Simulare Evaluare Națională

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Subiectul I – răspuns scurt / grilă (30 de puncte)

Se trece pe foaie doar litera răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Un tricou costă $200$ de lei. Prețul se mărește cu $15\%$. Prețul nou al tricoului este:

A. $215$ lei B. $230$ lei C. $300$ lei D. $185$ lei

Exercițiul 2 (5 puncte)

Scris sub forma cea mai simplă, $\sqrt{72}$ este egal cu:

A. $8\sqrt{2}$ B. $6\sqrt{2}$ C. $2\sqrt{6}$ D. $36\sqrt{2}$

Exercițiul 3 (5 puncte)

Media aritmetică a notelor $6,8,9,10,7$ este:

A. $7,5$ B. $8$ C. $8,5$ D. $40$

Exercițiul 4 (5 puncte)

Într-un triunghi dreptunghic, catetele au lungimile $9$ cm și $12$ cm. Lungimea ipotenuzei este:

A. $21$ cm B. $15$ cm C. $\sqrt{63}$ cm D. $13$ cm

Exercițiul 5 (5 puncte)

Volumul unui cub cu muchia de $5$ cm este:

A. $25{\text{cm}}^3$ B. $75{\text{cm}}^3$ C. $125{\text{cm}}^3$ D. $150{\text{cm}}^3$

Exercițiul 6 (5 puncte)

Fie funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-2$. Valoarea $f(2)$ este:

A. $4$ B. $8$ C. $1$ D. $6$

Subiectul al II-lea – rezolvare completă (30 de puncte)

Se scriu toți pașii. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (5 puncte)

Arătați că numărul $$N=\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)+\sqrt{25}$$ este natural și determinați valoarea lui.

Exercițiul 8 (5 puncte)

Aduceți la forma cea mai simplă și descompuneți în factori expresia: $$(3x+2{)}^2-(3x+2)(3x-2).$$

Exercițiul 9 (5 puncte)

Rezolvați inecuația $2(x+1)\ge x-3$, scrieți mulțimea soluțiilor ca interval și reprezentați-o pe axă.

Exercițiul 10 (5 puncte)

Rezolvați ecuația $x^2-2x-15=0$ prin descompunere în factori (metoda produsului nul).

Exercițiul 11 (5 puncte)

Se dă funcția liniară $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+4$. a) Calculați $f(0)$ și $f(2)$. b) Determinați coordonatele punctelor în care graficul funcției intersectează axele $Ox$ și $Oy$.

Exercițiul 12 (5 puncte)

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $AB=6$ cm și $AC=8$ cm. a) Calculați lungimea ipotenuzei $BC$. b) Calculați $\sin B$, $\cos B$ și $\mathrm{tg}B$.

Subiectul al III-lea – probleme ample (30 de puncte)

Se scriu raționamentul complet și justificările. Fiecare problemă valorează 10 puncte.

Exercițiul 13 (10 puncte)

O piesă ornamentală are forma unei piramide patrulatere regulate $VABCD$, cu latura bazei $AB=6$ cm și înălțimea $VO=4$ cm ($O$ este centrul bazei).

a) (3 p) Calculați lungimea apotemei piramidei (distanța de la $V$ la mijlocul unei laturi a bazei). b) (4 p) Calculați aria laterală și aria totală ale piramidei. c) (3 p) Calculați volumul piramidei.

Exercițiul 14 (10 puncte)

Un taxi percepe o taxă de pornire de $5$ lei și, în plus, $2$ lei pentru fiecare kilometru parcurs. Notăm cu $x$ numărul de kilometri și cu $f(x)$ costul cursei (în lei). a) (3 p) Scrieți expresia funcției $f(x)$ și calculați costul unei curse de $12$ km. b) (4 p) O cursă a costat $45$ de lei. Câți kilometri a parcurs taxiul? c) (3 p) Adevărat sau fals, cu justificare: „La fiecare kilometru parcurs în plus, costul cursei crește cu $2$ lei."

