Test: Arii, volume, secțiuni și distanțe în prismă, paralelipiped și cub

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Prisma, paralelipipedul dreptunghic și cubul

Exerciții

Partea I – Descriere, elemente și desfășurare

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se dă o prismă dreaptă.

Completează spațiile libere: a) Muchiile laterale ale unei prisme drepte sunt ______ pe planele bazelor. b) Cele două baze ale unei prisme sunt poligoane ______ , situate în plane paralele. c) Fețele laterale ale unei prisme drepte sunt ______ . d) O prismă triunghiulară are ___ vârfuri, ___ muchii și ___ fețe. e) La o prismă dreaptă, înălțimea este egală cu lungimea unei ______ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se dau un paralelipiped dreptunghic și un cub.

Completează spațiile libere: a) Paralelipipedul dreptunghic are ___ fețe, ___ muchii și ___ vârfuri. b) Toate fețele paralelipipedului dreptunghic sunt ______ . c) Desfășurarea suprafeței unui cub este formată din ___ pătrate congruente. d) Diagonala paralelipipedului dreptunghic cu dimensiunile $a,b,c$ are lungimea ______ . e) Cele patru diagonale ale paralelipipedului dreptunghic sunt ______ (ca lungime) și se intersectează toate în ______ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează pe scurt (câte 1 punct fiecare). a) Cubul este un caz particular de paralelipiped dreptunghic. b) Diagonala unei fețe a cubului cu latura $l$ are lungimea $l\sqrt{3}$. c) La orice prismă dreaptă, toate fețele laterale sunt dreptunghiuri. d) Volumul unei prisme drepte este egal cu aria bazei înmulțită cu înălțimea. e) Secțiunea diagonală într-un cub (planul care trece prin două muchii opuse) este un pătrat.

Partea a II-a – Arii și volume

Exercițiul 4 (6 puncte)

Un cub are latura $l=5$ cm.

Calculează: a) diagonala unei fețe; b) diagonala cubului (a corpului); c) aria totală ${\mathcal{A}}_t$; d) volumul $V$.

Exercițiul 5 (6 puncte)

O cutie are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de $12$ cm, $6$ cm și $4$ cm.

Calculează: a) volumul cutiei; b) aria totală (cantitatea de carton necesară, fără suprapuneri); c) diagonala cutiei (cea mai lungă distanță dintre două vârfuri).

Exercițiul 6 (6 puncte)

O prismă triunghiulară regulată dreaptă are baza un triunghi echilateral cu latura $a=6$ cm și înălțimea prismei $h=10$ cm.

Calculează: a) aria bazei; b) aria laterală ${\mathcal{A}}_{\ell }$; c) volumul $V$; d) aria totală ${\mathcal{A}}_t$.

Exercițiul 7 (6 puncte)

O prismă dreaptă are ca bază un triunghi dreptunghic cu catetele de $3$ cm și $4$ cm, iar înălțimea prismei este de $10$ cm.

a) Cât este ipotenuza triunghiului de la bază? b) Calculează aria bazei și perimetrul bazei. c) Calculează aria laterală, aria totală și volumul prismei.

Exercițiul 8 (6 puncte)

O prismă hexagonală regulată dreaptă are latura bazei $a=4$ cm și înălțimea $h=9$ cm.

Calculează: a) aria bazei; b) aria laterală ${\mathcal{A}}_{\ell }$; c) volumul $V$.

Exercițiul 9 (6 puncte)

Un bazin de înot are forma unui paralelipiped dreptunghic cu lungimea de $8$ m, lățimea de $5$ m și adâncimea de $2$ m. Bazinul se umple complet cu apă și se placează cu faianță pe cei patru pereți și pe fund (fără capacul de sus).

a) Ce volum de apă intră în bazin (în ${\text{m}}^3$)? b) Câți litri de apă sunt (folosește $1{\text{m}}^3=1000$ litri)? c) Ce suprafață se placează cu faianță (pereții + fundul)?

Partea a III-a – Secțiuni, distanțe și unghiuri

Exercițiul 10 (6 puncte)

Un cub are latura de $6$ cm. Se taie cubul cu planul care trece prin două muchii opuse, obținând o secțiune diagonală.

a) Ce formă are secțiunea și care sunt lungimile laturilor ei? b) Calculează aria secțiunii diagonale. c) Calculează perimetrul secțiunii diagonale.

