Acasă · Clasa a VI-a · Teste · Simularea 6 — Evaluarea Națională la clasa a VI-a (simulare finală)

Simularea 6 — Evaluarea Națională la clasa a VI-a (simulare finală)

Disciplina: Matematică · Clasa a VI-a · Simulare finală tip Evaluarea Națională (partea de matematică)

Aceasta este o simulare completă, în formatul Evaluării Naționale de la clasa a VI-a. Testul verifică integrat competențele formate pe parcursul anului: mulțimi și divizibilitate, numere întregi și raționale, rapoarte, proporții și procente, organizarea datelor și probabilități și geometrie. Itemii sunt formulați în contexte practice (model PISA) și gradați de la simplu la complex.

Testul este împărțit în două părți, ca la examen:

Subiectul I — 10 itemi cu rezolvare scurtă (se cere rezultatul corect, cu calcul justificat).
Subiectul II — 5 probleme cu subpuncte, care cer raționament și justificare.

Exerciții

Subiectul I (50 de puncte)

La acești itemi se cere rezultatul corect, însoțit de calculul care îl justifică. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Dintr-o stație pleacă, în același timp la ora 8:00, un autobuz și un tramvai. Autobuzul pleacă din 12 în 12 minute, iar tramvaiul din 18 în 18 minute. La ce oră vor pleca din nou împreună, pentru prima dată după ora 8:00?

Exercițiul 2 (5 puncte)

La ora 6:00 dimineața, temperatura aerului era de −7 °C. Până la prânz a crescut cu 11 °C, iar până seara a scăzut cu 5 °C față de valoarea de la prânz. Ce temperatură a fost seara?

Exercițiul 3 (5 puncte)

Un produs costă 80 de lei. La promoție, prețul lui se ieftinește cu 15%. Cât costă produsul după reducere?

Exercițiul 4 (5 puncte)

Pe o hartă cu scara 1 : 50 000, distanța dintre două localități este de 4 cm. Care este distanța reală dintre cele două localități, exprimată în kilometri?

Exercițiul 5 (5 puncte)

Se consideră mulțimile $A = {$ divizorii naturali ai lui $12}$ și $B = {$ divizorii naturali ai lui $18}$ . Determinați mulțimea $A \cap B$ și precizați câte elemente are.

Exercițiul 6 (5 puncte)

La cinci teze, un elev a obținut notele: 8, 9, 7, 10, 6. Calculați media aritmetică a acestor note.

Exercițiul 7 (5 puncte)

Într-o cutie sunt 12 bile identice ca formă: 5 roșii, 4 albastre și 3 verzi. Se extrage o bilă la întâmplare. Care este probabilitatea ca bila extrasă să fie albastră?

Exercițiul 8 (5 puncte)

Două unghiuri sunt complementare, iar unul dintre ele este cu 24° mai mare decât celălalt. Aflați măsurile celor două unghiuri.

Exercițiul 9 (5 puncte)

30% dintr-un număr este egal cu 24. Aflați numărul.

Exercițiul 10 (5 puncte)

Într-o clasă, raportul dintre numărul fetelor și numărul băieților este 3 : 4. Știind că în clasă sunt 12 fete, aflați câți băieți sunt în clasă.

Subiectul II (40 de puncte)

La acești itemi se cer toate etapele rezolvării și justificările.

Exercițiul 11 (8 puncte) — Bugetul lunar al unei familii

Venitul lunar al unei familii este de 4 000 de lei și se împarte astfel: 35% pentru chirie, 25% pentru mâncare, 15% pentru transport, iar restul reprezintă economii.

a) Ce sumă alocă familia pentru chirie? (2p)
b) Ce procent din venit reprezintă economiile? (2p)
c) Ce sumă economisește familia într-o lună? (2p)
d) Dacă venitul crește cu 10%, iar procentul alocat economiilor rămâne același, ce sumă va economisi familia? (2p)

Exercițiul 12 (7 puncte) — Calcul și ecuații

a) Calculați: $E = (- \frac{2}{3} + \frac{5}{6}) : (- \frac{1}{4}) .$ (3p)
b) Rezolvați ecuația: $3 (x - 2) = x + 4.$ (2p)
c) Determinați numerele naturale $x$ care verifică inecuația: $2 x - 1 < 5.$ (2p)

Exercițiul 13 (8 puncte) — Triunghi isoscel

Triunghiul $A B C$ este isoscel, cu $A B = A C$ . Fie $D$ piciorul perpendicularei din $A$ pe $B C$ ( $A D ⊥ B C$ , $D \in B C$ ). Se știe că perimetrul triunghiului este de 32 cm, iar $B C = 12$ cm.

a) Justificați de ce $m (B) = m (C)$ . (2p)
b) Calculați lungimea laturii $A B$ . (2p)
c) Demonstrați că triunghiurile $A B D$ și $A C D$ sunt congruente, deduceți că $A D$ este bisectoarea unghiului $A$ și aflați lungimea segmentului $B D$ . (4p)

Exercițiul 14 (8 puncte) — Interpretarea datelor

La un test, cei 25 de elevi ai unei clase au obținut notele din tabelul de mai jos:

