinați mulțimea $A\cap B$ și precizați câte elemente are.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculați: $E=(-5{)}^2-(-20):4+(-3)\cdot 6.$

Exercițiul 3 (5 puncte)

Un obiect costă 120 de lei. La reevaluarea stocului, prețul lui se scumpește cu 20%. Cât costă obiectul după scumpire?

Exercițiul 4 (5 puncte)

Într-o clasă, raportul dintre numărul băieților și numărul fetelor este 5 : 7. Știind că sunt 15 băieți, aflați câți elevi are clasa în total.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Aflați $\text{c.m.m.d.c.}(18,24)$ și $\text{c.m.m.m.c.}(18,24)$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

La trei antrenamente, un sportiv a alergat distanțele: 8 km, 6 km și 10 km. Calculați distanța medie parcursă la un antrenament.

Exercițiul 7 (5 puncte)

Într-o parcare sunt 40 de mașini, dintre care 10 sunt roșii. Ce procent din numărul total de mașini reprezintă mașinile roșii?

Exercițiul 8 (5 puncte)

Într-un săculeț sunt 20 de bile, numerotate de la 1 la 20. Se extrage o bilă la întâmplare. Care este probabilitatea ca numărul extras să fie multiplu de 4?

Exercițiul 9 (5 puncte)

Două unghiuri sunt suplementare, iar unul dintre ele este cu 40° mai mare decât celălalt. Aflați măsurile celor două unghiuri.

Exercițiul 10 (5 puncte)

Rezolvați ecuația: $5(x-3)=2x+6.$

Exercițiul 11 (5 puncte)

Tabelul de mai jos arată numărul de reviste vândute la un chioșc, în patru zile:

Calculați câte reviste s-au vândut în total în cele patru zile și care a fost media zilnică de reviste vândute.

Exercițiul 12 (5 puncte)

Se aruncă un zar obișnuit, cu fețele numerotate de la 1 la 6. Care este probabilitatea de a obține un număr care este divizor al lui 6?

Subiectul II (30 de puncte)

La acești itemi se cer toate etapele rezolvării și justificările. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 13 (5 puncte) — Sondaj despre sportul preferat

La un sondaj, 800 de elevi au fost întrebați care este sportul lor preferat. Rezultatele sunt: fotbal — 40%, baschet — 25%, tenis — 10%, iar restul au ales înotul.

• a) Ce procent din elevi au ales înotul? (1p)
• b) Câți elevi au ales fotbalul? (2p)
• c) Câți elevi, în total, au ales baschetul sau tenisul? (2p)

Exercițiul 14 (5 puncte) — Calcul și ecuație

• a) Calculați: $G=\left(\frac{2}{5}-\frac{3}{10}\right):\left(-\frac{1}{5}\right).$ (3p)
• b) Rezolvați ecuația: $4(x+1)=2x+14.$ (2p)

Exercițiul 15 (5 puncte) — Triunghi isoscel

Triunghiul $ABC$ este isoscel, cu $AB=AC$ și $m(\hat{A})=60°$. Fie $D$ piciorul perpendicularei din $A$ pe $BC$ ($AD\perp BC$, $D\in BC$). Se știe că perimetrul triunghiului este de 36 cm, iar $BC=12$ cm.

• a) Aflați măsurile unghiurilor $\hat{B}$ și $\hat{C}$. (2p)
• b) Calculați lungimea laturii $AB$. (1p)
• c) Demonstrați că triunghiurile $ABD$ și $ACD$ sunt congruente și aflați lungimea segmentului $BD$. (2p)

Exercițiul 16 (5 puncte) — Interpretarea datelor

La un concurs de alergare, timpii (în secunde) realizați de 20 de elevi sunt prezentați în tabelul de frecvențe de mai jos:

• a) Câți elevi au realizat un timp de cel mult 45 de secunde? (1p)
• b) Calculați media timpilor pe toți cei 20 de elevi. (2p)
• c) Care este probabilitatea ca un elev ales la întâmplare să fi realizat exact 50 de secunde? (1p)
• d) Adevărat sau fals, cu justificare: „Cel puțin jumătate dintre elevi au realizat un timp de cel mult 50 de secunde." (1p)

Exercițiul 17 (5 puncte) — Divizibilitate și raționament

• a) Câte numere naturale de la 1 la 90 sunt divizibile cu 5? (2p)
• b) Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă un număr natural este divizibil cu 3 și cu 4, atunci el este divizibil cu 12." (1,5p)
• c) Adevărat sau fals, cu justificare: „Suma a trei numere naturale consecutive este întotdeauna un multiplu de 3." (1,5p)

Exercițiul 18 (5 puncte) — Roata de joc

O roată de joc este împărțită în 10 sectoare congruente, numerotate de la 1 la 10.