Exercițiul 11 (5 puncte)

Un paralelipiped dreptunghic are baza un dreptunghi cu laturile de $6$ cm și $8$ cm, iar înălțimea de $5$ cm. Se face secțiunea diagonală prin planul care conține o diagonală a bazei și muchia laterală corespunzătoare.

a) Cât este diagonala bazei? b) Ce arie are secțiunea diagonală? c) Cât este perimetrul secțiunii diagonale?

Exercițiul 12 (7 puncte)

O prismă patrulateră regulată dreaptă (baza pătrat) are latura bazei $a=6$ cm și înălțimea $h=6\sqrt{3}$ cm.

a) Calculează lungimea diagonalei unei fețe laterale. b) Determină măsura unghiului format de diagonala feței laterale cu planul bazei. (Indicație: folosește tangenta unghiului în triunghiul dreptunghic; $\mathrm{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}$.) c) Calculează lungimea diagonalei prismei (a corpului).

Exercițiul 13 (7 puncte)

Un cub are latura de $8$ cm.

a) Cât este distanța dintre două fețe paralele ale cubului? b) Calculează diagonala unei fețe și diagonala corpului. c) Cât este distanța de la centrul cubului (punctul de intersecție al diagonalelor) până la un vârf?

Exercițiul 14 (7 puncte)

O cutie interioară are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de $8$ cm, $9$ cm și $12$ cm. Vrei să așezi în cutie o tijă rigidă dreaptă (un creion special), care nu se poate îndoi.

a) Calculează lungimea diagonalei interioare a cutiei. b) O tijă are lungimea de $16$ cm. Încape ea în cutie? Justifică. c) Care este lungimea maximă a unei tije rigide care încape în cutie?

Exercițiul 15 (7 puncte)

Un baton de ciocolată este ambalat într-o cutie în formă de prismă triunghiulară regulată dreaptă (tip „Toblerone"): baza este un triunghi echilateral cu latura de $8$ cm, iar lungimea cutiei (înălțimea prismei) este de $20$ cm.

a) Calculează aria bazei (a triunghiului echilateral). b) Calculează volumul cutiei. c) Calculează aria totală (cantitatea de carton necesară pentru toată cutia, inclusiv cele două baze).

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Pentru itemii cu subpuncte, punctajul se împarte conform indicațiilor de mai jos. Se acordă punctaj parțial pentru raționament corect chiar dacă apare o eroare de calcul.

Exercițiul 1 · 5 puncte — câte 1 p pe subpunct. a) perpendiculare. b) congruente (egale). c) dreptunghiuri. d) 6 vârfuri, 9 muchii, 5 fețe. e) muchii laterale (înălțimea = lungimea muchiei laterale).

Exercițiul 2 · 5 puncte — câte 1 p pe subpunct. a) 6 fețe, 12 muchii, 8 vârfuri. b) dreptunghiuri. c) 6 pătrate congruente. d) $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. e) sunt egale (congruente) și se intersectează toate în același punct (centrul paralelipipedului).

Exercițiul 3 · 5 puncte — câte 1 p (valoare + motivare). a) A. Cubul are toate fețele dreptunghiuri (pătrate), deci este un paralelipiped dreptunghic particular, cu $a=b=c$. b) F. Diagonala unei fețe este $l\sqrt{2}$; $l\sqrt{3}$ este diagonala corpului. c) A. La prisma dreaptă muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze, deci fețele laterale sunt dreptunghiuri. d) A. Este chiar formula volumului prismei: $V={\mathcal{A}}_b\cdot h$. e) F. Secțiunea diagonală a cubului (latura $l$) este un dreptunghi cu laturile $l\sqrt{2}$ și $l$, nu un pătrat.

Exercițiul 4 · 6 puncte — cub $l=5$. a) Diagonala feței $=l\sqrt{2}=5\sqrt{2}$ cm (1,5 p). b) Diagonala corpului $=l\sqrt{3}=5\sqrt{3}$ cm (1,5 p). c) ${\mathcal{A}}_t=6l^2=6\cdot 25=150{\text{cm}}^2$ (1,5 p). d) $V=l^3=5^3=125{\text{cm}}^3$ (1,5 p).

Exercițiul 5 · 6 puncte — paralelipiped $a=12,b=6,c=4$. a) $V=abc=12\cdot 6\cdot 4=288{\text{cm}}^3$ (2 p). b) ${\mathcal{A}}_t=2(ab+bc+ca)=2(72+24+48)=2\cdot 144=288{\text{cm}}^2$ (2 p). c) $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{144+36+16}=\sqrt{196}=14$ cm (2 p).