Nota	5	6	7	8	9	10
Număr de elevi	2	3	5	7	5	3

a) Câți elevi au obținut cel puțin nota 8? (2p)
b) Calculați media notelor pe clasă. (3p)
c) Se alege un elev la întâmplare. Care este probabilitatea ca el să fi obținut nota 10? (1,5p)
d) Adevărat sau fals, cu justificare: „Mai mult de jumătate dintre elevi au obținut cel puțin nota 8." (1,5p)

Exercițiul 15 (9 puncte) — Divizibilitate și raționament

a) Aflați $c.m.m.d.c. (24, 36)$ și $c.m.m.m.c. (24, 36)$ . (3p)
b) Câte numere naturale de la 1 la 100 sunt divizibile cu 6? (2p)
c) Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă un număr natural este divizibil cu 4 și cu 6, atunci el este divizibil cu 24." (2p)
d) Adevărat sau fals, cu justificare: „Suma a două numere naturale consecutive este întotdeauna un număr impar." (2p)

Barem și răspunsuri

Punctaj: 50 p Subiectul I + 40 p Subiectul II + 10 p din oficiu = 100 p. La itemii cu justificare, jumătate din punctaj se acordă pentru raționament corect, chiar dacă apare o eroare minoră de calcul.

Subiectul I

Exercițiul 1 (5p) — ora 8:36 Cele două vehicule pleacă împreună după un număr de minute egal cu $c.m.m.m.c. (12, 18)$ . $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $18 = 2 \cdot 3^{2} \Rightarrow c.m.m.m.c. = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36$ minute. $8 : 00 + 36$ min $= 8 : 36$ . (3p c.m.m.m.c. + 2p ora finală)

Exercițiul 2 (5p) — −1 °C $- 7 + 11 - 5 = 4 - 5 = - 1 °C$ . (2p adunarea cu numere întregi + 3p rezultat)

Exercițiul 3 (5p) — 68 de lei Reducerea: $15% \cdot 80 = \frac{15}{100} \cdot 80 = 12$ lei. Preț nou: $80 - 12 = 68$ lei. (3p calculul reducerii + 2p prețul final)

Exercițiul 4 (5p) — 2 km $4 cm \cdot 50000 = 200000$ cm $= 2000$ m $= 2$ km. (3p folosirea scării + 2p transformarea în km)

Exercițiul 5 (5p) — A ∩ B = {1, 2, 3, 6}, 4 elemente $A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}$ , $B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}$ . $A \cap B = {1, 2, 3, 6}$ — acestea sunt divizorii lui $c.m.m.d.c. (12, 18) = 6$ . Cardinal $= 4$ . (3p mulțimea intersecție + 2p cardinalul)

Exercițiul 6 (5p) — media 8 $\frac{8 + 9 + 7 + 10 + 6}{5} = \frac{40}{5} = 8$ . (2p suma + 3p împărțirea)

Exercițiul 7 (5p) — P = 1/3 $P (albastr \overset{a}{˘}) = \frac{cazuri favorabile}{cazuri posibile} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ . (3p raportul corect + 2p simplificarea)

Exercițiul 8 (5p) — 33° și 57° Fie $x$ unghiul mai mic; celălalt este $x + 24°$ . Complementare $\Rightarrow x + (x + 24°) = 90°$ , deci $2 x = 66° \Rightarrow x = 33°$ . Unghiurile sunt $33°$ și $57°$ (verificare: $33 + 57 = 90$ ). (3p ecuația + 2p cele două măsuri)

Exercițiul 9 (5p) — numărul este 80 $30% \cdot n = 24 \Rightarrow \frac{30}{100} \cdot n = 24 \Rightarrow n = \frac{24 \cdot 100}{30} = 80$ . (3p ecuația procentuală + 2p rezultat)

Exercițiul 10 (5p) — 16 băieți Raportul $3 : 4$ cu $12$ fete: cele $3$ „părți" valorează $12 \Rightarrow$ o parte $= 4$ . Băieții sunt $4$ părți: $4 \cdot 4 = 16$ . (3p valoarea unei părți + 2p numărul băieților)

Subiectul II

Exercițiul 11 (8p) — Bugetul familiei

a) Chirie $= 35% \cdot 4000 = \frac{35}{100} \cdot 4000 = 1400$ lei. (2p)
b) Economii $= 100% - (35% + 25% + 15%) = 100% - 75% = 25%$ . (2p)
c) Economii $= 25% \cdot 4000 = 1000$ lei. (2p)
d) Venit nou $= 4000 + 10% \cdot 4000 = 4400$ lei; economii $= 25% \cdot 4400 = 1100$ lei. (2p)

Exercițiul 12 (7p)

a) $- \frac{2}{3} + \frac{5}{6} = - \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$ ; apoi $\frac{1}{6} : (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{6} \cdot (- \frac{4}{1}) = - \frac{4}{6} = - \frac{2}{3}$ . (2p paranteza + 1p împărțirea fracțiilor)
b) $3 (x - 2) = x + 4 \Rightarrow 3 x - 6 = x + 4 \Rightarrow 2 x = 10 \Rightarrow x = 5$ . (2p)
c) $2 x - 1 < 5 \Rightarrow 2 x < 6 \Rightarrow x < 3$ . Cu $x \in N$ : $x \in {0, 1, 2}$ . (2p — 1p inecuația + 1p selecția numerelor naturale)

