Simularea 2 — Evaluarea Națională la clasa a VI-a (accent pe rapoarte, proporții și procente)

Exerciții

Exercițiul 1 (4 puncte)

La intrarea unui magazin, două panouri luminoase clipesc: primul la fiecare 12 secunde, al doilea la fiecare 18 secunde. La momentul de start ($t=0$) clipesc simultan. a) După câte secunde clipesc din nou simultan, pentru prima dată? b) Câte clipiri simultane au loc în primele 3 minute (inclusiv cea de la $t=0$)?

Exercițiul 2 (4 puncte)

La o stație meteo, temperatura a fost dimineața $-6^{\circ }\text{C}$. Până la prânz a crescut cu $9^{\circ }\text{C}$, iar seara a scăzut cu $5^{\circ }\text{C}$ față de valoarea de la prânz. a) Ce temperatură s-a înregistrat la prânz? b) Ce temperatură s-a înregistrat seara?

Exercițiul 3 (5 puncte)

Un rezervor are capacitatea de 60 de litri și este plin $\frac{3}{4}$. a) Câți litri de carburant sunt în rezervor? b) În timpul unei călătorii se consumă $\frac{2}{3}$ din cantitatea existentă. Câți litri rămân în rezervor?

Exercițiul 4 (4 puncte)

Scrieți sub formă de raport ireductibil (după ce aduceți mărimile la aceeași unitate de măsură): a) raportul dintre 250 g și 1 kg; b) raportul dintre 40 cm și 1 m.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Un telefon costă 1200 de lei. La o promoție se aplică o reducere de 20%. a) Cât reprezintă reducerea, în lei? b) Cât plătește cumpărătorul după reducere?

Exercițiul 6 (5 puncte)

La un test, 30% dintre elevii unei clase au obținut nota 10, adică exact 9 elevi. Câți elevi are clasa?

Exercițiul 7 (6 puncte)

Prețul unui produs, fără TVA, este 500 de lei. Se adaugă TVA de 21%. a) Cât este prețul produsului cu TVA? b) Asupra prețului cu TVA se acordă apoi o reducere de 10%. Cât plătește, în final, clientul?

Exercițiul 8 (5 puncte)

a) Aflați termenul necunoscut din proporția $\frac{x}{12}=\frac{5}{4}$. b) Verificați, folosind proprietatea fundamentală a proporțiilor, dacă egalitatea $\frac{8}{12}=\frac{10}{15}$ este o proporție.

Exercițiul 9 (5 puncte)

Trei prieteni au investit într-o afacere sume direct proporționale cu numerele 3, 5 și 7. Profitul total, de 450 de lei, se împarte în același raport. Ce sumă revine fiecăruia? (Folosiți un șir de rapoarte egale.)

Exercițiul 10 (6 puncte)

a) 4 robinete identice umplu un bazin în 6 ore. În câte ore umplu același bazin doar 3 robinete? Precizați ce tip de mărimi sunt numărul de robinete și timpul. b) Pentru 5 nopți de cazare, un hotel cere 750 de lei. Cât costă 8 nopți, la același tarif? Rezolvați prin regula de trei simplă.

Exercițiul 11 (4 puncte)

Pe o hartă cu scara $1:500000$, distanța dintre două orașe este de 6 cm. Aflați distanța reală dintre orașe, exprimată în kilometri.

Exercițiul 12 (5 puncte)

Diagrama circulară de mai jos arată, procentual, cum își petrec timpul liber cei 200 de elevi ai unei școli.

a) Câți elevi preferă sportul? b) Cu câți elevi mai mulți preferă jocurile video față de lectură?

Exercițiul 13 (5 puncte)

Notele obținute de un elev la matematică sunt: 8, 9, 7, 10, 6. a) Calculați media aritmetică a celor cinci note. b) Ce notă trebuie să mai obțină la următoarea lucrare pentru ca media celor 6 note să fie exact 8?

Exercițiul 14 (4 puncte)

Într-o cutie sunt 5 bile roșii, 3 bile albastre și 2 bile verzi, identice la pipăit. Se extrage o bilă la întâmplare. a) Care este probabilitatea de a extrage o bilă roșie? b) Care este probabilitatea de a extrage o bilă care nu este verde?