Exercițiul 6 · 6 puncte — prismă triunghiulară regulată, $a=6$, $h=10$. a) ${\mathcal{A}}_b=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1,5 p). b) $P_b=3a=18$; ${\mathcal{A}}_{\ell }=P_b\cdot h=18\cdot 10=180{\text{cm}}^2$ (1,5 p). c) $V={\mathcal{A}}_b\cdot h=9\sqrt{3}\cdot 10=90\sqrt{3}{\text{cm}}^3$ (1,5 p). d) ${\mathcal{A}}_t={\mathcal{A}}_{\ell }+2{\mathcal{A}}_b=180+2\cdot 9\sqrt{3}=180+18\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1,5 p).

Exercițiul 7 · 6 puncte — bază triunghi dreptunghic (catete 3 și 4), $h=10$. a) Ipotenuza $=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ cm (1 p). b) ${\mathcal{A}}_b=\frac{3\cdot 4}{2}=6{\text{cm}}^2$; perimetrul $P_b=3+4+5=12$ cm (2 p). c) ${\mathcal{A}}_{\ell }=P_b\cdot h=12\cdot 10=120{\text{cm}}^2$; ${\mathcal{A}}_t=120+2\cdot 6=132{\text{cm}}^2$; $V=6\cdot 10=60{\text{cm}}^3$ (3 p).

Exercițiul 8 · 6 puncte — prismă hexagonală regulată, $a=4$, $h=9$. a) ${\mathcal{A}}_b=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot 16\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (2 p). b) $P_b=6a=24$; ${\mathcal{A}}_{\ell }=24\cdot 9=216{\text{cm}}^2$ (2 p). c) $V={\mathcal{A}}_b\cdot h=24\sqrt{3}\cdot 9=216\sqrt{3}{\text{cm}}^3$ (2 p).

Exercițiul 9 · 6 puncte — bazin $8\times 5\times 2$ m, deschis sus. a) $V=8\cdot 5\cdot 2=80{\text{m}}^3$ (2 p). b) $80{\text{m}}^3=80\cdot 1000=80000$ litri (1 p). c) Faianță $=$ pereți $+$ fund $=\underset{\text{pereți}}{\underbrace{2\cdot 2\cdot (8+5)}}+\underset{\text{fund}}{\underbrace{8\cdot 5}}=4\cdot 13+40=52+40=92{\text{m}}^2$ (3 p). (Capacul de sus nu se placează.)

Exercițiul 10 · 6 puncte — cub $l=6$, secțiune diagonală. a) Secțiunea este un dreptunghi cu laturile: diagonala bazei $=l\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ cm și muchia $=l=6$ cm (2 p). b) ${\mathcal{A}}_{sec}=6\sqrt{2}\cdot 6=36\sqrt{2}{\text{cm}}^2$ (2 p). c) $P_{sec}=2(6\sqrt{2}+6)=12\sqrt{2}+12=12(\sqrt{2}+1)$ cm (2 p).

Exercițiul 11 · 5 puncte — paralelipiped, bază $6\times 8$, înălțime $5$. a) Diagonala bazei $=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ cm (2 p). b) Secțiunea = dreptunghi cu laturile $10$ și $5$: ${\mathcal{A}}_{sec}=10\cdot 5=50{\text{cm}}^2$ (2 p). c) $P_{sec}=2(10+5)=30$ cm (1 p).

Exercițiul 12 · 7 puncte — prismă patrulateră regulată, $a=6$, $h=6\sqrt{3}$. a) O față laterală este un dreptunghi cu laturile $a=6$ și $h=6\sqrt{3}$; diagonala ei $=\sqrt{6^2+(6\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{36+108}=\sqrt{144}=12$ cm (2 p). b) În triunghiul dreptunghic al feței, cateta orizontală (muchia bazei) este $6$, cateta verticală (înălțimea) este $6\sqrt{3}$. Unghiul $\alpha$ dintre diagonală și baza: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}\Rightarrow \alpha =60^{\circ }$ (3 p). c) Diagonala corpului $=\sqrt{a^2+a^2+h^2}=\sqrt{36+36+108}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$ cm (2 p).

