Simularea 3 — Evaluarea Națională la clasa a VI-a (accent pe numere întregi și raționale)

Exerciții

Exercițiul 1 (6 puncte)

La o stație meteo, un program calculează indici folosind numere întregi. Efectuați, respectând ordinea operațiilor: a) $-12+4\cdot (-3)-(-20):(-5)$; b) $[15-(8-20)]:(-3)$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Pentru o rețetă, cantitățile se exprimă cu fracții și zecimale. Calculați: a) $\frac{5}{6}-\frac{1}{4}$; b) $1,2\cdot \frac{5}{3}$.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Efectuați, respectând ordinea operațiilor și regulile de calcul cu numere raționale: a) $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right):\frac{5}{6}-\frac{1}{4}\cdot 2$; b) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2\cdot \frac{9}{4}-0,5$.

Exercițiul 4 (4 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuația care modelează o problemă de echilibru: $$2(x-3)=x+4.$$

Exercițiul 5 (5 puncte)

Rezolvați ecuațiile cu numere raționale: a) $\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=10$; b) $\frac{2x-1}{3}=5$.

Exercițiul 6 (6 puncte)

O grădinăreasă are 36 de garoafe și 48 de lalele. a) Vrea să facă buchete identice, folosind toate florile, fără să rămână flori. Care este numărul maxim de buchete și câte flori de fiecare fel intră într-un buchet? (Folosiți c.m.m.d.c.) b) Două becuri ornamentale clipesc, unul la fiecare 36 de secunde, celălalt la fiecare 48 de secunde. Dacă au clipit simultan acum, după câte secunde vor clipi din nou în același timp? (Folosiți c.m.m.m.c.)

Exercițiul 7 (5 puncte)

Se consideră mulțimile $A$ = mulțimea divizorilor naturali ai lui 12 și $B$ = mulțimea divizorilor naturali ai lui 18. a) Scrieți elementele mulțimilor $A$ și $B$. b) Determinați $A\cap B$, $A\cup B$ și $\mathrm{card}(A\cup B)$.

Exercițiul 8 (4 puncte)

La un magazin, 6 metri de material textil costă 90 de lei. Cât costă 10 metri din același material? Precizați tipul de mărimi și rezolvați prin regula de trei simplă.

Exercițiul 9 (5 puncte)

Într-un magazin online: a) un laptop costă 2500 de lei și se aplică o reducere de 12%. Care este prețul după reducere? b) la un produs cu prețul de 400 de lei (fără TVA) se adaugă TVA de 21%. Care este prețul final?

Exercițiul 10 (6 puncte)

Stabiliți dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justificați pe scurt: a) Suma a două numere întregi negative este un număr negativ. b) $(-2{)}^4=-16$. c) Numărul $-7$ este mai mare decât $-3$. d) Opusul numărului $-\frac{2}{5}$ este $\frac{2}{5}$.

Exercițiul 11 (5 puncte)

Graficul de mai jos arată numărul de cărți citite de un elev în patru luni.

a) Câte cărți a citit elevul în total în cele patru luni? b) Care este media (numărul mediu de cărți pe lună)? c) Cu câte cărți mai multe a citit în Aprilie față de Ianuarie?

Exercițiul 12 (4 puncte)

Într-o urnă sunt 5 bile roșii, 3 bile albastre și 2 bile verzi, identice la pipăit. Se extrage o bilă la întâmplare. Calculați probabilitatea ca bila extrasă să fie: a) roșie; b) să nu fie albastră.

Exercițiul 13 (5 puncte)

Unghiurile $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ sunt suplementare, iar măsurile lor sunt $3x$ și $2x$.

Aflați valoarea lui $x$ și măsurile celor două unghiuri.

Exercițiul 14 (6 puncte)

Triunghiul $ABC$ este isoscel cu $AB=AC$, are perimetrul de 32 cm și baza $BC=12$ cm.

a) Aflați lungimile laturilor $AB$ și $AC$. b) Știind că $m(\hat{B})=50^{\circ }$, aflați măsurile unghiurilor $\hat{C}$ și $\hat{A}$.

Exercițiul 15 (5 puncte)

O familie are un venit lunar de 6000 de lei. Cheltuielile sunt: chirie 30%, mâncare 25%, utilități 15%, transport 10%, iar restul se economisește. a) Ce sumă reprezintă chiria? b) Ce sumă reprezintă totalul cheltuielilor? c) Ce sumă economisește familia și ce procent din venit reprezintă aceasta?