Exercițiul 15 (5 puncte)

În figura de mai jos, semidreptele $[OA$, $[OB$ și $[OC$ sunt astfel încât unghiurile $\angle AOB$ și $\angle BOC$ sunt adiacente și formează împreună unghiul drept $\angle AOC$. Se știe că $\angle AOB=35^{\circ }$.

a) Aflați măsura unghiului $\angle BOC$. b) Aflați măsura suplementului unghiului $\angle AOB$.

Exercițiul 16 (4 puncte)

Laturile unui triunghi $ABC$ sunt direct proporționale cu numerele 3, 4 și 5, iar perimetrul triunghiului este 36 cm.

a) Aflați lungimile celor trei laturi. b) Care dintre cele trei unghiuri ale triunghiului este cel mai mare? Justificați pe baza relației dintre laturi și unghiuri.

Exercițiul 17 (6 puncte)

Stabiliți valoarea de adevăr (A sau F) a fiecărui enunț și justificați pe scurt: a) Numărul 235 este divizibil și cu 5, și cu 3. b) 25% dintr-un număr este egal cu un sfert din acel număr. c) Dacă două mărimi sunt invers proporționale, atunci produsul valorilor corespunzătoare este constant.

Exercițiul 18 (8 puncte)

O familie a economisit 8000 de lei. Hotărăște să folosească 45% din sumă pentru o vacanță, iar restul să îl împartă între cei doi copii, în părți direct proporționale cu vârstele lor, de 10 ani și, respectiv, 12 ani. a) Câți lei sunt alocați vacanței? b) Ce sumă rămâne pentru a fi împărțită celor doi copii? c) Ce sumă revine fiecărui copil? d) Ce procent din suma totală (8000 de lei) revine copilului mai mare?

Barem și răspunsuri

La itemii cu subpuncte, dacă nu se precizează altfel, punctajul se împarte egal pe subpuncte. Răspunsul corect fără calcul justificativ primește punctaj parțial.

Exercițiul 1. (4p) a) Momentele de clipire simultană sunt multiplii comuni ai numerelor 12 și 18, deci primul după $\text{c.m.m.m.c.}(12,18)=36$ secunde. (2p) b) 3 minute $=180$ secunde. Clipiri simultane la $0,36,72,108,144,180$ s, deci 6 clipiri simultane. (2p)

Exercițiul 2. (4p) a) La prânz: $-6+9=3^{\circ }\text{C}$. (2p) b) Seara: $3-5=-2^{\circ }\text{C}$. (2p)

Exercițiul 3. (5p) a) $60\cdot \frac{3}{4}=45$ litri. (2p) b) Se consumă $\frac{2}{3}\cdot 45=30$ litri, deci rămân $45-30=15$ litri. (3p)

Exercițiul 4. (4p) câte 2p pe subpunct. a) $1\text{kg}=1000\text{g}$, deci $\frac{250}{1000}=\frac{1}{4}$. (2p) b) $1\text{m}=100\text{cm}$, deci $\frac{40}{100}=\frac{2}{5}$. (2p)

Exercițiul 5. (5p) a) Reducerea $=20\%\cdot 1200=\frac{20}{100}\cdot 1200=240$ lei. (2p) b) Preț de plată $=1200-240=960$ lei (sau $1200\cdot 0,8=960$). (3p)

Exercițiul 6. (5p) Dacă 30% din numărul de elevi înseamnă 9 elevi, atunci numărul de elevi $=\frac{9}{30\%}=\frac{9}{0,3}=\frac{9\cdot 100}{30}=30$ elevi. (5p)

Exercițiul 7. (6p) a) Prețul cu TVA $=500+21\%\cdot 500=500+105=605$ lei (sau $500\cdot 1,21$). (3p) b) Reducerea de 10% se aplică la 605: $605\cdot 0,9=544,5$ lei. (3p)

Exercițiul 8. (5p) a) Din proprietatea fundamentală: $x\cdot 4=12\cdot 5\Rightarrow 4x=60\Rightarrow x=15$. (2p) b) Produsul extremilor $=8\cdot 15=120$; produsul mezilor $=12\cdot 10=120$. Fiind egale, egalitatea este o proporție. (3p)

Exercițiul 9. (5p) Notăm sumele $3k$, $5k$, $7k$. Atunci $3k+5k+7k=15k=450\Rightarrow k=30$. (2p) Sumele sunt: $3\cdot 30=90$ lei, $5\cdot 30=150$ lei, $7\cdot 30=210$ lei. (3p) Verificare: $90+150+210=450$. ✓