• a) Roata se învârte o singură dată. Care este probabilitatea ca acul să se oprească pe un număr par? (2p)
• b) Bogdan afirmă că probabilitatea de a obține un număr prim este $\frac{4}{6}$, deoarece a comparat numărul numerelor prime ($2,3,5,7$, adică $4$) cu numărul numerelor care nu sunt prime ($1,4,6,8,9,10$, adică $6$). Are dreptate Bogdan? Justificați și scrieți probabilitatea corectă a evenimentului, ca fracție ireductibilă. (3p)

Barem și răspunsuri

Punctaj: 60 p Subiectul I + 30 p Subiectul II + 10 p din oficiu = 100 p. La itemii cu justificare, jumătate din punctaj se acordă pentru raționament corect, chiar dacă apare o eroare minoră de calcul.

Subiectul I

Exercițiul 1 (5p) — A ∩ B = {1, 2, 5, 10}, 4 elemente $A=\{1,2,4,5,10,20\}$, $B=\{1,2,3,5,6,10,15,30\}$. $A\cap B=\{1,2,5,10\}$ — acestea sunt divizorii lui $\text{c.m.m.d.c.}(20,30)=10$. Cardinal $=4$. (3p mulțimea intersecție + 2p cardinalul)

Exercițiul 2 (5p) — E = 12 $(-5{)}^2=25$; $(-20):4=-5$; $(-3)\cdot 6=-18$. $E=25-(-5)+(-18)=25+5-18=12$. (3p respectarea ordinii operațiilor + 2p rezultat)

Exercițiul 3 (5p) — 144 de lei Scumpirea: $20\%\cdot 120=\frac{20}{100}\cdot 120=24$ lei. Preț nou: $120+24=144$ lei. (3p calculul scumpirii + 2p prețul final)

Exercițiul 4 (5p) — 36 de elevi Raportul $5:7$ cu $15$ băieți: cele $5$ „părți" valorează $15\Rightarrow$ o parte $=3$. Fetele sunt $7$ părți: $7\cdot 3=21$. Total: $15+21=36$ elevi. (3p valoarea unei părți + 2p total)

Exercițiul 5 (5p) — c.m.m.d.c. = 6, c.m.m.m.c. = 72 $18=2\cdot 3^2$, $24=2^3\cdot 3$. $\text{c.m.m.d.c.}=2\cdot 3=6$; $\text{c.m.m.m.c.}=2^3\cdot 3^2=72$. (3p descompunerea + 2p ambele rezultate)

Exercițiul 6 (5p) — media 8 km $\frac{8+6+10}{3}=\frac{24}{3}=8$ km. (2p suma + 3p împărțirea)

Exercițiul 7 (5p) — 25% $\frac{10}{40}=\frac{1}{4}=25\%$. (3p raportul corect + 2p transformarea în procent)

Exercițiul 8 (5p) — P = 1/4 Multiplii lui $4$ din $1$–$20$: $4,8,12,16,20$ — $5$ cazuri favorabile din $20$ posibile. $P=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$. (3p numărarea cazurilor favorabile + 2p simplificarea)

Exercițiul 9 (5p) — 70° și 110° Fie $x$ unghiul mai mic; celălalt este $x+40°$. Suplementare $\Rightarrow x+(x+40°)=180°$, deci $2x=140°\Rightarrow x=70°$. Unghiurile sunt $70°$ și $110°$ (verificare: $70+110=180$). (3p ecuația + 2p cele două măsuri)

Exercițiul 10 (5p) — x = 7 $5(x-3)=2x+6\Rightarrow 5x-15=2x+6\Rightarrow 3x=21\Rightarrow \mathbf{x}=7$. (3p desfacerea parantezei și gruparea termenilor + 2p rezultat)

Exercițiul 11 (5p) — 132 de reviste în total, media 33 pe zi Total: $34+27+41+30=132$ reviste. (3p) Media zilnică: $\frac{132}{4}=33$ reviste. (2p)

Exercițiul 12 (5p) — P = 2/3 Divizorii lui $6$ aflați pe zar (între $1$ și $6$): $1,2,3,6$ — $4$ cazuri favorabile din $6$ posibile. $P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. (3p numărarea cazurilor favorabile + 2p simplificarea)

Subiectul II

Exercițiul 13 (5p) — Sondaj despre sportul preferat

• a) Înot $=100\%-(40\%+25\%+10\%)=100\%-75\%=25\%$. (1p)
• b) Fotbal $=40\%\cdot 800=320$ elevi. (2p)
• c) Baschet $=25\%\cdot 800=200$; Tenis $=10\%\cdot 800=80$; total $=200+80=280$ elevi. (2p)

Exercițiul 14 (5p)

• a) $\frac{2}{5}-\frac{3}{10}=\frac{4}{10}-\frac{3}{10}=\frac{1}{10}$; apoi $\frac{1}{10}:\left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{10}\cdot \left(-\frac{5}{1}\right)=-\frac{5}{10}=-\frac{1}{2}$. (2p paranteza + 1p împărțirea fracțiilor)
• b) $4(x+1)=2x+14\Rightarrow 4x+4=2x+14\Rightarrow 2x=10\Rightarrow \mathbf{x}=5$. (2p)