Exercițiul 15 (10 puncte)

Notele obținute de cei $10$ elevi ai unei grupe la un test au fost, în ordine crescătoare: $$6,7,7,8,8,8,9,9,10,10.$$ a) (3 p) Calculați media aritmetică a notelor. b) (3 p) Determinați mediana șirului de note. c) (2 p) Determinați modul (valoarea cu cea mai mare frecvență). d) (2 p) Calculați amplitudinea șirului de note.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Subiectul I (30 p — câte 5 p/item; se acordă punctajul integral doar pentru răspunsul corect)

Exercițiul 1 · 5 puncte — B. Creșterea este $15\%\cdot 200=30$ lei, deci prețul nou este $200+30=230$ lei (echivalent $200\cdot 1,15=230$).

Exercițiul 2 · 5 puncte — B. $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{2}=6\sqrt{2}$.

Exercițiul 3 · 5 puncte — B. $\frac{6+8+9+10+7}{5}=\frac{40}{5}=8$.

Exercițiul 4 · 5 puncte — B. Teorema lui Pitagora: ipotenuza $=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte — C. $V={\ell }^3=5^3=125{\text{cm}}^3$.

Exercițiul 6 · 5 puncte — A. $f(2)=3\cdot 2-2=6-2=4$.

Subiectul al II-lea (30 p)

Exercițiul 7 · 5 puncte Produsul este o diferență de pătrate: $\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)={\left(\sqrt{7}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2=7-3=4$ (3 p). $\sqrt{25}=5$ (1 p). Deci $N=4+5=9$, care este număr natural (1 p).

Exercițiul 8 · 5 puncte $(3x+2{)}^2=9x^2+12x+4$ (2 p); $(3x+2)(3x-2)=9x^2-4$ (1 p). Diferența: $9x^2+12x+4-(9x^2-4)=9x^2+12x+4-9x^2+4=12x+8$ (1 p). Descompunere (factor comun $4$): $12x+8=4(3x+2)$ (1 p).

Exercițiul 9 · 5 puncte $2(x+1)\ge x-3\Rightarrow 2x+2\ge x-3$ (1,5 p) $\Rightarrow 2x-x\ge -3-2\Rightarrow x\ge -5$ (1,5 p). Mulțimea soluțiilor: $[-5,\infty )$ (1 p). Reprezentare (1 p): 🖼️ [Imagine: cerculeț plin în $-5$ (capăt inclus), hașură spre dreapta.]

Exercițiul 10 · 5 puncte Descompunere: $x^2-2x-15=(x-5)(x+3)$ (3 p) (suma rădăcinilor $5+(-3)=2$, produsul $5\cdot (-3)=-15$). Produs nul: $(x-5)(x+3)=0\Rightarrow x-5=0$ sau $x+3=0$ (1 p) $\Rightarrow x=5$ sau $x=-3$ (1 p). Soluții: $\{-3,5\}$. (Verificare: $5^2-2\cdot 5-15=0$ și $(-3{)}^2-2\cdot (-3)-15=0$.)

Exercițiul 11 · 5 puncte a) $f(0)=-2\cdot 0+4=4$ (1 p); $f(2)=-2\cdot 2+4=0$ (1 p). b) Intersecția cu $Oy$: $x=0\Rightarrow y=f(0)=4$, deci punctul $(0,4)$ (1,5 p). Intersecția cu $Ox$: $f(x)=0\Rightarrow -2x+4=0\Rightarrow x=2$, deci punctul $(2,0)$ (1,5 p).

Exercițiul 12 · 5 puncte a) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ cm (2 p). b) În triunghiul dreptunghic (unghi drept în $A$), pentru unghiul $B$: cateta opusă este $AC=8$, cateta alăturată este $AB=6$, ipotenuza $BC=10$. $$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5},\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$$ (3 p — câte 1 p/raport)

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 13 · 10 puncte Notăm $M$ mijlocul laturii $BC$; $VM$ = apotema piramidei, $OM$ = apotema bazei. a) (3 p) Apotema bazei: $OM=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3$ cm (1 p). Triunghiul $VOM$ este dreptunghic în $O$, deci $$VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\text{cm}(2\mathbf{p}).$$ b) (4 p) Perimetrul bazei: $P=4\cdot 6=24$ cm. Aria laterală: $$A_{\ell }=\frac{P\cdot VM}{2}=\frac{24\cdot 5}{2}=60{\text{cm}}^2(2\mathbf{p}).$$ Aria bazei: $A_b=6^2=36{\text{cm}}^2$. Aria totală: $A_t=A_{\ell }+A_b=60+36=96{\text{cm}}^2$ (2 p). c) (3 p) Volumul: $V=\frac{1}{3}\cdot A_b\cdot VO=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 4=48{\text{cm}}^3$.