Exercițiul 10. (6p) a) Mărimi invers proporționale (mai puține robinete → mai multe ore). Produsul constant: $4\cdot 6=24$; pentru 3 robinete: $24:3=8$ ore. (3p) b) Mărimi direct proporționale. Costul unei nopți $=750:5=150$ lei, deci 8 nopți $=8\cdot 150=1200$ lei. (3p)

Exercițiul 11. (4p) Scara $1:500000$ înseamnă că 1 cm pe hartă $=500000$ cm în realitate. Distanța reală $=6\cdot 500000=3000000$ cm $=30000$ m $=30$ km. (4p)

Exercițiul 12. (5p) a) Sport: $35\%\cdot 200=70$ elevi. (2p) b) Jocuri video: $30\%\cdot 200=60$ elevi; Lectură: $15\%\cdot 200=30$ elevi; diferența $=60-30=30$ de elevi. (3p)

Exercițiul 13. (5p) a) Media $=\frac{8+9+7+10+6}{5}=\frac{40}{5}=8$. (3p) b) Pentru media 8 din 6 note, suma trebuie să fie $6\cdot 8=48$. Cum suma actuală este 40, nota necesară este $48-40=8$. (2p)

Exercițiul 14. (4p) Total bile $=5+3+2=10$. a) $P(\text{roșie})=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$. (2p) b) Bile care nu sunt verzi: $10-2=8$, deci $P(\text{nu este verde})=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$. (2p)

Exercițiul 15. (5p) a) $\angle AOC=90^{\circ }$ și $\angle AOB+\angle BOC=90^{\circ }$, deci $\angle BOC=90^{\circ }-35^{\circ }=55^{\circ }$. (3p) b) Suplementul lui $\angle AOB$ $=180^{\circ }-35^{\circ }=145^{\circ }$. (2p)

Exercițiul 16. (4p) a) Notăm laturile $3k$, $4k$, $5k$. Atunci $3k+4k+5k=12k=36\Rightarrow k=3$, deci laturile sunt $9$ cm, $12$ cm și $15$ cm. (2p) b) Cel mai mare unghi este cel opus celei mai mari laturi (de 15 cm), adică unghiul opus laturii de 15 cm. (Într-un triunghi, laturii mai mari i se opune unghiul mai mare.) (2p)

Exercițiul 17. (6p) câte 2p pe subpunct (1p valoarea de adevăr + 1p justificarea). a) F. 235 se termină în 5, deci este divizibil cu 5, dar suma cifrelor $2+3+5=10$ nu este divizibilă cu 3, deci 235 nu este divizibil cu 3. (2p) b) A. $25\%=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$, deci 25% dintr-un număr este exact un sfert din el. (2p) c) A. Aceasta este chiar definiția mărimilor invers proporționale: produsul valorilor corespunzătoare este constant. (2p)

Exercițiul 18. (8p) câte 2p pe subpunct. a) Vacanța: $45\%\cdot 8000=\frac{45}{100}\cdot 8000=3600$ lei. (2p) b) Rest pentru copii: $8000-3600=4400$ lei. (2p) c) Raportul vârstelor $10:12=5:6$. Notăm părțile $5k$ și $6k$: $5k+6k=11k=4400\Rightarrow k=400$. Copiii primesc $5\cdot 400=2000$ lei și $6\cdot 400=2400$ lei. (2p) d) Copilul mai mare primește 2400 lei: $\frac{2400}{8000}=0,3=30\%$ din suma totală. (2p)

Total: 90 de puncte + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți

Această lucrare este o simulare în format de examen pentru Evaluarea Națională la clasa a VI-a (partea de matematică). Itemii sunt formulați pe competențe, în contexte practice (model PISA), și recapitulează integrat întreaga programă a clasei: mulțimi și divizibilitate, numere întregi și raționale, rapoarte, proporții și procente (accentul testului), organizarea datelor și probabilități, geometrie.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu).
• Număr de itemi: 18, gradate ca dificultate, mulți cu subpuncte.
• Timp recomandat: 60 de minute (ca la examen).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, fără calculator, scriind pe foaie toate calculele și justificările. La itemii cu justificare, răspunsul fără raționament nu primește punctaj integral.
• După rezolvare: comparați cu Baremul și răspunsurile de la final și discutați doar itemii greșiți.
• Notă orientativă: se adună punctele și se împart la 10 (ex.: 84 de puncte ≈ nota 8,40).