Exercițiul 15 (5p) — Triunghi isoscel

• a) Triunghi isoscel $\Rightarrow \hat{B}\equiv \hat{C}$. Suma unghiurilor: $m(\hat{B})+m(\hat{C})=180°-60°=120°$, deci $m(\hat{B})=m(\hat{C})=60°$. (2p)
• b) $AB=AC$; perimetrul $=AB+AC+BC=2\cdot AB+12=36\Rightarrow 2\cdot AB=24\Rightarrow AB=12$ cm. (1p)
• c) În triunghiurile $ABD$ și $ACD$: $AB=AC$ (ipoteză, ipotenuze egale), $AD$ — latură comună (catetă), iar $m(\widehat{ADB})=m(\widehat{ADC})=90°$. Conform criteriului catetă–ipotenuză (C.I.), $△ABD\equiv △ACD$. Din congruență: $BD=DC=\frac{BC}{2}=6$ cm. (2p)

Exercițiul 16 (5p) — Interpretarea datelor

• a) Cel mult 45 de secunde $\Rightarrow$ timpii de 40 și 45: $2+5=7$ elevi. (1p)
• b) Media $=\frac{40\cdot 2+45\cdot 5+50\cdot 8+55\cdot 3+60\cdot 2}{20}=\frac{80+225+400+165+120}{20}=\frac{990}{20}=49,5$ secunde. (2p suma ponderată + 1p împărțirea — se acordă integral și pentru pași corecți cu eroare minoră de calcul)
• c) $P(\text{50 s})=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$. (1p)
• d) Adevărat. Cel mult 50 de secunde $=2+5+8=15$ elevi; jumătate din 20 înseamnă $10$ elevi, iar $15>10$. (1p)

Exercițiul 17 (5p) — Divizibilitate și raționament

• a) Multiplii lui 5 până la 90: $5,10,\dots ,90$, adică $\lfloor \frac{90}{5}\rfloor =18$ numere. (2p)
• b) Adevărat. Deoarece $3$ și $4$ sunt prime între ele (nu au divizori comuni în afară de 1), $\text{c.m.m.m.c.}(3,4)=12$; orice număr divizibil simultan cu 3 și cu 4 este divizibil cu $12$. (0,5p răspuns + 1p justificare)
• c) Adevărat. Trei numere consecutive sunt $n$, $n+1$, $n+2$; suma lor este $n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)$, care este întotdeauna multiplu de $3$. (0,5p răspuns + 1p justificare)

Exercițiul 18 (5p) — Roata de joc

• a) Numerele pare din $1$–$10$: $2,4,6,8,10$ — $5$ cazuri din $10$ posibile. $P(\text{par})=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$. (2p)
• b) Bogdan nu are dreptate. Probabilitatea se calculează raportând numărul cazurilor favorabile (numerele prime: $2,3,5,7$, adică $4$) la numărul total de cazuri posibile ($10$ sectoare), nu la numărul cazurilor nefavorabile ($6$). Probabilitatea corectă este $P=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$. (1p identificarea greșelii + 2p probabilitatea corectă, simplificată)

Total: 60 p (Subiectul I) + 30 p (Subiectul II) + 10 p din oficiu = 100 de puncte.

Greșeli frecvente de evitat la examen: raportarea probabilității la numărul cazurilor nefavorabile în loc de numărul total de cazuri posibile (Exercițiul 12, Exercițiul 18b); calculul mediei dintr-un tabel de frecvențe fără a pondera fiecare valoare cu numărul ei de apariții (Exercițiul 16b); confundarea c.m.m.d.c. cu c.m.m.m.c. (Exercițiul 1, Exercițiul 5, Exercițiul 17b); aplicarea procentului la valoarea greșită într-o diagramă circulară (Exercițiul 13); afirmarea unei congruențe fără a numi criteriul (Exercițiul 15c). Verificați mereu, la final, dacă suma frecvențelor sau a procentelor dintr-o diagramă „se potrivește" cu totalul dat în enunț.

Pentru părinți

• Cum se aplică: copilul lucrează individual, fără calculator și fără ajutor, pe foaie separată, ca într-un examen real. Figurile marcate cu 🖼️ se schițează de elev după enunț (cu rigla); tabelele și diagramele se citesc direct din enunț, cu toate valorile date complet în text.
• Punctaj total: 100 de puncte = 90 de puncte pe itemi (60 p Subiectul I + 30 p Subiectul II) + 10 puncte din oficiu.
• Timp recomandat: 60 de minute (format de examen). Sfat de gestionare a timpului: ~25 de minute pentru Subiectul I, ~30 de minute pentru Subiectul II, ~5 minute de verificare la final.
• Cum citiți rezultatul: 90–100 = foarte bine (pregătire solidă); 70–89 = bine; 50–69 = satisfăcător; sub 50 = e nevoie de recapitulare țintită. Folosiți baremul de la final pentru a discuta fiecare greșeală — explicația scurtă arată exact unde s-a pierdut punctajul.

Se acordă 10 puncte din oficiu. La itemii care cer justificare, scrieți toți pașii: un rezultat corect fără calcul nu primește punctajul întreg.