Exercițiul 13 · 7 puncte — cub $l=8$. a) Distanța dintre două fețe paralele $=$ muchia $=8$ cm (2 p). b) Diagonala feței $=l\sqrt{2}=8\sqrt{2}$ cm; diagonala corpului $=l\sqrt{3}=8\sqrt{3}$ cm (3 p). c) Centrul cubului este mijlocul diagonalei corpului, deci distanța până la un vârf $=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$ cm (2 p).

Exercițiul 14 · 7 puncte — cutie $8\times 9\times 12$. a) Diagonala interioară $=\sqrt{8^2+9^2+12^2}=\sqrt{64+81+144}=\sqrt{289}=17$ cm (3 p). b) Da: cea mai lungă tijă rigidă care încape are lungimea egală cu diagonala, $17$ cm; cum $16<17$, tija de $16$ cm încape (2 p). c) Lungimea maximă $=$ diagonala interioară $=17$ cm (2 p).

Exercițiul 15 · 7 puncte — prismă triunghiulară regulată, $a=8$, lungime $H=20$. a) ${\mathcal{A}}_b=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{64\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (2 p). b) $V={\mathcal{A}}_b\cdot H=16\sqrt{3}\cdot 20=320\sqrt{3}{\text{cm}}^3$ (3 p). c) $P_b=3\cdot 8=24$; ${\mathcal{A}}_{\ell }=P_b\cdot H=24\cdot 20=480$; ${\mathcal{A}}_t={\mathcal{A}}_{\ell }+2{\mathcal{A}}_b=480+2\cdot 16\sqrt{3}=480+32\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (2 p).

Recomandare: dacă elevul confundă diagonala feței ($l\sqrt{2}$) cu diagonala corpului ($l\sqrt{3}$), reia întâi cubul: diagonala corpului este întotdeauna mai lungă, pentru că se obține din teorema lui Pitagora în spațiu, adăugând a treia dimensiune sub radical. La secțiuni diagonale, reține că într-un cub sau paralelipiped ele sunt dreptunghiuri (nu pătrate), cu o latură egală cu diagonala bazei și cealaltă egală cu înălțimea. La arii, nu confunda aria laterală (doar fețele laterale, ${\mathcal{A}}_{\ell }=P_b\cdot h$) cu aria totală (fețele laterale + cele două baze). Iar la problemele reale (bazin, cutie deschisă) numără doar fețele care există fizic: un bazin nu are capac, o cutie deschisă nu are față de sus.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul stăpânește unitatea „Prisma, paralelipipedul dreptunghic și cubul" din clasa a VIII-a: descrierea, elementele și desfășurarea corpurilor; calculul ariei laterale, ariei totale și al volumului pentru prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic și cub; diagonala paralelipipedului și a cubului; secțiunile diagonale; precum și distanțele și unghiurile din interiorul corpurilor. Itemii sunt așezați în contexte reale (cutii, acvarii, bazine, corturi, ambalaje) și sunt gradați ca dificultate. Testul este potrivit pentru consolidare în an de Evaluare Națională.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe o foaie separată, cu creion și riglă pentru schițe. Rezultatele iraționale se lasă în formă exactă (de exemplu $6\sqrt{5}$), fără a fi aproximate zecimal, dacă nu se cere altfel. La final, comparați rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea noțiunilor din unitate.
• Formule de reținut:
  • Prismă dreaptă (arie bază ${\mathcal{A}}_b$, perimetru bază $P_b$, înălțime $h$): ${\mathcal{A}}_{\ell }=P_b\cdot h$; ${\mathcal{A}}_t={\mathcal{A}}_{\ell }+2{\mathcal{A}}_b$; $V={\mathcal{A}}_b\cdot h$.
  • Paralelipiped dreptunghic (dimensiuni $a,b,c$): $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$; ${\mathcal{A}}_t=2(ab+bc+ca)$; $V=abc$.
  • Cub (latura $l$): diagonala feței $=l\sqrt{2}$; diagonala corpului $d=l\sqrt{3}$; ${\mathcal{A}}_t=6l^2$; ${\mathcal{A}}_{\ell }=4l^2$; $V=l^3$.
  • Triunghi echilateral (latura $a$): $\mathcal{A}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Hexagon regulat (latura $a$): $\mathcal{A}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Notă: marcajele 🖼️ [Imagine: ...] descriu figura care însoțește itemul; elevul o poate reface după descriere.