Exercițiul 14 · 10 puncte a) (3 p) Costul = taxa de pornire + $2$ lei/km, deci $\mathbf{f}(\mathbf{x})=2x+5$ (1,5 p). Pentru $12$ km: $f(12)=2\cdot 12+5=24+5=29$ lei (1,5 p). b) (4 p) Punem condiția $f(x)=45$: $2x+5=45$ (1 p) $\Rightarrow 2x=40$ (1,5 p) $\Rightarrow x=20$ (1 p). Taxiul a parcurs $20$ km (0,5 p). c) (3 p) Adevărat. Mărind distanța cu $1$ km (de la $x$ la $x+1$), costul devine $f(x+1)=2(x+1)+5=2x+7$, adică $f(x+1)-f(x)=2$ lei; coeficientul lui $x$ (panta) este $2$, deci fiecare kilometru în plus adaugă exact $2$ lei.

Exercițiul 15 · 10 puncte a) (3 p) Suma notelor: $6+7+7+8+8+8+9+9+10+10=82$ (1,5 p). Media: $\frac{82}{10}=8,2$ (1,5 p). b) (3 p) Șirul are $10$ valori (par), deja ordonate crescător; mediana este media termenilor din pozițiile $5$ și $6$: $\frac{8+8}{2}=8$. c) (2 p) Valoarea $8$ apare de $3$ ori (cel mai des), deci modul este $8$. d) (2 p) Amplitudinea $=$ nota maximă $-$ nota minimă $=10-6=4$.

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura Evaluării Naționale. Ecuațiile de gradul al II-lea se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul; trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale de la clasa a VIII-a, construită după structura oficială a examenului. El verifică integrat cunoștințe din programa claselor V–VIII:

• aritmetică și numere reale: procente, radicali, medii;
• calcul algebric: formule de calcul prescurtat, descompuneri în factori, ecuații de forma $a{x}^2+bx+c=0$ (rezolvate prin descompunere în factori, metoda produsului nul);
• inecuații de gradul I și intervale;
• funcția liniară $f(x)=ax+b$ (valori, intersecția cu axele, grafic);
• statistică: media aritmetică, mediana, modul, amplitudinea;
• geometrie plană (teorema lui Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri geometrice: arii și volume).

Testul este structurat ca la examen, în trei subiecte:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi cu răspuns scurt / grilă; se cere doar rezultatul.

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi cu rezolvare completă; se punctează pașii.

• Subiectul al III-lea (30 p) – 3 probleme ample, cu subpuncte și justificări.

• Punctaj total: 100 de puncte = 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu.

• Timp recomandat: 120 de minute.

• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie separată; la Subiectele al II-lea și al III-lea se scriu toți pașii de rezolvare și justificările. La final, comparați cu Baremul și răspunsurile.

• Interpretare orientativă (notă EN): împărțiți punctajul la 10 pentru a estima nota. 90–100 p ≈ 9–10 (foarte bine); 70–89 p ≈ 7–8,9 (bine); 50–69 p ≈ 5–6,9 (satisfăcător); sub 50 p = se recomandă reluarea temelor din anii V–VIII.

• De reținut: ecuațiile $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și produs nul ($A\cdot B=0\Rightarrow A=0$ sau $B=0$), nu cu formula discriminantului (aceea se învață în clasa a IX-a).

Notă: marcajele 🖼️ [Imagine: ...] descriu figura geometrică sau reprezentarea grafică ce însoțește itemul; elevul o poate schița după descriere.