Exercițiul 13 (8p) — Triunghi isoscel

a) Triunghiul este isoscel cu $A B = A C$ , iar într-un triunghi isoscel unghiurile de la bază sunt congruente (unghiurile opuse laturilor congruente), deci $B \equiv C$ , adică $m (B) = m (C)$ . (2p)
b) $A B = A C$ ; perimetrul $= A B + A C + B C = 2 \cdot A B + 12 = 32 \Rightarrow 2 \cdot A B = 20 \Rightarrow A B = 10$ cm. (2p)
c) În triunghiurile $A B D$ și $A C D$ : $A B = A C$ (ipoteză, ipotenuze egale), $A D$ — latură comună (catetă), iar $m (A D B) = m (A D C) = 90°$ . Conform criteriului catetă–ipotenuză (C.I.), $△ A B D \equiv △ A C D$ . Din congruență: $B A D \equiv C A D$ , deci $A D$ este bisectoarea unghiului $A$ , și $B D = D C = \frac{B C}{2} = 6$ cm. (2p justificarea congruenței + 1p $A D$ bisectoare + 1p $B D$ )

Exercițiul 14 (8p) — Interpretarea datelor

a) Cel puțin nota 8 $\Rightarrow$ notele 8, 9 și 10: $7 + 5 + 3 = 15$ elevi. (2p)
b) Media $= \frac{5 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 7 \cdot 5 + 8 \cdot 7 + 9 \cdot 5 + 10 \cdot 3}{25} = \frac{10 + 18 + 35 + 56 + 45 + 30}{25} = \frac{194}{25} = 7, 76$ . (2p suma ponderată + 1p împărțirea)
c) $P (nota 10) = \frac{3}{25} = 0, 12$ . (1,5p)
d) Adevărat. Jumătate din 25 înseamnă $12, 5$ elevi; cei cu cel puțin nota 8 sunt $15$ , iar $15 > 12, 5$ . (1,5p — 0,5p răspuns + 1p justificare)

Exercițiul 15 (9p) — Divizibilitate și raționament

a) $24 = 2^{3} \cdot 3$ , $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ . $c.m.m.d.c. = 2^{2} \cdot 3 = 12$ ; $c.m.m.m.c. = 2^{3} \cdot 3^{2} = 72$ . (1,5p c.m.m.d.c. + 1,5p c.m.m.m.c.)
b) Multiplii lui 6 până la 100: $6, 12, \dots, 96$ , adică $⌊ \frac{100}{6} ⌋ = 16$ numere. (2p)
c) Fals. Contraexemplu: $12$ este divizibil cu 4 și cu 6, dar nu este divizibil cu 24. Cel mai mic număr divizibil simultan cu 4 și 6 este $c.m.m.m.c. (4, 6) = 12$ , nu 24. (0,5p răspuns + 1,5p contraexemplu)
d) Adevărat. Două numere consecutive sunt $n$ și $n + 1$ ; suma lor este $n + (n + 1) = 2 n + 1$ , un număr de forma „par $+ 1$ ", deci întotdeauna impar. (0,5p răspuns + 1,5p justificare)

Total: 50 p (Subiectul I) + 40 p (Subiectul II) + 10 p din oficiu = 100 de puncte.

Greșeli frecvente de evitat la examen: confundarea c.m.m.d.c. cu c.m.m.m.c. (Exercițiul 1, 15); aplicarea reducerii procentuale la prețul greșit (Exercițiul 3); uitarea transformării cm → km (Exercițiul 4); neglijarea semnului la numere întregi (Exercițiul 2); calculul mediei fără a pondera cu numărul de elevi (Exercițiul 14b); afirmarea unei congruențe fără a numi criteriul (Exercițiul 13c). Verificați mereu, la final, dacă rezultatul „are sens" în contextul problemei.

Pentru părinți

Cum se aplică: copilul lucrează individual, fără calculator și fără ajutor, pe foaie separată, ca într-un examen real. Figurile marcate cu 🖼️ se schițează de elev după enunț (cu rigla); tabelele se citesc direct din enunț.
Punctaj total: 100 de puncte = 90 de puncte pe itemi (50 p Subiectul I + 40 p Subiectul II) + 10 puncte din oficiu.
Timp recomandat: 60 de minute (format de examen). Sfat de gestionare a timpului: ~25 de minute pentru Subiectul I, ~30 de minute pentru Subiectul II, ~5 minute de verificare la final.
Cum citiți rezultatul: 90–100 = foarte bine (pregătire solidă); 70–89 = bine; 50–69 = satisfăcător; sub 50 = e nevoie de recapitulare țintită. Folosiți baremul de la final pentru a discuta fiecare greșeală — explicația scurtă arată exact unde s-a pierdut punctajul.

Se acordă 10 puncte din oficiu. La itemii care cer justificare, scrieți toți pașii: un rezultat corect fără calcul nu primește punctajul întreg.