Exercițiul 16 (4 puncte)

Ordonați crescător numerele: $$-5;3;-8;0;|-6|;-|-2|.$$

Exercițiul 17 (5 puncte)

O carte are 240 de pagini. În prima zi un elev citește $\frac{1}{3}$ din carte, iar a doua zi citește 25% din paginile rămase. a) Câte pagini a citit în prima zi? b) Câte pagini a citit în a doua zi? c) Câte pagini mai are de citit?

Exercițiul 18 (4 puncte)

Se consideră numărul $\overline{34a}$, unde $a$ este o cifră. a) Determinați cifra $a$ pentru care numărul se divide cu 9. b) Determinați toate cifrele $a$ pentru care numărul se divide cu 5.

Barem și răspunsuri

Punctaj pe itemi: 90 de puncte. Din oficiu: 10 puncte. Total: 100 de puncte.

Exercițiul 1. (6p) câte 3p pe subpunct. a) Întâi înmulțirea și împărțirea: $4\cdot (-3)=-12$ și $(-20):(-5)=4$. Apoi $-12+(-12)-4=-28$. (3p) b) În paranteză: $8-20=-12$, deci $15-(-12)=27$; apoi $27:(-3)=-9$. (3p)

Exercițiul 2. (5p) 3p pentru a), 2p pentru b). a) Numitor comun 12: $\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$. (3p) b) $1,2=\frac{6}{5}$, deci $\frac{6}{5}\cdot \frac{5}{3}=\frac{30}{15}=2$. (2p)

Exercițiul 3. (6p) câte 3p pe subpunct. a) $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$; $\frac{5}{6}:\frac{5}{6}=1$; $\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}$. Rezultat: $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$. (3p) b) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$; $\frac{4}{9}\cdot \frac{9}{4}=1$; $1-0,5=0,5=\frac{1}{2}$. (3p)

Exercițiul 4. (4p) $2(x-3)=x+4\Rightarrow 2x-6=x+4\Rightarrow 2x-x=4+6\Rightarrow x=10$. (4p) (1p desfacerea parantezei, 2p trecerea termenilor, 1p rezultatul).

Exercițiul 5. (5p) 3p pentru a), 2p pentru b). a) $\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=\frac{3x+2x}{6}=\frac{5x}{6}=10\Rightarrow 5x=60\Rightarrow x=12$. (3p) b) $\frac{2x-1}{3}=5\Rightarrow 2x-1=15\Rightarrow 2x=16\Rightarrow x=8$. (2p)

Exercițiul 6. (6p) câte 3p pe subpunct. a) $36=2^2\cdot 3^2$, $48=2^4\cdot 3$, deci $\text{c.m.m.d.c.}(36,48)=2^2\cdot 3=12$. Se pot face 12 buchete, fiecare cu $36:12=3$ garoafe și $48:12=4$ lalele. (3p) b) $\text{c.m.m.m.c.}(36,48)=2^4\cdot 3^2=144$. Becurile clipesc din nou simultan după 144 de secunde (2 minute și 24 de secunde). (3p)

Exercițiul 7. (5p) a) $A=\{1,2,3,4,6,12\}$, $B=\{1,2,3,6,9,18\}$. (2p) b) $A\cap B=\{1,2,3,6\}$; $A\cup B=\{1,2,3,4,6,9,12,18\}$; $\mathrm{card}(A\cup B)=8$. (3p)

Exercițiul 8. (4p) Mărimi direct proporționale (mai mulți metri → cost mai mare). (1p) Un metru costă $90:6=15$ lei; pentru 10 m: $10\cdot 15=150$ de lei. (3p)

Exercițiul 9. (5p) a) Reducerea: $2500\cdot 12\%=2500\cdot 0,12=300$ lei; prețul nou: $2500-300=2200$ de lei. (3p) b) TVA: $400\cdot 21\%=84$ lei; prețul final: $400+84=484$ de lei. (2p)

Exercițiul 10. (6p) câte 1,5p pe subpunct (răspuns corect + justificare). a) A — suma a două numere negative este negativă (ex.: $-3+(-5)=-8$). b) F — $(-2{)}^4=16$ (exponent par → rezultat pozitiv). c) F — pe axa numerelor $-7$ este la stânga lui $-3$, deci $-7<-3$. d) A — opusul lui $-\frac{2}{5}$ este $\frac{2}{5}$ (suma lor este 0).

Exercițiul 11. (5p) a) Total: $4+6+5+9=24$ de cărți. (2p) b) Media: $24:4=6$ cărți pe lună. (2p) c) $9-4=5$ cărți mai multe. (1p)

Exercițiul 12. (4p) Total bile: $5+3+2=10$. a) $P(\text{roșie})=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$. (2p) b) Bile care nu sunt albastre: $10-3=7$, deci $P(\text{nu albastra˘})=\frac{7}{10}$. (2p)

Exercițiul 13. (5p) Suplementare $\Rightarrow 3x+2x=180^{\circ }\Rightarrow 5x=180^{\circ }\Rightarrow x=36^{\circ }$. (3p) Atunci $m(\widehat{AOB})=3\cdot 36^{\circ }=108^{\circ }$ și $m(\widehat{BOC})=2\cdot 36^{\circ }=72^{\circ }$. (2p) (Verificare: $108^{\circ }+72^{\circ }=180^{\circ }$.)

Exercițiul 14. (6p) a) $AB+AC=32-12=20$ cm; cum $AB=AC$, fiecare are $20:2=10$ cm. (3p) b) Triunghi isoscel cu $AB=AC\Rightarrow m(\hat{B})=m(\hat{C})=50^{\circ }$. (1,5p) Suma unghiurilor: $m(\hat{A})=180^{\circ }-50^{\circ }-50^{\circ }=80^{\circ }$. (1,5p)

Exercițiul 15. (5p) a) Chiria: $6000\cdot 30\%=1800$ de lei. (1p) b) Procentul total al cheltuielilor: $30\%+25\%+15\%+10\%=80\%$, deci $6000\cdot 80\%=4800$ de lei. (2p) c) Economii: $6000-4800=1200$ de lei, adică $\frac{1200}{6000}=20\%$ din venit. (2p)

Exercițiul 16. (4p) Calculăm valorile: $|-6|=6$ și $-|-2|=-2$. Numerele sunt: $-5,3,-8,0,6,-2$. Ordonate crescător: $-8<-5<-2<0<3<6$. (4p) (2p pentru calculul modulelor, 2p pentru ordonarea corectă).

Exercițiul 17. (5p) a) Prima zi: $240\cdot \frac{1}{3}=80$ de pagini. (2p) b) Rămase după prima zi: $240-80=160$; a doua zi: $160\cdot 25\%=40$ de pagini. (2p) c) Total citite: $80+40=120$; rămase de citit: $240-120=120$ de pagini. (1p)

Exercițiul 18. (4p) a) Suma cifrelor este $3+4+a=7+a$; divizibil cu 9 $\Rightarrow 7+a=9\Rightarrow a=2$ (numărul 342). (2p) b) Un număr se divide cu 5 dacă ultima cifră este 0 sau 5, deci $a\in \{0,5\}$ (numerele 340 și 345). (2p)

Recapitulare: greșeli frecvente de evitat

• Semnele la numerele întregi: $-(-20):(-5)$ nu este $+4$; un cât de două numere de semne diferite este negativ — atenție la fiecare semn.
• Ordinea operațiilor: întâi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile (de la stânga la dreapta), abia la final adunările și scăderile; parantezele se rezolvă primele.
• Puteri cu bază negativă: exponent par → rezultat pozitiv ($(-2{)}^4=16$), exponent impar → rezultat negativ ($(-2{)}^3=-8$).
• Procent dintr-o sumă: „25% din rest" se calculează din suma rămasă, nu din suma inițială.
• c.m.m.d.c. vs c.m.m.m.c.: la „buchete identice / grupuri egale" se folosește c.m.m.d.c.; la „se întâmplă din nou simultan" se folosește c.m.m.m.c.

Pentru părinți

Această lucrare este o simulare în format de examen, construită după modelul Evaluării Naționale de la clasa a VI-a (partea de matematică). Itemii sunt formulați în contexte practice (model PISA) și acoperă integrat materia anului: mulțimi și divizibilitate, numere întregi și raționale (accentul testului), ordinea operațiilor, ecuații, rapoarte–proporții–procente, organizarea datelor și probabilități, precum și geometrie.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 60 de minute, în condiții de examen.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, fără calculator, scriind pe foaie toate calculele și justificările. La itemii de raționament și la cei cu „adevărat/fals", răspunsul fără justificare nu primește punctaj integral.
• Recomandare de strategie: se citește mai întâi tot subiectul, se rezolvă întâi itemii siguri, iar la final se verifică semnele la numerele întregi și numitorii la fracții — acolo apar cele mai multe greșeli.
• Notă orientativă: se adună punctele obținute și se împart la 10 (ex.: 86 de puncte ≈ nota 8,60). După rezolvare, comparați cu Baremul și răspunsurile de la final și discutați doar itemii greșiți.